专题02 二次根式的乘法与除法重难点题型专训（3个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题02 二次根式的乘法与除法重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 最简二次根式的判断 题型五 化为最简二次根式 题型六 已知最简二次根式求参数 拓展训练一 二次根式与数轴化简问题 拓展训练二 二次根式的乘除综合应用 知识点一：二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西太原·月考）化为最简二次根式是（ ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须同时满足以下条件：“被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25八年级下·广东茂名·月考）将二次根式化为最简二次根式 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点二：二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 【即时训练】 1．（25-26九年级上·山西晋中·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握乘法法则是解答本题的关键． 二次根式相乘，把系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，并化为最简二次根式即可． 【详解】解：． 故选B． 2．（24-25九年级上·安徽六安·月考）计算∶ ． 【答案】6 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】解：； 故答案为： 知识点三：二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算÷的结果是（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的除法运算法则即可求出答案． 根据二次根式的除法运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 故答案为：2． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空：__________．横线上依次填： 、 、 、 ． 【答案】 18 2 9 3 【分析】本题考查了二次根式的除法．根据二次根式的除法法则计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：18、2、9、3． 【经典例题一 二次根式的乘法】 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列二次根式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的除法运算及二次根式有意义的条件，需根据二次根式除法法则（，）及相关性质逐一判断各选项，即可解题． 【详解】解：A选项：，故A错误，不符合题意； B选项：，故B正确，符合题意； C选项：，故C错误，不符合题意； D选项：二次根式中被开方数不能为负数，与无意义，推导过程错误，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：＝ ． 【答案】60 【分析】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据二次根式乘法法则，先确定符号为正，再计算数值部分． 【详解】原式 = = ． 故答案为：． 1．（2026八年级下·全国·专题练习）若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，（，）． 利用二次根式的乘法，将分解成，得到，进而根据，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·海南海口·月考）计算： ． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）设，计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可； （2）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可； （3）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可； （4）根据二次根式的乘法法则以及性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， ； （4）解：， ． 【经典例题二 二次根式的除法】 【例1】（2025·云南曲靖·模拟预测）设n 为正整数且，则n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，无理数的估值．先对式子进行化简，再对无理数估值即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·重庆九龙坡·月考）估算的结果（　　） A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间 【答案】A 【分析】先根据二次根式的除法法则计算，后运用无理数估算思想计算求解即可． 【详解】∵ ， 且， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，无理数的估算，熟练掌握除法运算，正确进行无理数的估算是解题的关键． 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·月考）计算的结果为 ． 【答案】// 【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再算除法即可． 【详解】解： ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与除法，掌握相关法则和公式是解题的关键． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期末）（1）填空：______，______（填“”、“”或“=”）； （2）若，，求证． 【答案】（1）=，=；（2）见解析 【分析】（1）利用二次根式的性质证明解答即可； （2）利用二次根式的性质证明解答即可． 本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故． 同理可证，． 故答案为：=，=． （2）∵，， ∴． ∵，， ∴． 【经典例题三 二次根式的乘除混合运算】 【例1】（24-25九年级上·重庆沙坪坝·月考）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可． 【详解】解： ， ， ，即， 的值应在4和5之间． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法的法则，二次根式的性质，是解题的关键． 将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则和性质简化即可． 【详解】原式 ． 故答案为 1．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 2．（2025·山东潍坊·模拟预测）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 【答案】（或或，写出一种结果即可） 【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得． 【详解】解：①选择和， 则 ． ②选择和， 则 ． ③选择和， 则 ． 故答案为：（或或，写出一种结果即可）． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （2）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （3）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （4）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典例题四 最简二次根式的判断】 【例1】（25-26九年级上·河南南阳·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的判定，需依据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项． 【详解】解：A、的被开方数无法分解出能开得尽方的因式，且不含分母，符合最简二次根式的定义，符合题意． B、，被开方数16是能开得尽方的数，不符合最简二次根式定义，不符合题意． C、，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不符合题意． D、的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，不符合题意． 故选：A． 【例2】 （24-25八年级下·河南驻马店·月考）若是最简二次根式，写出一个符合条件的x的值： ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， 解得，， 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如果是最简二次根式，则x的值可能是（    ） A．11 B．13 C．21 D．27 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方式非负，列出不等式得到解集后，再由最简二次根式定义代值逐项验证即可得到答案． 【详解】解：是二次根式， ，解得， A、当时，，确定不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、当时，，确定是最简二次根式，该选项符合题意； C、当时，，确定不是最简二次根式，该选项不符合题意； D、当时，，确定不是最简二次根式，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件及最简二次根式定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解决问题的关键． 2．（24-25八年级下·四川自贡·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式有 个． 【答案】1 【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ＝2，故不是最简二次根式； ＝，故不是最简二次根式； ＝，故不是最简二次根式； ∴只有是最简二次根式，即最简二次根式有1个， 故答案为：1 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质、最简二次根式的概念是解题的关键． 3．（24-25八年级·全国·假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式； （2）不是最简二次根式，被开方数含分母． （3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （5）不是最简二次根式，被开方数含分母． （6） 不是最简二次根式，被开方数含分母． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【经典例题五 化为最简二次根式】 【例1】（24-25八年级上·北京·单元测试）把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式．解题的关键是掌握二次根式的性质并能够正确利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·河南新乡·月考）若，则二次根式 化为最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、利用二次根式性质化简等知识，先由二次根式有意义的条件判断，再由二次根式性质化简即可得到答案，熟练掌握二次根式有意义的条件、二次根式性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次根式中，， ， ， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·四川乐山·期中）下列各式①，②，③，④，⑤（＞0）中是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．能理解最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是最简根式；②，故不是最简根式；③是最简根式；④，故不是最简根式；⑤，故不是最简根式．所以最简根式有：①、③，共2个． 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·自主招生）计算： ． 【答案】 【分析】把原式化为，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，熟练利用完全平方公式化简二次根式是解本题的关键． 3．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【答案】(1)①  ②  ③ (2) 【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简． 【详解】（1）解：①． ②． ③． （2）解：把中根号外的因式移到根号内： 由有意义，得，即． 将变形为，再平方移入根号内： 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简． 【经典例题六 已知最简二次根式求参数】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键 根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：， ，当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 故可取的最小整数为， 故选：D． 【例2】（2026八年级下·全国·专题练习）如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的被开方数相同列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：1． 1．（24-25八年级下·山东泰安·月考）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． 2．（24-25八年级下·河南南阳·月考）若和都是最简二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根，如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： ∴ 故答案为： 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知和是相等的最简二次根式． 求，的值； 求的值． 【答案】 的值是，的值是；（2）． 【分析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，b的值； （2）根据算术平方根的概念解答即可． 【详解】∵和是相等的最简二次根式， ∴． 解得，， ∴的值是，的值是； （2）． 【点睛】考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义列出关于a，b的方程组是解题的关键. 【拓展训练一 二次根式与数轴化简问题】 【例1】（24-25八年级下·江西上饶·月考）数a在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，整式的减法，结合数轴知道的范围是解题的关键．由题意可知，，那么，，从而得出答案． 【详解】解：由题意可知，， 那么，， ， 故答案为：C． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）数轴上有A，B，C三点，若其中一个点表示的数是其他两个点表示的数的和，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别是，3，此时A就是点B与点C的“关联点”．若点A表示的数是，点B表示的数是，且B是点A与点C的“关联点”，则点C表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质，新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握“关联点”的定义． 【详解】解：∵，，且B是点A与点C的“关联点”， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 【答案】， 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的化简求值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ； ∴，时，原式． 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）先阅读，再回到问题： 化简：．由于题目没有给出的取值范围，所以要分类讨论． ． 令令得；的零点值为3，的零点值为-2，在数轴上标出3和-2的点，数轴被分成三段，即；当<-2时，原式=-2+1；当时，原式=5；当3时，原式=2-1． （1）求和的零点值； （2）化简：． 【答案】（1）-1与2；（2）当时，原式；当时，原式=3；当时，原式 【分析】（1）令，，求出的值即可． （2）根据题意给出方法即可求出答案． 【详解】解：（1）令， ， 令， ， 与的零点值为与2； （2）原式 当时， ，， 原式 当时， ， 原式 当时， ，， 原式 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 3．（24-25九年级上·河南周口·月考）若，化简，某同学的解答过程如图． 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)该同学的解答从第______步开始出现错误，错误的原因是用错了性质： 当时，______；当时，______； (2)写出原题正确的解答过程； (3)若实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：．    【答案】(1)二，， (2)，过程见解析 (3) 【分析】（1）根据二次根式的性质解答即可； （2）根据二次根式的性质化简即可； （3）根据数轴先得到，，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：由化简过程可知，从第二步出现错误， 当时，，当时，， 故答案为：二，，； （2）∵， ∴， ； （3）由数轴可知：，，， ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，数轴上的有理数，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【拓展训练二 二次根式的乘除综合应用】 【例1】（24-25八年级下·河北廊坊·月考）若，则化简（    ） A．m B．-m C．n D．-n 【答案】B 【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可． 【详解】解：由已知条件可得： m<0，n<0， ∴原式= = = =|m| =-m， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．　 【例2】（24-25八年级上·湖南益阳·期末）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为 ． 1 b 3 a 2 6 c 【答案】18 【分析】根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等和图中的数据，可以得到方，然后求解即可． 【详解】解：∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等， ∴， 解得，， 故答案为：18． 【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的等式． 1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）判断的值在哪两个连续整数之间，并简要写出推理过程． 【答案】在24和25之间，见解析 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握二次根式的乘法运算，进一步得出即可求解． 【详解】解：， ，， ， ． 2．（25-26八年级上·全国·假期作业）对于实数a，b，我们定义运算“#”：，例如：，因为，所以；又如，因为，所以． 问：下列各式的结果哪些是有理数？哪些是无理数？请说明理由． ①；②；③；④． 【答案】①②的结果是有理数，③④的结果是无理数；理由见解析 【分析】本题考查新定义，二次根式的乘法运算，实数的分类，解题的关键在于正确理解“#”的运算法则． 根据的运算法则，逐个运算并结合有理数与无理数进行判断，即可解题． 【详解】解：①②的结果是有理数，③④的结果是无理数． 理由如下： ①∵， ∴； ②∵， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴． ∴①②的结果是有理数，③④的结果是无理数． 3．（24-25八年级上·江西吉安·月考）我们知道，任意一个二次根式（为正整数），都可以进行这样的分解：（，是正整数，且），在的所有这种分解中，如果最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如可以分解成，或，显然是的最佳分解，此时． (1)直接写出的最佳分解：________，________； (2)若正整数，满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了新定义，二次根式的乘法，理解新定义的含义是解答本题的关键． （1）先求出的最佳分解，再求即可； （2）可设，其中为正整数．由可得，由可求出，进而可求出的值． 【详解】（1）可以分解为， 显然是的最佳分解，此时． 故答案为：，； （2）∵， ∴可设，其中为正整数． 得． ∵， ∴． ∵， ∴是一个正整数的平方数． ∵， ∴，， ∴． A基础训练 1．（25-26八年级上·全国·课前预习）在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，正确判断最简二次根式是解题的关键．化简二次根式，，，，，即得答案． 【详解】解：，，，，， 是最简二次根式的是，只有1个． 故选：A． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算． 先利用乘法分配律化简原式，再通过估算结果的取值范围，推导得出原式的取值范围． 【详解】解： ， 又∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴原式的值在5和6之间． 故选：A． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若成立，则的值可以是（    ） A．-4 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据被开方数大于等于零，分母不能为零，建立不等式组计算即可． 【详解】因为成立， 所以， 解得， 只有m=2符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式除法运算的基本条件，熟练掌握运算具备的条件是解题的关键． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐一判断每个二次根式是否为最简二次根式． 【详解】解：根据最简二次根式的定义分析各根式： ①：​，被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意； ②：被开方数不含分母，且和都不能开得尽方，符合最简二次根式的条件，符合题意； ③：被开方数不含分母，且无法分解出能开得尽方的因式，符合最简二次根式的条件，符合题意； ④：被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意． 综上，是最简二次根式的有②③，共个． 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个核心条件，逐一分析被开方数的形式． 5．（24-25八年级上·河北衡水·期末）在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．把，分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可． 【详解】解：∵，， ∴，故甲正确， ，故乙正确； ，故丙正确； 故选：D． B 提高训练 6．（25-26八年级下·全国·周测）计算： （其中）． 【答案】 【分析】本题可根据二次根式的乘除运算法则，先将系数部分和根式部分分别进行运算，再结合幂的运算化简结果． 【详解】解：按照二次根式乘除法则，先处理系数部分，再处理根式部分： 系数部分运算：； 根式部分运算：； 化简被开方数：； 因此根式部分结果为：； 将系数与根式部分结合：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练运用二次根式乘除法则，并结合幂的运算化简被开方数． 7．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在中，是最简二次根式的是 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 的被开方数15不含平方因子，是最简二次根式； 被开方数含分母，不是最简二次根式； 被开方数含分母，不是最简二次根式， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若与最简二次根式能合并成一项，则 ． 【答案】-2 【分析】先化简，因为它与最简二次根式能合并成一项，所以它们是同类二次根式，被开方数相同，列出方程即可得到a的值． 【详解】解：∵，它与最简二次根式能合并成一项， ∴1-a=3， ∴a=-2， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，牢记同类二次根式的概念是解题的关键． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知三角形底边的长是，面积是，则此边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除； 利用三角形面积公式，代入底边和面积，求出高即可． 【详解】解：设此边上的高为， 由题意得：， 所以， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是．其中（单位：）表示车速，（单位：）表示刹车后车轮滑过的距离，表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得，．则汽车的车速是 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了利用二次根式的乘法公式逆运算进行化简，正确理解题意是解题的关键．直接用题目中速度公式进行计算即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． C 培优训练 11．（25-26八年级上·上海·月考）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的运算法则和有意义的条件化简即可，掌握二次根式的运算法则及有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴原式 ． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 13．（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读理解阅读下面一道题的解答过程，判断是否正确，如若不正确，请写出正确的解答过程． 化简：． 解：原式． 【答案】错误，过程见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 先根据题意可得，进而得出，，，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：错误．正确的解答如下： 由二次根式的性质可知，， ，，， 则原式 ， ． 14．（24-25八年级下·福建莆田·期中）例题：化简 解：∵，且， ∴ (1)化简 (2)化简 (3)化简 (4)若，则m，n与a，b的关系是什么？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，． 【分析】（1）由，从而可得答案； （2）由，从而可得答案； （3）由，从而可得答案； （4）由，再两边平方，从而可得答案； 【详解】（1）解：∵，且， ∴； （2）∵，且， ∴； （3）∵， 又∵，且， ∴； （4）∵， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，完全平方公式的应用，理解题意，把被开方数化为某数的平方是解本题的关键． 15．（2026八年级下·全国·专题练习）小东在学习了后，认为也成立，因此他认为一个化简过程是正确的．你认为这个化简过程正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程． 【答案】不正确．，过程见解析 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、二次根式的乘除法，熟知二次根式除法法则适用的条件是解题的关键．根据二次根式的被开方数的非负性即可解答． 【详解】解：不正确．． 正确的解答过程：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式的乘法与除法重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 最简二次根式的判断 题型五 化为最简二次根式 题型六 已知最简二次根式求参数 拓展训练一 二次根式与数轴化简问题 拓展训练二 二次根式的乘除综合应用 知识点一：二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西太原·月考）化为最简二次根式是（ ） A． B．6 C． D． 2．（24-25八年级下·广东茂名·月考）将二次根式化为最简二次根式 ． 知识点二：二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 【即时训练】 1．（25-26九年级上·山西晋中·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽六安·月考）计算∶ ． 知识点三：二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【即时训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算÷的结果是（　　） A．4 B．2 C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空：__________．横线上依次填： 、 、 、 ． 【经典例题一 二次根式的乘法】 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列二次根式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：＝ ． 1．（2026八年级下·全国·专题练习）若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·海南海口·月考）计算： ． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）设，计算下列各式： (1) (2) (3) (4)． 【经典例题二 二次根式的除法】 【例1】（2025·云南曲靖·模拟预测）设n 为正整数且，则n的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【例2】（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 1．（24-25八年级下·重庆九龙坡·月考）估算的结果（　　） A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·月考）计算的结果为 ． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期末）（1）填空：______，______（填“”、“”或“=”）； （2）若，，求证． 【经典例题三 二次根式的乘除混合运算】 【例1】（24-25九年级上·重庆沙坪坝·月考）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）化简的结果为 ． 1．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东潍坊·模拟预测）从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题四 最简二次根式的判断】 【例1】（25-26九年级上·河南南阳·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25八年级下·河南驻马店·月考）若是最简二次根式，写出一个符合条件的x的值： ． 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如果是最简二次根式，则x的值可能是（    ） A．11 B．13 C．21 D．27 2．（24-25八年级下·四川自贡·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式有 个． 3．（24-25八年级·全国·假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【经典例题五 化为最简二次根式】 【例1】（24-25八年级上·北京·单元测试）把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·河南新乡·月考）若，则二次根式 化为最简二次根式为 ． 1．（24-25九年级上·四川乐山·期中）下列各式①，②，③，④，⑤（＞0）中是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·自主招生）计算： ． 3．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【经典例题六 已知最简二次根式求参数】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）若二次根式是最简二次根式，则m可取的最小整数为（    ） A．1 B．0 C． D． 【例2】（2026八年级下·全国·专题练习）如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么 ． 1．（24-25八年级下·山东泰安·月考）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 2．（24-25八年级下·河南南阳·月考）若和都是最简二次根式，则 ． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知和是相等的最简二次根式． 求，的值； 求的值． 【拓展训练一 二次根式与数轴化简问题】 【例1】（24-25八年级下·江西上饶·月考）数a在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．1 B．-1 C． D． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）数轴上有A，B，C三点，若其中一个点表示的数是其他两个点表示的数的和，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别是，3，此时A就是点B与点C的“关联点”．若点A表示的数是，点B表示的数是，且B是点A与点C的“关联点”，则点C表示的数是 ． 1．（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）先阅读，再回到问题： 化简：．由于题目没有给出的取值范围，所以要分类讨论． ． 令令得；的零点值为3，的零点值为-2，在数轴上标出3和-2的点，数轴被分成三段，即；当<-2时，原式=-2+1；当时，原式=5；当3时，原式=2-1． （1）求和的零点值； （2）化简：． 3．（24-25九年级上·河南周口·月考）若，化简，某同学的解答过程如图． 解：原式第一步 第二步 第三步 (1)该同学的解答从第______步开始出现错误，错误的原因是用错了性质： 当时，______；当时，______； (2)写出原题正确的解答过程； (3)若实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：．    【拓展训练二 二次根式的乘除综合应用】 【例1】（24-25八年级下·河北廊坊·月考）若，则化简（    ） A．m B．-m C．n D．-n 【例2】（24-25八年级上·湖南益阳·期末）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为 ． 1 b 3 a 2 6 c 1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）判断的值在哪两个连续整数之间，并简要写出推理过程． 2．（25-26八年级上·全国·假期作业）对于实数a，b，我们定义运算“#”：，例如：，因为，所以；又如，因为，所以． 问：下列各式的结果哪些是有理数？哪些是无理数？请说明理由． ①；②；③；④． 3．（24-25八年级上·江西吉安·月考）我们知道，任意一个二次根式（为正整数），都可以进行这样的分解：（，是正整数，且），在的所有这种分解中，如果最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如可以分解成，或，显然是的最佳分解，此时． (1)直接写出的最佳分解：________，________； (2)若正整数，满足，，且，求的值． A基础训练 1．（25-26八年级上·全国·课前预习）在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定 3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若成立，则的值可以是（    ） A．-4 B．2 C．4 D．5 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·河北衡水·期末）在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 B 提高训练 6．（25-26八年级下·全国·周测）计算： （其中）． 7．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在中，是最简二次根式的是 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若与最简二次根式能合并成一项，则 ． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知三角形底边的长是，面积是，则此边上的高为 ． 10．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是．其中（单位：）表示车速，（单位：）表示刹车后车轮滑过的距离，表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得，．则汽车的车速是 ．（结果保留根号） C 培优训练 11．（25-26八年级上·上海·月考）化简：． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 13．（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读理解阅读下面一道题的解答过程，判断是否正确，如若不正确，请写出正确的解答过程． 化简：． 解：原式． 14．（24-25八年级下·福建莆田·期中）例题：化简 解：∵，且， ∴ (1)化简 (2)化简 (3)化简 (4)若，则m，n与a，b的关系是什么？并说明理由． 15．（2026八年级下·全国·专题练习）小东在学习了后，认为也成立，因此他认为一个化简过程是正确的．你认为这个化简过程正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程． 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