3.1.1 椭圆及其标准方程（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练通过A、B、C组及高考拓展分层设计，以椭圆定义、方程求解、轨迹问题为主线，实现从概念辨析到综合应用的梯度巩固，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|椭圆定义、a/b/c关系、方程求解等11个基础知识点|以选择填空为主，如定义辨析题（第1-4题）、方程计算题（第5-16题），强化概念理解与基本运算| |B组能力进阶|焦点三角形、距离最值等综合应用|含解答题（如第26题焦点三角形面积计算），提升知识迁移与问题分析能力| |C组思维拔高|轨迹方程综合问题|结合几何情境（如第33-36题动圆轨迹），培养逻辑推理与创新思维| |拓展链接高考|高考真题与模拟题|如2024新课标Ⅱ卷轨迹题，对接高考考点，渗透应用意识|

分层作业 3.1.1椭圆及其标准方程 目 录 A组 巩固过关 知识点01 椭圆定义及辨析 知识点02 由a,b,c的关系求椭圆方程 知识点03 根据定义求椭圆方程 知识点04 待定系数法求椭圆方程 知识点05 由椭圆的方程求a,b,c 知识点06 根据方程表示椭圆求参数的范围 知识点07 椭圆的焦点三角形 知识点08 椭圆上的点到焦点和定点的距离的和、差的最值问题 知识点09 定义法求点的轨迹方程（椭圆） 知识点10 直接法求点的轨迹方程（椭圆） 知识点11 转移代入法求点的轨迹方程（椭圆） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 椭圆定义及辨析知识点01 知识点速记： 把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 其数学表达式：集合，，其中，，且，为常数： （1）若，则集合为椭圆； （2）若，则集合为线段； （3）若，则集合为空集． 题型巩固练： 1．（2026·广东广州·模拟预测）若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知两定点，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 3．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）方程表示的曲线为（   ） A．线段 B．椭圆 C．双曲线 D．不表示任何图形 4．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的椭圆上，若，则（   ） A．3 B．13 C．5 D．7 由a,b,c的关系求椭圆的标准方程知识点02 知识点速记： 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形       焦点 与 与 a，b，c的关系 【注】求椭圆方程时注意椭圆的焦点位置，若不确定，则两种形式都要写。 题型巩固练： 5．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·山东济南·期中）若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 根据定义求椭圆的标准方程知识点03 知识点速记： 由椭圆的定义求椭圆的方程，关键是利用椭圆的定义求出，结合已知及求出，写出椭圆的标准方程。 题型巩固练： 7．（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 待定系数法求椭圆的标准方程知识点04 知识点速记： 待定系数法求椭圆方程的设法： ①焦点在轴上，可设标准方程为； ②焦点在轴上，可设标准方程为； 若无法判断焦点在那个轴上，可设为：（且）； 3.共焦点的椭圆：若已知椭圆，与其共焦点的椭圆可设为； 题型巩固练： 9．（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江苏苏州·期中）设椭圆过点，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·江苏徐州·阶段检测）与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为______. 13．（23-24高二上·福建泉州·期中）若椭圆过点且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的方程为____________． 由椭圆的方程求a,b,c知识点05 知识点速记： 由椭圆的方程求a,b,c，首先需要将方程化为标准形式，然后根据系数直接读取数值，并利用关系式求c。 题型巩固练： 14．（25-26高二下·浙江·开学考试）椭圆：的焦距为（    ） A．2 B．3 C． D． 15．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）椭圆的焦距为（ ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·河北沧州·期末）若椭圆的一个焦点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 根据方程表示椭圆求参数的范围知识点06 知识点速记： 方程表示椭圆的条件为且； 方程表示焦点在轴上的椭圆的条件为； 方程表示焦点在轴上的椭圆的条件为。 题型巩固练： 17．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·重庆北碚·期末）方程表示椭圆，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 20．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 椭圆的焦点三角形知识点07 知识点速记： 焦点三角形的有关结论： 1.周长固定：不管点在椭圆上怎么动，焦点三角形的周长总是； 2.面积公式：面积，其中或，其中是点的纵坐标； 3.面积最大值：焦点三角形面积的最大值为； 4.角度最大：当点在短轴端点时，夹角最大。 题型巩固练： 21．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·山东青岛·期末）已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 23．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 24．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. (1)若点在第一象限内，且，求点的坐标； (2)若，求的面积. 椭圆上的点到焦点和定点的距离的和、差的最值问题知识点08 知识点速记： 一、距离之和的最值（）: 当定点A在椭圆内部，为椭圆的一个焦点时：利用椭圆的定义将转化为（为另一焦点），从而将问题转化为求的最值，本质是求的最值。 最大值：当三点共线且位于与之间时（即在的延长线与椭圆交点处）取得最大值，最大值为; 最小值：当三点共线且位于与之间时（即在的延长线与椭圆交点处）取得最小值，最小值为; 二、距离之差的最值（或）: 此类问题通常利用三角形两边之差小于第三边（） 最大值：当三点共线且位于射线或的外侧延长线与椭圆交点处时，差值取得最大值，最大值为（需结合具体符号判断是还是其它形式，通常转化为后利用三角不等式）; 最小值：当三点共线且位于线段的延长线方向时，利用两边之差性质求最小值，通常为; 题型巩固练： 27．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 A． B． C． D． 29．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知为椭圆的上焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高二下·上海·期末）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 定义法求点的轨迹方程（椭圆）知识点09 知识点速记： 利用定义法求点的关键方程（椭圆）首先分析题目中的几何关系，确认动点到两个定点的距离之和是否为常数，且满足这个常数大于两个定点间的距离，再利用条件确定，写出方程。 题型巩固练： 31．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知两定点，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 32．（25-26高二上·山东滨州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 33．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知，点，以为直径的圆与相切，则动点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 35．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知圆，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______________. 36．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为，，C为动点，且满足，则点C的轨迹方程为________． 直接法求点的轨迹方程（椭圆）知识点10 知识点速记： 直接法：设动点坐标为，根据已知条件列方程，并化简方程得到动点的轨迹方程（注意条件对或的限制）； 题型巩固练： 37．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 39．点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数，求M的轨迹方程； 转移代入法求点的轨迹方程知识点11 知识点速记： 转移代入法：当动点随已知曲线上一动点的变化而变化，则可设，用表示点的坐标，代入满足的方程即得动点的方程。 题型巩固练： 40．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 41．（25-26高二上·福建·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26高二上·北京西城·期末）“”是“为椭圆方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 7．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·云南·模拟预测）设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A．9 B．11 C．13 D．16 9．（多选）（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 10．（多选）（2026·云南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 11．（多选）（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得曲线为圆 B．若曲线为椭圆，则的取值范围是 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．当曲线是椭圆时，曲线的焦距为定值 12．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交于，两点，若为等边三角形，则的焦距为___________ 13．已知圆的圆心为，为圆上的动点，点，线段的垂直平分线与线段相交于点，求动点的轨迹方程. 14．（25-26高二上·湖南·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 15．（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为． (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 16．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆过点，其左、右焦点分别为，且，椭圆第一象限上的一点P到两焦点的距离之差为4. (1)求椭圆的标准方程; (2)求的内切圆的标准方程. 17．（25-26高二上·广东惠州·期中）（1）如图，已知圆，点，P是圆E上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于Q，求动点Q的轨迹Γ的方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上运动．若，求点N的轨迹方程． 1．【知识融合】（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，在正方体中，是侧面内一动点，若点到直线的距离是到直线的距离的2倍，则动点的轨迹所在的曲线是（    ）    A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．（25-26高二上·吉林延边·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东青岛·期中）吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线如图2所示，曲线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·重庆·期中）已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，若 ，则称 “ ” 是 两点的 “曼哈顿距离”. 若动点 到两定点 的 “曼哈顿距离” 之和为定值 ，则称点 的轨迹是 “曼哈顿椭圆”.若点 是该 “曼哈顿椭圆” 上一点，关于命题: ① 面积的最大值是 ；②该 “曼哈顿椭圆” 的周长是 ， 下列说法正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 4．（2002·全国·高考真题）椭圆的一个焦点是，那么（    ） A．1 B． C． D． 5．（1994·全国·高考真题）若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（    ） A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(0，1) 6．（2005·重庆·高考真题）已知，B是圆（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为___________. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.1.1椭圆及其标准方程 目 录 A组 巩固过关 知识点01 椭圆定义及辨析 知识点02 由a,b,c的关系求椭圆方程 知识点03 根据定义求椭圆方程 知识点04 待定系数法求椭圆方程 知识点05 由椭圆的方程求a,b,c 知识点06 根据方程表示椭圆求参数的范围 知识点07 椭圆的焦点三角形 知识点08 椭圆上的点到焦点和定点的距离的和、差的最值问题 知识点09 定义法求点的轨迹方程（椭圆） 知识点10 直接法求点的轨迹方程（椭圆） 知识点11 转移代入法求点的轨迹方程（椭圆） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 椭圆定义及辨析知识点01 知识点速记： 把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 其数学表达式：集合，，其中，，且，为常数： （1）若，则集合为椭圆； （2）若，则集合为线段； （3）若，则集合为空集． 题型巩固练： 1．（2026·广东广州·模拟预测）若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知两定点，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【详解】因为两定点，则， 又因为动点满足， 动点满足，即， 满足椭圆的定义，所以点的轨迹是椭圆. 故选：A. 3．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）方程表示的曲线为（   ） A．线段 B．椭圆 C．双曲线 D．不表示任何图形 【答案】B 【详解】表示点到点，的距离之和为，即， 所以方程表示的曲线为椭圆. 故选：B. 4．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知点P在以F1，F2分别为左、右焦点的椭圆上，若，则（   ） A．3 B．13 C．5 D．7 【答案】D 【详解】因为椭圆C的方程为，所以，由椭圆的定义可得，且，所以. 故选：D. 由a,b,c的关系求椭圆的标准方程知识点02 知识点速记： 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形       焦点 与 与 a，b，c的关系 【注】求椭圆方程时注意椭圆的焦点位置，若不确定，则两种形式都要写。 题型巩固练： 5．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为焦点坐标为和，所以.椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，则椭圆的标准方程为. 故选:A. 6．（25-26高二上·山东济南·期中）若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为焦距为8，所以，即． 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，椭圆不存在，舍去； 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，，所以，椭圆存在， 故椭圆的焦点在轴上，标准方程为． 故选：C 根据定义求椭圆的标准方程知识点03 知识点速记： 由椭圆的定义求椭圆的方程，关键是利用椭圆的定义求出，结合已知及求出，写出椭圆的标准方程。 题型巩固练： 7．（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为． 故选：B. 另解  由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 直接代入 因为椭圆过点，所以，解得，所以所求椭圆方程为． 故选： 8．（25-26高二上·天津·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，，焦点在坐标轴上； (2)椭圆上一点P到其两焦点，的距离之和为10； (3)两个焦点坐标分别是，，并且经过点. 【答案】(1)或；(2)；(3). 【详解】（1）因为，，所以. 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为； 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为. （2）由题意，椭圆焦点在轴上，且，， 所以， 所以椭圆方程为：. （3） 由题意，椭圆的焦点在轴上，且， 又，所以 则，故所求椭圆方程为. 另解：由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为，且， 又，故所求椭圆方程为. 待定系数法求椭圆的标准方程知识点04 知识点速记： 待定系数法求椭圆方程的设法： 1. 焦点位置明确时： ①焦点在轴上，可设标准方程为； ②焦点在轴上，可设标准方程为； 2. 焦点位置不明确时： 若无法判断焦点在那个轴上，可设为：（且）； 3.共焦点的椭圆：若已知椭圆，与其共焦点的椭圆可设为； 题型巩固练： 9．（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意设, 由在椭圆上，则，解得 所以椭圆的标准方程. 故选：C 10．（25-26高二上·江苏苏州·期中）设椭圆过点，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，可得，则椭圆方程为. 故选：D 11．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知焦点在y轴上，可设， ，解得，所以椭圆的方程是． 故选：B 12．（24-25高二上·江苏徐州·阶段检测）与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为______. 【答案】 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有， 设它的标准方程为，于是得， 又点在所求椭圆上，即有， 联立两个方程得，解得，则， 所以所求椭圆的标准方程为. 13． （23-24高二上·福建泉州·期中）若椭圆过点且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的方程为____________． 【答案为】． 【详解】法1：因为椭圆与椭圆共焦点，所以设椭圆， 因为椭圆过点，所以，即， 解得或（舍去）， 所以椭圆的方程为． 故答案为：． 法2：因为椭圆的焦点为，椭圆过点， 所以 所以，而，所以，所以椭圆的方程为． 由椭圆的方程求a,b,c知识点05 知识点速记： 由椭圆的方程求a,b,c，首先需要将方程化为标准形式，然后根据系数直接读取数值，并利用关系式求c。 题型巩固练： 14．（25-26高二下·浙江·开学考试）椭圆：的焦距为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】根据椭圆的标准方程可知，，，所以，所以焦距为. 15．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）椭圆的焦距为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆方程可化为，所以，， 所以，所以， 因此焦距为. 故选：D 16．（25-26高二上·河北沧州·期末）若椭圆的一个焦点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为椭圆的一个焦点坐标为，所以， 则，解得. 故选：D. 根据方程表示椭圆求参数的范围知识点06 知识点速记： 方程表示椭圆的条件为且； 方程表示焦点在轴上的椭圆的条件为； 方程表示焦点在轴上的椭圆的条件为。 题型巩固练： 17．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以解得，即实数的取值范围为． 18．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将方程变形可得， 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 19．（25-26高二上·重庆北碚·期末）方程表示椭圆，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，，解得或. 故选：B. 20．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 椭圆的焦点三角形知识点07 知识点速记： 焦点三角形的有关结论： 1.周长固定：不管点在椭圆上怎么动，焦点三角形的周长总是； 2.面积公式：面积，其中或，其中是点的纵坐标； 3.面积最大值：焦点三角形面积的最大值为； 4.角度最大：当点在短轴端点时，夹角最大。 题型巩固练： 21．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆方程为， 得，. 所以，故. 由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 即， 又因为两焦点间距离为， 因此，的周长为. 22．（25-26高二上·山东青岛·期末）已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 【详解】， 所以，设点的纵坐标为， 因为以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1， 所以. 故选：B 23．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】由题意知，，. 因为，所以. 又，即， 所以. 所以. 24．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，.若，则， 由余弦定理得， 因为，所以. 25．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，为椭圆的两个焦点，是椭圆上第一象限的点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨令分别为椭圆的左、右焦点，如图． 由题意． 在中，由余弦定理得， ， 即，所以． 故选：A. 26．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. (1)若点在第一象限内，且，求点的坐标； (2)若，求的面积. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因，所以在以原点为圆心，以为半径的圆上，即在上.如图，    联立，消去x得，解得（负值舍去），（负值舍去）. 所以点的坐标为. （2）因为椭圆上的点，由椭圆的定义得，，又， 所以，. 在中，由余弦定理得. 再由同角三角函数关系式可得，， 所以. 故的面积为. 椭圆上的点到焦点和定点的距离的和、差的最值问题知识点08 知识点速记： 一、距离之和的最值（）: 当定点A在椭圆内部，为椭圆的一个焦点时：利用椭圆的定义将转化为（为另一焦点），从而将问题转化为求的最值，本质是求的最值。 最大值：当三点共线且位于与之间时（即在的延长线与椭圆交点处）取得最大值，最大值为; 最小值：当三点共线且位于与之间时（即在的延长线与椭圆交点处）取得最小值，最小值为; 二、距离之差的最值（或）: 此类问题通常利用三角形两边之差小于第三边（） 最大值：当三点共线且位于射线或的外侧延长线与椭圆交点处时，差值取得最大值，最大值为（需结合具体符号判断是还是其它形式，通常转化为后利用三角不等式）; 最小值：当三点共线且位于线段的延长线方向时，利用两边之差性质求最小值，通常为; 题型巩固练： 27．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【详解】，，， ， 设右焦点为，左焦点， ，， 当点共线时取等号， ，，， ，的最大值为. 故选：D. 28．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于椭圆，，，则， 设是椭圆的右焦点，则、. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为，所以的最大值为， 当且仅当为直线与椭圆在轴下方的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 29．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知为椭圆的上焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为， 又由椭圆，设上焦点为，下焦点为，且， 根据椭圆的定义，可得，则， 所以， 要使得最大，则最小. 因为，当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点时，等号成立， 所以，即的最大值为. 故选：D.    30．（25-26高二下·上海·期末）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【答案】 【详解】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. 定义法求点的轨迹方程（椭圆）知识点09 知识点速记： 利用定义法求点的关键方程（椭圆）首先分析题目中的几何关系，确认动点到两个定点的距离之和是否为常数，且满足这个常数大于两个定点间的距离，再利用条件确定，写出方程。 题型巩固练： 31．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知两定点，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【详解】因为两定点，则， 又因为动点满足， 动点满足，即， 满足椭圆的定义，所以点的轨迹是椭圆. 故选：A. 32．（25-26高二上·山东滨州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【详解】由点满足可知， 动点到定点的距离之和为， 即，且， 根据椭圆的定义可知动点的轨迹是椭圆， 故选：A. 33．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 34．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知，点，以为直径的圆与相切，则动点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【详解】如图：设M为的中点，则圆M与圆O只能内切，且圆O的半径为3， 所以，即，设，则， 故. 所以Q点在以为焦点，以长轴为6的椭圆上，故Q点的轨迹是一个椭圆. 故选：B 35．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知圆，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______________. 【答案】 【详解】如图，连接,因是线段的中垂线，则, 由可得,因, 可得点的轨迹为以为两焦点的椭圆，设椭圆方程为， 易得，则，故点的轨迹方程为. 36．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为，，C为动点，且满足，则点C的轨迹方程为________． 【答案】 【详解】因为由正弦定理可得， 即，满足椭圆定义， 则，，可得， 所以点C的轨迹方程为． 直接法求点的轨迹方程（椭圆）知识点10 知识点速记： 直接法：设动点坐标为，根据已知条件列方程，并化简方程得到动点的轨迹方程（注意条件对或的限制）； 题型巩固练： 37．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，则，且， 可得，化简得，即，且. 故选：D. 38．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，，直线PA和直线PB的斜率的乘积为，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的坐标为，则， 整理得，故点的轨迹方程为． 故选：D． 39．点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数，求M的轨迹方程； 【答案】 【详解】因为点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数， 所以，整理得．即， 则M的轨迹方程为； 转移代入法求点的轨迹方程知识点11 知识点速记： 转移代入法：当动点随已知曲线上一动点的变化而变化，则可设，用表示点的坐标，代入满足的方程即得动点的方程。 题型巩固练： 40．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，依题意可知 即 因为点在曲线上，所以， 即， 故选：A． 41．（25-26高二上·福建·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题，设， 因为，所以， 因为，， 所以，即，代入得. 所以点的轨迹方程为. 故选：D 42．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点，由，得， 则，而线段长为3，即，因此， 所以动点的轨迹方程为. 故选：A 1．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】， ， 又椭圆， 则， . 故选：D. 2．（25-26高二上·北京西城·期末）“”是“为椭圆方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若为椭圆方程，则且， 所以“”是“为椭圆方程”的必要不充分条件. 故选：B 3．（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设所求椭圆方程为， 将点代入，可得，解得（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 故选：D. 4．（24-25高一下·浙江·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，得，，且 所以，且， 设直线的倾斜角为，则， 所以直线的斜率为. 故选：B 5．（25-26高二上·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆圆心为，半径为， 圆圆心为，半径为，动圆圆心为，半径为 则， 由圆与圆外切可得， 由圆与圆内切可得， 所以，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设为 则，所以， 所以轨迹方程为， 故选：B. 6．（25-26高二上·江苏·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【详解】设圆的圆心为，其半径，则， 设椭圆上的点，则，即， 因此 ，当且仅当时取得最大值， 所以. 故选：D 7．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点为， 故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值. 故选：B. 8．（2026·云南·模拟预测）设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A．9 B．11 C．13 D．16 【答案】D 【详解】如图，椭圆的两个焦点坐标为，为两个圆的圆心坐标，圆的半径为，圆的半径为，由椭圆的定义可得. 因为满足： ，即 ，即 所以两式相加得：， 代入，可得，即不可能为16. 9．（多选）（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【详解】由，所以，，，令，， 对于A：点在上、下顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，即，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 10．（多选）（2026·云南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 【答案】AC 【详解】由题可知，∴，， ∴，的周长为，A选项正确； ∵，∴，∴，B选项错误； ，∴，C选项正确； ， ∴， ∴斜率，D选项错误.      11．（多选）（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得曲线为圆 B．若曲线为椭圆，则的取值范围是 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．当曲线是椭圆时，曲线的焦距为定值 【答案】AC 【详解】对于A：曲线C为圆，即 ，正确； 对于B：C为椭圆，错误； 对于C：C为焦点在轴上的椭圆，正确； 对于D：C是椭圆，此时焦距，不是定值，错误. 故选：AC 12．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交于，两点，若为等边三角形，则的焦距为___________ 【答案】 【详解】由为等边三角形，所以，根据对称性可知，， 又，所以， 所以，， 所以. 故答案为： 13．已知圆的圆心为，为圆上的动点，点，线段的垂直平分线与线段相交于点，求动点的轨迹方程. 【答案】 【详解】连接，如下图所示： 圆的半径为，由中垂线的几何性质可得， 所以， 所以点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆， 设椭圆的标准方程为，则，可得， 因为，则， 因此点的轨迹方程为. 14．（25-26高二上·湖南·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)，－；(2)10－ 【详解】（1）由椭圆可知，，， 则，， 如图所示，连接并延长交椭圆于点， 则是使取得最大值的点， 于是， 因为， 则求的最小值，即求的最大值， 延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点， 于是 所以的最大值与最小值分别为和；    （2）连接，由椭圆的定义知， 则， 所以， 如图，连接，并延长交椭圆于点，， 则是使取得最小值的点， 于是， 15．（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为． (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 【答案】(1)；(2)周长为，面积为 【详解】（1）椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为， ，解得， ，， 椭圆的方程为． （2） ，， 又P为椭圆上一点，， 焦点三角形的周长； 在△中，由余弦定理得， 即①， ， ②， ②减①得，故， 三角形的面积． 16．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知椭圆过点，其左、右焦点分别为，且，椭圆第一象限上的一点P到两焦点的距离之差为4. (1)求椭圆的标准方程; (2)求的内切圆的标准方程. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因为椭圆过点，且， 所以，解得，则椭圆的标准方程为. （2）由椭圆的定义及条件可得：，解得， 又因为，所以，即， 设内切圆的半径为r，则， 所以，解得， 设内切圆的圆心为I，过I分别作 、、的垂线，垂足分别为E、F、G，如图所示，    因为，且， 所以，则圆心， 所以的内切圆的标准方程为 17．（25-26高二上·广东惠州·期中）（1）如图，已知圆，点，P是圆E上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于Q，求动点Q的轨迹Γ的方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上运动．若，求点N的轨迹方程． 【答案】（1） ；（2）. 【详解】（1）连接，根据题意可得：， 则， 故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆． 设其方程为， 可知，，则， 所以点Q的轨迹的方程为； （2）由题意可知：，， 设点，，则，， 因为，则，可得， 而点在椭圆C上运动，则，即， 所以点N的轨迹方程为. 1．【知识融合】（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，在正方体中，是侧面内一动点，若点到直线的距离是到直线的距离的2倍，则动点的轨迹所在的曲线是（    ）    A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【详解】由于侧面，所以点到直线的距离即为点到点的距离． 从而点到直线的距离是其到点的距离的2倍， 动点的轨迹所在的曲线为椭圆，离心率为. 故选：B. 2．（25-26高二上·吉林延边·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    如图，为椭圆上任意一点，则， 所以， 因为为圆上任意一点，则， 所以， 当且仅当共线且在和之间时，等号成立． 由题意知，，则， 所以的最小值为． 故选：B． 3．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上的点，过作角的外角平分线的垂线，垂足为点，则点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交延长线于点，根据椭圆的定义以及外角平分线的性质可得，利用中位线定理可得，得到点的轨迹是以原点为圆心、半径的圆． 【详解】根据题意可得 延长交延长线于点，因是的外角平分线且， 故为等腰三角形，即，为中点， 由椭圆定义：， 则， 在中，为中点，为中点， 根据三角形中位线定理：， 所以点的轨迹是以原点为圆心、半径的圆， 则轨迹长度（圆周长）：． 4．（25-26高二上·山东青岛·期中）吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线如图2所示，曲线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】点代入半圆上的点，求出的值，写出的坐标，当的面积最大时，点为与直线平行的直线且此直线与半圆相切于第四象限的切点，求出，设与直线平行的直线且与半圆相切的直线方程为，求出圆心为到的距离为，与半圆相切，得到，得到关于的一个方程，当点的坐标为时，的面积最大，得到在上，将点代入，得到关于的另一个方程，这两个的方程联立方程组求解即可. 【详解】是半圆上的点， ，，，， 半椭圆（，交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点， ， 当的面积最大时， 点为与直线平行的直线且此直线与半圆相切于第四象限的切点， ， 设与直线平行的直线且与半圆相切的直线方程为， 半圆的圆心为，半径为， 圆心为到的距离为， 与半圆相切， ，，，， 当点的坐标为时，的面积最大， 在上，，， 联立，解得，半椭圆方程为， . 故选：D. 5．（25-26高二下·重庆·期中）已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由，，可判断点，分别在以线段，为直径的圆上，可知两圆上点的最大距离等于圆心距加上两圆的半径. 【详解】解：由题意知，，，则，，， 由，则，所以点在以线段为直径的圆上， 同理，由，可得点在以线段为直径的圆上， 设以线段为直径的圆的圆心为，半径， 以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以，在中，为中位线，则， 因此，当，，，四点共线，且，位于两圆外侧时，最大， 即， 由椭圆定义可知，所以. 6．（2026·山东·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为分别为，的中点，则， 且，则，即，可得， 又因为，则，可知为等边三角形， 且，则，， 可得，，即，， 则，所以椭圆的标准方程为. 7．（24-25高二下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，若 ，则称 “ ” 是 两点的 “曼哈顿距离”. 若动点 到两定点 的 “曼哈顿距离” 之和为定值 ，则称点 的轨迹是 “曼哈顿椭圆”.若点 是该 “曼哈顿椭圆” 上一点，关于命题: ① 面积的最大值是 ；②该 “曼哈顿椭圆” 的周长是 ， 下列说法正确的是（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】根据“曼哈顿距离”的定义，把“曼哈顿距离”表示出来，根据对称性研究第一象限及轴和轴非负半轴上点的轨迹，直接去绝对值符号画图象即可逐项判断求解. 【详解】设，则两点的“曼哈顿距离”，两点的“曼哈顿距离”， 则， 易得“曼哈顿”椭圆关于坐标原点及对称轴对称， 研究第一象限及轴和轴非负半轴上点的轨迹， ， 作曲线， 根据对称性可作出如图“曼哈顿圆”， 则，，， 对于①，当点与重合时面积最大为，故①是真命题， 对于②，， 所以该“曼哈顿椭圆”周长为，故②是真命题. 故选：A. 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 2．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 3．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 4．（2002·全国·高考真题）椭圆的一个焦点是，那么（    ） A．1 B． C． D． 【详解】因为椭圆的一个焦点是， 所以，，， 则，解得， 故选：A. 5．（1994·全国·高考真题）若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（    ） A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(0，1) 【答案】D 【详解】因为方程，即 表示焦点在轴上的椭圆， 所以 ，即 ， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 6．（2005·重庆·高考真题）已知，B是圆（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为___________. 【答案】． 【详解】由题意，在线段的垂直平分线上，则， 所以，又， 所以在以为焦点，长轴长为2的椭圆上， ，，，则， 所以轨迹方程为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.1.1椭圆及其标准方程 参考答案 椭圆定义及辨析知识点01 1．B； 2．A； 3．B； 4．D； 由a,b,c的关系求椭圆的标准方程知识点02 5．A； 6．C； 根据定义求椭圆的标准方程知识点03 7． B； 8.【答案】(1)或；(2)；(3). 【详解】（1）因为，，所以. 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为； 若椭圆焦点在轴上，则椭圆方程为. （2）由题意，椭圆焦点在轴上，且，， 所以， 所以椭圆方程为：. （3） 由题意，椭圆的焦点在轴上，且， 又，所以 则，故所求椭圆方程为. 另解：由题意，椭圆焦点在轴上，可设椭圆方程为，且， 又，故所求椭圆方程为. 待定系数法求椭圆的标准方程知识点04 9．C； 10．D； 11.B； 12．； 13．； 由椭圆的方程求a,b,c知识点05 14.D； 15．D； 16．D； 根据方程表示椭圆求参数的范围知识点06 17.C； 18．D； 19.B； 20.C； 椭圆的焦点三角形知识点07 21. C； 22．B； 23.B； 24.C； 25．A； 26.【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因，所以在以原点为圆心，以为半径的圆上，即在上.如图，    联立，消去x得，解得（负值舍去），（负值舍去）. 所以点的坐标为. （2）因为椭圆上的点，由椭圆的定义得，，又， 所以，. 在中，由余弦定理得. 再由同角三角函数关系式可得，， 所以. 故的面积为. 椭圆上的点到焦点和定点的距离的和、差的最值问题知识点08 27. D； 28．C； 29.D； 30.； 定义法求点的轨迹方程（椭圆）知识点09 31.A； 32．A； 33.B； 34.B； 35．； 36.； 直接法求点的轨迹方程（椭圆）知识点10 37. D； 38．D； 39.； 转移代入法求点的轨迹方程知识点11 40.A； 41．D； 42.A； 1．D； 2．B； 3．D； 4．B； 5．B； 6．D ； 7.B ； 8.D； 9．BD； 10．AC； 11.AC； 12.； 13．； 14．【答案】(1)，－；(2)10－ 【详解】（1）由椭圆可知，，， 则，， 如图所示，连接并延长交椭圆于点， 则是使取得最大值的点， 于是， 因为， 则求的最小值，即求的最大值， 延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点， 于是 所以的最大值与最小值分别为和；    （2）连接，由椭圆的定义知， 则， 所以， 如图，连接，并延长交椭圆于点，， 则是使取得最小值的点， 于是， 15．【答案】(1)；(2)周长为，面积为 【详解】（1）椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为，最小值为， ，解得， ，， 椭圆的方程为． （2） ，， 又P为椭圆上一点，， 焦点三角形的周长； 在△中，由余弦定理得， 即①， ， ②， ②减①得，故， 三角形的面积． 16.【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因为椭圆过点，且， 所以，解得，则椭圆的标准方程为. （2）由椭圆的定义及条件可得：，解得， 又因为，所以，即， 设内切圆的半径为r，则， 所以，解得， 设内切圆的圆心为I，过I分别作 、、的垂线，垂足分别为E、F、G，如图所示，    因为，且， 所以，则圆心， 所以的内切圆的标准方程为 17.【答案】（1） ；（2）. 【详解】（1）连接，根据题意可得：， 则， 故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆． 设其方程为， 可知，，则， 所以点Q的轨迹的方程为； （2）由题意可知：，， 设点，，则，， 因为，则，可得， 而点在椭圆C上运动，则，即， 所以点N的轨迹方程为. 1． B； 2．B； 3. A ； 4.D； 5.D； 6．C； 7.A 1．A； 2．B； 3.C； 4.A； 5.D； 6.； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $