精品解析：重庆市第七中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

重庆市第七中学校2025—2026学年度下期 高2028届半期考试数学试题 （考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定的位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题卡区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算，可得解 【详解】由题意，． 故选：B 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由余弦定理可得：， 代入数据得：，即，解得. ∵ 为三角形内角，即， ∴ . 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则，是异面直线 D. 若，是异面直线，，，，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或， 又，所以与可能平行也可能相交于，故B错误； 对于C，分别位于两个不同平面内的直线，可能平行、相交或异面，故C错误； 对于D，由，若相交，记， 则由线面平行的性质定理知，； 同理，由，知； 所以，与“，是异面直线”矛盾， 所以若不相交，即， 故D正确. 4. 在复平面内，复数，对应的点关于虚轴对称，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由复数对应的点关于虚轴对称，且，得， 所以. 5. 在一座高的观测台顶测得对面一座水塔塔顶的仰角为，塔底的俯角为，则该水塔的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出示意图，结合锐角三角函数的定义求解即可. 【详解】如图所示，，，， 易知，所以是等腰直角三角形，所以， ，故， 因此塔高为. 6. 如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行、线面垂直的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，连接，由于是的中点，是的中点， 所以，而， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面， 所以平面，所以A选项正确. 由A选项的分析可知，而平面， 所以与平面相交，所以C选项错误. 由于与的夹角为，所以与平面不垂直，D选项错误. 设正方体的边长为，则，不满足勾股定理， 所以与不垂直，而平面，所以与平面不垂直， 所以B选项错误. 故选：A 7. 为平面内的定点，单位向量与的夹角为，且，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知单位向量求，结合已知条件构造关于的方程，采用换元法，对等式进行变形求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】已知单位向量与的夹角为，故， 已知，， 则， 即， 令，则，， 配方得，即， 故，当且仅当时等号成立，且时，， 此时的最大值为． 8. 四棱锥的底面为正方形，且平面，若，为的中点，，平面，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接建立空间直角坐标系，再由共面，进而可得共面，由平面向量基本定理可得. 【详解】因为底面，底面为正方形，设，以为原点，分别为轴， 得各点坐标： ，是中点，得. 由，所以，，. 设，由，所以，， 所以. 因为平面，所以共面，因此共面，且不共线， 由平面向量基本定理，设，则， 所以，解得. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在复平面内，复数，为虚数单位，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若是的共轭复数，则 C. 对应的点位于第一象限 D. 和是方程的两个根 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A，，所以A正确； 选项B，由共轭复数的定义知，，所以B正确； 选项C，复数对应复平面的点坐标为，位于第四象限，所以C错误； 选项D，方程的根为， 所以和是方程的两个根，所以D正确. 10. 如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，，将四边形以为旋转轴，旋转一周得到几何体，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 几何体是圆台 C. 几何体的体积为 D. 几何体的侧面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用斜二测直观图的性质还原直观图，结合已知条件计算，判断选项A；根据圆台的性质判断选项B；根据圆台的体积和侧面积公式计算判断选项C、D． 【详解】已知斜二测直观图中，，，， 还原直观图，则有， 则，故A错误； 几何体是下底面半径为，上底面半径为，高为的圆台，故B正确； 由圆台体积公式，故C正确； 母线长， 侧面积，故D错误． 11. 在中，已知，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最小值为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，由条件可得，再由正弦定理及同角三角函数关系式可判断A；由两角差的正切公式可得B；对CD由平面向量的数量积坐标运算可得. 【详解】如图： 以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系： 设，，则 ，，， . ， 由，所以， 即，解得. A，由正弦定理，且，得. 因为， 所以， 因此，，得. 由同角三角函数关系得，故A错误； B，再由，故B正确； C，由得，则， 对平方得： ， ， 当且仅当时等号成立，因此C正确； D，若​，则​， 得坐标：， 因此 ，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则的虚部为________． 【答案】 【解析】 【详解】设复数，其中，，所以，解得. 13. 已知某圆锥的底面周长为，体积为，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为. ∵ 圆锥底面周长为， ∴ ，解得. ∵ 圆锥体积为， ∴ ，解得. 由圆锥的几何特征可得母线长， ∴ 圆锥的侧面积. 14. 中，角、、的对边分别为、、，已知，，则________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由正弦边角关系、三角形内角的性质、和角正弦公式，将已知条件化为，进而得到，最后利用正弦边角关系、三角恒等变换求目标式的值. 【详解】因为，由正弦定理得， 由 ，， 所以 ， 所以， 因为，所以 所以，解得或， 因为，所以，故； 由正弦定理，原式化为 由，得，， , 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）若，求． （2）若在方向上的投影向量为，求． 【答案】（1）6 （2）1 【解析】 【分析】本题考查向量垂直的充要条件、投影向量的计算公式，结合向量的坐标运算求解未知参数 【小问1详解】 先计算的坐标： ， 则， 由向量垂直的性质，两向量垂直则数量积为0， 可得  化简得，解得； 【小问2详解】 根据投影向量公式，在方向上的投影向量为， 先计算，， 结合题意得，解得，即 16. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．点在线段上． （1）求异面直线与所成的角的大小． （2）求三棱锥的体积． （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可证或其补角为异面直线所成的角，结合正方形可求该角； （2）根据体积公式可求三棱锥的体积； （3）将和矩形展平到同一平面后结合余弦定理可求最小值. 【小问1详解】 连接，由正方体可得， 故四边形为平行四边形，故， 而分别为的中点，故， 故或其补角为异面直线所有成的角， 由正方形可得，故异面直线所成的角为. 【小问2详解】 到平面的距离为， 故. 【小问3详解】 将和矩形展平到同一平面，如图， 则， 而 ， 故，故的最小值为. 17. 在中，角、、的对边分别为、、，满足，． （1）求及边的值． （2）若的面积为，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系得到，利用正弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式得到，再利用余弦定理得到即可. 【小问1详解】 在中，， 因为，所以由同角三角函数的基本关系得， 由正弦定理得，可得， 又，则，解得. 【小问2详解】 因为的面积为， 由（1）知，， 所以， 解得，已知， 由余弦定理得，解得. 18. 如图，在三棱锥中，，，，点，分别是棱，上的动点（不含端点）． （1）若平面． （ⅰ）求的长度． （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． （2）若为的中点，且平面，求三棱锥的内切球的表面积． 【答案】（1）①；②； （2）. 【解析】 【分析】（1）①由平面，得到，且，再由，在直角中，即可求解； ②根据面面垂直判定定理证明平面平面，过点作，结合线面角定义可得为直线与平面所成角，解三角形求其正弦值； （2）根据线面平行性质定理可得，求三棱锥的体积，结合三棱锥内切球性质求内切球半径，再由球的表面积公式求结论. 【小问1详解】 解：①由平面，因为平面，可得， 又因为，且，所以， 因为平面，可得， 又因为且，所以，且. ②因为平面，平面， 所以平面平面， 在平面内过点作，垂足为， 又平面平面，所以平面， 又平面，所以，且为三棱锥底面上的高， 在中，由，可得， 在中，由，可得， 在中，因为，，， 所以边上的高为，所以的面积为， 所以，故， 在中，由余弦定理得， 即， 因为平面，所以为直线与平面所成角， 设与平面所成的角为，则. 【小问2详解】 由平面，平面平面，根据线面平行性质得， 因为是中点，故， 得， 结合， 可得， 所以三棱锥为正四面体， 设点在底面上的投影为，则为的中心， 所以，， 又的面积， 所以三棱锥的体积， 三棱锥的表面积为， 设三棱锥的内切球半径为， 则，所以， 内切球表面积. 19. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求． （2）若，且，求． （3）若为锐角三角形，且边上的高，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可求. （2）根据正弦定理结合（1）结合可判断为等边三角形，再根据数量积可求； （3）设边上的高为，结合两角差的正切可求的范围，从而可求面积的范围. 【小问1详解】 因为，结合正弦定理可得， 而为三角形内角，故，故， 因为三角形内角，故，故，故. 【小问2详解】 因为，结合正弦定理得， 故，而为三角形内角，故， 故即为等边三角形. 因为，故， 故，故即. 【小问3详解】 设边上的高为，则， 因为锐角三角形，故在上（不含端点）， 设，则，其中， 故， 故 设， 因为在上为减函数，在为增函数， 故，故， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第七中学校2025—2026学年度下期 高2028届半期考试数学试题 （考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定的位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题卡区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则，是异面直线 D. 若，是异面直线，，，，，则 4. 在复平面内，复数，对应的点关于虚轴对称，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在一座高的观测台顶测得对面一座水塔塔顶的仰角为，塔底的俯角为，则该水塔的高度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 7. 为平面内的定点，单位向量与的夹角为，且，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 四棱锥的底面为正方形，且平面，若，为的中点，，平面，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在复平面内，复数，为虚数单位，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 若是的共轭复数，则 C. 对应的点位于第一象限 D. 和是方程的两个根 10. 如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，，将四边形以为旋转轴，旋转一周得到几何体，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 几何体是圆台 C. 几何体的体积为 D. 几何体的侧面积为 11. 在中，已知，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最小值为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则的虚部为________． 13. 已知某圆锥的底面周长为，体积为，则该圆锥的侧面积为________． 14. 中，角、、的对边分别为、、，已知，，则________；________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）若，求． （2）若在方向上的投影向量为，求． 16. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．点在线段上． （1）求异面直线与所成的角的大小． （2）求三棱锥的体积． （3）求的最小值． 17. 在中，角、、的对边分别为、、，满足，． （1）求及边的值． （2）若的面积为，求． 18. 如图，在三棱锥中，，，，点，分别是棱，上的动点（不含端点）． （1）若平面． （ⅰ）求的长度． （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． （2）若为的中点，且平面，求三棱锥的内切球的表面积． 19. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求． （2）若，且，求． （3）若为锐角三角形，且边上的高，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $