专题03 实际问题与一次函数重难点题型专训（1个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

**基本信息** 以"建模步骤+题型分类+拓展深化"构建一次函数应用体系，聚焦实际问题转化与函数模型构建，培养数学建模与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|1个核心知识点|3步建模法（判断关系→建立表达式→解决问题）|从概念（变量关系判断）到方法（待定系数法等），形成完整应用链条| |基础题型|8大题型+经典例题|分类突破策略（如分配方案用不等式约束、利润问题列二次函数）|覆盖经济、行程等8类实际场景，实现函数与生活问题深度联结| |拓展训练|3类拓展+综合题|动态问题分析（动点轨迹、存在性讨论、最值探究）|从静态应用到动态变化，提升逻辑推理与创新思维|

专题03 实际问题与一次函数重难点题型专训 （1个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 一次函数的实际应用一一分配方案问题 题型二 一次函数的实际应用一一最大利润问题 题型三 一次函数的实际应用一一行程问题 题型四 一次函数的实际应用一一工程问题 题型五 一次函数的实际应用一一几何问题 题型六 一次函数的实际应用一一体积问题 题型七 一次函数的实际应用一一梯度计价问题 题型八 一次函数的实际应用一一其他问题 拓展训练一 一次函数的实际应用一一动点问题 拓展训练二 一次函数的实际应用一一存在性问题 拓展训练三 一次函数的实际应用一一最值问题 知识点一：一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）某单位要印刷产品说明书，甲印刷厂提出，每份说明书收取1元印刷费，另收取元制版费；乙印刷厂提出，每份说明书收取元印刷费，不收取制版费．请选取适当的变量建立函数，给出最节省费用的印刷厂选择方案． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某服装店经销A，B两种T恤衫，根据资金安排，服装店分两次进货，已知第一次进价和售价如表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 第一次进货后，很快售完，获利2880元．第二次进货时，服装店计划再购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．由于受市场因素影响，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．设第二次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． (1)求出W与m的函数关系式，并注明自变量m的取值范围； (2)服装店第二次获利会不会超过第一次获利？请说明理由． 【经典例题一 一次函数的实际应用一一分配方案问题】 【例1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）某学校准备在商场购买每个50元的甲足球和每个70元的乙足球共50个，并且购进乙足球数量不少于甲足球数量的，则最省钱的购买方案是（   ） A．甲25个，乙25个 B．甲26个，乙24个 C．甲27个，乙23个 D．甲28个，乙22个 【例2】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的收费．若累计购物x元，当时，在甲商场需付钱数，当时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④．其中正确的说法是________（填序号） 1．（25-26八年级上·河南周口·期中）某运输公司拟用载重量分别为20吨和15吨的两种货车共12辆运输一批货物，已知这批货物总重量不超过220吨． (1)设载重量20吨的货车为x辆，求x的取值范围； (2)若载重量20吨的货车每辆租金为1500元，15吨的货车每辆租金为1200元，求总租金最少的租车方案及最少租金． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 3．（2025·陕西宝鸡·三模）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 【经典例题二 一次函数的实际应用一一最大利润问题】 【例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（    ） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 【例2】（2025·北京石景山·二模）某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元；乙特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是吨．设该公司每月销售甲特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元． (1)求与的函数解析式． (2)若甲特产的销售量不超过20吨，求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 2．（24-25八年级下·河南新乡·期中）为了备战体育基础达标测试，我校八年级组在开学初购进了A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了3000元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍．已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花20元． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？ (2)八（1）班同学为了训练更加方便，决定集体再购买A、B两种品牌足球共50个，恰逢商店足球按第一次购买时售价的九折出售，若八（1）班此次购买A、B两种品牌足球费用不超过3200元，则八（1）班此次最多可购买多少个B品牌足球？ (3)若商店销售A、B两种品牌足球进价分别为40元、55元，在（2）的条件下，商店销售完这50个A、B两种品牌的足球时，商店的最大利润是多少？并写出利润最大时的采购方案． 3．（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）某商场分两次购进A，B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如图所示： 购进数量/件 购进所需费用/元 A B 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 (1)求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A，B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 【经典例题三 一次函数的实际应用一一行程问题】 【例1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）A，B两地相距2千米，甲步行从A地出发到B地，同时乙骑自行车从B地出发到A地，乙到达A地12分钟后甲到达B地，如图，，分别表示甲、乙离A地的距离y（千米）和所用时间x（分钟）之间的函数关系．下列结论：①的表达式为；②的表达式为；③甲、乙相遇时，距B地千米；其中正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【例2】（2026·山东济南·一模）某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是______秒． 1．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，根据甲、乙两人在一次赛跑中跑完全程的平均速度，得到路程（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系如图所示．根据图像，回答下列问题： (1)甲的速度是__________米/秒； (2)先到达终点的是__________（填“甲”或“乙”）； (3)写出乙的图像的函数解析式及定义域__________． 2．（24-25八年级下·吉林长春·月考）李明乘车从永康到某景区旅游，同时王红从该景区返回永康．线段表示李明离永康的路程与时间的函数关系；线段表示王红离永康的路程与时间的函数关系．行驶1小时，李明、王红离永康的路程分别为，王红从景区返回永康用了4.5小时．（假设两人所乘的车在同一线路上行驶） (1)分别求关于的函数表达式； (2)当为何值时，他们乘坐的两车相遇； (3)当李明到达景区时，王红离永康还有多少千米？ 3．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）小佳所在的宿舍、食堂及图书馆可以近似看作在同一直线上．周末，小佳从宿舍出发，先去食堂吃早餐，然后匀速到图书馆借书，最后又匀速返回了宿舍．已知小佳离宿舍的距离y（）与离开宿舍的时间x（）之间的函数图象如图所示： (1)求小佳从食堂前往图书馆的过程中，y关于x的函数表达式； (2)当小佳离宿舍的距离为时，求她离开宿舍的时间． 【经典例题四 一次函数的实际应用一一工程问题】 【例1】（2025·北京东城·二模）两个变量满足的函数关系如图所示．    ①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟45米的速度到离家900米的报亭，在报亭看报10分钟，然后以每分钟60米的速度原路返回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y米； ②有一个容积为900毫升的空瓶，小张以45毫升/秒的速度向这个空瓶注水，注满后停止，10秒后，再以60毫升/秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y毫升； ③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路45米的速度工作了20天，随后因为天气原因停工了10天，为能尽快完成工作，后期以每天修路60米的速度进行工作，这样又经过了15天完成了整个工程．设所用时间为x天，完成的修路长度为y米． 在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）甲，乙两工程队完成某项工程，甲先做了10天，然后乙加入合作，共同完成剩下的工程．设工程总量为1，若工程进度如图所示，则实际完成这项工程共需要___________天．    1．（2025八年级下·浙江·专题练习）为顺利通过“全国文明城市”验收，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在20天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需要10天完成． (1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ (2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又使工程费用最少． 2．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·月考）某学校利用寒假维护其教学楼，若甲、乙两工程队合作天可完成；若甲工程队先单独施工天，再由乙工程队单独施工天也可完成． (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)现将该教学楼工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了天，每天需付施工费万元，乙工程队做另一部分工程用了天，每天需付施工费万元，若都是正整数，乙工程队做的时间不到天，求出此项工程总施工费用的最小值． 3．（2026·浙江台州·一模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． (1)完成这个光缆铺设工程用了多少天? (2)求乙队y关于x的函数关系式． (3)甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天? 【经典例题五 一次函数的实际应用一一几何问题】 【例1】（2026·广东惠州·一模）如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在边长为12的等边中，点在边上，且，长度为2的线段在边上运动，则四边形面积的最大值为________． 1．（25-26八年级下·北京·期中）一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求该一次函数的表达式，并在下图中画出该函数图象； (2)若y轴上有一点C，且，直接写出点C的坐标为______． 2．（25-26八年级下·北京房山·期中）如图，矩形的对角线相交于点，动点沿以的速度运动，当点构成三角形时，设的面积为，连接． (1)写出的面积与点的运动时间（）之间的关系式； (2)求的最大值，并求出此时的值． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图1，A、B两点坐标分别为、． (1)求直线的解析式． (2)如图2，直线分别与y轴、交于点、，若，求的值； (3)如图3，平移直线，平移后的直线与x轴交于点，与轴交于点，分别延长、交于点，点坐标为，求与之间的函数关系式． 【经典例题六 一次函数的实际应用一一体积问题】 【例1】（25-26八年级上·河北张家口·期末）在一定条件下某溶液的体积与温度成一次函数关系，函数图象如图所示，下列判断不正确的是（　　） A．时，该溶液的体积为 B．V与t的函数关系式为 C．若要求该溶液的体积不超过，则 D．温度t每增加该溶液体积V就增长 【例2】（2025·湖南邵阳·三模）铁的密度为，铁块的质量m(单位：g)与它的体积V(单位：)之间的函数关系式为，当时，______g． 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，、两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱中没有水，水箱盛满水，现以/的流量从水箱中抽水注入水箱中，直至水箱注满水为止．设注水时间为（），水箱的水位高度为（），水箱中的水位高度为（）．（抽水水管的体积忽略不计） (1)分别求出，与之间的函数表达式； (2)当水箱与水箱中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差． 2．（24-25八年级下·四川成都·期末）图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．    (1)甲水槽中水的下降速度为 厘米/分钟，铁块高度为 厘米； (2)求出注水第几分钟时，甲、乙水槽中水的深度相差1厘米？ (3)若甲槽底面积为56平方厘米，乙槽底面积为42平方厘米（壁厚不计），乙槽中铁块的体积多少立方厘米？   3．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，为一深，底面为正方形的长方体的容器，底部放入一小长方体铁块，现在以均匀的速度往容器中注水，图2是容器内水面高度随时间改变的函数关系图象，观察图中所提供的信息，解答下列问题： (1)容器内小长方体铁块的高为多少? (2)求直线的函数关系式； (3)该容器注满水需多少分钟？ (4)求长方体铁块的体积与容器的容积之比是多少？ 【经典例题七 一次函数的实际应用一一梯度计价问题】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）超市某种散装糖果的价格为元，如果一次购买以上的糖果，超过部分的糖果价格打7折．设购买糖果的质量为，付款金额为元，则与的函数关系图象大致是（  ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，然气费（单位：元）与之间的关系式是______． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 1．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）为确保广大居民家庭基本用水需求的同时鼓励家庭节约用水，对居民家庭每户每月用水量采用分档递增收费的方式，每户每月用水量不超过基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费．据调查，银川市居民家庭每户每月的基本用水量为30立方米 (1)若在基本用水量及其以内的部分按每立方米1.8元交费，超过基本用水量的部分按每立方米2.5元交费．设表示每户每月用水量（单位：），表示每户每月应交水费（单位：元），求与的函数关系式； (2)某户家庭每月交水费是104元，请按以上收费方式计算该家庭当月用水量是多少立方米？ 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）某快递公司推出一项新的快递业务，其收费标准如下：快递起步费为a元，即快递物品质量不超过bkg时收费a元，超过部分每千克收费c元．快递费与物品质量之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)观察图象填空：_________，________，_________． (2)若顾客快递物品的质量为xkg，快递费为y元，请写出y关于x的函数表达式． 3．（25-26七年级上·福建泉州·期中）根据以下素材．探索完成任务． 泉州土笋冻是独具地方风味的特色小吃，以其独特口感享誉一方．泉州本地土笋冻企业与京东快递公司合作，为各地食客寄送新鲜土笋冻．以下是本次合作的相关素材信息，请根据素材完成后续任务． 素材1 京东快递公司规定： 从当地寄送土笋冻到市按重量收费：当土笋冻重量不超过千克时，需要寄送费元；当重量超过千克时，超过部分另收元/千克． 素材2 电子存单 电子存单 托寄物：土笋冻 包装服务产品类型：京东快递公司 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：土笋冻 包装服务产品类型：京东快递公司 计量重量：千克 件数： 总费用：元 任务1 根据以上信息，请确定的值 任务2 求出土笋冻重量千克的寄送费用，结果用的代数式表示 任务3 若土笋冻重量达到千克，请求出最省的寄送费用． 【经典例题八 一次函数的实际应用一一其他问题】 【例1】（25-26八年级下·重庆·期中）小明点燃一支长为25厘米的蜡烛，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度（厘米）与燃烧时间（时）的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额（元）与销售量（件）的函数关系如图所示，当销售量为66件时，销售金额为___________元． 1．（25-26八年级下·北京·课前预习）某出租车收费标准为：起步价10元（及以内），超过的部分，每千米收费2元．设行驶路程为（），车费为元，求与的函数关系式，并计算行驶的车费． 2．（2026·吉林·一模）【知识背景】某学校的学习小组计划用同种型号的玻璃瓶制作一组水瓶乐器．根据物理学中的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，声音的振动频率随瓶中水位高度的变化而变化．水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高． 【信息收集】学习小组通过查阅资料，列出以下音名与频率的对照表（表1）： 音名 频率 【数据记录】学习小组进行了多次实验，记录水瓶不同水位高度h与对应的振动频率f的部分数据如下表（表2）： 水位高度 4 8 12 16 20 频率 【建立模型】学习小组以水位高度h为横坐标，频率f为纵坐标，根据表2中的数据绘制散点图．观察各点的分布特征，发现其大致分布在一条直线附近，表明f与h之间存在近似线性关系．基于此，学习小组将表2中的频率数据保留整数位后，采用线性函数对其变化规律进行近似刻画，进而求出水瓶乐器的频率f与水位高度h的函数关系式． 【解决问题】根据以上信息，解答下列问题： (1)请依照学习小组的方法，求水瓶乐器的频率f与水位高度h的函数关系式（不要求写出h的取值范围）． (2)若要制作能敲击出音名的水瓶乐器，求该水瓶中需要注入的水位高度． (3)已知水瓶乐器中的水量随水位高度均匀变化，当水位高度为时，所使用的水量为；当水位高度为时，所使用的水量为．若要制作能敲击出音名的水瓶乐器，直接写出该水瓶中需要注入的水量． 3．（2026·河北沧州·模拟预测）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方为弹簧悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示． (1)图2中，点对应状态为______，点对应状态为______（前两空填图1中的图形序号），______，______； (2)已知弹簧测力计在状态③时圆柱体浸入水中的高度为，求此时弹簧测力计显示的读数． 【拓展训练一 一次函数的实际应用一一动点问题】 【例1】（24-25八年级下·全国·期中）如图，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点 A，一动点 C 从点 A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点A₂处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，…，…则当动点 C到达处时，运动的总路径的长为（      ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，是直线上一动点，若点、的坐标分别为、，则的面积为______． 1．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，直线过点、，直线和直线交于点，直线l2与y轴交于点．    (1)求直线和直线对应的函数解析式； (2)直线上有一动点P，使得的面积为12，求点P的坐标； (3)y轴上有一动点M，直线上有一动点N，使以M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标． 2．（2026·浙江衢州·一模）如图1，为的直径，的周长为厘米．动点从点出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为厘米/秒，点出发后，动点也从点出发，以厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点运动（秒）时，点，与点之间较短的弧长分别为，．，与的函数图象如图2所示． (1)求的值． (2)当时，求关于的一次函数表达式． (3)若点为图中两个函数图象的交点，求点的坐标，并求出此时点，点之间的劣弧长． 3．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，直线过点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点M，点N分别为x轴，y轴上一动点，求的最小值及此时点M的坐标； (3)如图3，在（2）问的条件下，过点B作垂直于y轴，点P为直线上一动点，点Q为直线上一动点，若是以为腰的等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点Q坐标． 【拓展训练二 一次函数的实际应用一一存在性问题】 【例1】（25-26九年级上·福建漳州·月考）在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、C，作矩形，将沿直线平移，当A、B的对应点、与点C构成直角三角形时，x轴上存在一点P，使得的值最大时P的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，，若直线上存在点，使点关于轴的对称点在线段上，则的取值范围为___________． 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，已知直线与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求k的值及点A的坐标； (2)在x轴上是否存在一点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，函数的图象与函数的图象交于点A，与y轴分别交于B，C两点． (1)求n的值； (2)当对应函数的值小于等于对应函数的值时，自变量x的取值范围是_________； (3)在上是否存在点P，使得．若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【拓展训练三 一次函数的实际应用一一最值问题】 【例1】（25-26八年级下·福建福州·期中）在物理实验课上，小华利用弹簧测力计及相关器材进行实验，他把得到的弹簧长度和所悬挂物体的质量的数据用电脑绘制成如图所示的图象，下列结论正确的为（  ） A．弹簧的长度与悬挂物体质量成正比例函数关系 B．没有悬挂物体时，弹簧长度为 C．当悬挂物体的质量为时，弹簧伸长了 D．当悬挂的物体质量为时，弹簧长度为 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，平面直角坐标系中，点C是直线：上一点，坐标为，点D是x轴上一点，坐标为，点M为直线上的一点，点N为平面内一点，当以点C，M，N，D为顶点的四边形是矩形时，点N的横坐标为______． 1．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，根据甲、乙两人在一次赛跑中跑完全程的平均速度，得到路程（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系如图所示．根据图像，回答下列问题： (1)甲的速度是__________米/秒； (2)先到达终点的是__________（填“甲”或“乙”）； (3)写出乙的图像的函数解析式及定义域__________． 2．（2026·江苏泰州·一模）如图，在长方形电子屏中，，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点C出发沿着折线，以的速度匀速运动，O为BC中点，连接，随着点P的移动，画面逐渐展开，当点P运动到点B时，画面全部展开． (1)直接写出展开的画面面积（单位：）关于点P的运动时间t（单位：）的函数表达式，并写出自变量t的范围； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 3．（2026·吉林·模拟预测）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 (1)【建立模型】：观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． (2)【解决问题】：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？（直接写出） A基础训练 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）某学校准备在商场购买每个50元的甲足球和每个70元的乙足球共50个，并且购进乙足球数量不少于甲足球数量的，则最省钱的购买方案是（   ） A．甲25个，乙25个 B．甲26个，乙24个 C．甲27个，乙23个 D．甲28个，乙22个 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26八年级上·山西运城·期末）在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶小时时两车相遇 B．甲车的速度为，乙车的速度为 C．甲车出发小时后乙车才出发 D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 5．（25-26八年级上·安徽池州·期末）以下是我县自来水价格调整表（部分）（单位：元），则调整水价后某户居民月用水量与应交水费（元）的函数大致图象是（    ） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户 第二阶梯：月用水量每户超过部分 A． B． C． D． B 提高训练 6．（24-25八年级·全国·假期作业）某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______． 7．（2026·山东济南·一模）甲、乙两辆运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系．则x=______h，甲、乙两车相距． 8．（2025·山东青岛·一模）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表． x（元件） 15 18 20 22 … y（件） 250 220 200 180 … 按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是________． 9．（25-26八年级上·广西崇左·月考）在物理学中有很多的公式可以直接或者间接看作一次函数，例如求物体质量公式是正比例函数．在真正的物理问题中，一个变量随着另一个变量变化的例子有很多．例如匀速直线运动中，路程随着时间的变化而变化；一定弹性限度内的弹簧，弹簧长度随着拉力的增大而不断增加．这些都是物理学中，应用最简单的知识．如图所示，某弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，则弹簧不挂物体时的长度是_____． 10．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图1，直角坐标系中点、、、，过点的直线，与四边形交于点，（点和点可以重合）．以的值为点的横坐标，线段的长度为纵坐标，列表、描点、连线，绘制函数图象如图2．则函数的最大值是______，函数的图象与横轴两交点之间的距离为______． C 培优训练 11．（25-26八年级下·山西太原·期中）活动背景：为响应山西省新能源汽车推广政策，落实绿色出行要求，太原市某小区计划为业主安装新能源汽车家用充电桩，提升小区便民服务水平．该小区共有12栋居民楼，预计有名业主申请安装充电桩，且每名业主申请安装1个充电桩，物业拟定了两个安装方案如下： 项目 方案一（第三方合作安装） 方案二（物业自主安装） 费用明细 1．每栋楼统一收取勘测、布线费500元/栋 2．充电桩安装费：50元/个 3．免费提供3年质保服务 1．每栋楼无基础服务费 2．充电桩安装费：35元/个 3．充电桩辅材采购费：20元/个 4．质保服务费：1000元/年（可选，若选择则按年收取，默认签订2年合同） 若小区默认签订2年质保合同，结合上表信息分析，该小区选择哪个方案进行充电桩安装，所需总费用较少？ 12．（2026·陕西西安·一模）小明用量杯盛某种液体进行探究，实验表明液体与量杯的总质量（）和液体的体积满足一次函数关系．测得部分数据如下表： 液体体积 总质量（） (1)求与的函数关系式； (2)若用天平称得液体与量杯的总质量为，那么量杯中的液体体积为多少？ 13．（25-26八年级下·全国·单元测试）【背景调查】龙门石窟始建于北魏孝文帝时期，现有2345座佛龛（kān），十万余尊造像，2800余块碑刻题记，是世界上建造时间最长，造像最多，规模最大的石窟，与敦煌莫高窟，大同云冈石窟并称为中国三大石窟． 【数学情境】龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A，B两种文创产品．如图是店里的一张进货单（墨迹覆盖了部分数据）： 序号 规格 单位 数量 单价 金额 1 A种 件 50 ■ 4000 2 B种 件 50 ■ 3250 店员说：“这次进货，B种文创产品的单价比A种文创产品的单价少15元，A，B种文创产品的数量相同”． 【建立模型】请你解决下列问题． (1)求A，B两种文创产品的进货单价各是多少元． (2)已知A种文创产品每件的售价为100元，B种文创产品每件的售价为80元．根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两种文创产品共100件进行销售．问：怎样进货才能使销售完这批货后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 14．（2026·浙江宁波·模拟预测）某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进．用时少者胜．甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离与比赛时间的函数关系如图2． (1)求乙班返回时的速度． (2)求的函数表达式． (3)求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，的值． 15．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，直线：与轴、轴分别交于点、，直线：与轴、轴分别交于点、，两直线相交于点． (1)直接写出直线的解析表达式为______； (2)结合图像，当时，的取值范围是______； (3)如果点在直线上，满足的面积是面积的2倍，请求出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实际问题与一次函数重难点题型专训 （1个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 一次函数的实际应用一一分配方案问题 题型二 一次函数的实际应用一一最大利润问题 题型三 一次函数的实际应用一一行程问题 题型四 一次函数的实际应用一一工程问题 题型五 一次函数的实际应用一一几何问题 题型六 一次函数的实际应用一一体积问题 题型七 一次函数的实际应用一一梯度计价问题 题型八 一次函数的实际应用一一其他问题 拓展训练一 一次函数的实际应用一一动点问题 拓展训练二 一次函数的实际应用一一存在性问题 拓展训练三 一次函数的实际应用一一最值问题 知识点一：一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）某单位要印刷产品说明书，甲印刷厂提出，每份说明书收取1元印刷费，另收取元制版费；乙印刷厂提出，每份说明书收取元印刷费，不收取制版费．请选取适当的变量建立函数，给出最节省费用的印刷厂选择方案． 【答案】见解析 【分析】先设定印刷份数为变量，分别写出甲、乙两厂的费用函数；再分三种情况(费用相等、甲费用更低、乙费用更低)列方程或不等式，求解对应的印刷份数范围；最后根据求解结果给出不同情况下的选择方案． 【详解】解：设要印刷的说明书份数为份，甲印刷厂的总费用为元，乙印刷厂的总费用为元． 根据题意，甲印刷厂收取每份1元印刷费和元制版费， ∴； 乙印刷厂仅收取每份元印刷费，无制版费， ∴． 当时，即，解得． 此时甲、乙两印刷厂的费用相同． 当时，即， 解得． 此时选择甲印刷厂的总费用更低，更节省费用． 当时，即， 解得． 此时选择乙印刷厂的总费用更低，更节省费用． 答：当印刷说明书份数为份时，选择甲、乙印刷厂费用相同；当印刷份数大于份时，选择甲印刷厂更节省费用；当印刷份数小于份时，选择乙印刷厂更节省费用． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某服装店经销A，B两种T恤衫，根据资金安排，服装店分两次进货，已知第一次进价和售价如表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 第一次进货后，很快售完，获利2880元．第二次进货时，服装店计划再购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．由于受市场因素影响，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．设第二次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． (1)求出W与m的函数关系式，并注明自变量m的取值范围； (2)服装店第二次获利会不会超过第一次获利？请说明理由． 【答案】(1) (2)服装店第二次获利不会超过第一次获利，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）第二次购进B种T恤衫件，根据题意列关于m的一元一次不等式组并求其解集，根据获利种T恤衫的利润种T恤衫的利润写出W与m的函数关系式即可； （2）根据一次函数的增减性求出W的最大值并与2880元比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：第二次购进B种T恤衫件， 根据题意，得， 解得：， ， ∴W与m的函数关系式及自变量m的取值范围是： ． （2）解：服装店第二次获利不会超过第一次获利．理由如下： ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵， ∴当时W值最大，， ∵， ∴服装店第二次获利不会超过第一次获利． 【经典例题一 一次函数的实际应用一一分配方案问题】 【例1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）某学校准备在商场购买每个50元的甲足球和每个70元的乙足球共50个，并且购进乙足球数量不少于甲足球数量的，则最省钱的购买方案是（   ） A．甲25个，乙25个 B．甲26个，乙24个 C．甲27个，乙23个 D．甲28个，乙22个 【答案】C 【分析】设购进甲足球个（且x为整数），则购进乙足球个，总费用为元，根据限制条件列不等式得到；再确定总费用与甲数量的函数关系，最后利用一次函数性质得到最省钱的方案即可解答． 【详解】解：设购进甲足球个（且x为整数），则购进乙足球个，总费用为元． ∵购进乙足球数量不少于甲足球数量的， ∴，解得：． 由题意可得：总费用， ∵， ∴随的增大而减小，因此取最大值时，总费用最小， 又∵为正整数， ∴最大取，此时，即最省钱方案为购进甲个，乙个． 【例2】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的收费．若累计购物x元，当时，在甲商场需付钱数，当时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④．其中正确的说法是________（填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据题中已知条件，求出，然后和相比较，从而得出正确结论． 【详解】①、，正确，符合题意； ②、当累计购物大于50时上没封顶，选择乙商场一定优惠显然不对，不符合题意； ③、当时，即，解之得．所以当累计购物超150元时，选择甲商场一定优惠些，符合题意； ④、根据题意，所以，符合题意； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，不等式等知识点，灵活的与方程或不等式联系起来是解决此问题的关键． 1．（25-26八年级上·河南周口·期中）某运输公司拟用载重量分别为20吨和15吨的两种货车共12辆运输一批货物，已知这批货物总重量不超过220吨． (1)设载重量20吨的货车为x辆，求x的取值范围； (2)若载重量20吨的货车每辆租金为1500元，15吨的货车每辆租金为1200元，求总租金最少的租车方案及最少租金． 【答案】(1)（为整数） (2)总租金最少的租车方案是租12辆15吨货车，最少租金为14400元 【分析】本题一次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据题意列出不等式，解出的范围即可； （2）设总租金为元，则列方程为，根据一次函数的图象性质可知，当时，最小，最小值为14400元，据此解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 由于，且为整数， 则的取值范围是（ x为整数）； （2）解：设总租金为元，则， 由于， 所以随的增大而增大， 当时，最小，最小值为14400元， 此时租车方案为：载重量20吨的货车0辆，15吨的货车12辆， 因此，总租金最少的租车方案是租12辆15吨货车，最少租金为14400元． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 【答案】(1)， (2)选择乙方案更划算，见解析 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正确求出一次函数的解析式是解题关键． （1）根据甲、乙收费方案即可求解； （2）令，分别求出，，即可进行判断． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）选择乙方案更划算 理由：当时， ， ． ∵， ∴选择乙方案更划算． 3．（2025·陕西宝鸡·三模）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 【答案】(1)， (2)方案一 【分析】本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键． （1）根据两种销售方案表示出销售总价即可； （2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案． 【详解】（1）解： 与之间的函数关系式为， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， ， 该班选择方案一购买的肥料较多． 【经典例题二 一次函数的实际应用一一最大利润问题】 【例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（    ） A．200元 B．300元 C．350元 D．500元 【答案】B 【分析】根据题意，利用待定系数法求出与的一次函数关系式，然后将代入即可求出销售量，最后利用销售收入减去成本支出即可求出销售利润． 【详解】解：设与的一次函数关系式为， 由图可得， 解得， 所以与的一次函数关系式为， 把代入可得， 所以销售利润为（元）． 故选B． 【点睛】本题考查求一次函数的关系式和利润问题，熟练掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 【例2】（2025·北京石景山·二模）某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 【答案】 30 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据三种产品每吨钢材产出利润可得A种类产品生产的越多，利润越大，即可求出生产A种产品的数量； （2）设生产产品个，产品个，产品个，利润为元，可以得到，然后表示利润，即可得到最大值解题． 【详解】解：（1）由表格可知，可知A种类产品钢材每吨的利润最大， ∴A种类产品生产的越多，利润越大， 即当生产A种产品数量为个时，所需时间为小时小时， 故答案为：； （2）解：设生产产品个，产品个，产品个，利润为元， 则，即， ∴， 即当时，W最大为， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元；乙特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是吨．设该公司每月销售甲特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元． (1)求与的函数解析式． (2)若甲特产的销售量不超过20吨，求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】(1) (2)万元 【分析】（1）根据利润公式得出表达式即可； （2）根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：每月销售甲特产吨，乙特产吨， ∴总利润 ． （2）解：若甲特产的销售量不超过20吨，即， ∵总利润为， 其中，故随的增大而增大， 若总利润最大，则应最大， 最大为， ∴总利润最大为万元 2．（24-25八年级下·河南新乡·期中）为了备战体育基础达标测试，我校八年级组在开学初购进了A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了3000元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍．已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花20元． (1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？ (2)八（1）班同学为了训练更加方便，决定集体再购买A、B两种品牌足球共50个，恰逢商店足球按第一次购买时售价的九折出售，若八（1）班此次购买A、B两种品牌足球费用不超过3200元，则八（1）班此次最多可购买多少个B品牌足球？ (3)若商店销售A、B两种品牌足球进价分别为40元、55元，在（2）的条件下，商店销售完这50个A、B两种品牌的足球时，商店的最大利润是多少？并写出利润最大时的采购方案． 【答案】(1)购买一个A品牌足球需要60元，购买一个B品牌足球需要80元 (2)27个 (3)最大利润是781元，采购方案：A种品牌的足球采购23个、B种品牌的足球采购27个 【分析】（1）设购买一个品牌足球需要元，则购买一个品牌足球需要元，根据题意建立分式方程求解，即可解题； （2）设购买个品牌足球，则购买个品牌足球，根据“此次购买A、B两种品牌足球费用不超过3200元，”建立一元一次不等式求解，即可解题； （3）设商店销售完这50个、两种品牌的足球时，商店的利润是元，根据题意列出与的关系式，再结合一次函数的增减性求解，即可解题． 解题的关键在于找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；以及正确求得一次函数解析式，根据一次函数的性质解题． 【详解】（1）解：设购买一个品牌足球需要元，则购买一个品牌足球需要元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：购买一个品牌足球需要60元，购买一个品牌足球需要80元． （2）解：设购买个品牌足球，则购买个品牌足球， 依题意得：， 解得：． 为整数， 的最大值为27． 答：八（1）班此次最多可购买27个品牌足球； （3）解：设商店销售完这50个、两种品牌的足球时，商店的利润是元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 最大时，最大， ，且取整数， 时最大，此时（元）， （个）， ∴采购方案为：A种品牌的足球采购23个、B种品牌的足球采购27个． 答：A种品牌的足球采购23个、B种品牌的足球采购27个，商店的最大利润是781元． 3．（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）某商场分两次购进A，B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如图所示： 购进数量/件 购进所需费用/元 A B 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 (1)求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A，B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 【答案】(1)A、B两种商品每件的进价分别是20元，80元 (2)购进商品件，B商品件时，获利最大，最大利润为元 【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A商品a件，B商品件，利润为m元，根据题意列出不等式组，解之即可得出a的取值范围，根据总利润=单件利润×购进数量，可得出m和a的函数关系式，再根据一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A、B两种商品每件的进价分别是x元，y元 根据题意得： 解得： 答：A、B两种商品每件的进价分别是20元，80元． （2）解：设A商品a件，B商品件，利润为m元． 根据题意得： 解得： ∵ ∴m随a的增大而减小 ∴时，m的最大值为12000元． ∴（件） 答：购进商品件，B商品件时，获利最大，最大利润为元． 【经典例题三 一次函数的实际应用一一行程问题】 【例1】（24-25八年级下·山东烟台·期中）A，B两地相距2千米，甲步行从A地出发到B地，同时乙骑自行车从B地出发到A地，乙到达A地12分钟后甲到达B地，如图，，分别表示甲、乙离A地的距离y（千米）和所用时间x（分钟）之间的函数关系．下列结论：①的表达式为；②的表达式为；③甲、乙相遇时，距B地千米；其中正确的有（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】设的表达式为，将和代入解析式可得的表达式为，即可判断②正确；求出甲到达地所用时间为，则经过点，待定系数法求出的表达式为，即可判断①正确；联立，求解即可判断③错误． 【详解】解：设的表达式为， 将和代入解析式可得， 解得：， ∴的表达式为，故②正确； 当时，， 解得， ∴乙到达地所用时间为， ∵乙到达A地12分钟后甲到达B地， ∴甲到达地所用时间为， ∴经过点， 设的表达式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴的表达式为，故①正确； 联立，解得， ， 故甲、乙相遇时，距B地千米，③错误； 综上所述，正确的是①②． 【例2】（2026·山东济南·一模）某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是______秒． 【答案】 【分析】先根据图像求出甲全程匀速的速度，得到甲的距离函数；再分三段分析乙的运动，求出乙在、、时三个时间段的分段距离函数；最后在的阶段令列方程求解，得到甲乙第二次相遇的时间． 【详解】解：甲的函数关系： 由图可知：甲匀速走用时， ∴甲的速度， ∴甲距离起点的距离为： 乙的分段函数关系： 由图可得： 乙前秒走， ∴乙原来的速度； 当时，乙距离起点的距离为：； 当时（摔倒调整秒，到秒），乙静止，乙距离起点的距离为：； 当时，乙恢复原速继续走，因此乙距离起点的距离为：； 第二次相遇：时，令， 即：， 解得，符合范围， 因此甲乙第二次相遇的时间是秒． 1．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，根据甲、乙两人在一次赛跑中跑完全程的平均速度，得到路程（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系如图所示．根据图像，回答下列问题： (1)甲的速度是__________米/秒； (2)先到达终点的是__________（填“甲”或“乙”）； (3)写出乙的图像的函数解析式及定义域__________． 【答案】(1) (2)甲 (3) 【分析】（1）由甲的速度=甲的路程÷甲的时间，即可求得甲的速度； （2）观察图象，甲用的时间少于乙，则甲先到达终点； （3）由乙的速度=乙的路程÷乙的时间，求得乙的速度，列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：甲的速度为：（米/秒）． （2）解：由图象可知：甲先到达终点． （3）解：乙的速度为：（米/秒）， 乙的图像的函数解析式为． 2．（24-25八年级下·吉林长春·月考）李明乘车从永康到某景区旅游，同时王红从该景区返回永康．线段表示李明离永康的路程与时间的函数关系；线段表示王红离永康的路程与时间的函数关系．行驶1小时，李明、王红离永康的路程分别为，王红从景区返回永康用了4.5小时．（假设两人所乘的车在同一线路上行驶） (1)分别求关于的函数表达式； (2)当为何值时，他们乘坐的两车相遇； (3)当李明到达景区时，王红离永康还有多少千米？ 【答案】(1)， (2) (3)72千米 【分析】（1）设，，利用待定系数法求解； （2）他们乘坐的两车相遇时，由此列方程求解； （3）先求出李明到达景区所用时间，代入即可求解． 【详解】（1）解：设， 代入点得：， ； 设， 代入点，得：， 解得， ． （2）解：令，得：， 解得， 即时，他们乘坐的两车相遇； （3）解：由知从永康到景区的距离为， 李明到达景区时，， 此时， 即当李明到达景区时，王红离永康还有72千米． 3．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）小佳所在的宿舍、食堂及图书馆可以近似看作在同一直线上．周末，小佳从宿舍出发，先去食堂吃早餐，然后匀速到图书馆借书，最后又匀速返回了宿舍．已知小佳离宿舍的距离y（）与离开宿舍的时间x（）之间的函数图象如图所示： (1)求小佳从食堂前往图书馆的过程中，y关于x的函数表达式； (2)当小佳离宿舍的距离为时，求她离开宿舍的时间． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出的函数解析式即可； （2）根据函数图象，再次利用待定系数法求出的函数解析式，分别求出小佳在和两种情况下，小佳离宿舍的距离为的时间． 【详解】（1）解：由图象可知：小佳从食堂前往图书馆的过程中，，即函数过、， 设y关于x的函数表达式为， 则， 解得， 则y关于x的函数表达式为； （2）解：小佳从图书馆返回宿舍的过程中，，即函数过、， 设此时，y关于x的函数表达式为， 则， 解得， 则小佳从图书馆返回宿舍的过程中，y关于x的函数表达式为， 当小佳从食堂前往图书馆的过程中，离宿舍的距离为时， 即， 解得； 当小佳从图书馆返回宿舍的过程中，离宿舍的距离为时， 即， 解得， 综上所述，当小佳离宿舍的距离为时，她离开宿舍的时间为或． 【经典例题四 一次函数的实际应用一一工程问题】 【例1】（2025·北京东城·二模）两个变量满足的函数关系如图所示．    ①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟45米的速度到离家900米的报亭，在报亭看报10分钟，然后以每分钟60米的速度原路返回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y米； ②有一个容积为900毫升的空瓶，小张以45毫升/秒的速度向这个空瓶注水，注满后停止，10秒后，再以60毫升/秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y毫升； ③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路45米的速度工作了20天，随后因为天气原因停工了10天，为能尽快完成工作，后期以每天修路60米的速度进行工作，这样又经过了15天完成了整个工程．设所用时间为x天，完成的修路长度为y米． 在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据函数图象及题意可直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：当时，此函数为正比例函数，比例系数为；当时，函数值没有发生变化；当时，y随x的增大而减小，比例系数为，所以通过函数图象可知情境①②符合该函数图象所表示的意义，③不符合； 故选A． 【点睛】本题主要考查函数图象，熟练掌握函数图象所给的信息是解题的关键． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）甲，乙两工程队完成某项工程，甲先做了10天，然后乙加入合作，共同完成剩下的工程．设工程总量为1，若工程进度如图所示，则实际完成这项工程共需要___________天．    【答案】28 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．根据图像提供的信息可知，这是两个一次函数构成分段函数，当时，设一次函数的解析式为，在图像上找到两点代入所设的解析式中，求出一次函数解析式，再把代入所求的一次函数中，求出的值即可问题得解． 【详解】解：如图，当时，设一次函数解析式为， 将代入上式，得， 解得， ， 当时，， 解得， 故答案为：28． 1．（2025八年级下·浙江·专题练习）为顺利通过“全国文明城市”验收，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在20天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需要10天完成． (1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ (2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又使工程费用最少． 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天 (2)甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小，最小费用为62.5万元 【分析】本题考查分式方程在工程问题中的应用，二元一次方程的实际应用，一次函数的性质； （1）如果设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题； （2）设甲工程队做天，乙工程队做天，先得出，进而求出所需费用，因为需在20天内完成工程，从而确定出最佳方案． 【详解】（1）设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天，由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天． （2）设甲工程队做天，乙工程队做天， 根据题意得：， 整理得，即， 需在20天内完成工程， ，解得， 所需费用， 根据一次函数的性质可得， 越小，所需费用越小， ∴时，费用最少，此时， 即甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小， 最小费用为（万元）， 答：甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小，最小费用为62.5万元． 2．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·月考）某学校利用寒假维护其教学楼，若甲、乙两工程队合作天可完成；若甲工程队先单独施工天，再由乙工程队单独施工天也可完成． (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)现将该教学楼工程分成两部分，甲工程队做其中一部分工程用了天，每天需付施工费万元，乙工程队做另一部分工程用了天，每天需付施工费万元，若都是正整数，乙工程队做的时间不到天，求出此项工程总施工费用的最小值． 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要30天 (2)此项工程总施工费用的最小值为万元 【分析】（1）设甲工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为，依题意可列出分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）依题意，，得出，设此项工程总施工费用为，依题意可函数关系，根据一次函数的性质，求得最小值即可求解． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队的工作效率为，乙工程队的工作效率为，依题意得， ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙工程队需要：（天）， 答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要30天． （2）解：依题意，， ∴， 即， 设此项工程总施工费用为， 则 ， ∵，随的增大而减小， 又，当时，取得最小值， (万元)， ∴此项工程总施工费用的最小值为万元． 【点睛】本题考查了分式方程应用，一次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系是解题的关键． 3．（2026·浙江台州·一模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． (1)完成这个光缆铺设工程用了多少天? (2)求乙队y关于x的函数关系式． (3)甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天? 【答案】(1)14天 (2) (3)2天 【分析】（1）由函数图象即可得到答案； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）由原计划甲队y关于x的函数解析式，得到，求出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象得完成这个光缆铺设工程用了天； （2）解：设乙队y关于x的函数关系式为， 把，代入得， 解得， 则乙队y关于x的函数解析式； （3）解：， 原计划甲队y关于x的函数解析式， 甲、乙两队完成光缆工程需满足， 解得， （天）， 答：甲队工人离队导致工期比原计划延长了2天． 【经典例题五 一次函数的实际应用一一几何问题】 【例1】（2026·广东惠州·一模）如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知求出点B的坐标，再将A、B的坐标代入直线， 分别求出对应的b的值，即可得解． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，，点的坐标为， ∴点的坐标为， 分别将点和点的坐标代入直线，得到和， 则的取值范围为． 故选：D． 【例2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在边长为12的等边中，点在边上，且，长度为2的线段在边上运动，则四边形面积的最大值为________． 【答案】 【分析】如图，过点D作于点E，过点B作于点F，求出，，利用勾股定理得到，的长度，设，表示出四边形面积，构建一次函数，利用一次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E，过点B作于点F， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， 设，则 ∴四边形的面积 ∵， ∴四边形的面积随x的增大而增大， 根据题意得，当点Q运动到点C时，取得最大值，此时 ∴此时四边形的面积最大，最大值． 1．（25-26八年级下·北京·期中）一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求该一次函数的表达式，并在下图中画出该函数图象； (2)若y轴上有一点C，且，直接写出点C的坐标为______． 【答案】(1)，图见详解 (2)或． 【分析】（1）运用待定系数法进行求解，得，先在平面直角坐标系上描点，再连接，即可得出该函数图象； （2）根据y轴上有一点C，且，列式，解得，即可得出的坐标． 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得， 解得， ∴， 令时，则， ∴经过点， 先在平面直角坐标系上描点，再连线，如图所示： （2）解：由（1）得经过点， ∵y轴上有一点C，且， ∴， 即， 解得， 则或， ∴的坐标为或． 2．（25-26八年级下·北京房山·期中）如图，矩形的对角线相交于点，动点沿以的速度运动，当点构成三角形时，设的面积为，连接． (1)写出的面积与点的运动时间（）之间的关系式； (2)求的最大值，并求出此时的值． 【答案】(1) (2)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，函数解析式的求法，最大值的求法，理解相关知识是解答关键. （1）根据矩形的性质求出点到的距离，由题意求出的长度，再利用三角形面积公式求解； （2）根据函数关系式，结合正比例的最大值的求法来求解. 【详解】（1）解：矩形的对角线相交于点， 点是和的中点， 点到的距离为. 由题意可知， 点的运动时间为时 . （2）解：是正比例函数， ，随的增大而增大. 在范围内，当时，的值最大， . 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图1，A、B两点坐标分别为、． (1)求直线的解析式． (2)如图2，直线分别与y轴、交于点、，若，求的值； (3)如图3，平移直线，平移后的直线与x轴交于点，与轴交于点，分别延长、交于点，点坐标为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）利用待定系数法解答即可． （2）求出直线的交点坐标，根据得到，根据两点间距离公式求解即可． （3）设平移得到解析式为，求得对应直线的解析式，然后建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：，且A、B两点坐标分别为、． 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：； （2）解：直线分别与y轴、交于点、， 故， 根据题意，得， 解得， 故点， ， ， ， 整理，得或， 解得或， ， 舍去， 故； （3）解：设平移得到解析式为， 根据题意，得，， 设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：； 设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：； 根据题意，得， 解得， 故点， 点坐标为， ， 整理，得． 【经典例题六 一次函数的实际应用一一体积问题】 【例1】（25-26八年级上·河北张家口·期末）在一定条件下某溶液的体积与温度成一次函数关系，函数图象如图所示，下列判断不正确的是（　　） A．时，该溶液的体积为 B．V与t的函数关系式为 C．若要求该溶液的体积不超过，则 D．温度t每增加该溶液体积V就增长 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 利用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据一次函数的性质逐个选项判断可以得解． 【详解】解：由题意，设一次函数解析式为， ∵一次函数的图象过， ∴． 解得：． ∴该函数解析式为，故B正确，不合题意． ∴当时，，则该溶液的体积为，故A正确，不合题意． ∵当时，，则， ∴要求该溶液的体积不超过，则，故C正确，不合题意． 又∵温度t每增加， ∴体积的增长． ∴该溶液体积V就增长，故D错误，符合题意． 故选：D． 【例2】（2025·湖南邵阳·三模）铁的密度为，铁块的质量m(单位：g)与它的体积V(单位：)之间的函数关系式为，当时，______g． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，将自变量的值代入函数关系式，求出对应的函数值是解题的关键．将代入m与V的函数关系式，求出对应m的值即可． 【详解】解：根据题意，当时，． 故答案为：． 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，、两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱中没有水，水箱盛满水，现以/的流量从水箱中抽水注入水箱中，直至水箱注满水为止．设注水时间为（），水箱的水位高度为（），水箱中的水位高度为（）．（抽水水管的体积忽略不计） (1)分别求出，与之间的函数表达式； (2)当水箱与水箱中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差． 【答案】(1)（），（） (2)此时两水箱中水位的高度差为 【分析】（1）根据“水箱的水位高度注入水的体积水箱的底面积”得出与之间的函数表达式；“水箱中的水位高度流出水的体积∶水箱的底面积”得出与之间的函数表达式； （2）当水箱与水箱中的水的体积相等时，即水箱中的水还剩下一半，根据的结论可以分别求出两水箱中水位的高度即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：（）； （）； 答：，与之间的函数表达式分别为（）； （2）当水箱与水箱中的水的体积相等时，， 即，解得； 当时，． ∴（）． 答：当水箱与水箱中的水的体积相等时，两水箱中水位的高度差为． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，注水速度注水体积∶注水时间，圆柱体积圆柱的底面积圆柱的高，掌握这两个公式为解题关键． 2．（24-25八年级下·四川成都·期末）图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．    (1)甲水槽中水的下降速度为 厘米/分钟，铁块高度为 厘米； (2)求出注水第几分钟时，甲、乙水槽中水的深度相差1厘米？ (3)若甲槽底面积为56平方厘米，乙槽底面积为42平方厘米（壁厚不计），乙槽中铁块的体积多少立方厘米？ 【答案】(1)2，14 (2)和分钟 (3)立方厘米 【分析】本题主要考查的是用一次函数解决实际问题注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质和列出体积变化方程． （1）根据函数图象12厘米深的水6分钟放完，便可求得甲水槽的下降速度，根据折线，4分钟前上升速度慢，4分钟后上升速度快，便可4分钟时水的高度便是铁块高度； （2）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式令相差1厘米即可得到水位相差1厘米的时间即可． （3）设铁块的底面积为，求得甲水槽内第4分时还剩水高度，乙水槽中4分钟内上升的高度，根据体积相等列方程解得，结合（1）可知铁块高度为14厘米，即可求得乙槽中铁块的体积． 【详解】（1）解：根据题意得，甲水槽的下降速度为∶(厘米/分钟)， 折线上，点前后变化不同 ∴铁块高度是． 故答案为∶2，14； （2）设线段、的解析式分别为∶ ，，      ∵经过点和，经过和， ∴，， ∴， ∴的解析式为和的解析式分别为， 令， 解得：和分钟． ∴当和分钟．时甲、乙水槽中水的深度相差1厘米． （3）设铁块的底面积为，则甲水槽内第4分时还剩水高度为，乙水槽中4分钟内上升的高度为， 根据体积相等，，解得， 由（1）可知铁块高度为14厘米，则乙槽中铁块的体积立方厘米， 答∶槽中铁块的体积为立方厘米． 3．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，为一深，底面为正方形的长方体的容器，底部放入一小长方体铁块，现在以均匀的速度往容器中注水，图2是容器内水面高度随时间改变的函数关系图象，观察图中所提供的信息，解答下列问题： (1)容器内小长方体铁块的高为多少? (2)求直线的函数关系式； (3)该容器注满水需多少分钟？ (4)求长方体铁块的体积与容器的容积之比是多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据函数关系图象的得出时，，即可得出小长方体铁块的高； （2）根据已知图象得出，两点坐标，，，代入即可得出答案； （3）根据3分钟后水面上升速度为，进而得出容器注满水所需时间． （4）设每分钟的注水量为，根前3分钟和后6分钟的高度变化，算出下底面中未被长方体覆盖部分的面积和容器的底面积，从而得到长方体铁块与容器的底面积之比，结合各自的高算出体积之比． 【详解】（1）解：函数关系图象的得出时，， 3分钟后图象发生变化也就是水面超过小长方体， 容器内小长方体铁块的高为：； （2）根据已知图象得出，两点坐标， ，，代入， ，解得：， ； （3）根据3分钟后水面上升速度为， ， 容器注满水所需时间为：min． （4）设每分钟的注水量为． 则下底面中未被长方体铁块覆盖部分的面积是：， 容器的底面积为：． 二者比为， 小长方体底面积：容器底面积． 小长方体体积：容器体积． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用以及利用图象获取正确信息，难度中等，利用已知图象得出正确信息是考查重点，需牢固掌握，解答时计算长方体的体积与容器的体积的比是难点． 【经典例题七 一次函数的实际应用一一梯度计价问题】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）超市某种散装糖果的价格为元，如果一次购买以上的糖果，超过部分的糖果价格打7折．设购买糖果的质量为，付款金额为元，则与的函数关系图象大致是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分两种情况推导函数式：当购买质量不超过时，是正比例函数；当超过时，是斜率更小的一次函数，由此对应图象的两段不同倾斜程度． 【详解】解：①当时，糖果单价为元/， ∴，这是过原点的正比例函数，当时，，即该段图象是从原点到点的直线，倾斜程度较大． ②当时，超过的部分单价为元/， ∴， 这是一次函数，该段图象的倾斜程度比前一段更平缓． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，然气费（单位：元）与之间的关系式是______． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据分段计费标准，当时，天然气费包括第一档全额费用、第二档全额费用和第三档的费用，据此求解即可． 【详解】第一档费用为元， 第二档费用为元， 前两档总费用为元． 第三档费用为元， 因此． 故答案为． 1．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）为确保广大居民家庭基本用水需求的同时鼓励家庭节约用水，对居民家庭每户每月用水量采用分档递增收费的方式，每户每月用水量不超过基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费．据调查，银川市居民家庭每户每月的基本用水量为30立方米 (1)若在基本用水量及其以内的部分按每立方米1.8元交费，超过基本用水量的部分按每立方米2.5元交费．设表示每户每月用水量（单位：），表示每户每月应交水费（单位：元），求与的函数关系式； (2)某户家庭每月交水费是104元，请按以上收费方式计算该家庭当月用水量是多少立方米？ 【答案】(1) (2)50立方米 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据收费规则，列出函数关系式即可； （2）把代入（1）中的函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，； 故； （2）， 由（1）知：， ∴当时，，解得； 答：该家庭当月用水量是50立方米． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）某快递公司推出一项新的快递业务，其收费标准如下：快递起步费为a元，即快递物品质量不超过bkg时收费a元，超过部分每千克收费c元．快递费与物品质量之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)观察图象填空：_________，________，_________． (2)若顾客快递物品的质量为xkg，快递费为y元，请写出y关于x的函数表达式． 【答案】(1)8；3；1.5 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式是解题的关键． （1）根据图象得出，，再根据变化情况求出的值即可； （2）分情况用待定系数法求出y关于x的函数表达式即可． 【详解】（1）解：根据图象可得：快递起步费为8元，即快递物品质量不超过3千克时收费8元，超过部分每千克收费（元）， ∴，，， 故答案为：8；3；1.5； （2）解：根据图象可知，当时，； 当时，设关于的函数表达式为． 把点代入，得 解得 即， 所以关于的函数表达式为． 3．（25-26七年级上·福建泉州·期中）根据以下素材．探索完成任务． 泉州土笋冻是独具地方风味的特色小吃，以其独特口感享誉一方．泉州本地土笋冻企业与京东快递公司合作，为各地食客寄送新鲜土笋冻．以下是本次合作的相关素材信息，请根据素材完成后续任务． 素材1 京东快递公司规定： 从当地寄送土笋冻到市按重量收费：当土笋冻重量不超过千克时，需要寄送费元；当重量超过千克时，超过部分另收元/千克． 素材2 电子存单 电子存单 托寄物：土笋冻 包装服务产品类型：京东快递公司 计量重量：千克 件数： 总费用：元 托寄物：土笋冻 包装服务产品类型：京东快递公司 计量重量：千克 件数： 总费用：元 任务1 根据以上信息，请确定的值 任务2 求出土笋冻重量千克的寄送费用，结果用的代数式表示 任务3 若土笋冻重量达到千克，请求出最省的寄送费用． 【答案】任务1： 任务2： 任务3：元 【分析】本题考查一元一次方程和一次函数的实际应用，解题的关键根据快递收费规则建立函数关系． 任务1：利用电子存单的数据列方程求解； 任务2：根据收费规则写出时的函数表达式； 任务3：如果把土笋冻一次寄走，直接将代入函数表达式计算费用；把土笋冻分成两次寄走所需费用是元件；把土笋冻分三次寄送且每次不超过千克，所需费用是元；通过比较选择最省钱的寄送方法． 【详解】任务1：当重量不超过千克时，寄送费为元；当重量超过千克时，超过部分每千克收费元， 根据电子存单，重量千克，费用元， ， ， ； 任务2：当时，寄送费用； 任务3：当时， 若一次全部寄走，所需费用为（元）； 若先寄一个千克，再寄一个千克，所需费用为（元）； 若分三次寄走，且每次的重量都不超过10千克，所需费用为（元）； ； 答：最省的寄送费用为元． 【经典例题八 一次函数的实际应用一一其他问题】 【例1】（25-26八年级下·重庆·期中）小明点燃一支长为25厘米的蜡烛，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度（厘米）与燃烧时间（时）的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出函数关系式，结合实际意义确定自变量的取值范围，进而判断图象形状及位置． 【详解】解：蜡烛原长25厘米，每小时燃烧5厘米， 剩下的高度与燃烧时间的函数关系式为， 且 ，解得， 自变量的取值范围是， 该函数图象是一条线段，端点分别为和， 观察选项，只有D选项符合． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额（元）与销售量（件）的函数关系如图所示，当销售量为66件时，销售金额为___________元． 【答案】1125 【分析】求出函数解析式，把代入求解即可； 【详解】当时，设函数解析式为， 把点代入可得：， 解得：， ； 当时，设函数解析式为， 把点和点代入可得：， 解得：， ， 与的函数关系式为， 当时，． 1．（25-26八年级下·北京·课前预习）某出租车收费标准为：起步价10元（及以内），超过的部分，每千米收费2元．设行驶路程为（），车费为元，求与的函数关系式，并计算行驶的车费． 【答案】（）；元 【详解】解：函数关系式：（）； 当时，元． 2．（2026·吉林·一模）【知识背景】某学校的学习小组计划用同种型号的玻璃瓶制作一组水瓶乐器．根据物理学中的振动频率和音调的关系可知，在敲击玻璃瓶时，声音的振动频率随瓶中水位高度的变化而变化．水位越高，振动越慢，音调越低；水位越低，振动越快，音调越高． 【信息收集】学习小组通过查阅资料，列出以下音名与频率的对照表（表1）： 音名 频率 【数据记录】学习小组进行了多次实验，记录水瓶不同水位高度h与对应的振动频率f的部分数据如下表（表2）： 水位高度 4 8 12 16 20 频率 【建立模型】学习小组以水位高度h为横坐标，频率f为纵坐标，根据表2中的数据绘制散点图．观察各点的分布特征，发现其大致分布在一条直线附近，表明f与h之间存在近似线性关系．基于此，学习小组将表2中的频率数据保留整数位后，采用线性函数对其变化规律进行近似刻画，进而求出水瓶乐器的频率f与水位高度h的函数关系式． 【解决问题】根据以上信息，解答下列问题： (1)请依照学习小组的方法，求水瓶乐器的频率f与水位高度h的函数关系式（不要求写出h的取值范围）． (2)若要制作能敲击出音名的水瓶乐器，求该水瓶中需要注入的水位高度． (3)已知水瓶乐器中的水量随水位高度均匀变化，当水位高度为时，所使用的水量为；当水位高度为时，所使用的水量为．若要制作能敲击出音名的水瓶乐器，直接写出该水瓶中需要注入的水量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题可知，频率f与水位高度h可近似为一次函数关系，利用待定系数法即可求解； （2）根据表格可知，音名的频率f是，代入解析式，计算即可； （3）先求出水位高度为的用水量为，再根据（2）的结果，计算即可． 【详解】（1）解：由题可知，频率f与水位高度h可近似为一次函数关系， 则设， 当时，；当时，； ，解得， 则； （2）解：音名的频率f是， 当时，，解得， 该水瓶中需要注入的水位高度为； （3）解：当水位高度为时，所使用的水量为，当水位高度为时，所使用的水量为， 当水位高度为时，所使用的水量为， 当水位高度为时，所使用的水量为． 3．（2026·河北沧州·模拟预测）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方为弹簧悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示． (1)图2中，点对应状态为______，点对应状态为______（前两空填图1中的图形序号），______，______； (2)已知弹簧测力计在状态③时圆柱体浸入水中的高度为，求此时弹簧测力计显示的读数． 【答案】(1)②，④，12，6 (2)弹簧测力计显示的读数是 【分析】（1）根据圆柱体从刚刚接触到水面到刚好完全浸入水中，拉力一直在减小，并结合图形分析即可得解； （2）利用待定系数法求出线段对应的函数关系式为，再代入计算即可得解． 【详解】（1）解：圆柱体从刚刚接触到水面到刚好完全浸入水中，拉力一直在减小， ∴点对应状态为②，点对应状态为④， ∵弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和， ∴，； （2）解：设线段对应的函数关系式为（为常数，且）， 将和分别代入 得，解得． ∴线段对应的函数关系式为， 当时，， 此时弹簧测力计显示的读数是． 【拓展训练一 一次函数的实际应用一一动点问题】 【例1】（24-25八年级下·全国·期中）如图，直线与直线相交于点，直线与y轴交于点 A，一动点 C 从点 A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点A₂处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，…，…则当动点 C到达处时，运动的总路径的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线可知，，则纵坐标为1，代入直线中，得，又、横坐标相等，可得，则，，可判断为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得、、、都是等腰直角三角形，根据平行于轴的直线上两点纵坐标相等，平行于轴的直线上两点横坐标相等，及直线、的解析式，分别求，的长，得出一般规律．本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于轴的直线上点的纵坐标相等，平行于轴的直线上点的横坐标相等，得出点的坐标，判断等腰直角三角形，得出一般规律． 【详解】解：由直线可知， 当时，则， ∴， ∵平行于轴的直线上两点纵坐标相等，平行于轴的直线上两点横坐标相等，且， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得出轴， 得出 把代入 得出 ∴， 则， ∴， ∴、为等腰直角三角形， 同理得，，，，， ∴、、都是等腰直角三角形， 由此可得， 所以，当动点到达处时，运动的总路径的长为， ∴则当动点 C到达处时，运动的总路径的长为 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，是直线上一动点，若点、的坐标分别为、，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、平行线间距离处处相等，同底等高的三角形面积相等，掌握转化思想是解题的关键，由可得直线，所以，进而可得． 【详解】解：设直线， 将代入得： ， ， ， ， ， 连接， ． 1．（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，直线过点、，直线和直线交于点，直线l2与y轴交于点．    (1)求直线和直线对应的函数解析式； (2)直线上有一动点P，使得的面积为12，求点P的坐标； (3)y轴上有一动点M，直线上有一动点N，使以M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标． 【答案】(1)直线的函数解析式为，直线对应的函数解析式为 (2)P的坐标为或 (3)M的坐标为或或 【分析】（1）先将、代入求出直线的函数解析式，求出a的值，再求出直线l2的函数解析式即可； （2）根据点P的位置可以分为两种情况：当P在直线左侧和右侧时，利用面积求出坐标即可； （3）设，根据平行四边形的性质，可以分为以下三种情况：若为对角线，则的中点重合，若为对角线，则的中点重合，若对角线，则的中点重合，分别求解即可. 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，把、代入得： ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得： ， ∴， 设直线对应的函数解析式为，把，代入得： ， ∴直线对应的函数解析式为； （2）解：当P在直线左侧时，如图：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，令得， ∴P的坐标为； 当P在直线右侧时，如图：    同理可得， ∴， ∴， 在中，令得， ∴P的坐标为； 综上所述，P的坐标为或； （3）解：设， 又、， ①若为对角线，则的中点重合， ∴ ， 解得 ∴； ②若为对角线，则的中点重合， ∴ ， 解得， ∴； ③若对角线，则的中点重合， ∴ ， 解得 ∴； 综上所述，M的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查一次函数综合题，涉及到待定系数法求解析式、平行四边形的性质等，认真读题，多情况讨论是解题的关键. 2．（2026·浙江衢州·一模）如图1，为的直径，的周长为厘米．动点从点出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为厘米/秒，点出发后，动点也从点出发，以厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点运动（秒）时，点，与点之间较短的弧长分别为，．，与的函数图象如图2所示． (1)求的值． (2)当时，求关于的一次函数表达式． (3)若点为图中两个函数图象的交点，求点的坐标，并求出此时点，点之间的劣弧长． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质： （1）根据函数图象可知，动点圆周上运动一周所用的时间为秒； （2）采用待定系数法求解即可； （3）容易求得关于的一次函数表达式为，结合题意可得，求解即可得到答案． 【详解】（1）根据函数图象可知，动点圆周上运动一周所用的时间为秒，所以 ． （2）根据函数图象可知，当时，可设关于的一次函数表达式为 因为一次函数图象经过点和，可得 解得 所以关于的一次函数表达式为 （3）设当时，关于的一次函数表达式为． 因为函数图象经过和（，可得 解得 ， 所以关于的一次函数表达式为． 根据题意，可得 解得 所以点C的坐标为． ． 3．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，直线过点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点M，点N分别为x轴，y轴上一动点，求的最小值及此时点M的坐标； (3)如图3，在（2）问的条件下，过点B作垂直于y轴，点P为直线上一动点，点Q为直线上一动点，若是以为腰的等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点Q坐标． 【答案】(1) (2)， (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法将代入求解即可； （2）作A点关于x轴的对称点，作B关于y轴的对称点，连接，根据两点之间线段最短得到当且仅当四点共线时取最小值，然后根据勾股定理求解即可； （3）根据就，分情况讨论，分别令，，然后利用三角形全等，和点P在直线上，求出点P的坐标，从而求出点Q的坐标． 【详解】（1）将代入直线解析式得： 解得：， ∴； （2）作A点关于x轴的对称点，作B关于y轴的对称点，连接， ∴， 当且仅当四点共线时取最小值， 最小值， ∵， ∴直线解析式为，令，解得， ∴， ∴的最小值为，此时M点坐标为； （3）①当时，点P在x轴上方时，过点P坐轴于点C，作轴于点D，如图所示， 在和中， ∴ ∴点P的横坐标为，代入直线的解析式， ∴点， ∴点； ②当时，点在x轴下方时，过点作轴于点，作轴于点，如图所示， 同理可证， ∴， ∴点P的横坐标为5，代入直线的解析式， ∴， ∴点； ③当时，点在x轴上方时，过点作轴于点，作于点，如图所示， 同理可证，， ∴， 设点，则点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为， 将点的坐标代入直线的解析式． ，解得， ∴点． ④当时，过点作于点E，过点作于点F，如图所示， 同理可证， ∴， 设点的坐标为，则点的横坐标为 ，点的纵坐标为， 将点的横坐标代入直线的解析式． ，解得， ∴点． 综上所述，点Q坐标为，，，． 【点睛】此题考查了一次函数和三角形结合综合题，动点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【拓展训练二 一次函数的实际应用一一存在性问题】 【例1】（25-26九年级上·福建漳州·月考）在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、C，作矩形，将沿直线平移，当A、B的对应点、与点C构成直角三角形时，x轴上存在一点P，使得的值最大时P的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点、与点C构成直角三角形时，只有一种情况，当、、在同一直线上时，的值最大，先求出，，从而可得，，由勾股定理可得，连接交于点，由矩形的性质可得，证明为等边三角形，得出，求出，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：点、与点C构成直角三角形时，只有一种情况， 当、、在同一直线上时，的值最大， 在中，当时，；当时，，解得， ∴，， ∴，， ∴， 连接交于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴点P的横坐标， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的综合，勾股定理，等边三角形的判定与性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【例2】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，，若直线上存在点，使点关于轴的对称点在线段上，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，点的坐标—轴对称，不等式的性质，先求出线段的表达式为，设，则点关于轴的对称点为，再结合题意得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设线段的表达式为， 将，代入线段的表达式可得， 解得， ∴线段的表达式为， ∵直线上存在点， ∴设， ∴点关于轴的对称点为， ∵点关于轴的对称点在线段上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，已知直线与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求k的值及点A的坐标； (2)在x轴上是否存在一点M，使得是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）把代入，求出的值，待定系数法求出k的值，令，求出点A的坐标即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得，解得， ∴， 当时，，解得， ∴； （2）解：存在； ①当时，则：轴， ∵， ∴； ②当，作轴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在和中，由勾股定理，得， ∴，解得， ∴， ∴； 综上：或． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，函数的图象与函数的图象交于点A，与y轴分别交于B，C两点． (1)求n的值； (2)当对应函数的值小于等于对应函数的值时，自变量x的取值范围是_________； (3)在上是否存在点P，使得．若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）先求出点坐标，待定系数法求出n的值即可； （2）直接利用图象法进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，点的横坐标为3， 当时，， ∴， 把代入，得，解得； （2）解：由图象可知：当对应函数的值小于等于对应函数的值时，； （3）解：存在，由（1）知：， ∵，，在轴上， ∴， ∴， ∴， 当时，；当时，； ∴或． 3．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定． （1）将代入，得出，再代入，即可求解； （2）由（1）可得的解析式为，进而求得，设交轴于点，得出，进而求得面积为，根据与面积相等得出，即可求解； （3）根据，将绕点逆时针旋转得到，得到等腰直角三角形，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则为的交点，证明，求出，直线与直线的交点为；点关于点的对称点，则直线与直线的交点为另一个． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得 ∴ 将代入得， 解得：； （2）解：由（1）可得的解析式为， 当时，，解得： ∴ 如图，设交轴于点， 当时，， ∴ ∴ ∵直线与轴交于点， 当时，，则 ∴， ∴ ∵， ∴ ∵与面积相等 ∴ 解得： ∵ ∴或 （3）存在点，使得，理由如下； 将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则是等腰直角三角形， ∴为的交点 ，， ， ， ， ， ， ，， ， 直线与轴交于点 当时，，解得 设直线的解析式为，代入得 解得： 直线的解析式为， ， 同理可得直线的解析式为， 解得： 设关于的对称点为， 的中点为， 即 同理可得直线的解析式为 解得： ∴ 综上所述，或 【拓展训练三 一次函数的实际应用一一最值问题】 【例1】（25-26八年级下·福建福州·期中）在物理实验课上，小华利用弹簧测力计及相关器材进行实验，他把得到的弹簧长度和所悬挂物体的质量的数据用电脑绘制成如图所示的图象，下列结论正确的为（  ） A．弹簧的长度与悬挂物体质量成正比例函数关系 B．没有悬挂物体时，弹簧长度为 C．当悬挂物体的质量为时，弹簧伸长了 D．当悬挂的物体质量为时，弹簧长度为 【答案】C 【分析】A．根据正比例函数图象的特征判断即可；B．当时，的值即为没有悬挂物体时，弹簧的长度；C．根据“悬挂物体的质量为时弹簧的伸长量此时弹簧的总长度没有悬挂物体时弹簧的长度”计算即可；D．根据图象计算悬挂的物体弹簧的伸长量，再根据“弹簧的长度没有悬挂物体时弹簧的长度悬挂的物体弹簧的伸长量悬挂的物体质量”计算即可． 【详解】解：∵图象是一条直线，但不过原点， ∴弹簧的长度与悬挂物体质量成一次函数关系，但不成正比例函数关系， ∴A不正确，不符合题意； 当时，，即没有悬挂物体时，弹簧的长度为， ∴B不正确，不符合题意； 当时，，， ∴悬挂物体的质量为时，弹簧伸长了， ∴C正确，符合题意； 悬挂的物体弹簧的伸长量为， 当时，， ∴当悬挂的物体质量为时，弹簧的长度为， ∴D不正确，不符合题意． 【例2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，平面直角坐标系中，点C是直线：上一点，坐标为，点D是x轴上一点，坐标为，点M为直线上的一点，点N为平面内一点，当以点C，M，N，D为顶点的四边形是矩形时，点N的横坐标为______． 【答案】11或 【分析】分三种情况，即以为对角线，为对角线，为对角线，分别讨论解答即可． 【详解】解：当为对角线时，如图，设的交点为， 四边形为矩形， 为的中点，， ，， ， 设， 根据可得 ， 解得，， 的横坐标为， 设的横坐标为， ， 解得； 当为对角线时，如图，设的交点为， 四边形为矩形， ， 设， 根据可得 ， 解得， 的横坐标为， 设的横坐标为， ， 解得； 当为对角线时，以点C，M，N，D为顶点的四边形无法构成矩形， 综上，点N的横坐标为11或． 1．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，根据甲、乙两人在一次赛跑中跑完全程的平均速度，得到路程（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系如图所示．根据图像，回答下列问题： (1)甲的速度是__________米/秒； (2)先到达终点的是__________（填“甲”或“乙”）； (3)写出乙的图像的函数解析式及定义域__________． 【答案】(1) (2)甲 (3) 【分析】（1）由甲的速度=甲的路程÷甲的时间，即可求得甲的速度； （2）观察图象，甲用的时间少于乙，则甲先到达终点； （3）由乙的速度=乙的路程÷乙的时间，求得乙的速度，列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：甲的速度为：（米/秒）． （2）解：由图象可知：甲先到达终点． （3）解：乙的速度为：（米/秒）， 乙的图像的函数解析式为． 2．（2026·江苏泰州·一模）如图，在长方形电子屏中，，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点C出发沿着折线，以的速度匀速运动，O为BC中点，连接，随着点P的移动，画面逐渐展开，当点P运动到点B时，画面全部展开． (1)直接写出展开的画面面积（单位：）关于点P的运动时间t（单位：）的函数表达式，并写出自变量t的范围； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意：，分点P在上，点P在上，点P在上，求解即可； （2）利用分类思想解答，确定最终要计算的表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意：． 因为，，， O为BC中点， ． 当点P在上时，； 当点P在上时，，此时最长时间为， 故； 当点P在上时，，此时最长时间为，故； 综上所述，． （2）解：当展开的画面面积达到电子屏面积的时，此时面积为， 若，解得，不在范围内，舍去； 若，解得，在范围内，符合题意，此时开始播放广告语，因为播放时间持续，结束时间为，此时满足， 故求面积时，应该选择第三阶段的表达式，此时． 3．（2026·吉林·模拟预测）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 (1)【建立模型】：观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． (2)【解决问题】：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？（直接写出） 【答案】(1)， (2)分钟 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出行驶千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电分钟后增加的电量，从而计算出充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量消耗的电量”列方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：①设关于的函数表达式为（为常数，且）， 将，代入，得， 解得， 关于的函数表达式为； ②设关于的函数表达式为（、为常数，且）， 将，和，分别代入得， 解得， 关于的函数表达式为； （2）当时，， 行驶千米后，电动汽车仪表盘显示电量为，充电分钟后，增加的电量为， 充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为， 行驶完剩余的路程消耗的电量为， ， 解得， 答：电动汽车在服务区充电分钟． A基础训练 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）某学校准备在商场购买每个50元的甲足球和每个70元的乙足球共50个，并且购进乙足球数量不少于甲足球数量的，则最省钱的购买方案是（   ） A．甲25个，乙25个 B．甲26个，乙24个 C．甲27个，乙23个 D．甲28个，乙22个 【答案】C 【分析】设购进甲足球个（且x为整数），则购进乙足球个，总费用为元，根据限制条件列不等式得到；再确定总费用与甲数量的函数关系，最后利用一次函数性质得到最省钱的方案即可解答． 【详解】解：设购进甲足球个（且x为整数），则购进乙足球个，总费用为元． ∵购进乙足球数量不少于甲足球数量的， ∴，解得：． 由题意可得：总费用， ∵， ∴随的增大而减小，因此取最大值时，总费用最小， 又∵为正整数， ∴最大取，此时，即最省钱方案为购进甲个，乙个． 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 【答案】D 【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解． 【详解】解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b， 将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：， 解得， ∴y＝﹣x+180， 将x＝137代入可得y＝43， 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数解析式． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先求出的坐标，判断直线是怎样平移，再用的坐标推出坐标． 【详解】解：将代入， 得，即， 即先向左平移8个单位长度，再向上平移2个单位长度． 将代入， 得，即， 则． 4．（25-26八年级上·山西运城·期末）在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶小时时两车相遇 B．甲车的速度为，乙车的速度为 C．甲车出发小时后乙车才出发 D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 【答案】D 【分析】根据图象及一次函数的图象与性质可依次进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：当时，， ∴甲车行驶小时时两车相遇；A选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴B选项正确； ∵小时， ∴甲车出发小时后乙车才出发， ∴C选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴， ∴当甲、乙两车相距时，，即：， 解得：或， ∴或， ∴当甲、乙两车相距时，乙车行驶了或小时. ∴D选项错误. 5．（25-26八年级上·安徽池州·期末）以下是我县自来水价格调整表（部分）（单位：元），则调整水价后某户居民月用水量与应交水费（元）的函数大致图象是（    ） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户 第二阶梯：月用水量每户超过部分 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据阶梯水价标准，分段计算用水量立方米对应的水费． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵用水量不确定， ∴需分段计算： 第一阶梯水费，当x满足范围是：（元）， 第二阶梯水费，当x满足范围是：（元）， 都是第一阶段函数是正比例函数，第二阶段函数是一次函数，且比正比例函数的图象更陡些． 故选：B． B 提高训练 6．（24-25八年级·全国·假期作业）某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______． 【答案】x＞300 【分析】根据题意首先将已知点的坐标代入一次函数的解析式求得k值，然后确定两函数图象的交点坐标，从而确定x的取值范围. 【详解】解：由题设可得不等式kx＋30＜x. ∵y1＝kx＋30经过点(500，80)， ∴k＝， ∴y1＝x＋30，y2＝x，解得：x＝300，y＝60. ∴两直线的交点坐标为(300，60)， ∴当x＞300时不等式kx＋30＜x中x成立， 故答案为：x＞300. 【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 7．（2026·山东济南·一模）甲、乙两辆运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系．则x=______h，甲、乙两车相距． 【答案】1.5或4.5或6.5 【分析】先分别运用待定系数法求得甲、乙两车离M城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系式，分两种情况进行解答即可． 【详解】解：设甲所在的直线为，乙所在的直线为， 将，代入可得：， 解得：． ∴乙所在直线的表达式为：； 当时，， 把代入，得：，解得， ∴甲所在的直线的表达式：； 当时，；解得， ∴甲所在的直线的表达式：，其中； 当时，甲、乙两车相距．则，即， 解得或， 当时，甲、乙两车相距．则，即， 解得， 综上可知，1.5或4.5或6.5时，甲、乙两车相距． 8．（2025·山东青岛·一模）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表． x（元件） 15 18 20 22 … y（件） 250 220 200 180 … 按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的求解，理解题意是解决本题的关键． 根据表中数据确定销售量y与销售单价x成一次函数关系，再利用利润公式建立w与x的二次函数关系即可． 【详解】解：由表可知，销售量y与销售单价x满足一次函数关系，设， 将点和代入， 得， 解得， ∴， ∴日销售利润销售收入总成本 ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·广西崇左·月考）在物理学中有很多的公式可以直接或者间接看作一次函数，例如求物体质量公式是正比例函数．在真正的物理问题中，一个变量随着另一个变量变化的例子有很多．例如匀速直线运动中，路程随着时间的变化而变化；一定弹性限度内的弹簧，弹簧长度随着拉力的增大而不断增加．这些都是物理学中，应用最简单的知识．如图所示，某弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，则弹簧不挂物体时的长度是_____． 【答案】9 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意是关键． 由题意得，设函数关系式为，根据函数图象可得把代入进行求解解析式，进而即可得到弹簧不挂物体时的长度． 【详解】解：由题意得，设函数关系式为， 把代入得：， 解得， ∴弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是， 当时， ， ∴弹簧不挂物体时的长度是； 故答案为：9． 10．（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图1，直角坐标系中点、、、，过点的直线，与四边形交于点，（点和点可以重合）．以的值为点的横坐标，线段的长度为纵坐标，列表、描点、连线，绘制函数图象如图2．则函数的最大值是______，函数的图象与横轴两交点之间的距离为______． 【答案】 4 【分析】根据题意得出当直线和x轴重合时，线段的长度最大，然后求解即可； 根据题意得出函数m与横轴两个交点坐标的纵坐标为0，再结合图1得出当直线经过点B和点D时的k值，据此可解决问题． 【详解】解：根据题意得，当直线和x轴重合时，点P和点C重合，点A和点Q重合， ∴此时线段的长度最大，为； 当过点的直线经过点B时，， 解得， 则此时的函数解析式为， 同理可得，当直线经过点D时的解析式为， ∴函数m经过点和， ∴函数m的图象与横轴两交点之间的距离为：． C 培优训练 11．（25-26八年级下·山西太原·期中）活动背景：为响应山西省新能源汽车推广政策，落实绿色出行要求，太原市某小区计划为业主安装新能源汽车家用充电桩，提升小区便民服务水平．该小区共有12栋居民楼，预计有名业主申请安装充电桩，且每名业主申请安装1个充电桩，物业拟定了两个安装方案如下： 项目 方案一（第三方合作安装） 方案二（物业自主安装） 费用明细 1．每栋楼统一收取勘测、布线费500元/栋 2．充电桩安装费：50元/个 3．免费提供3年质保服务 1．每栋楼无基础服务费 2．充电桩安装费：35元/个 3．充电桩辅材采购费：20元/个 4．质保服务费：1000元/年（可选，若选择则按年收取，默认签订2年合同） 若小区默认签订2年质保合同，结合上表信息分析，该小区选择哪个方案进行充电桩安装，所需总费用较少？ 【答案】当时，选方案一费用较少；当时，选方案一和方案二费用一样多；当时，选方案二费用较少 【分析】设方案一的费用为元，方案二的费用为元，根据方案一和方案二分别列出所需的费用，然后求出，和时对应x的取值范围，进而可求解． 【详解】解：设方案一的费用为元，方案二的费用为元， ， ， 若，则解得：， 若，则解得：， 若，则解得：， 所以， 当时，选方案一费用较少； 当时，选方案一和方案二费用一样多； 当时，选方案二费用较少． 12．（2026·陕西西安·一模）小明用量杯盛某种液体进行探究，实验表明液体与量杯的总质量（）和液体的体积满足一次函数关系．测得部分数据如下表： 液体体积 总质量（） (1)求与的函数关系式； (2)若用天平称得液体与量杯的总质量为，那么量杯中的液体体积为多少？ 【答案】(1) (2)量杯中的液体体积为 【分析】（1）设与的函数关系式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入（1）中的解析式，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，代入，得， 解得： ∴与的函数关系式为 验证：当时，，符合表格数据 （2）将代入函数关系式： 移项计算得：， 解得 答：量杯中的液体体积为． 13．（25-26八年级下·全国·单元测试）【背景调查】龙门石窟始建于北魏孝文帝时期，现有2345座佛龛（kān），十万余尊造像，2800余块碑刻题记，是世界上建造时间最长，造像最多，规模最大的石窟，与敦煌莫高窟，大同云冈石窟并称为中国三大石窟． 【数学情境】龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A，B两种文创产品．如图是店里的一张进货单（墨迹覆盖了部分数据）： 序号 规格 单位 数量 单价 金额 1 A种 件 50 ■ 4000 2 B种 件 50 ■ 3250 店员说：“这次进货，B种文创产品的单价比A种文创产品的单价少15元，A，B种文创产品的数量相同”． 【建立模型】请你解决下列问题． (1)求A，B两种文创产品的进货单价各是多少元． (2)已知A种文创产品每件的售价为100元，B种文创产品每件的售价为80元．根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两种文创产品共100件进行销售．问：怎样进货才能使销售完这批货后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种文创产品的单价为80元，B种文创产品的单价为65元 (2)购进A种文创产品60件、B种文创产品40件才能使销售完这批货后获得的利润最大，最大利润是1800元 【分析】（1）设种文创产品的进货单价为元，则种文创产品的进货单价为元，根据种文创产品的金额，列方程解即可； （2）设总利润为元，购进A种文创产品件，则购进B种文创产品件，由题意得，可得．设销售完这批货后获得的利润为元，可得，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设种文创产品的单价为元，则种文创产品的单价元． 根据表格，得，解得，（元）． 答：种文创产品的单价为80元，种文创产品的单价为65元． （2）设购进种文创产品件，则购进种文创产品件． 根据题意，得，解得， 设获得的利润为元，则， ， 随的增大而增大， ， 当时，最大，，（件）． 答：购进种文创产品60件、B种文创产品40件才能使销售完这批货后获得的利润最大，最大利润是1800元． 14．（2026·浙江宁波·模拟预测）某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进．用时少者胜．甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离与比赛时间的函数关系如图2． (1)求乙班返回时的速度． (2)求的函数表达式． (3)求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，的值． 【答案】(1) (2) (3)甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或 【分析】（1）根据函数关系图，利用速度路程时间即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求出的函数表达式为，的函数表达式为，再根据函数关系图列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴乙班返回共用走完， ∴乙班返回时的速度为：． （2）解：∵， 设的表达式为，把代入得： ， 解得：， ∴的表达式为． （3）解：∵， 设的函数表达式为，则， 解得：， ∴的函数表达式为， 由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第一次到起点的距离相同， ∴， 解得：． ∵， 设的函数表达式为，则 ， 解得：， ∴的表达式为， 由图象可得：和的交点表示甲、乙两班同学在途中第二次到起点的距离相同， ∵的表达式为， ∴，解得：． 综上所述，甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或． 15．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，直线：与轴、轴分别交于点、，直线：与轴、轴分别交于点、，两直线相交于点． (1)直接写出直线的解析表达式为______； (2)结合图像，当时，的取值范围是______； (3)如果点在直线上，满足的面积是面积的2倍，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出点坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）根据图像法进行求解即可； （3）求出的坐标，根据的面积是面积的2倍，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， ∴， 把代入，得，解得， ∴； （2）解：由图像可知的解集为； （3）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴或， ∴或． 学科网（北京）股份有限公司 $