16.1.1 同底数幂的乘法讲义2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦同底数幂的乘法法则这一核心知识点，通过知识回顾乘方的意义（含底数、指数、幂的概念及实例）搭建基础，经情境引入（超级计算机运算问题）引出课题，再通过法则探究（特殊到一般推理）得出公式，结合分层例题（直接应用、负数/多项式底数等）和练习形成完整学习支架。 该资料以情境问题激发兴趣，通过“算一算找规律”“猜想证明”培养推理意识（数学思维），例题涵盖多项式、负数底数等培养符号意识（数学语言）。课中助力教师系统授课，课后练习及易错辨析帮助学生巩固，有效查漏补缺。

人教版八年级上册 · 16.1.1 同底数幂的乘法 · 讲义 16.1.1 同底数幂的乘法讲义 学习目标 本节课我们要掌握： ① 理解幂、底数、指数的概念，能准确识别同底数幂； ② 理解并掌握同底数幂的乘法法则； ③ 能熟练运用法则进行计算（含负数底数、多项式底数等）； ④ 经历从特殊到一般的探索过程，体会归纳推理的思想方法。 知识回顾：乘方的意义 1. 乘方的定义 求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。 2. 幂的结构 aⁿ 读作 "a 的 n 次幂" 或 "a 的 n 次方" 其中 a 叫做底数，n 叫做指数 aⁿ 表示 n 个 a 相乘：aⁿ = a·a·…·a（共 n 个 a） 3. 举例 • 2³ 表示 3 个 2 相乘：2³ = 2×2×2 = 8 • (-3)² 表示 2 个 -3 相乘：(-3)² = (-3)×(-3) = 9 • a⁴ 表示 4 个 a 相乘：a⁴ = a·a·a·a 新课引入 情境问题： "神威·太湖之光"超级计算机的峰值运算性能高达 1017次/秒，它工作 10³ 秒可进行多少次运算？ 列式：1017 × 10³ 观察发现：10¹⁷ 和 10³ 的底数相同，都是 10。这种运算就叫做同底数幂的乘法。 法则探究 【活动一】算一算，找规律 ① 2² × 2³ = (2×2) × (2×2×2) = 2⁵ ② a³ · a² = (a·a·a) × (a·a) = a⁵ ③ 5ᵐ × 5ⁿ = (m个5) × (n个5) = 5m+n （m、n 为正整数） 【活动二】猜想与证明 猜想：aᵐ · aⁿ = am+n （m、n 为正整数） 证明： aᵐ · aⁿ = (a·a·…·a) · (a·a·…·a) m个a n个a = a·a·…·a (m+n)个a = am+n ✅ 同底数幂的乘法法则 aᵐ · aⁿ = am+n （m、n 都是正整数） 文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 推广： 三个或三个以上同底数幂相乘，法则仍然成立。 aᵐ · aⁿ · aᵖ = am+n+p （m、n、p 都是正整数） ⚠️ 使用法则的三个注意点 ① 法则只适用于「同底数幂」相乘，底数必须相同！ ② 运算时底数不变，指数「相加」而不是「相乘」。 ③ 单个字母或数字可看作指数为 1 的幂，如 a = a¹，2 = 2¹。 📝 例题精讲 📝 类型一：直接应用法则 【例1】计算： （1）10⁵ × 10⁶ （2）b² × b³ 【解】 （1）10⁵ × 10⁶ = 105+6= 1011 （2）b² × b³ = b2+3 = b⁵ 📝 类型二：底数为负数的同底数幂相乘 【例2】计算：(-3)² × (-3)³ 【解】(-3)² × (-3)³ = (-3)²⁺³ = (-3)⁵ = -243 ⚠️ 注意：底数是 -3，不是 3！要把整个 (-3) 看作一个整体。 📝 类型三：底数为多项式的同底数幂相乘 【例3】计算：(x+y)³ × (x+y)⁴ 【解】把 (x+y) 看作一个整体（即底数），则： (x+y)³ × (x+y)⁴ = (x+y)3+4 = (x+y)⁷ 💡 提示：底数 a 不仅可以是数、字母，还可以是多项式！ 📝 类型四：三个或三个以上同底数幂相乘 【例4】计算：a² × a³ × a⁴ 【解】a² × a³ × a⁴ = a²⁺³⁺⁴ = a⁹ 【例5】计算：(-2) × (-2)⁴ × (-2)³ 【解】(-2)¹ × (-2)⁴ × (-2)³ = (-2)¹⁺⁴⁺³ = (-2)⁸ = 256 📝 类型五：底数互为相反数（易错！） 【例6】计算：x⁴ · (-x)⁵ + (-x)⁴ · x⁵ 【解】x⁴ · (-x)⁵ + (-x)⁴ · x⁵ = x⁴ · (-x⁵) + x⁴ · x⁵ = -x⁹ + x⁹ = 0 💡 关键：(-x)⁵ = -x⁵（奇次幂符号变），(-x)⁴ = x⁴（偶次幂符号不变） ✏️ 课堂练习 一、基础练习（直接写出结果） 题号 题目 答案 1 x² · x⁵ = ? x⁷ 2 a · a⁶ = ? a⁷ 3 10⁴ × 10 = ? 10⁵ 4 (-b)³ · (-b)² = ? -b⁵ 5 2² × 2³ × 2 = ? 2⁶ 6 yⁿ · yⁿ⁺¹ = ? y²ⁿ⁺¹ 二、进阶练习（写出计算过程） 题号 题目 答案 7 (-3)² × (-3)⁴ (-3)⁶ = 729 8 (a+b)⁴ · (a+b)⁷ (a+b)¹¹ 9 (m-n)³ · (m-n)⁵ · (m-n)⁷ (m-n)¹⁵ 10 xᵐ · x3m+1 X4m+1 11 (-a) · (-a)² · (-a)³ （-a）6 12 (2a+b)²ⁿ⁺¹ · (2a+b)³ · (2a+b)n-4 (2a+b)³ⁿ 三、易错辨析（判断正误，对的打 ✓，错的打 ✗ 并改正） 题号 题目 答案 13 a³ + a² = a⁵ ✗，不能合并 14 a³ · a² = a⁶ ✗，应为 a⁵ 15 x⁵ · x⁵ = x¹⁰ ✓ 16 c · c³ = c³ ✗，应为 c⁴ 17 (-2)³ · (-2)⁴ = (-2)⁷ ✓ 18 b⁴ · b⁴ = 2b⁴ ✗，应为 b⁸ 🌟 拓展提升 📝 逆用法则 【例7】已知 xᵃ = 5，xᵇ = 7，求 xa+b的值。 【解】xa+b = xᵃ · xᵇ = 5 × 7 = 35 💡 法则可以逆用：am+n = aᵐ · aⁿ 📝 底数转化 【例8】计算：(y-x)² · (y-x)⁵ 【解】(y-x)² · (y-x)⁵ = (y-x)2+5= (y-x)⁷ 【变式】计算：(x-2y)² · (2y-x)³ 【解】原式 = (x-2y)² · [-(x-2y)³] = -(x-2y)⁵ 或：原式 = (2y-x)² · (2y-x)³ = (2y-x)⁵ 💡 当底数为相反数时，先统一底数（提负号），再用法则。 课堂小结 本节课核心知识点 1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式：aᵐ · aⁿ = am+n（m、n 为正整数） 2. 推广：aᵐ · aⁿ · aᵖ = am+n+p 3. 底数 a 可以是数、字母、单项式或多项式。 4. 单个字母/数字的指数是 1（如 a = a¹，5 = 5¹）。 5. 法则可正用也可逆用：aᵐ⁺ⁿ = aᵐ · aⁿ。 ⚠️ 常见错误： ✗ 指数相加误写成相乘：a³ · a² ≠ a⁶ ✗ 与合并同类项混淆：a³ + a² ≠ a⁵ ✗ 忽略指数为 1：a · a⁶ ≠ a⁶ 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $