专题02 与三角形有关的线段重难点题型 专项训练（4个知识点+10大题型+自我检测） 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以“知识点-题型-检测”三级体系构建专项训练，通过4个核心知识点与13类分层题型，系统强化三角形线段的概念理解与解题技能，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|4个（角平分线/三边关系/稳定性/重要线段）|定义+应用技巧（如第三边范围公式、中线分面积规律）|从概念定义到性质推导，再到实际应用，形成“概念-性质-应用”逻辑链| |基础题型|10类（构成条件/中线计算等）|题型解法（如高的画法步骤、重心性质应用）|覆盖单一知识点的基础考法，对应知识点逐一突破| |提高题型|3类（综合计算/三边关系应用等）|综合策略（多线段关系转化、跨知识点结合）|整合多个知识点，提升复杂问题的推理与抽象能力|

专题02 与三角形有关的线段重难点题型专训（4个知识点+10大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、构成三角形的条件 1 题型二、确定第三边的取值范围 2 题型三、三角形三边关系的应用 3 题型四、三角形的稳定性及应用 4 题型五、根据三角形中线求长度 5 题型六、根据三角形中线求面积 6 题型七、重心的概念 7 题型八、三角形角平分线的定义 8 题型九、画三角形的高 9 题型十、与三角形的高有关的计算问题 10 第二部分·练提高题型 题型一、利用三角形的高计算面积问题 1 题型二、三角形三边关系综合应用 2 题型三、与三角形有关的线段综合问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 角平分线的定义 ①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 ②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。· 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的中线和角平分线，则：____________________；____________________． 知识点02 三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 理论依据：两点之间，线段最短。 应用技巧： 判断能否构成：只需验证较短两边之和 > 最长边即可。 求第三边范围：已知两边长 a,b ( a>b )，则第三边c的取值范围为a−b<c<a+b 。 三角形的稳定性 性质：当三角形的三边长度固定后，其形状和大小就完全确定，不易变形。 对比：四边形不具有稳定性（易变形），常通过添加对角线构成三角形来增加稳定性（如房屋人字梁、栅栏门斜钉木板、桥梁钢架）。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列各组长度的线段能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2026·河北沧州·二模）如图1是圆规实物图，图2是其示意图，其中，以A为支撑点铅笔芯端点B绕点A旋转做出圆．若，则该圆的半径可能是______．（写出一个即可） 知识点03 三角形的稳定性 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东潮州·期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是（    ） A．三角形重心的确定 B．两点之间，线段最短 C．三角形的稳定性 D．图形的轴对称 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 知识点04 三角形的重要线段 【即时训练】 1．（2026·广东·模拟预测）如图，在中，是的中线，是的中线，是的中线．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 2．（25-26八年级上·河南郑州·期中）【三角形的面积】如图，三角形的周长为40cm，P点为其内部一点，且点 P 到三边的距离均为3cm，则三角形的面积为________ ． 【基础题型一 构成三角形的条件】 【例1】（25-26七年级下·上海宝山·期末）用下列长度的三根木条首尾顺次连接，不能做成三角形框架的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】（25-26七年级下·上海·期末）已知等腰三角形的三边分别为，和，则的值是________． 1．（25-26八年级上·全国·期中）若条长度均为整数厘米的线段，，满足，且这条线段中的任意条都不能构成三角形．若厘米，厘米，则能取的值是（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 2．（25-26八年级上·河南郑州·期中）【三角形的三边关系】小豫想制作一个三角形框架，他找到了 这样的两根木条（如图）： 小豫把其中一根木条锯成长度是整厘米数的两段，然后和另外一根木条围成一个三角形．请将可能组成的不同三角形的三条边（表格中分别用a，b，c表示，排列顺序与结果无关，数值相同即为同一个三角形）的长度填入表中．（表格不一定要全部填满） 三角形 a边 b边 c边 三角形 a边 b边 c边 1 5 2 6 3 7 4 8 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图表所示，在平面内，分别用3 根、5根、6根火柴（每根火柴长度相等）首尾顺次相接，能搭成不同形状的三角形． 火柴根数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 (1)4根火柴首尾顺次相接，能搭成一个三角形吗？ (2)8根、12 根火柴首尾顺次相接，能搭成几种不同的三角形？分别写出它们的边长． 【基础题型二 确定第三边的取值范围】 【例1】（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）李师傅做了一个三角形的工件，其中两边长分别为和，则第三边的长可能是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·河南周口·期中）三角形的两边长分别为3和6，第三边长为整数，则第三边最长为______． 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 2．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）一个三角形的三边长分别为5，9，m，则m的取值范围是_________． 3．（25-26八年级上·甘肃陇南·期中）为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．设计小组准备制作两边长分别为2米和5米，第三边长为偶数的不同规格的三角形框架，他们到建材市场收集到的数据如下： 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价（元/根） 6 8 10 15 20 (1)根据市场能购买到的铁条制作满足条件的三角形框架，共有_____种制作方案； (2)若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 【基础题型三 三角形三边关系的应用】 【例1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，为了估计池塘岸边，之间的距离，在池塘外选取一点，测得米，米，则，间的距离不可能是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例2】（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，则间的距离可能是______． 1．（25-26八年级上·天津西青·期末）一个等腰三角形的一边长为，周长为，这个等腰三角形的腰长是（   ） A． B． C．或 D． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，，，点是平面内一点，且满足，则的最小值是__________． 3．（25-26八年级上·河北衡水·期中）龟兔举行了新跑步比赛．比赛路线是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①；路线②；路线③． (1)若乌龟选择了路线②，在判断乌龟和兔子的路线长短时．有以下思路，请你继续解答． 如图，延长交于点P．在中，， (2)路线②和③相比，哪条更短？（需写出过程） 【基础题型四 三角形的稳定性及应用】 【例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【例2】（25-26八年级上·吉林松原·期中）今年8月17日，“一县一品”第四届环湖自行车赛在国家5A级旅游景区松原查干湖盛大启幕．如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是______． 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了。于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 【基础题型五 根据三角形中线求长度】 【例1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，为边的中线，的周长比的周长多，，则___________． 1．（25-26八年级上·湖北随州·期末）在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是4名同学的折纸示意图（C的对应点是），其中折出的是中边上的中线的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）如图，E是边的中点，若，的周长比的周长多1，则__________． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的高线，是中点，连接交于点O． (1)若的周长为，求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点A到的距离． 【基础题型六 根据三角形中线求面积】 【例1】（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，是边上的中线，是的中点，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，已知的面积为2，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为__________． 1．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）如图，五边形各边中点分别为，，，，，连接，，，，图中阴影部分的总面积是15，则五边形的面积是（     ） A．5 B．8 C．30 D．45 2．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，已知中，，，为边上一点，，，为上一点，过点作于点，于点，则的值为_____________． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）【数学经验】三角形的中线能将该三角形分成面积相等的两部分． (1)【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，那么它们的面积比等于对应底边的比．如图1，的边上有一点，请证明：； (2)【结论应用】如图2，的面积为1，，求的面积； (3)【拓展延伸】如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，证明：． 【基础题型七 重心的概念】 【例1】（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）已知：如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，则下列命题中正确的是（　　） A．是的平分线 B．是边上的高 C．是边上的中线 D．是边上的中垂线 【例2】（25-26八年级上·广东湛江·阶段检测）如图，点是的三条中线的交点，则___________．（填“”“”或“”） 1．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）如图，G是的重心，若，则图中阴影部分面积是_____．    3．（25-26八年级上·广东中山·期中）【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】若的面积为m，求的面积．（用含m的式子表示） 【基础题型八 三角形角平分线的定义】 【例1】（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l是的（    ） A．中线 B．对角线 C．高线 D．角平分线 【例2】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，是的角平分线，是边上的中线（填“”“”或“”）． （1）______； （2）______． 1．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，已知，，，且，平分分别交、的延长线于点M、N．则______． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图． (1)甲折出的是的______． (2)乙折出的是的______． (3)丙折出的是的______． 【基础题型九 画三角形的高】 【例1】（25-26七年级下·广东佛山·期中）下列四个图形中，正确画出的边上的高的是（） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，交BC的延长线于点D，于点C，于点F．图中是的高的线段有________条． 1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课前预习）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称_________．如图，线段______是BC边上的高． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）一个缺角的三角形残片如图所示． (1)不恢复这个缺角，你能画出边上的高所在的直线吗？你是如何画的？依据是什么？ (2)小明分别画出和的平分线，两线交于点，又找到边的中点，画直线，小明说他画出了第三个角的角平分线所在的直线．你认为他说的对吗？为什么？ 【基础题型十 与三角形的高有关的计算问题 】 【例1】（25-26八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【例2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，、分别是的高且，，，则_____． 1．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在梯形中，，对角线与相交于点，若的面积是，的面积是，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，已知，，连接，F为上的点，且，连接．若，四边形的面积为20，求的边上的高是多少？ 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 【提高题型一 利用三角形的高计算面积问题 】 【例1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，，分别是的高和中线，，，，，___________，的面积___________． 1．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，AD是BC边上的高，点E在AD上，且，若的面积为S，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，中，为边上的高，记为，的垂直平分线交边于点，交边于点，连接，得到第一个三角形，作边上的高；作高的垂直平分线交边于点，交边于点，连接，得到第二个三角形，作边上的高，，依次这样作下去，则第个三角形的面积为_____． 3．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道三角形的3条高所在直线交于同一点． （1）①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点 ； ②如图2，中，，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹） 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E． ①若，，则 °； ②请写出与，之间的数量关系 ，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，中，M是上一点，且，N是的中点，若的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含m的代数式表示） 【提高题型二 三角形三边关系综合应用】 【例1】（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，则化简的结果为（     ） A． B． C． D．b 【例2】（2026·河北石家庄·一模）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 1．（2026·湖北武汉·二模）小红在学习完《三角形》后，她对各边长都是整数的三角形的个数进行了研究，结果如下表： 最长的边长 1 2 3 … n 三角形的个数 1 2 4 … m 若，则m的值是（     ） A．16 B．18 C．20 D．22 2．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在等腰中，底边，若的周长为，请写出一个符合条件的的整数值：___________． 3．（25-26八年级上·全国·期中）（1）如图甲，从经到 是一条柏油马路，是一条小路，人们从到，为什么不走柏油路，而喜欢走小路请你用学过的知识解释一下原因； （2）如图乙，从经到是一条柏油马路，由 经到是一条小路，人们从 步行到，为什么不走柏油路，而喜欢走小路请你用学过的知识解释一下原因． 【提高题型三 与三角形有关的线段综合问题 】 【例1】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）有条线段的长分别是，，和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，共可作不同的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）如果三条线段、、，可组成三角形，且，，是偶数，则的值为_________． 1．（25-26七年级下·河北承德·期末）在一次数学课上，老师让学生进行画图，你觉得学生可能会发现的结论是（　　） A．三条线段首尾顺次相接能构成三角形 B．三角形的内角和是180° C．三角形的任意一个外角大于和它不相邻的内角 D．三角形任意两边之和大于第三边 2．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，分别是边，上的点，且．以为边向右作，使得，，连接，若，则线段长度的取值范围是________． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上． （1）过点A画线段BC的垂线，垂足为E； （2）过点A画线段AB的垂线，交线段CB的延长线于点F； （3）线段BE的长度是点 到直线 的距离； （4）线段AE、BF、AF的大小关系是 ．（用“＜”连接） 1．（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．4，5，10 2．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）将一个矩形纸片沿虚线折叠，围成无上下底的三棱柱，尺寸如图所示，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·山东滨州·期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，的延长线于点，在点的运动过程中，（   ） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．不变 D．先变大后变小 6．（25-26七年级下·广东深圳·期末）已知一个三角形的边长均为整数，且其中两条边长分别和，则第三边的长度可能是_______________________．（写出满足条件的一个答案即可） 7．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，是高，是中线，，，则__________． 8．（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论：①；②；③；④．正确的说法有_____个 9．（25-26八年级上·福建莆田·期中）中，平分，，若，则的周长是______． 10．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的____________． 11．（25-26七年级下·全国·单元复习）有四根细木棒，长度分别为，，，，哪三根木棒可以摆成一个三角形？有几种可能的情况？实际摆一摆，验证你的结论． 12．（25-26八年级上·全国·周测）若一个三角形三边的长互不相等，且其边长，，满足（为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边的长分别为，，．，这个三角形为“不均衡三角形”． (1)下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的是_____________（填序号）． ①；②；③；④． (2)若一个“不均衡三角形”三边的长分别为，，，求出的整数值． 13．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 14．（26-27八年级·全国·暑假作业）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________； (3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________． 15．（25-26八年级上·北京平谷·期末）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，、、、、、这6个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与______的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的2倍，可得______，同理可得：______； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点F是的重心，连接，并延长分别交，于点E，D，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 与三角形有关的线段重难点题型专训（4个知识点+10大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、构成三角形的条件 1 题型二、确定第三边的取值范围 2 题型三、三角形三边关系的应用 3 题型四、三角形的稳定性及应用 4 题型五、根据三角形中线求长度 5 题型六、根据三角形中线求面积 6 题型七、重心的概念 7 题型八、三角形角平分线的定义 8 题型九、画三角形的高 9 题型十、与三角形的高有关的计算问题 10 第二部分·练提高题型 题型一、利用三角形的高计算面积问题 1 题型二、三角形三边关系综合应用 2 题型三、与三角形有关的线段综合问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 角平分线的定义 ①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 ②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。· 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的中线和角平分线，则：____________________；____________________． 【答案】 【分析】根据，分别是的中线和角平分线，得到为线段的中点，平分，进行作答即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴是线段的中点， ∴， ∵是的角平分线， ∴平分， ∴； 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查三角形的中线和角平分线的定义．熟练掌握三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线，是解题的关键． 知识点02 三角形的三边关系 定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 理论依据：两点之间，线段最短。 应用技巧： 判断能否构成：只需验证较短两边之和 > 最长边即可。 求第三边范围：已知两边长 a,b ( a>b )，则第三边c的取值范围为a−b<c<a+b 。 三角形的稳定性 性质：当三角形的三边长度固定后，其形状和大小就完全确定，不易变形。 对比：四边形不具有稳定性（易变形），常通过添加对角线构成三角形来增加稳定性（如房屋人字梁、栅栏门斜钉木板、桥梁钢架）。 【即时训练】 1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）下列各组长度的线段能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了构成三角形的条件，三角形三边关系的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 只需最长线段与其他两条线段的和比较大小即可判断能否构成三角形，以此对四组线段分别分析，再作出判断． 【详解】解：，不满足两边之和大于第三边， ∴该组线段不能构成三角形， 故A不符合题意． ，不满足两边之和大于第三边， ∴该组线段不能构成三角形， 故B不符合题意． ，满足三角形三边关系， ∴该组线段能构成三角形， 故C符合题意． ，不满足两边之和大于第三边， ∴该组线段不能构成三角形， 故D不符合题意． 故选：C． 2．（2026·河北沧州·二模）如图1是圆规实物图，图2是其示意图，其中，以A为支撑点铅笔芯端点B绕点A旋转做出圆．若，则该圆的半径可能是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据三角形的三边关系可知， 又∵，， ∴ 则该圆的半径可能是（答案不唯一）． 知识点03 三角形的稳定性 性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东潮州·期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是（    ） A．三角形重心的确定 B．两点之间，线段最短 C．三角形的稳定性 D．图形的轴对称 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形，根据题意可知，主要利用了三角形的稳定性． 【详解】根据题意可知，主要利用了三角形的稳定性． 故选：C 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 【答案】三角形的稳定性 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：∵用木条固定长方形门框，可得到， ∴这种做法的根据是三角形的稳定性． 知识点04 三角形的重要线段 【即时训练】 1．（2026·广东·模拟预测）如图，在中，是的中线，是的中线，是的中线．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了利用三角形的中线求线段，熟练掌握三角形的中线等分线段是解题的关键． 根据三角形的中线等分线段得到，，，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南郑州·期中）【三角形的面积】如图，三角形的周长为40cm，P点为其内部一点，且点 P 到三边的距离均为3cm，则三角形的面积为________ ． 【答案】60 【分析】此题考查求三角形的面积，过点P作，连接，得到，根据三角形的面积为计算即可． 【详解】解：过点P作，连接， ∵点 P 到三边的距离均为3cm， ∴， ∴三角形的面积为 故答案为：60． 【基础题型一 构成三角形的条件】 【例1】（25-26七年级下·上海宝山·期末）用下列长度的三根木条首尾顺次连接，不能做成三角形框架的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】利用较小两边之和大于第三边即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A、因为，满足三边关系，能构成三角形，所以选项A不符合题意； B、因为，满足三边关系，能构成三角形，所以选项B不符合题意； C、因为，满足三边关系，能构成三角形，所以选项C不符合题意； D、因为，不满足三边关系，不能构成三角形，所以选项D符合题意． 【例2】（25-26七年级下·上海·期末）已知等腰三角形的三边分别为，和，则的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分为和，两种情况根据构成三角形的条件解答即可． 【详解】解：当时，由于，不能够构成三角形； 当时，，能构成三角形， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·全国·期中）若条长度均为整数厘米的线段，，满足，且这条线段中的任意条都不能构成三角形．若厘米，厘米，则能取的值是（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，由题意可知：若厘米，则后边的一个一定大于或等于前边的两个的和，进而可知一定有厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，据此即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：若厘米，则后边的一个一定大于或等于前边的两个的和，由任意3条线段都不能构成三角形，可知须满足（）。当时，可构造一个各项取值最小的数列：取最小整数，后续项取，得到数列。由于此数列的第9项恰好为，与题干条件相符，且任何其他满足条件的数列都会导致，故该数列是唯一解。因此， 故选：． 2．（25-26八年级上·河南郑州·期中）【三角形的三边关系】小豫想制作一个三角形框架，他找到了 这样的两根木条（如图）： 小豫把其中一根木条锯成长度是整厘米数的两段，然后和另外一根木条围成一个三角形．请将可能组成的不同三角形的三条边（表格中分别用a，b，c表示，排列顺序与结果无关，数值相同即为同一个三角形）的长度填入表中．（表格不一定要全部填满） 三角形 a边 b边 c边 三角形 a边 b边 c边 1 5 2 6 3 7 4 8 【答案】 填表如下： 三角形 a边 b边 c边 1 6 6 8 2 7 5 8 3 8 4 8 4 9 3 8 【分析】本题考查三角形三边的关系，小豫只能锯木条，因为组成三角形的任意两边之和大于第三边,分别锯成,或者,或者,或者． 【详解】略 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图表所示，在平面内，分别用3 根、5根、6根火柴（每根火柴长度相等）首尾顺次相接，能搭成不同形状的三角形． 火柴根数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 (1)4根火柴首尾顺次相接，能搭成一个三角形吗？ (2)8根、12 根火柴首尾顺次相接，能搭成几种不同的三角形？分别写出它们的边长． 【答案】(1)不能； (2)8根火柴能搭成1种三角形，边长分别是3，3，2；12根火柴能搭成3种三角形，边长分别是5，4，3或5，5，2或4，4，4． 【分析】本题主要考查三角形的三边关系． （1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，这三条线段不能组成三角形． （2）把8和12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形． 【详解】（1）解：4根火柴只能分成1，1，2三个数，这三条线段不能组成三角形，故4根火柴不能搭成三角形； （2）解：8根火柴能搭1种，边长是3，3，2； 12根火柴能搭3种，边长是5，4，3或5，5，2或4，4，4． 示意图如下： 【基础题型二 确定第三边的取值范围】 【例1】（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）李师傅做了一个三角形的工件，其中两边长分别为和，则第三边的长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设第三边的长为 ∵三角形的两边长分别为和 ∴根据三角形三边关系可得 ∴ 观察选项，只有符合该范围 ∴第三边的长可能是． 【例2】（25-26七年级下·河南周口·期中）三角形的两边长分别为3和6，第三边长为整数，则第三边最长为______． 【答案】8 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围，再结合第三边长为整数的条件，即可求出第三边的最长值 【详解】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系，得：， 即 ， 第三边长为整数， 第三边的最长值为 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 2．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）一个三角形的三边长分别为5，9，m，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查求三角形第三边的取值范围，根据三角形的三边关系即可得出结果． 【详解】解：由三角形的三边关系，得，即； 故答案为：． 3．（25-26八年级上·甘肃陇南·期中）为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．设计小组准备制作两边长分别为2米和5米，第三边长为偶数的不同规格的三角形框架，他们到建材市场收集到的数据如下： 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价（元/根） 6 8 10 15 20 (1)根据市场能购买到的铁条制作满足条件的三角形框架，共有_____种制作方案； (2)若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 【答案】(1)2 (2)购买铁条共需72元 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，有理数的加法的应用，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）设第三边长为x米，根据三角形三边关系计算即可得解； （2）根据（1）中计算的结果，分两种情况，计算即可得解． 【详解】（1）解：设第三边长为x米， 由题意得，，即， 为偶数， 的值为4或6． 共有2种制作方案． 故答案为：2； （2）解：当三角形框架的三边长分别为2米，4米，5米时，所需费用为（元）， 当三角形框架的三边长分别为2米，5米，6米时，所需费用为（元）， 每种规格的框架各制作一个所需要的费用为（元）． 答：购买铁条共需72元． 【基础题型三 三角形三边关系的应用】 【例1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，为了估计池塘岸边，之间的距离，在池塘外选取一点，测得米，米，则，间的距离不可能是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系的应用． 连接，根据三角形三边的关系，可得的取值范围，即可求解． 【详解】解：连接， ∵米，米， ∴， ∴， ∴，间的距离不可能是米． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，则间的距离可能是______． 【答案】7米 【分析】本题主要考查对三角形的三边关系的应用，根据三角形的三边关系定理得到，根据的范围判断即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系定理得：， 即：， ∴的值在5和25之间， ∴A、B间的距离可能是7米． 故答案为：7米（答案不唯一）． 1．（25-26八年级上·天津西青·期末）一个等腰三角形的一边长为，周长为，这个等腰三角形的腰长是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形三边之间的关系，等腰三角形周长，一边长为，需分情况讨论该边是腰或底边，并验证三角形不等式． 【详解】解：当等腰三角形的腰为时，则等腰三角形的底边为， 则三角形三边长分别为、、， ， 不能构成三角形， 当等腰三角形的底边为时，则等腰三角形的腰长为， 则等腰三角形的三边长分别为、、， ， 能构成三角形， 等腰三角形的腰长为7. 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，，，点是平面内一点，且满足，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，将转化为求的最小值，当B、C、D在同一直线上时，最小值为． 【详解】解：∵， ∴， ∴当B、C、D在同一直线上时，有最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：16． 3．（25-26八年级上·河北衡水·期中）龟兔举行了新跑步比赛．比赛路线是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①；路线②；路线③． (1)若乌龟选择了路线②，在判断乌龟和兔子的路线长短时．有以下思路，请你继续解答． 如图，延长交于点P．在中，， (2)路线②和③相比，哪条更短？（需写出过程） 【答案】(1) 解：补全过程如下： 在中，， ∴， ∴， ∴兔子的路线长，乌龟的路线短． (2) 解：如图，延长交于点M，延长交于点N． 在中，，① 在中，，② 在中，∵， ∴，③ ∴由①②③式得， ∴， ∴， ∴路线②和③相比，路线③更短． 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系得出，可推出，从而得出答案； （2）如图，延长交于点，延长交于点．分别在中，根据三角形的三边关系得出，可推出，从而得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型四 三角形的稳定性及应用】 【例1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性即可解决问题． 【详解】解：窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·吉林松原·期中）今年8月17日，“一县一品”第四届环湖自行车赛在国家5A级旅游景区松原查干湖盛大启幕．如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是______． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是：三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 1．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了。于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】用木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释． 【详解】如图： A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 【答案】 【分析】本题考查三角形具有稳定性，解题的关键是找对角线的条数；根据三角形具有稳定性，把四边形、五边形、六边形分成三角形，然后根据从同一个顶点出发可以作出的对角线的条数解答． 【详解】解：(1)四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (2)五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (3)六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (4) 边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上根木条， 故答案为：， ，， 3．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查三角形的稳定性，图形类规律问题； （1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】解：（1）如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … （根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：． （2）由（1）进而得表格中的“▲”处填 故答案为：． （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【基础题型五 根据三角形中线求长度】 【例1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形中线的定义，由条件得出两三角形的周长之差即为和的差是解题的关键．利用中线的定义可知，可知与的周长之差即为和的差，可求得答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长， ∴周长的周长， 即与的周长之差是， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，为边的中线，的周长比的周长多，，则___________． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的中线，由为边的中线，可得，再根据的周长比的周长多，可得，由此可解． 【详解】解：为边的中线， ， 的周长比的周长多， ， ， ， 故答案为：5． 1．（25-26八年级上·湖北随州·期末）在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是4名同学的折纸示意图（C的对应点是），其中折出的是中边上的中线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义、折叠的性质，根据折叠的性质结合中线的定义即可得解． 【详解】解：根据中线的定义结合图形可得： 折出的是中边上的中线的是 故选：D． 2．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）如图，E是边的中点，若，的周长比的周长多1，则__________． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握理解三角形中线的定义是解题关键． 先根据三角形中线的定义可得，再根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：E是边的中点， ， 的周长比的周长多1，且， ， 即， ， 故答案为：5． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的高线，是中点，连接交于点O． (1)若的周长为，求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点A到的距离． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了三角形的中线、三角形的高线、三角形的面积等知识点，灵活运用等面积法求三角形的高是解题的关键． （1）根据中线的定义可知，结合已知求出，然后再求即可； （2）直接运用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵是中点， ∴， ， ∴， ， ∴的周长． （2）解：如图：过A作于M， ， ∴，解得：． ∴点A到的距离． 【基础题型六 根据三角形中线求面积】 【例1】（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，是边上的中线，是的中点，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的中线的性质，得到，，即可解答． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是的中点， ∴． 故选C． 【例2】（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，已知的面积为2，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为__________． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，可得，即得，进而得到，同理可得，，再根据即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴， 故答案为：12． 1．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）如图，五边形各边中点分别为，，，，，连接，，，，图中阴影部分的总面积是15，则五边形的面积是（     ） A．5 B．8 C．30 D．45 【答案】C 【分析】连接，利用三角形中线将三角形面积平分，即可解答． 【详解】解：如图，连接， ，，，，分别为五边形各边中点， ,，，， 图中阴影部分的总面积是15， ， 五边形的面积是． 2．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，已知中，，，为边上一点，，，为上一点，过点作于点，于点，则的值为_____________． 【答案】 【分析】根据，可知，再根据即可求解． 【详解】解：已知中， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）【数学经验】三角形的中线能将该三角形分成面积相等的两部分． (1)【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，那么它们的面积比等于对应底边的比．如图1，的边上有一点，请证明：； (2)【结论应用】如图2，的面积为1，，求的面积； (3)【拓展延伸】如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，证明：． 【答案】(1)证明：如图1，过作于， ，， ， 即； (2)12； (3)证明：如图3， ∵是上任意一点， ∴， ∵是上任意一点， ，， ∴，即． 【分析】（1）过C作于H，依据三角形面积计算公式，即可得到结论； （2）连接，依据“如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比”，即可得到与面积之间的关系； （3）依据如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，即可得到与面积之间的关系． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，连接， ∵， ， 又∵， ， ， 又的面积为1， 的面积为12； （3）略 【基础题型七 重心的概念】 【例1】（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）已知：如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，则下列命题中正确的是（　　） A．是的平分线 B．是边上的高 C．是边上的中线 D．是边上的中垂线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心的定义．根据三角形重心的定义直接判断即可． 【详解】解：∵点是的重心，连接并延长交于点， 是边上的中线． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·广东湛江·阶段检测）如图，点是的三条中线的交点，则___________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的定义，解题的关键是明确三角形三条中线的交点（重心）与中线的关系，即过重心的线段为的中线． 先根据“点O是的三条中线的交点”，可知线段是的一条中线；再依据三角形中线的定义——连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，可判断点D是边的中点；最后根据中点的性质，得出与的数量关系． 【详解】解：∵点O是的三条中线的交点，且A、O、D在同一条直线上，D在边上， ∴是的中线． 又∵三角形中线的定义为连接三角形一个顶点和它对边中点的线段， ∴点D是的中点． ∵中点将线段分为两条相等的线段， ∴． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如图，由各特征可得， ∴为的两条中线， ∴点为的重心， 故选：D． 2．（25-26八年级上·山东泰安·阶段检测）如图，G是的重心，若，则图中阴影部分面积是_____．    【答案】10 【分析】如图，利用三角形重心的性质得、为三角形的中线，，，然后根据三角形面积公式出，则，，从而得到图中阴影部分面积． 【详解】是的重心， 、为三角形的中线，，， ， ，， 图中阴影部分面积． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 也考查了三角形面积公式． 3．（25-26八年级上·广东中山·期中）【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】若的面积为m，求的面积．（用含m的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算，结合图形求解是解题关键． 根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出． 【详解】解：∵点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点， ，， ， ． 【基础题型八 三角形角平分线的定义】 【例1】（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l是的（    ） A．中线 B．对角线 C．高线 D．角平分线 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义．由折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，设折痕l交于点D， 由折叠的性质得：， ∴l是的角平分线． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，是的角平分线，是边上的中线（填“”“”或“”）． （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查了中线的定义，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据是边上的中线得，即可作答． （2）根据是的角平分线，得，即可作答． 【详解】解：（1）∵是边上的中线, ∴， 故答案为：； （2）∵是的角平分线， ∴， 故答案为：； 1．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，已知，，，且，平分分别交、的延长线于点M、N．则______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义．正确的添加辅助线并确定角度之间的数量关系是解题的关键． 设，，则，，，，由角平分线可得，如图，作，则，可得，，，，则，根据，求得，然后求的值，进而可得的值． 【详解】解：设，，则，，，， ∵平分， ∴， 如图，作，则， ∴， ， ，， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图． (1)甲折出的是的______． (2)乙折出的是的______． (3)丙折出的是的______． 【答案】(1)高 (2)角平分线 (3)中线 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形高线、角平分线、中线的定义． （1）根据三角形高的定义即可判定； （2）根据三角形角平分线的定义即可判定； （3）根据三角形中线的定义即可判定． 【详解】（1）解：图甲中，由折叠可知，， ， ， ， 故甲折出的是的边上的高； （2）图乙中，由折叠可知，， 故乙折出的是的角平分线； （3）图丙中，由折叠可知，， D点是边的中点， 故丙折出的是的边上的中线． 【基础题型九 画三角形的高】 【例1】（25-26七年级下·广东佛山·期中）下列四个图形中，正确画出的边上的高的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，解题的关键是找准顶点和对应的底边． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，的边上的高，应是过顶点向边所在的直线作垂线段． 过点作延长线的垂线，垂足为． 观察四个选项，只有D选项符合题意． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，交BC的延长线于点D，于点C，于点F．图中是的高的线段有________条． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的高，正确把握高的定义是解题关键． “从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高”，直接利用三角形高的定义分析即可得出答案． 【详解】解：由图可知，是边上的高，是边上的高． 故线段与线段都是的高． 故答案为： 1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，中线以及等腰三角形的性质，正确判断垂直关系即可． 【详解】解：A、，，所以线段不是的边上的高； B、，，则，所以线段是的边上的高； C、，，所以线段不是的边上的高； D、与不垂直，所以线段不是的边上的高； 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课前预习）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称_________．如图，线段______是BC边上的高． 【答案】 三角形的高 AD 【解析】略 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）一个缺角的三角形残片如图所示． (1)不恢复这个缺角，你能画出边上的高所在的直线吗？你是如何画的？依据是什么？ (2)小明分别画出和的平分线，两线交于点，又找到边的中点，画直线，小明说他画出了第三个角的角平分线所在的直线．你认为他说的对吗？为什么？ 【答案】(1)能画出边上的高所在的直线， 如图所示： ①分别过点、点作三角形的高线、，与相交于点， ②过点作，垂足为， ③即为边上的高所在的直线． 理由：、是三角形的高线，三角形的三条高线（或其延长线）相交于一点（垂心）， 点在边的高线上， 过点有且只有一条直线与垂直， 为边上的高所在的直线； (2)他说得不对，三角形的角平分线不一定经过该角对边的中点． 【分析】（1）分别过点和点作出三角形的两条高线，然后两条高线的交点作的垂线，该直线即为边上的高所在的直线； （2）三角形的角平分线不一定经过该角对边的中点． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型十 与三角形的高有关的计算问题 】 【例1】（25-26八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：， ， ∵是中线， ． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，、分别是的高且，，，则_____． 【答案】 【详解】解：根据三角形面积公式可得：， ∵， ∴， ∴． 1．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在梯形中，，对角线与相交于点，若的面积是，的面积是，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据等底等高的三角形面积相等，得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，已知，，连接，F为上的点，且，连接．若，四边形的面积为20，求的边上的高是多少？ 【答案】 【分析】连接，设，的边上的高为，根据三角形中线的性质可得，，，，根据四边形的面积为，求出的值即可，掌握三角形的中线性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设，的边上的高为， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴四边形的面积为，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的边上的高为． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 【答案】40 【分析】根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形的中线的性质求解即可． 【详解】解：是的高，，， ， 是的中线， ． 【点睛】 【提高题型一 利用三角形的高计算面积问题 】 【例1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用等面积法，求出之间的关系，并设值，再利用已知求出的长度，套用三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴，解得，， ． 【例2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，，分别是的高和中线，，，，，___________，的面积___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，三角形的中线． 由的面积，可得，根据中线的性质，即可得的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的高，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 故答案为：，． 1．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，AD是BC边上的高，点E在AD上，且，若的面积为S，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质证得BD=CD=BC，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵AB=AC，AD是BC边上的高， ∴AD⊥BC，BD=CD=BC， ∵，的面积为S， ∴S△ABE= AE·BD= ·AD·BC= ·AD·BC=， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的高、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键． 2．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，中，为边上的高，记为，的垂直平分线交边于点，交边于点，连接，得到第一个三角形，作边上的高；作高的垂直平分线交边于点，交边于点，连接，得到第二个三角形，作边上的高，，依次这样作下去，则第个三角形的面积为_____． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，找规律，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，再根据面积规律即可求解，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用，根据面积的变化寻找规律，总结规律． 【详解】由题意得：是中点，则， 是中点，则， 是中点，则， ， 则， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道三角形的3条高所在直线交于同一点． （1）①如图1，中，，则的三条高所在直线交于点 ； ②如图2，中，，已知两条高、，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹） 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E． ①若，，则 °； ②请写出与，之间的数量关系 ，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，中，M是上一点，且，N是的中点，若的面积是m，请直接写出四边形的面积 ．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①A, ②如图，延长、交于点F，连接，延长交于点G，则为的第三条高； （2）① ②与，之间的数量关系是，理由如下： ， ， ， 平分， ， ， ， ， （3） 【分析】（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论； ②延长、交于点，连接，延长交于点，则为的第三条高； （2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得，再由直角三角形的性质得，即可求解； ②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可； （3）连接，由中线的性质得，同理，设，则，再求出，，然后由面积关系求出，即可解决问题． 【详解】（1）①直角三角形三条高的交点为直角顶点，， 的三条高所在直线交于点A， 故答案为：A； ② 略 （2）①，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为： ② 略 （3）连接，如图所示： N是的中点， ， ， 同理：， 设， 的面积是m， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；解题的关键是熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系． 【提高题型二 三角形三边关系综合应用】 【例1】（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，则化简的结果为（     ） A． B． C． D．b 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”判断每个绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果． 【详解】∵，，是的三边长， ∴根据三角形三边关系可得 ，，， ∴ ， ， ， ∴ ． 【例2】（2026·河北石家庄·一模）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】5 【分析】根据等腰三角形定义，构成三角形三边关系分情况讨论即可． 【详解】解：①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，的长为5． 1．（2026·湖北武汉·二模）小红在学习完《三角形》后，她对各边长都是整数的三角形的个数进行了研究，结果如下表： 最长的边长 1 2 3 … n 三角形的个数 1 2 4 … m 若，则m的值是（     ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系求解，已知最长边为，设另外两边满足，根据“任意两边之和大于第三边”得到，枚举所有符合条件的整数，求和即可得到三角形总个数． 【详解】设三角形另外两边长为,，满足 ∵最长边为，根据三角形三边关系得 按的取值枚举所有情况： 当时，，可取，共个； 当时，，可取，共个； 当时，，可取，共个； 当时，，可取，共个； 当时，不存在满足条件的整数； ∴总个数． 2．（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在等腰中，底边，若的周长为，请写出一个符合条件的的整数值：___________． 【答案】17（答案不唯一，写出13~17中任何一个整数即可） 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，由，设腰长，可知，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边：，可得的取值范围，进而可得周长的取值范围，即可求解． 【详解】解：已知等腰，，且，设腰长， 可得：， 根据三角形三边关系，两边之和大于第三边：，即，得， ∴， 则，周长，可得， 即，因此，周长的整数值可以是 13、14、15、16、17 中的任意一个， 故答案为：17（答案不唯一，写出13~17中任何一个整数即可）． 3．（25-26八年级上·全国·期中）（1）如图甲，从经到 是一条柏油马路，是一条小路，人们从到，为什么不走柏油路，而喜欢走小路请你用学过的知识解释一下原因； （2）如图乙，从经到是一条柏油马路，由 经到是一条小路，人们从 步行到，为什么不走柏油路，而喜欢走小路请你用学过的知识解释一下原因． 【答案】（1）三角形两边之和大于第三边；（2）见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系， （1）根据三角形的三边关系（或两点之间线段最短）即可求解； （2）延长交于，根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，然后相加即可得解． 【详解】（1）或两点之间线段最短 （2）如图，延长交于， 由三角形的三边关系得，， ， 所以，， 所以，， 所以，人们不走柏油路，而喜欢走小路． 【提高题型三 与三角形有关的线段综合问题 】 【例1】（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）有条线段的长分别是，，和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，共可作不同的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行分析即可． 【详解】解：当取，，三条线段时， ，，故能构成三角形； 当取，，三条线段时， ，故不能构成三角形； 当取，，三条线段时， ，，故能构成三角形； 当取，，三条线段时， ，，故能构成三角形； 故可做个不同的三角形， 故选：． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答本题的关键． 【例2】（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）如果三条线段、、，可组成三角形，且，，是偶数，则的值为_________． 【答案】4或6 【分析】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解题时还要注意题目的要求，要按题意解题． 根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：．又因为c为偶数，从而可得答案． 【详解】解：∵如果三条线段、、，可组成三角形，且，， ∴， 又∵c为偶数， ∴c的值为4或6． 故答案为：4或6． 1．（25-26七年级下·河北承德·期末）在一次数学课上，老师让学生进行画图，你觉得学生可能会发现的结论是（　　） A．三条线段首尾顺次相接能构成三角形 B．三角形的内角和是180° C．三角形的任意一个外角大于和它不相邻的内角 D．三角形任意两边之和大于第三边 【答案】D 【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【详解】解：①∵a＝8，b＝5，c＝1， ∴a＞b+c， ∴三条线段不能组成三角形； ②∵a＝8，b＝6，c＝2， ∴a＝b+c， ∴三条线段不能组成三角形； ③∵a＝8，b＝6，c＝3， ∴a＜b+c， ∴三条线段能组成三角形； ∴学生可能会发现的结论是三角形任意两边之和大于第三边， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用，准确判断是解题的关键． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，分别是边，上的点，且．以为边向右作，使得，，连接，若，则线段长度的取值范围是________． 【答案】1<CF<3 【分析】根据题意利用线段间的数量关系可得CD-BE=2，再由三角形三边关系进行求解即可得出结果． 【详解】解：由图可得：CD=BC-BD， ∵BC=BA， ∴BE=BA-AE， ∵AE=3BD， ∴BE=BA-3BD=BC-3BD， ∴CD-BE=BC-BD-BC+3BD=2BD=2， ∵CF在∆CDF中， ∴CD-DE=CD-DF<CF<CD+DF=CD+DE， ∵DE<BD+BE， ∴CD-DE>CD-BE-BD=2-1=1，CD+DE>CD+BD-BE=2+1=3， ∴1<CF<3， 故答案为：1<CF<3． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系等，理解题意，找准线段间的数量关系是解题关键． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上． （1）过点A画线段BC的垂线，垂足为E； （2）过点A画线段AB的垂线，交线段CB的延长线于点F； （3）线段BE的长度是点 到直线 的距离； （4）线段AE、BF、AF的大小关系是 ．（用“＜”连接） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）B，AE；（4）AE＜AF＜BF 【分析】（1）根据垂线的做法画出图象； （2）根据垂线的做法画出图象； （3）根据点到直线距离的定义填空； （4）利用直角三角形的斜边和直角边的大小关系，得出结果． 【详解】(1)如图所示； (2)如图所示； (3) ∵， ∴线段BE的长度是点B到直线AE的距离， 故答案是：B，AE； (4)∵AE是直角三角形AEF的直角边，AF是直角三角形AEF的斜边， ∴， ∵BF是直角三角形ABF的斜边，AF是直角三角形ABF的直角边， ∴， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题考查作垂线和直角三角形的性质，解题的关键是掌握作垂线的方法和直角三角形的直角边和斜边的大小关系． 1．（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）下列各组线段中，能组成三角形的是（   ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．4，5，10 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，长度是3、4、8的线段不能组成三角形，故A不符合题意； B、，长度是5、6、11的线段不能组成三角形，故B不符合题意； C、，长度是5、6、10的线段能组成三角形，故C符合题意； D、，长度是4、5、10的线段不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）将一个矩形纸片沿虚线折叠，围成无上下底的三棱柱，尺寸如图所示，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．折叠后形成的三角形三边分别为，利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：由题意得：折叠后形成的三角形三边分别为， 则， 解得， 观察四个选项可知，只有选项D符合， 故选：D． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴不一定是的中点，即不一定成立， ∴不一定成立，D说法错误，符合题意． 故选：D． 4．（25-26七年级下·山东滨州·期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【答案】A 【详解】解：由三角形薄板保持水平可知悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，的延长线于点，在点的运动过程中，（   ） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．不变 D．先变大后变小 【答案】B 【分析】本题考查三角形相关知识解决问题，理解题意，将转化为三角形面积关系是解决问题的关键． 利用三角形面积关系，将转化为分析即可得到答案． 【详解】解：，，在中，， ， 的值固定不变，在点沿自点向点运动（点与点，不重合）过程中，的长度逐渐变小， 在点的运动过程中，的值逐渐变大， 故选：B． 6．（25-26七年级下·广东深圳·期末）已知一个三角形的边长均为整数，且其中两条边长分别和，则第三边的长度可能是_______________________．（写出满足条件的一个答案即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边、两边之差小于第三边成为解题的关键． 先根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，然后确定第三边可能取值即可． 【详解】解：已知三角形两条边为和，设第三边为， 则：，即 ， 因为边长为整数， 所以可以取、、、、中任意一个，比如取． 故答案为：4（不唯一）． 7．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，是高，是中线，，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据，，求出，根据是中线即可求解． 【详解】解： ∵是中线 8．（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论：①；②；③；④．正确的说法有_____个 【答案】3 【分析】本题主要考查的是三角形的角平分线、中线和高等知识点．根据三角形角平分线、中线和高的定义，逐一判断即可． 【详解】解：∵分别是的高线、角平分线、中线， ∴，，，，不一定相等， 故，④错误①②③正确，共3个． 故答案为：3． 9．（25-26八年级上·福建莆田·期中）中，平分，，若，则的周长是______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，从而得到，推出，再由的周长，即可得到答案，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解此题的关键． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， 的周长， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的____________． 【答案】角平分线、高线、中线 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的角平分线、高线、中线等知识点，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键． 根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义逐个图形分析即可解答． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 故答案为：角平分线、高线、中线． 11．（25-26七年级下·全国·单元复习）有四根细木棒，长度分别为，，，，哪三根木棒可以摆成一个三角形？有几种可能的情况？实际摆一摆，验证你的结论． 【答案】共有3种符合要求的情况，分别为：、、；、、；、、， 从四根细木棒中随机抽出三根木棒，有四种可能： 证明：①、、；∵，∴可以摆成一个三角形； ②、、，∵，∴不能摆成一个三角形； ③、、，∵，∴可以摆成一个三角形； ④、、，∵，∴可以摆成一个三角形； 【分析】根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：略 12．（25-26八年级上·全国·周测）若一个三角形三边的长互不相等，且其边长，，满足（为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边的长分别为，，．，这个三角形为“不均衡三角形”． (1)下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的是_____________（填序号）． ①；②；③；④． (2)若一个“不均衡三角形”三边的长分别为，，，求出的整数值． 【答案】(1)② (2)的整数值为或或或 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨论思想的应用是解题的关键． (1)根据“不均衡三角形”的定义即可求解； (2)分三种情况对进行讨论即可求解． 【详解】解：（1）①， 不能组成“不均衡三角形”； ②， 能组成“不均衡三角形”； ③， 不能组成“不均衡三角形”； ④， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：②． （2）①当最长边长为，最短边长为时， 且， 解得． 由得， ∴该情况不符合题意，舍去； ②当最长边长为，最短边长为时， 且， 解得． 取整数， ． 当时， 三边的长分别为22，16，14，可以构成三角形； ③当最长边长为，最短边长为时， ，且， 解得． 取整数， 或或，且都可以构成三角形． 综上所述，的整数值为或或或． 13．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， ∴ 即． （2）解：∵是的中线， ∴， 的周长为10， ∴， ∵， ∴ 的周长 14．（26-27八年级·全国·暑假作业）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________； (3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 和等高三角形的性质可求得； （3）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 ，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ， ， ∴； （2）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴； （3）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴． 15．（25-26八年级上·北京平谷·期末）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【提出问题】 问题1：探究图1中，、、、、、这6个小三角形的面积关系？ 问题2：探究图1中的，，的值是多少？ 老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填“”、“”或“”）； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与______的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等； （3）由的面积是的面积的2倍，可得______，同理可得：______； 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点F是的重心，连接，并延长分别交，于点E，D，若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）42 【分析】本题考查了重心定义、利用三角形中线求面积，同底等高三角形，根据已知解题思路求出的值是解题关键． （1）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （2）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （3）由上述解析得到6个小三角形面积相等，进而得到的面积是的面积的2倍，再根据同高三角形面积之比等于底边之比求解即可； （4）由上面的结论可知，，进而求出，，然后利用三角形的面积公式和6个小三角形面积相等求解即可． 【详解】解：（1）是的中线，与等底同高，可以得到它们面积的大小关系为：， 故答案为：； （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得、、、、、这6个小三角形面积相等， 故答案为：； （3）由的面积是的面积的2倍，可得，同理可得：， 故答案为：，； （4）由条件可知， ∴，， ∵， ∴的面积为， ∴四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $