第15章 轴对称 单元测试 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 八年级数学上册轴对称单元测试卷，涵盖选择、填空、解答题，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，体现几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|轴对称图形识别（第1题）、等腰三角形性质（第2题）、垂直平分线（第3题）|生活情境（体育图标）、空间观念（坐标系对称，第4题）| |填空题|10/20|坐标对称（第9题）、折叠问题（第11题）、角平分线性质（第14题）|分类讨论（等腰三角形角度，第10题）、动态探究（动点周长最小，第17题）| |解答题|6/56|全等证明（第19题）、等边三角形（第20题）、尺规作图（第21题）|综合实践（问题解决，第23题）、创新应用（分角对补四边形，第24题）|

八年级数学上册轴对称单元测试卷（一） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.运用科学的体育与健康知识指导体育运动和生活实践，才能形成终身保持健康的能力．下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（     ） A．B． C． D． 2．如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 3．如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 第2题 第3题 第4题 4．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的斜边经过原点，连接．已知，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 第5题 第6题 第7题 第8题 6．如图，在折纸活动中，将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 8．我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分） 9.点关于x轴对称的点的坐标是________． 10．如果等腰三角形的一个角的度数为 ，那么其余的两个角的度数是______． 11．如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为______ 12．在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 第11题 第12题 第13题 13．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是_______． 14．如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 第14题 第17题 第18题 15．在中，，点在射线上，，连接，，则__度． 16．在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是________． 17．如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则______． 18．如图， 和 均是等边三角形， 、、在一条直线上，、分别与、交于点 、，有如下结论：① ；②；③④ ⑤．其中正确的结论是_______________(填序号) ． 三、解答题（本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分）如图，在和中，，连接，，的延长线与交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的度数； 20．如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G．(1)求的大小；(2)求证：是等边三角形． 21．如图，在中，．请利用尺规作图法求作一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 22．如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，，连结CD，BE．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由． 23．综合与实践 【问题发现】 (1)如图1，在与中，，，，，三点在同一直线上，，，则________； 【问题提出】 (2)如图2，在中，，，过点作，且，求的面积； 【问题解决】 (3)如图3，在四边形中，，的面积为12，的长为6，求的面积． 24．阅读与思考 在几何图形的世界中，存在着许多具有特殊性质的四边形，“分角对补四边形”就是其中一种，下面让我们一起走进对它的探究． 如图1，在四边形中，如果，，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知 在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得．这个性质是：______．（填序号） ①垂线段最短：②垂直平分线的性质：③角平分线的性质：④三角形内角和定理； (2)猜想论证 我们由特例出发，进一步思考一般情况．如图2，当α为任意角时，你能猜想出与的数量关系吗？请给出你的猜想并进行证明； (3)探究应用 数学知识的价值在于应用，我们可以利用前面探究得出的结论来解决实际问题．如图3，在等腰中，，平分．请直接写出线段之间的数量关系． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2．C 【分析】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 3．B 【分析】根据作图过程可知直线 是线段 的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得 ，进而得到 ，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后利用 求解即可． 【详解】由作图可知，直线 是线段 的垂直平分线， ， ， ， ， 在中，，， ， ． 4．A 【分析】由等腰三角形的性质得到，可证明，得到，则可证明，再根据点A的坐标即可得到答案． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵若点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 5．D 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，列方程求解即可． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， 解得． 6．C 【分析】如图，延长到点F，由平行线的性质求出，然后结合折叠的性质求解． 【详解】解：如图，延长到点F， ∵，， ∴， 由折叠得， ∵， ∴． 7．B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 8．D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 【详解】解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 9． 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特点， 关于x轴对称则横坐标不变，纵坐标为相反数即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 10．，或， 【分析】根据等腰三角形性质，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：①当时顶角时，其余两个角是底角且相等，则有：； ②当时底角时，则有：顶角； 故答案为：，或，． 【点睛】本题考查等腰三角形性质：两个底角相等，还考查了分类讨论的思想． 11． 【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12． 【分析】先根据中线定义求出长度，再过作构造含角的直角三角形，利用直角三角形性质求高，最后用三角形面积公式计算面积。 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， 过点作于， ∴， ∵，， ∴， ∴ 13．/18度 【分析】先根据作图方法得到CF是线段AD的垂线，则∠AFC=90°，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠BAC的度数，即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可知CF是线段AD的垂直， ∴∠AFC=90°， ∵∠B=54°，AB=AC， ∴∠ACB=∠B=54°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=72°， ∴∠ACF=90°-∠BAC=18°， 故答案为：18°． 【点睛】本题主要考查了线段垂线的尺规作图，等边对等角，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，熟知相关知识是解题的关键． 14．1 【分析】根据角平分线定义和平行线性质证得是等腰三角形，求出的长，过点作于点，求出，根据角平分线的性质得出点到的距离． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴,, ∴， 过点作于点， ∴， ∵平分，， ∴, 即点到的距离为1． 15．40 或60 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 根据题意分两种情况，当点D在射线上时，当点D在线段上时，作出图形，然后根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当点D在射线上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在射线上，且在点B之外， ∴，即， ∴， ∴； 当点D在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在线段上，且在点B之内， ∴， ∴； 故答案为：40 或60． 16．或 【分析】由题意可求出，故可分类讨论①当时和②当时，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵为直角三角形， ∴可分类讨论：①当时，如图1，    ∴； ②当时，如图2，    综上可知的度数是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答． 17．/度 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， 故答案为：． 18．①②④⑤ 【分析】①利用等边三角形的边、角性质，通过判定，证明结论①正确；②由等边三角形角度计算得与互补，根据同旁内角互补，两直线平行，证明，在证明后，由全等三角形对应边相等得到，据此判定结论②正确；③先通过证得，再用三角形外角性质推出，从而证，说明原结论错误；④在证得后直接判定结论④正确；⑤先由、判定为等边三角形，再根据等边三角形性质得到，判定结论⑤正确． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ， 在和中 ， ， ∴， ∴， 根据三角形外角性质得到，则， ∴， ∴，故③错误； ∵由②中， 可得， ， ∴， ∴，故④正确； ⑤，，， 因此是等边三角形，，⑤正确； 综上，正确结论为①②④⑤． 19．(1)证明：∵， ∴，即， ∵ ∴ 又∵ ∴ (2) 【分析】（1）根据已知条件得出，根据等角对等边可得，进而根据，即可证明； （2）根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据三角形内角和定理可得，进而根据平角的定义得出，最后根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 20．(1) (2) 证明：由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）略 21． 如图，点即为所求． 【分析】本题考查了尺规作图，作已知线段的垂直平分线，作已知直线的平行线，掌握尺规作图的步骤是解题的关键． 根据垂直平分线的判定定理可知点P在的垂直平分线上，先作出的垂直平分线，再过点C作，则两条直线的交点即为所求． 【详解】略 22．（1）；； （2）， 理由如下：设，． 在中，， ， ． ， 在中，， ． ． ． ． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出，． （2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含分别表示，，即可得到两角的关系． 【详解】（1），， ． 在中，， ， ， ， ． ． （2）略 【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于 ．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角． 23．(1) (2)18 (3)6 【分析】（1）证明，则，，由求得的长； （2）过作交延长线于点，证明，则，由求出面积； （3）过点作于点，过点作交的延长线于点，证明是等腰直角三角形，，则，由求出面积． 【详解】（1）解： ． 在和中，， ， ，， ． （2）解：如图1，过作交延长线于点． ，， ， ． 在和中，， ， ， ． （3）解：如图2，过点作于点，过点作交的延长线于点． 的面积为，的长为， ， ． ，， 是等腰直角三角形， ， ． ， ，， ． 在和中，， ， ， ． 24．(1)③ (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线上的点到该角两边的距离相等即可得到答案； （2）过点D作交延长线于点，于点，则，再证明，即可得到； （3）在上截取，连接，证明．则四边形为“分角对补四边形”．由（2）的结论得，再证明．得到，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵对角线平分， ∴（角平分线的性质）， 故答案为：③； （2）解：猜想，证明如下： 如图2中，过点D作交延长线于点，于点， 平分，，， ，，． ，， ． 又， ， ； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ，， ． 平分， ． ， ． ． ． 四边形为“分角对补四边形”． 由（2）的结论得， ， ． ． ． ． 学科网（北京）股份有限公司 $