2026年高二数学秋季开学学情自测卷02（广东专用，范围：人教A版必修一+必修二+选修一第1章）

**基本信息** 结合扬州大运塔测量、猜灯谜活动等真实情境，通过基础题与创新题梯度设计，检测高二学生对必修及选择性必修第一章知识的掌握情况，渗透数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|扇形、复数、向量、立体几何|第5题以大运塔为背景，考查解三角形应用| |多选|3/18|三角恒等变换、解三角形、统计|第11题频率分布直方图，强化数据意识| |填空|3/15|斜二测画法、三角求值、函数值域|第12题直观图与原图形转化，体现空间观念| |解答|5/77|解三角形、立体几何、函数、概率、新定义向量|第19题“伴生函数”新定义，考查创新思维与数学语言表达|

2026年秋季高二开学学情自测卷 ·: 数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) ! : 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册第一章 第一部分（选择题共58分） : : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.己知扇形的周长是3c,面积是cm',则扇形的圆心角的弧度数是（) : A.1 B.4 C.1或4 D.2或4 : 2.复平面上点M对应复数z,将点M绕原点顺时针旋转90°，再关于虚轴对称，所得点N对应复数3-i, : : 则川z=() : A.5 B.2 C.√10 D.4 : 3.已知向量a,b,c,则“a⊥(b-c)”是“a.b=a.c的() A A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 O C.充要条件 D,既非充分也非必要条件 4.如图，在三棱台ABC-ABC1中，AB=2AB,AB=a,AC=b,A4=C, E,F分别为CC,AB的中点，则EF=() 3 3 照 A.a+Ba+-c.a++好 D. 3a+-b-18 442 44 4 24 4 5,如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州 : 中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大 运塔AB的高度.他选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点 C,D,测得∠BCD=120°，CD=112m,在C,D两观测点处测得 大运塔顶部A的仰角分别为45°，30°，则大运塔AB的高为() A. 56√2mB.112mC.112√2mD.112W3m 6.如图，已知空间四边形ABCD的四条边以及对角线的长均为2，M、N分别是BC 与AD的中点，则异面直线AM和CN所成角的余弦值为() A.3 B.3 3 c D. 6 π 7.已知a为正整数，tana=l+ga,tanB=lga,且a=f+4,则当函数 : 试题第1页（共4页） : 6学科网·上好课 f(x)=asin0-√3cos0(0e[0,πD取得最大值时，0=() D A 心号 c D. B G 8.如图，正方体ABCD-AB,C1D棱长为2，E、F、G分别为棱AD,AB,BB的中 E 点，P是正方体表面上的动点，M为直线BD上一动点，则下列说法正确的是() H B A.AB⊥平面EFG B.直线AM与直线EG一定是异面直线 C.若AP=2,则点P的轨迹长度为πD.三棱锥M-EFG的体积是定值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列等式成立的是() A.c0215°-smn215°=5 B. 1 0s40°=sin70° 2 40°+V3 C.sincos D.tan15°=2-√5 884 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是() A.若心b,则coSA<coSB B.c=10,a=12,∠A=60°，则△ABC有唯一解 C.若a,b,c成等比数列，么的取值范国为 5-15+1 a 22 ◆频率/组距 D.若sinA+sin2B+cos2C>1,则△ABC为锐角三角形 0.04-. 11.某市随机抽取了1000名市民进行交通法规知识问卷调查，问卷得分0.03 的频率分布直方图如图所示，问卷得分的分组区间是[50,60)，[60,70)， 0.02 a}-- [70,80),[80,90),[90,100],根据图中信息，则() 05060708090100成绩/分 A.a=0.005 B.平均得分为73分（每组数据以该组区间的中点值为代表） C.若70分为合格线，则合格的人数为650 D.中位数的估计值超过70分 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图，正方形AB'CD是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形 D ABCD的直观图，若OD'=√2，则四边形ABCD周长与面积的数值之比为 l3.已知tana=4,则sino.cosa+sina=_ 4.已知函数f=m2x-君司方的定义该为uu网，值减为0，则a加的取值范用是 试题第2页（共4页） 6学科网·上好课 四、解答题：本题共5小题，共7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在aMBC中，CA=2,AB=3,∠BAC=，D为BC的三等分点（靠近C点）。 3 (I)求AD.BC的值： (2)若点P满足CP=CA,求PB.PC的最小值，并求此时的2. 16.(15分) 如图，在四棱柱ABCD-AB,C,D,中，侧棱AA⊥底面ABCD,AB L AC,AB=1,AC=A4=2, AD=CD=√5，且点M和N分别为BC和DD的中点 (1)求证：MW/平面ABCD: (2)求平面ACD与平面ACB的夹角的余弦值： (3)设E为棱48上的点，若直线w和平面ABCD的夹角的正弦值为V万 ,求线段AE的长 A B A 17.(15分) 已知函数f()=5nax+2n受+1(o>0),4出是f(9的两个零点，且代的最小值是元。 (1)求w的值； 2)求f(x)在工2 43 上的值域； (3)若对任意的x∈ π2r 43 不等式a[f(x)门了-f(c)+5a≥0恒成立，求a的取值范围. 试题第3页（共4页） 18.(17分) 甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，己知甲每轮猜对的概率 O 每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相 (1)求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率； (2)求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率： (3)求在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率. :0 卡 张 河 19.（17分) 数 定义：对于非零向量OM=(m,),若函数f(x)=sinx+ncosx,则称f(x)为向量OM的“伴生函数”， 烯 向量O☑为函数f(x)的源向量”.记平面内所有向量的“伴生函数构成的集合为S. (I)已知h()=cos(x+x)+2cosa∈R,若函数h()eS,求函数h(x)的“源向量”的模的取值范围： (2)设△ABC中角AB,C所对的边为a,b,c,向量OM=(a,bcos C+c cos B)的“伴生函数'为F(x),且当 x=A时，F(x)取得最大值， ①若BC=√2，设G为△ABC的重心，求BG.CG的最大值： ②设O是AABC外心，且cosB亚+c0sCAC=A0,求实数的值. sinC sinB 的 些 试题第4页（共4页） 2026年秋季高二开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册第一章 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（     ） A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 2．复平面上点对应复数，将点绕原点顺时针旋转，再关于虚轴对称，所得点对应复数，则（     ） A． B．2 C． D．4 3．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 4．如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为（    ）.    A． B． C． D． 6．如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，、分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．已知为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，为直线上一动点，则下列说法正确的是（     ） A．平面 B．直线与直线一定是异面直线 C．若，则点的轨迹长度为 D．三棱锥的体积是定值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若a>b，则 B．c＝10，a＝12，∠A＝60°，则有唯一解 C．若a，b，c成等比数列，的取值范围为 D．若，则△ABC为锐角三角形 11．某市随机抽取了名市民进行交通法规知识问卷调查，问卷得分的频率分布直方图如图所示，问卷得分的分组区间是，，，，，根据图中信息，则（    ） A． B．平均得分为分（每组数据以该组区间的中点值为代表） C．若分为合格线，则合格的人数为 D．中位数的估计值超过分 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为______． 13．已知，则______． 14．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 16．（15分） 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长. 17．（15分） 已知函数，是的两个零点，且的最小值是． (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 18．（17分） 甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响． (1)求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率； (2)求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率； (3)求在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率． 19．（17分） 定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”．记平面内所有向量的“伴生函数”构成的集合为． (1)已知，若函数，求函数的“源向量”的模的取值范围； (2)设中角所对的边为，向量的“伴生函数”为，且当时，取得最大值． ①若，设为的重心，求的最大值； ②设是外心，且，求实数的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高二开学学情自测卷 ! 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 烘 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 选择题（每小题5分，共40分） 1 [A][B]IC][D] 5[A1B1[C1[D1 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 栽 3[A][B][CD] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C]D] 8[A]B][C]D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C]D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 舒 三、填空题（每小题5分，共15分） 舸 12 13 14. ! 剂 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 6 D D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（     ） A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 【答案】C 【解析】依题意，，解得或，故弧度数为或. 2．复平面上点对应复数，将点绕原点顺时针旋转，再关于虚轴对称，所得点对应复数，则（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】方法一：由题意可知：， 所以； 方法二：点对应复数，坐标为；关于虚轴对称得点坐标为， 可得坐标为，对应复数， 则，所以. 3．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以有，即，所以； 若，显然有，此时，显然不成立. 所以，“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 4．如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 因为，，，， 所以 . 故选：A. 5．如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，在直角中，，所以， 在直角，，所以，即， 在中，，， 由余弦定理得， 即，因为，所以解得. 即大运塔的高为. 故选：B 6．如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，、分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图连接，设为中点，连接， 因为是中点，所以且， 所以为异面直线和所成的角或其补角， 由题意可得， 所以，，， 在中由余弦定理可得， 即异面直线和所成角的余弦值为， 故选：C 7．已知为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由条件知，则由， 得， 即， 解得或（舍去）， 则． 因为， 所以． 则当，即时， 函数取得最大值， 故选：D． 8．如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，为直线上一动点，则下列说法正确的是（     ） A．平面 B．直线与直线一定是异面直线 C．若，则点的轨迹长度为 D．三棱锥的体积是定值 【答案】D 【解析】对于A，若平面，又平面，所以， 又因为、分别为棱，的中点，所以，所以， 因为是等边三角形，所以，与矛盾， 所以不垂直于平面，故A错误； 对于B，连接， 因为、分别为棱，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 由正方体的性质可得，又，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，平面， 故直线与直线是异面直线或，故B错误； 对于C，由知点轨迹为以为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图所示， 由正方体棱长为得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为，故C错误. 对于D，因为平面，又， 所以点到平面的距离为定值，又为定值， 所以为定值，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由二倍角的余弦、正弦公式可判断AC选项，由二倍角的正切公式可求出的值，进而判断D选项，由两角和与差的正弦可判断B选项.A选项：由二倍角的余弦公式可知：，故A正确； B选项：，故B不正确； C选项：，故C正确； D选项：，解得：，又，所以，故D正确； 故选：ACD. 10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若a>b，则 B．c＝10，a＝12，∠A＝60°，则有唯一解 C．若a，b，c成等比数列，的取值范围为 D．若，则△ABC为锐角三角形 【答案】ABC 【解析】对于A：a>b可知A>B，由余弦函数单调性可知故A正确； 对于B，在中，c＝10，a＝12，，得，所以 △ABC有唯一解，故B正确； 对于C，∵a，b，c成等比数列，设，q>0，则b＝aq，， ∴，∴，∴，故C正确； 对于D，若，则，故，由正弦定理得：， 由余弦定理得，则，C为锐角，另外两个角不能确定为锐角还是钝角，故D错误； 故选：ABC 11．某市随机抽取了名市民进行交通法规知识问卷调查，问卷得分的频率分布直方图如图所示，问卷得分的分组区间是，，，，，根据图中信息，则（    ） A． B．平均得分为分（每组数据以该组区间的中点值为代表） C．若分为合格线，则合格的人数为 D．中位数的估计值超过分 【答案】ABD 【解析】对于A，由频率分布直方图可知，， 解得，A正确； 对于B，平均得分，B正确； 对于C，若分为合格线，则合格的频率为， 所以合格的人数为，C错误； 对于D，因为的频率为， 的频率为， 所以中位数在内，设中位数为， 则，解得，D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为______． 【答案】 【解析】根据平面图形的直观图还原为平行四边形如图所示，所以， 所以，所以， 所以四边形的周长为，四边形的面积为， 所以四边形周长与面积的数值之比为． 故答案为： 13．已知，则______． 【答案】 【解析】， 故答案为： 14．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】函数的周期为， 由，得， 即，解得， 在长为一个周期的区间上，取，得，当时，， 显然函数在上单调递减，在上单调递增， 由在上的值域为，则当时，， 故， 当时，，于是， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 【解析】（1）因为为的三等分点（靠近点），所以， 所以， 所以 . (6分) （2）因为，所以， 因为， 所以 ， 所以当时，取得最小值. (13分) 16．（15分） 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长. 【解析】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 依题意， 因为和分别为和的中点，得，则； 平面的法向量为，； 因为直线平面，所以平面. (4分) （2），，， 设为平面的法向量，则， (7分) 不妨设，可得； 设为平面的法向量，则， (9分) 不妨设，可得； 因此有， 平面与平面的夹角的余弦值为. (11分) （3）设，其中，则，从而， 又平面的法向量为， 设直线与平面夹角为，则： 整理得：，又，解得. (15分) 17．（15分） 已知函数，是的两个零点，且的最小值是． (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）由， 因为是的两个零点，且的最小值是， 即是的两个根，即的两个根， 可得函数的最小正周期为， 又因为，可得最小正周期，解得． (4分) （2）由（1）知， 因为，可得， 当，即时，取得最小值，； 当，即时，取得最大值，， 所以在上的值域为． (9分) （3）因为，设，，由（2）可知， 不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， (11分) 即不等式在上恒成立，即， 因为，当且仅当时，等号成立． 所以的取值范围是． (15分) 18．（17分） 甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响． (1)求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率； (2)求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率； (3)求在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率． 【解析】（1）记“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜为事件， 则， 即“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率为. (5分) （2）记事件表示在两轮活动中甲猜对个灯谜，其中，事件表示在两轮活动中乙猜对个灯谜，其中， 所以，， ， ，， (9分) ， 记事件表示“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜，则， 所以， 即“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率为; (13分) （3）记事件表示在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量，则， 所以， 即在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率为． (17分) 19．（17分） 定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”．记平面内所有向量的“伴生函数”构成的集合为． (1)已知，若函数，求函数的“源向量”的模的取值范围； (2)设中角所对的边为，向量的“伴生函数”为，且当时，取得最大值． ①若，设为的重心，求的最大值； ②设是外心，且，求实数的值． 【解析】（1）可化为， 由定义可得函数的“源向量”， 所以， 因为，所以，所以 所以， 所以函数的“源向量”的模的取值范围为； (4分) （2）向量的“伴生函数”， 设的外接圆半径为， 则，，， 所以， 所以， 当时，取得最大值，且， 所以，故， (6分) ①延长与边交于点，因为为的重心， 所以为的中点，且，，， 所以， 所以， 又，，，， 所以，(8分) 由余弦定理可得，因为，， 所以，即 由基本不等式可得，所以， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为；(11分) ②因为设是外心，所以， ，， 设，，则，， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，(13分) 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 又，因为， 所以.(17分) 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C C A A B C D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）因为为的三等分点（靠近点），所以， 所以， 所以 . (6分) （2）因为，所以， 因为， 所以 ， 所以当时，取得最小值. (13分) 16．（15分） 【解析】（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 依题意， 因为和分别为和的中点，得，则； 平面的法向量为，； 因为直线平面，所以平面. (4分) （2），，， 设为平面的法向量，则， (7分) 不妨设，可得； 设为平面的法向量，则， (9分) 不妨设，可得； 因此有， 平面与平面的夹角的余弦值为. (11分) （3）设，其中，则，从而， 又平面的法向量为， 设直线与平面夹角为，则： 整理得：，又，解得. (15分) 17．（15分） 【解析】（1）由， 因为是的两个零点，且的最小值是， 即是的两个根，即的两个根， 可得函数的最小正周期为， 又因为，可得最小正周期，解得． (4分) （2）由（1）知， 因为，可得， 当，即时，取得最小值，； 当，即时，取得最大值，， 所以在上的值域为． (9分) （3）因为，设，，由（2）可知， 不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， (11分) 即不等式在上恒成立，即， 因为，当且仅当时，等号成立． 所以的取值范围是． (15分) 18．（17分） 【解析】（1）记“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜为事件， 则， 即“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率为. (5分) （2）记事件表示在两轮活动中甲猜对个灯谜，其中，事件表示在两轮活动中乙猜对个灯谜，其中， 所以，， ， ，， (9分) ， 记事件表示“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜，则， 所以， 即“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率为; (13分) （3）记事件表示在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量，则， 所以， 即在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率为． (17分) 19．（17分） 【解析】（1）可化为， 由定义可得函数的“源向量”， 所以， 因为，所以，所以 所以， 所以函数的“源向量”的模的取值范围为； (4分) （2）向量的“伴生函数”， 设的外接圆半径为， 则，，， 所以， 所以， 当时，取得最大值，且， 所以，故， (6分) ①延长与边交于点，因为为的重心， 所以为的中点，且，，， 所以， 所以， 又，，，， 所以，(8分) 由余弦定理可得，因为，， 所以，即 由基本不等式可得，所以， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为；(11分) ②因为设是外心，所以， ，， 设，，则，， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，(13分) 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 又，因为， 所以.(17分) ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册第一章 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（     ） A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 2．复平面上点对应复数，将点绕原点顺时针旋转，再关于虚轴对称，所得点对应复数，则（     ） A． B．2 C． D．4 3．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 4．如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为（    ）.   A． B． C． D． 6．如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，、分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．已知为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 8．如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，为直线上一动点，则下列说法正确的是（     ） A．平面 B．直线与直线一定是异面直线 C．若，则点的轨迹长度为 D．三棱锥的体积是定值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若a>b，则 B．c＝10，a＝12，∠A＝60°，则有唯一解 C．若a，b，c成等比数列，的取值范围为 D．若，则△ABC为锐角三角形 11．某市随机抽取了名市民进行交通法规知识问卷调查，问卷得分的频率分布直方图如图所示，问卷得分的分组区间是，，，，，根据图中信息，则（    ） A． B．平均得分为分（每组数据以该组区间的中点值为代表） C．若分为合格线，则合格的人数为 D．中位数的估计值超过分 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为______． 13．已知，则______． 14．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 16．（15分） 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)设为棱上的点，若直线和平面的夹角的正弦值为，求线段的长. 17．（15分） 已知函数，是的两个零点，且的最小值是． (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 18．（17分） 甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响． (1)求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率； (2)求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率； (3)求在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率． 19．（17分） 定义：对于非零向量，若函数，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”．记平面内所有向量的“伴生函数”构成的集合为． (1)已知，若函数，求函数的“源向量”的模的取值范围； (2)设中角所对的边为，向量的“伴生函数”为，且当时，取得最大值． ①若，设为的重心，求的最大值； ②设是外心，且，求实数的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $