3.1.1椭圆及其标准方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰（A级基础/B级提升），知识覆盖从椭圆定义、标准方程到综合应用，通过基础巩固与能力提升双路径，培养数学抽象、逻辑推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|椭圆定义、标准方程、焦点位置、焦距计算|选择/填空/解答结合，如过点求焦距（第1题）、焦点位置参数范围（第3题），夯实概念与运算| |B级|椭圆与圆综合、焦点三角形、轨迹问题|多选与解答题，如动圆圆心轨迹（第10题）、焦点三角形面积求参数（第13题），提升逻辑推理与模型应用|

3.1.1　椭圆及其标准方程 A级 必备知识基础练 1.(2026北京西城期中)已知椭圆=1过点(,1),则该椭圆的焦距为(　　) A.2 B.2 C.4 D.2 2.方程=10化简的结果是(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 3.(2026湖北武汉期中)若方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是(　　) A.[3,5) B.(1,5) C.(1,3) D.(3,5) 4.(多选题)已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2.若|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,则椭圆C的标准方程可以是(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 5.P是椭圆=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1||PF2|=12,则∠F1PF2的大小为(　　) A.60° B.30° C.120° D.150° 6.中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆满足下列两个条件:①椭圆的一个焦点坐标为(0,2);②椭圆经过点(-,-),则椭圆的标准方程为　　　　　　　　.  7.过点(,-),且与椭圆=1有相同的焦点的椭圆的标准方程为　　　　　　　. 8.(2026江苏苏州期中)求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点坐标分别是F1(-2,0),F2(2,0),并且经过点(,-); (2)经过两点P1(,1),P2(-,-). 9.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点. (1)若焦距为4,点P的坐标为(-3,1),求椭圆C的标准方程; (2)若∠F1PF2=,且△F1PF2的面积为,求b的值. B级 关键能力提升练 10.(多选题)过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切,则圆心C的轨迹可以是(　　) A.圆 B.椭圆 C.线段 D.射线 11.如图,已知F(-5,0)为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 12.已知P为椭圆=1上一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　) A.5 B.7 C.13 D.15 13.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b=　　　.  14.动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为(0,). (1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E; (2)若轨迹E上的两点P,Q满足=5,求|PQ|的值. 参考答案 1.C　由椭圆=1过点(,1),得=1,解得m2=2,故椭圆的方程为=1,设椭圆的半焦距为c,则c2=6-2=4,则c=2,所以该椭圆的焦距为2c=4.故选C. 2.D　∵方程=10表示平面内到定点F1(0,-2),F2(0,2)的距离的和是常数10(10>4)的点的轨迹,∴轨迹是以F1,F2为焦点,长轴2a=10,焦距2c=4的椭圆,∴a=5,c=2,b=.∴椭圆的方程是=1,即为化简的结果. 3.D　依题意,有m-1>5-m>0,解得3<m<5,所以m的取值范围是(3,5).故选D. 4.BC　由已知2c=|F1F2|=2,所以c=.因为2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,所以a=2.所以b2=a2-c2=9.故椭圆C的标准方程是=1或=1.故选BC. 5.A　由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=2,∴(|PF1|+|PF2|)2=64. ∵|PF1|·|PF2|=12,∴|PF1|2+|PF2|2=40. 在△F1PF2中,cos∠F1PF2=, ∵0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=60°. 6.=1　由条件①可得椭圆的焦点在y轴上,且c=2,所以a2-b2=12, ○ⅰ 则可设椭圆的方程为=1,代入点(-,-)的坐标,得=1. ○ⅱ 由○ⅰ○ⅱ可得a2=20,b2=8, 所以椭圆的方程为=1. 7.=1　椭圆=1的焦点为(0,±4), 设椭圆方程为=1(a>b>0),则有a2-b2=16, ① 再代入点(,-),得=1, ② 由①②解得a2=20,b2=4. 则所求椭圆方程为=1. 8.解(1)设椭圆的标准方程为=1(a>b>0),则c==2, ① 将点(,-)的坐标代入椭圆的标准方程得=1, ② 联立①②解得a2=10,b2=6, 所以椭圆的标准方程为=1. (2)设椭圆的标准方程为=1(m>0,n>0,m≠n),则解得 所以椭圆的标准方程为=1. 9.解(1)已知|F1F2|=4,所以2c=4,即c=2. 由于点P(-3,1)在椭圆上,将其坐标代入椭圆方程=1(a>b>0),可得=1,即=1. 又因为c2=a2-b2,所以a2-b2=8. 联立整理得b4-2b2-8=0, 解得b2=4或b2=-2(舍去). 所以a2=b2+c2=4+8=12, 故椭圆C的标准方程为=1. (2)因为∠F1PF2=,所以△F1PF2的面积S=|PF1||PF2|sin,则|PF1||PF2|=2. 根据椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a. 根据余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos,整理得|F1F2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1||PF2|cos, 代入得4c2=4a2-6,即a2-c2=b2=,得b=. 10.AB　如图,设已知圆的圆心为A,半径为R,圆内的定点为B,动圆的半径为r. 若点A与点B不重合,由于两圆内切,则|AC|=R-r,由于r=|BC|,∴|AC|=R-|BC|,即|CA|+|CB|=R.∴动点C到两个定点A,B的距离之和为常数R.∵B为圆内的定点, ∴|AB|<R.∴动点C的轨迹为椭圆. 若A,B重合为一点,则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆. 11.C　由题意可得c=5,如图,设右焦点为F',连接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF', ∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF'. 在Rt△PFF'中,由勾股定理, 得|PF'|==8, 由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14, 从而a=7,a2=49,于是b2=a2-c2=49-52=24,∴椭圆C的方程为=1. 12.B　由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7. 13.3　由题意得,|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,|PF1||PF2|=9, ∴(|PF1|+|PF2|)2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2,∴36=4(a2-c2)=4b2,∴b=3. 14.解 (1)如图,设动圆C的半径为R. 由题意得,定圆C1的半径为4,定圆C2的半径为2, 则|CC1|=4-R, ① |CC2|=2+R, ② ①+②,得|CC1|+|CC2|=6>6=|C1C2|. 解得x=2,由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1,C2为焦点,2a为6的椭圆的一部分(在C1的内部,C2的外部),其轨迹方程为=1(x<2). (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=(x1,y1-),=(x2,y2-).由=5可得,(x1,y1-)=5(x2,y2-),所以x1=5x2,y1=5y2-×5+=5y2-18,由P,Q是轨迹E上的两点, 得解得所以x1=0,y1=-3.所以P(0,-3),Q(0,3),|PQ|=6. 6 学科网（北京）股份有限公司 $