精品解析：重庆市渝北中学校2024-2025学年高一下学期期中质量监测数学试题

重庆市渝北中学校2024-2025学年高一下学期期中质量监测数学试题 （全卷共四大题19小题，总分150分，考试时长120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号、班级等填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A. 1 B. 0 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】由向量线性运算及数量积的坐标表示可解. 【详解】， . 故选：A. 2. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线、面之间的位置关系逐项分析即可. 【详解】选项A：若，则或与相交，故A选项不正确； 选项B：若，根据面面垂直的判定，则，故B选项正确； 选项C：若，则或与相交且不垂直或两平面平行，故C选项不正确； 选项D：若，则或，故D选项不正确； 故选：B. 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对左右两边同时平方，化简代入数值即可求得. 【详解】因为， 化简得：，解得：. 故选：C. 4. 在中，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 3或5 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理:, 代入已知条件，即， 化简得， 解一元二次方程：， 解得：或（舍去）， 所以. 故选：C. 5. 在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，又，则就是异面直线与BD所成角或其补角，利用余弦定理推理求余弦值即可. 【详解】 如图，因为和与底面所成的角分别为和， 所以，又， 则， ， 在长方体中，， 所以就是异面直线与BD所成角或其补角， 又， 由余弦定理，. 故选：B. 6. 渝北中学大力传承和弘扬“红岩·莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活动.某同学为测量王朴母子雕像的高度AB（雕像的底端视为点，雕像的顶端视为点），在地面选取了两点C，D（其中四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点A，B的仰角分别为，测得，则按此法测得的王朴母子雕像AB的高为（ ） A. 34m B. 35m C. 36m D. 37m 【答案】C 【解析】 【分析】设直线与交于点E，分别用表示出，利用解出，再解出，最后求出雕像高即可. 【详解】如图，设直线CD与AB交于点E，则， 由题意得， 又，且， 代入解得，从而， 进而， 则雕像高米，故C正确. 故选：C 7. 在中，角所对的边为，若，则BD长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理结合条件可得，结合图形推得，再利用向量数量积的运算律求模长即可. 【详解】由，可得，由余弦定理，， 由， 因，则， 所以. 故选：C. 8. 已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意条件可知，，取的中点，连接，则⊥，，，，由极化恒等式得到，进而求出的最小值，得到答案. 【详解】因为分别表示与方向上的单位向量， 所以表示的平分线上的共线向量， 又，即与垂直， 由三线合一可知，， 如图，取的中点，连接，则⊥， 又，其中， 所以，，故， 由于，，两式平方相减可得 ， 当⊥时，取得最小值， 其中由勾股定理得， 故， 故的最小值为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角的对边分别为.若，则的大小可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据余弦定理及二倍角正弦公式化简已知得，然后分和两种情况，根据角的范围求解即可. 【详解】由余弦定理及得， 所以，当时，，显然满足题意； 当时即，由得， 又，所以或. 故选：BCD 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则实数的值为 C. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用向量共线的坐标公式解方程即得；对于C，利用向量数量积的意义与向量共线的坐标公式列不等式求解即得；对于D，利用向量投影的计算公式即得. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因，则， ，由可得，解得，故B正确； 对于C，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故C错误； 对于D，因，在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱CD上，且，平面平面ABCD，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面PBM C. 存在某个位置，使平面PAM与平面PBC的交线与底面ABCD平行 D. 若，则直线CM与平面PAM所成角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质可得面平面，即可求解判断AB；根据线面平行的性质即可求解可判断C，直线与平面所成的角为，求解可判断D. 【详解】对于A，平面平面， 平面平面平面平面， 又平面，故A正确； 对于B，由A知平面，又平面平面平面，故B正确； 对于C，设平面平面，假设底面， 平面平面，平面平面， ，则与重合，则， 显然不成立，则假设不成立，故C错误； 对于D，由A知平面，在矩形中，， 直线与平面所成的角为，在中， ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量不共线，若与共线，则实数的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理以及基本定理可构造方程组求得结果. 【详解】由题意，设，， 则有，解得. 故答案为：. 13. 在中，内角所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式求出，再利用正弦定理求出外接圆半径，最后求出面积即可. 【详解】在中，，则， 由题意得， 则由正弦定理得， 由两角和的正弦公式得， 由诱导公式得，即， 设外接圆的半径为，且， 由正弦定理得，解得， 由圆的面积公式得外接圆面积为. 故答案为： 14. 正方体的棱长为2，点为底面ABCD的中心，点在侧面的边界及其内部运动，若，则线段长度的最小值为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】作出辅助线，得到线面垂直，故当点在线段上时，平面，可得⊥，当⊥时，取得最小值，并由勾股定理求出各边长，求出答案. 【详解】连接，因为点为底面ABCD的中心， 所以⊥， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 正方体的棱长为2，故， 由勾股定理得，， 故在上取中点，连接，其中， 此时，又， 所以∽，故， 所以， 故⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故当点在线段上时，平面，可得⊥， 当⊥时，取得最小值， 由勾股定理得， 其中， 又， 故，故，即， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面四边形ABCD中，. （1）求； （2）若，求AB. 【答案】（1）； （2）5. 【解析】 【分析】（1）法1：应用正弦定理得，结合边角关系及平方关系求；法2：应用余弦定理求边长； （2）应用余弦定理求边长. 【小问1详解】 法1：在中，由正弦定理得，可得. 又因，所以，即为锐角，所以. 法2：在中，，即，解得（负值舍）， 所以， 【小问2详解】 在，由（1）得， ， 所以 16. 已知点，O为坐标原点，为轴上一动点. （1），求点的坐标； （2）当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设点，由向量垂直的充要条件列方程，求出的值，即得点坐标； （2）由的表达式中，利用二次函数的性质，求出其最小值即此时的的值，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【小问1详解】 根据题意，设点，又，得， 由，即，解得或， 的坐标为或； 【小问2详解】 由（1）可得：， 当时，取得最小值，此时，， 设与夹角为，则此时. 17. 如图，在三棱柱中，底面分别为的中点，求证： （1）平面； （2）平面. 【答案】（1） 连接交于，连， 在三棱柱中，矩形中，，则， 因为分别为的中点，所以且， 因为为中点，所以且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面. （2） 因为底面，平面，所以， 因为∥，所以 因为，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 因为平面，所以， 因为在矩形中，为的中点， 所以， 因为底面，平面，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以，所以， 所以， 因为平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连，可证得四边形为平行四边形，则，从而利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由已知可得平面，则，再证得，从而利用线面垂直的判定定理可证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，正方体中，为的中点. （1）若点F满足，求证：四点共面； （2）求直线AB与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：连接，由，知，且， 因为为的中点，所以， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为,，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，故四点共面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则可得四边形为平行四边形，再结合正方体的性质可得，从而可证得结论； （2）延长交与，连接，过作交与，连接，过作与，连接，则与面所成角就是与面所成角，可得就是与面所成角，在Rt中求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长交与，连接，则与面所成角就是与面所成角. 过作交与，连接，过作与，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面 所以就是与面所成角. 令，由，得， 在Rt中，由等面积法可求得， 同理在Rt中，， 在Rt中，， 故直线平面所成角的正弦值为. 【点睛】 19. 在锐角中，内角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）求的取值范围； （3）当时，角的平分线交于，求长度的最大值. 【答案】（1）; （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再利用余弦定理，求得，进而求得的大小； （2）由正弦定理结合三角恒等变换，可得，根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的性质，即可求解； （3）由三角形面积公式，求得，由变形可得，令，则，利用正弦定理结合三角函数性质可求得，进而利用函数单调性求得长度的最大值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，可得，整理得， 又由余弦定理，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，所以， 由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，且，则，解得， 则，可得，则， 所以，即. 【小问3详解】 如图，由， 可得① 因为，所以， 所以①式：，可得， 由（1）可得， 则，即 ， 所以， 令，则， 因为 ， 由（2）可知，，则， 所以， 因为在上单调递增， 所以时，为最大值， 所以长度的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市渝北中学校2024-2025学年高一下学期期中质量监测数学试题 （全卷共四大题19小题，总分150分，考试时长120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号、班级等填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A. 1 B. 0 C. -1 D. -2 2. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 3或5 5. 在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 渝北中学大力传承和弘扬“红岩·莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活动.某同学为测量王朴母子雕像的高度AB（雕像的底端视为点，雕像的顶端视为点），在地面选取了两点C，D（其中四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点A，B的仰角分别为，测得，则按此法测得的王朴母子雕像AB的高为（ ） A. 34m B. 35m C. 36m D. 37m 7. 在中，角所对的边为，若，则BD长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零向量与满足，且，点是的边AB上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角的对边分别为.若，则的大小可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则实数的值为 C. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 D. 在上的投影向量的坐标为 11. 如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱CD上，且，平面平面ABCD，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面PBM C. 存在某个位置，使平面PAM与平面PBC的交线与底面ABCD平行 D. 若，则直线CM与平面PAM所成角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量不共线，若与共线，则实数的值为____________. 13. 在中，内角所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为____________. 14. 正方体的棱长为2，点为底面ABCD的中心，点在侧面的边界及其内部运动，若，则线段长度的最小值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面四边形ABCD中，. （1）求； （2）若，求AB. 16. 已知点，O为坐标原点，为轴上一动点. （1），求点的坐标； （2）当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值. 17. 如图，在三棱柱中，底面分别为的中点，求证： （1）平面； （2）平面. 18. 如图，正方体中，为的中点. （1）若点F满足，求证：四点共面； （2）求直线AB与平面所成角的正弦值. 19. 在锐角中，内角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）求的取值范围； （3）当时，角的平分线交于，求长度的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $