专题06 三角形章末49道压轴题型（7大题型） 专项训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形7大核心题型，通过49道压轴题系统整合线段性质、角度计算、图形变换等解题方法，构建“概念生成-性质推导-综合应用”的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中线相关计算|7题|特殊化策略、面积等分原理|从单中线到重心性质，逐步深化线段与面积关系| |高的计算问题|7题|等高三角形性质、面积法|结合高线定义，拓展至动态点与面积关系证明| |折叠问题|7题|折叠全等转化、角度守恒|通过内外折叠探究角度关系，培养空间观念| |内角和应用|7题|方程思想、分类讨论|从基础计算到“友爱角”新定义，强化推理意识| |角平分线综合|7题|内外角平分线模型、等量代换|构建角平分线与内角和的关联，提升符号意识| |三边关系应用|7题|不等式组求解、实际情境转化|结合三角形构成条件，培养应用意识| |内外角综合|7题|“8字型”模型、外角定理|整合内角外角性质，发展逻辑推理能力|

专题06 三角形章末49道压轴题型专训（7大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、根据三角形中线求长度与面积 1 题型二、与三角形的高有关的计算问题 2 题型三、三角形中折叠的问题 3 题型四、三角形内角和定理的应用 4 题型五、三角形角平分线的定义综合应用 5 题型六、三角形三边关系的应用 6 题型七、三角形内角与外角的综合应用 7 【经典例题一 根据三角形中线求长度与面积】 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的高线，是中点，连接交于点O． (1)若的周长为，求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点A到的距离． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了三角形的中线、三角形的高线、三角形的面积等知识点，灵活运用等面积法求三角形的高是解题的关键． （1）根据中线的定义可知，结合已知求出，然后再求即可； （2）直接运用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵是中点， ∴， ， ∴， ， ∴的周长． （2）解：如图：过A作于M， ， ∴，解得：． ∴点A到的距离． 2．（25-26八年级上·湖北·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点．      (1)若是边上中线，，，则与的周长之差为______； (2)若，是的角平分线，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用是中线，得，再根据三角形周长公式作差即可； （）根据题意得到，，再根据三角形内角和定理即可求解； 此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义及中线的性质，灵活运用三角形内角和定理进行角度的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∴与的周长差为：， 又∵，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，是的中线，是的中线． (1)若，的周长为24，求的周长； (2)若的面积为48，，求点B到线段的距离． 【答案】(1)28 (2)6 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，进而可求的周长； （2）根据等底等高的三角形的面积相等表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）∵AD是的中线， ∴． ∵的周长，， ∴的周长； （2）∵和的高为同一条，， ∴． 同理可得，． 设点B到线段AD的距离为h， 则， 解得， ∴点B到线段AD的距离为6． 4．（25-26八年级上·山东烟台·期中）面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形、借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略．特殊情形下，问题变得具体、简单、易于解决；同时，它与一般性问题关系密切，特殊问题的解决经验有可能推广到一般性问题的解决中．因此，从特殊情形出发，有助于我们发现解决问题的思路．请用特殊化策略解决下面题目：四边形的面积为16，各边中点分别为M、N、P、Q，与相交于，求图中阴影部分面积． 【答案】8 【分析】本题考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的性质，是解题的关键，连接，根据三角形的中线平分面积即可得出结果． 【详解】解：先考虑特殊四边形的情形，当四边形为正方形或长方形时，阴影部分的总面积等于四边形面积的一半，即阴影部分的总面积等于8． 对于一般情形，连接（如图）． 因为分别是各边的中点， 所以面积，，，． 因此，阴影部分的总面积等于四边形面积的一半． 即阴影部分面积为8． 5．（25-26七年级下·福建·期中）如图： (1)请在中画出边上的中线和边上的高． (2)与相等吗？试说明理由．（友情提示：表示三角形面积） (3)已知：为的中线，点E为边上的中点，若的面积为20，，求点E到边的距离为多少？ 【答案】(1) 如图，即为所求作的中线，即为所求作的高： (2)解：相等，理由： ∵是中线， ∴， ∵是高， ∴， ∴； (3) 【分析】本题考查画三角形的高线，三角形的中线. （1）根据三角形中线和高的定义作图即可； （2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可． （3）首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得的面积是5，再利用三角形的面积公式进而得到的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，作于点H， 是的中线， ， ∵点E为边上的中点， ， ， 的面积为， 的面积是， ， ， ∴． 即点到边的距离为． 6．（25-26七年级下·四川资阳·期末）综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)，理由如下：     点是的重心， ， 和同高，设高为， ， 同理得， ∴， ， ∴； (3) (4) 【分析】本题考查三角形中线的性质以及三角形面积的计算： （1）根据的中线得到，由于高相同，利用三角形面积公式可得出结论； （2）根据题干中关于重心的定义得，由于和同高，和同高，得出，去掉公共三角形，即可得到与的面积相等； （3）根据题干中关于重心的定义得，利用三角形面积公式得，去掉公共部分，得，利用三角形等底同高得，，即可得出结论； （4）连接交于点，先求出，通过各三角形底边之间的关系，得到、，进而求出四边形的面积． 【详解】（1）解：是三角形的中线， ， 和的底边分别是和，它们共用同一个顶点， 它们的高相等，设为， ． （2）解：，理由略． （3）解：点是的重心， ， 和同高，设高为， ， ， ∴， 同理：等底同高，等底同高， ，， ∴， ∴． （4）解：如图，连接交于点， 是的重心， 由（3）可得出，，，， 设，， ∴， 同理得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同高， 设它们的高为， ，，且， ， 、和同高，设高为， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ∴． 7．（25-26七年级下·山西临汾·期末）课题学习：三角形的中线 在认识了三角形的三条重要线段高、角平分线、中线之后，张华同学观察自己做的图形“的边上的中线……”时，发现：线段不仅平分的边，还平分的面积． (1)探究与发现：张华的同桌思考之后，给出了以下思路和证明：过点A作边上的高，则： … … … … … … … … 所以，三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积． 请你添加张华的同桌所作的辅助线，并将其证明过程补充完整． (2)运用与实践：请你根据以上发现，解决以下问题 如图，是的中线，是的中线，的面积为40，，求的面积和点E到的距离． 如图，有一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块试验田分成面积相等的四块三角形地块．请你设计出四种不同的划分方案． 【答案】(1) 证明：如图所示，过点A作边上的高， ∵是边边上的中线 ∴ ∴ ∴三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积． (2) S△ABE＝10，E到BC的距离是4； 如图所示（取各边中点或中线的中点） 【分析】（1）过点A作边上的高，由三角形中线的性质得到，进而得到； （2）如图所示，过点E作于点F，由三角形中线的性质得到，然后利用三角形面积公式求解即可； 根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图所示，过点E作于点F， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴，即 ∴， ∴点E到的距离为4． 略 【经典例题二 与三角形的高有关的计算问题】 8．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 【答案】40 【分析】根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形的中线的性质求解即可． 【详解】解：是的高，，， ， 是的中线， ． 【点睛】 9．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在锐角中，，P是射线上一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点A作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，若，，求的长． (2)猜想并证明线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)或者，证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据列式化简，可得，代入数据进行计算即可； （2）分类讨论，当点P在线段上时，由（1）已证得；当点P在线段的延长线上时，根据列式化简可得． 【详解】（1）解：，，， ， 即． ， ． ，， ； （2）解：或者．理由如下： 当点P在线段上时， 由（1）已证得； 当点P在线段的延长线上时， 如图， ， 即． ， ． 综上所述，或者． 10．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直角三角形三条高的交点为直角顶点的性质进行解答即可； （2）根据三角形三条高所在直线交于一点的性质，作出第三条高即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点； （2）解：略． （3）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 11．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，平分，若 (1)求的度数； (2)小明认为不需要知道的度数，只需要知道的度数，在其它条件不变的情况下，也能求出的度数．你认为可以吗？若能，请你求当时，直接写出的度数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)可以，当时， 【分析】本题主要考查角平分线与垂线的定义及三角形内角和，熟练掌握角平分线与垂线的定义及三角形内角和是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和可进行求解； （2）同理（1）可得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵ 平分， ， ， ， ； （2）解：可以，理由如下： ∵，平分， ， ， ， ， ， ∴当时，． 12．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1) ，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； (2)6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． 13．（26-27八年级·全国·暑假作业）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________； (3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 和等高三角形的性质可求得； （3）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 ，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ， ， ∴； （2）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴； （3）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴． 14．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 我校二班熊老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）在中，由于点是边中点，那么与___________的面积相等，同理可得与___________的面积相等；与___________的面积相等 （2）在中，由于点是边中点，那么的面积是的面积的___________，同理的面积是的面积的___________，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与___________的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等． （3）由的面积是的面积的2倍，可得___________；同理可得： ___________ 【拓展应用】 如图2，在中，点O是的重心．连接并延长分别交，于点．若，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】（1），，；（2），，；（3），；（4） 【分析】本题考查了利用三角形中线求面积，同底等高三角形，根据已知解题思路求出的值是解题关键． （1）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （2）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （3）由上述解析得到6个小三角形面积相等，进而得到的面积是的面积的2倍，再根据同高三角形面积之比等于底边之比求解即可； （4）由上面的结论可知，，进而求出，，再根据中线的性质得到，即可得解． 【详解】解：（1）在中，由于点是边中点，那么与的面积相等， 同理可得与的面积相等；与的面积相等， 故答案为：，，； （2）在中，由于点是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等， 故答案为：，，； （3）由的面积是的面积的2倍，可得；同理可得：， 故答案为：，； （4）由上面的结论可知，， ， ，，，, ，， 在中，是的中点， ， 四边形的面积． 【经典例题三 三角形中折叠的问题】 15．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． 16．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内角和定理和角平分线定义等知识，熟练掌握疏导他对于空间解答本题的关键． （1）由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得，再由三角形内角和定理可求出； （2）设，则，求出根据可得结论． 【详解】（1）解：如图， ，且 又平分，平分， ∴ ∴ ； （2）解：设，则， 由折叠得， ∴ ∴ 而 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 17．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点处，求证 （2）如图2，BI平分，CI平分，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若，求的度数； （3）如图3，在锐角△ABC中，于点F，于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索与的关系，并证明你的结论． 【答案】 （1）证明：连接， ， ∴又 ∴ （2）； （3）与的关系是： 证明：∵． ∴ ∴ 即 ∵ ∴ 【分析】本题考查翻折的性质，垂线的性质，角平分线的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键； （1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可； （2）根据三角形角平分线的性质得出，得出的度数即可； （3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，，进而求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）又（1）知： ∴∴ ∴ 又∵BI平分，CI平分 ∴ ∴ （3）略 18．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）在中，点M，N分别在上，连接，将沿折叠得到． (1)如图1，当点C落在边上，且，，求的度数；    (2)如图2，当点C落在的内部时．    ①若，则的度数为______； ②求证：． 【答案】(1)50° (2)①117°； ②证明：由题意可得：， ∴， ∴. 【分析】（1）根据折叠的性质求出，进而即可求解； （2）①根据折叠的性质得，进而即可求解；②根据三角形内角和定理结合折叠的性质即可得到结论 【详解】（1）∵， ∴， 由题意可得， ∴； （2）①∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②略 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，以及折叠的性质是解题的关键 19．（25-26八年级上·广东中山·期中）（1）如图①，把纸片沿折叠，使点A落在四边形的内部点的位置，试说明； （2）如图②，若把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，此时与、之间的等量关系是　 　（无需说明理由）； （3）如图③，若把四边形沿折叠，使点A、D落在四边形的内部点、的位置，请你探索此时、、与之间的数量关系，写出你发现的结论并说明理由． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【分析】（1）根据翻折的性质表示出、，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出、，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （3）先根据翻折的性质表示出、，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：（1）如图， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， 整理得，； （2）如图， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， 整理得，； 故答案为：； （3）如图， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， 整理得，． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，翻折的性质，熟练掌握折痕是角平分线，三角形的内角和是，是解题的关键． 20．（25-26七年级下·全国·单元测试）发现问题 （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，请你判断与有何数量关系，写出你的结论，并说明理由； 思考探索 （2）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点重合，若，求的度数； 拓展应用 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，，交于点，把折叠使点和点重合，试探索与的关系，并证明你的结论． ． 【答案】（1），见解析 （2） （3），见解析 【分析】本题主要考查三角形的折叠问题，熟知三角形的内角和定理的折叠的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，结合整体思想即可解决问题． （2）根据（1）中结论求出的度数，再根据三角形内角和定理得出的度数，最后用整体思想即可解决问题． （3）根据与及与的关系即可解决问题． 【详解】解：．理由如下： 由折叠可知， ，，． ， ，， ． ， ， ． 故与的关系是：． ，， ， ， ． 平分，平分， ，， ， ． ． 证明：，， ，． ， ， ， ， 即． 又， ， 即． 21．（25-26八年级上·浙江·周测）如图①，在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿的平分线折叠，点与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称是的好玩角． 小马展示了确定是的好玩角的两种情形． 情形一：如图②，沿等腰三角形顶角的平分线折叠，点B与点C重合； 情形二：如图③，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，此时点与点C重合．    探究发现： (1)在中，，，经过两次折叠，是的好玩角，求的度数． (2)小马经过三次折叠发现了是的好玩角，请探究与（不妨设）之间的等量关系为________．根据以上内容猜想：若经过n次折叠是的好玩角，则与（不妨设）之间的等量关系为________． 应用提升： (3)小马找到一个三角形，三个角分别为，，，发现和的两个角都是此三角形的好玩角．请你完成，如果一个三角形的最小角是，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好玩角． 【答案】(1) (2)； (3)和或和 【分析】（1）设，根据好玩角的定义可得，再由三角形外角的性质，可得，即可求解； （2）根据好玩角的定义以及三角形外角的性质，即可求解； （3）由题意可设另外两个的度数分别为和，其中m，n为正整数，根据三角形内角和定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图③，设， ∵经过两次折叠，是的好玩角， ∴， 又∵是的外角， ∴， 由题意， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，    ∵经过三次折叠是的好玩角， ∴第三次折叠的， ∵，， ∴， 由此可猜想经过n次折叠是的好玩角，则； 故答案为：；； （3）解：由题意可设另外两个的度数分别为和，其中m，n为正整数，根据题意： ， ∴， ∴m，n均为正整数， ∴有两种情况： ①，， 此时三角形的另外两个角的度数分别为：和； ②，， 此时三角形的另外两个角的度数分别为：和； 综上所述：三角形另外两个角的度数和或和． 【点睛】本题主要考查了折叠问题的综合题，涉及了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，图形类规律题，根据题意得到规律是解题的关键． 【经典例题四 三角形内角和定理的应用】 22．（25-26八年级上·河北邢台·期末）在中，，，． (1)求的度数； (2)在求的度数时，嘉琪说：“因为点位置不确定，可能在内，也可能在外，所以最后的结果是两个不同的数值．”通过计算判断嘉琪的说法是否正确． 【答案】(1)； (2)解：嘉琪的说法不正确，理由如下： 设，， 由（1）得． ①当点在内部时，如图， ∵，，在中，， ∴， 将代入得； ②当点在外部时，如图， 此时、与点分别在的两侧，仍满足，， 在中，， ∴； 综上所述，无论点在内部还是外部，的度数均为，故嘉琪的说法不正确． 【分析】（1）利用三角形内角和为，结合已知的度数直接计算两角和； （2）分点在内部和外部两种情况，分别用三角形内角和计算的度数，验证结果是否一致． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）略． 23．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，，且，是的角平分线，是的高． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由三角形内角和定理可得，解方程即可得到答案； （2）由角平分线的定义得到，由三角形的高的定义得到，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 24．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，分别是的角平分线和高． (1)已知，求的度数．你还能求出哪些角的度数？ (2)与有怎样的关系？为什么？ 【答案】(1) ， 还可以求，，． (2)解：与的关系为． ∵在中，， ∵是角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴，即， 在中，， 又∵， 代入得：， ∴与的关系为：． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的性质可求解的度数，再由直角三角形可求解的度数，由此可求的度数，再根据三角形内角和定理还可以求解，，的度数． （2）先由三角形内角和得到，以及，再根据，代入表示即可． 【详解】（1）解：在中，， ∵是的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴，即， 在中，， ∴， 还可以求解，，的度数， 在中，， ∴， 在中，． （2）略 25．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，点和点分别在和上，，和的平分线交于点． (1)求图中的值． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对运用三角形内角和定理求解即可； （2）先由三角形内角和定理求解的度数，然后根据角平分线以及对运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ 解得； （2）解：由（1）得， ∴ ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴． 26．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）通过角平分线定理，再结合三角形内角和为，推导出各图中与的关系； （2）若选择图1，由角平分线定理得，，再结合内角和，可推出；若选择图2，由角平分线定理得，，再结合三角形内角和为，可推出；若选择图3，由角平分线定理得，，可推出． 【详解】（1）解：如图1，； 如图2，； 如图3，； （2）证明：选择图1， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 或选择图2， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴. ∵， ∴； 或选择图3， ∵平分，平分 ∴，. ∴， ∴. 27．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）【问题背景】如图①，在中，，，P是内一点，且．求的度数． （2）【实际应用】一个零件的形状如图②所示，按规定，和应分别是和．检验工人量得，就断定这个零件不合格．请你运用三角形的有关知识说明此零件不合格的理由． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】此题考查了三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和是是解题的关键． （1）根据的条件，求出的度数，再根据，，求出，于是可求出，然后根据三角形的内角和定理求出的度数； （2）连接，按规定，假设零件合格，那么，先求出，再根据三角形的内角和定理求出的度数，即可判断． 【详解】解：（1）， ． 又，， ， ， ， ． （2）如图，连接．假设零件合格， ∵， ∴． ，， ， ∴此时， ∵检验工人量得， ∴此零件不合格． 28．（25-26八年级上·广东珠海·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ， 在中，， ， 为“友爱三角形”； 在中，， 为“友爱三角形”； (2)或 【分析】本题考查了直角三角形的性质和新定义，正确理解“友爱三角形”的定义是关键． （1）①根据与互余和“友爱三角形”的定义进行求解即可； ②根据直角三角形的性质及“友爱三角形”的定义进行判断即可； （2）直接根据“友爱三角形”定义求解即可． 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ② 略 （2）解：是“友爱三角形”，是边上一点（不与点重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 【经典例题五 三角形角平分线的定义综合应用】 29．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在中，平分交于点，平分交于点P． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形内角和定理，得出，再由角平分线的定义得到，然后根据三角形外角的性质得出，即可求解； （2）先利用三角形内角和定理的推论，得出，再由角平分线的定义得到，然后根据三角形外角的性质得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 30．（25-26七年级下·河北承德·期末）已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 【答案】(1)， (2)证明：在与中，， ∵， ∴， ， ， ，， ， ； (3) 【分析】（1）根据三角形内角和及对顶角可进行求解； （2）根据三角形内角和及对顶角相等可得，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求证； （3）由（1）得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如下图， ，， ，， 由（1）得，， 两式相加，得， 即， ． 31．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图1，一张三角形纸片，点D，E分别是边上两点． (1)如果沿直线折叠，使点A落在上的点处，则与的数量关系是_____； (2)如果折成图2的形状，猜想和的数量关系是_______； (3)如果折成图3的形状，猜想和的数量关系是什么，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据折叠得出，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出，即可求解； （2）根据折叠得出，根据三角形内角和定理得出，推得，故，即可求解； （3）根据折叠的性质可得，交于点，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得出，，推得，即可求解． 【详解】（1）解：根据折叠的性质可得， 在中，， 即； （2）解：， 理由：根据折叠的性质可得，，， ∵， 故， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：． 理由：根据折叠的性质可得， 交于点，如图： 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即． 32．（25-26七年级下·山东聊城·期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： (1)如图1，在中，与的平分线交于点，，则______． (2)如图2，的内角，的平分线与的外角，的平分线交于点，其中，求的度数； (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求_________（用表示）； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，可得，再根据角平分线的定义，可得，即可求解； （3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到． 【详解】（1）解：， ， 与的平分线交于点， ，， ， ； （2）解：， ，即， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ； （3）解：，，， ， 、的平分线交于点， ，， ． 33．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点，．在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． (1)求的度数； 解：（已知）， __________． （__________）， （已知）， ___________________（等量代换）． (2)求的度数． 解：， （__________）． （已知）， ___________________（等量代换）． 【答案】(1)；三角形外角等于不相邻两内角和；；； (2)等式性质；；； 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据三角形外角等于不相邻两内角和得到，即可求解； （2）根据三角形外角等于不相邻两内角和得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 34．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图1，在中，，和的平分线相交于点．求的度数． (1)对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解（________________________）， ________（等式的性质）． 平分，平分（已知）， ________． ， ________． (2)变式1：如图2，在中，和的外角平分线相交于点．若，则________； (3)变式2：如图3，在中，的平分线与的外角平分线相交于点．直接写出与之间的关系________． 【答案】(1)三角形内角和等于，100，50，130 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，角的和差，角平分线的定义作答即可； （2）由角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理得到，即可求出； （3）分别根据角平分线的定义及三角形的外角性质可表示出与，由此即可得出结论． 【详解】（1）略； （2）解：∵和的外角平分线相交于点， ，， ∴， 又， ， 即； （3）解：如图，∵的平分线与的外角平分线相交于点D， ，， ∵，， ∴， ． 35．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）下面是八年级下册数学教材部分内容． 【问题回顾】 (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． (2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 (4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （3）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （4）根据折叠的性质，平角的定义，以及（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分，平分外角， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：． 【经典例题六 三角形三边关系的应用】 36．（YHmlsjsxBS721）如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD相交于点O．试说明：．    【答案】 解：因为在△OAB中，， 在△OAD中，， 在△ODC中，， 在△OBC中，， 所以， 即， 所以． 【详解】略 37．（25-26八年级上·广东广州·期中）一个等腰三角形的周长是． (1)如果腰长是底边的3倍，求出三角形各边的长是多少？ (2)能围成一边是的等腰三角形吗？如果能，请求出另外分别两边，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)能围成一边是的等腰三角形，其它两边长分别为， 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键，分类讨论是易错点． （1）设该等腰三角形的底边长为a，则腰长为，依题意得，由此解得，则此时该等腰三角形的三边长分别为，满足构成三角形的条件，据此即可得出该三角形各边的长； （2）不妨假设能能围成一边是的等腰三角形，分两种情况讨论如下：①该等腰三角形的腰长是时，则底边为，不满足构成三角形的条件；②当该等腰三角形的底边长是时，则腰长为，据此即可得出答案． 【详解】（1）解：设该等腰三角形的底边长为， 该等腰三角形的腰长是底边的3倍， 腰长为， 又等腰三角形的周长是， ， 解得：， ， 此时该等腰三角形的三边长分别为， ，满足构成三角形的条件， 该三角形各边的长分别是； （2）不妨假设能能围成一边是的等腰三角形， 有以下两种情况： ①该等腰三角形的腰长是时，设底边长为， 等腰三角形的周长是， ， 解得：， 此时该等腰三角形的三边长分别为， ，不满足构成三角形的条件， 此种情况不存在； ②当该等腰三角形的底边长是时，设腰长为， 等腰三角形的周长是， ，解得：， 此时该等腰三角形的三边长分别为， ，满足构成三角形的条件， 综上所述：能围成一个底边长腰长为的等腰三角形，该等腰三角形的另两边长分别为， 38．（25-26八年级上·河南信阳·期中）华华想制作一个三角形框架，他找到了这样的两根木条： (1)华华应该锯断哪根木条？写出你的理由． (2)华华将这根木条锯成长度各是多少厘米的两段（取整厘米数），才能和另一根组成一个三角形呢？（写出一种即可） 【答案】(1)华华应该锯断B木条，因为三角形两边之和要大于第三边 (2)华华把这根木条锯成6厘米和7厘米的两段，能和另一根木条围成一个三角形（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握“任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边”是解题的关键． （1）根据三角形三边关系分析求解； （2）只要符合三角形三边关系即可． 【详解】（1）解：华华应该锯断B木条，理由如下： 由于，那么锯断长的木条，则锯断后的两根木条之和始终为，不能满足三角形三边关系， 而锯断长的木条，则锯断后的两根木条之和始终为，，能满足三角形三边关系， 所以华华应该锯断B木条，因为三角形两边之和要大于第三边． （2）解：华华把这根木条锯成6厘米和7厘米的两段，能和另一根木条围成一个三角形（答案不唯一）． 39．（25-26八年级上·山东德州·期末）某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． (1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ (2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 【答案】(1)5种选择 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，再解出不等式组可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度； （2）根据木棒价格可直接选出答案． 【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形的三边关系可得：， 解得， 结合题干信息可得：．共5种选择． （2）解：在符合条件的木棒规格中，的木棒价格最低， ∴选的木棒最省钱． 40．（25-26八年级上·吉林四平·期末）在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 【答案】(1)第一段的长不能为， 理由如下： 根据题意，第一段长，第二段的长，第三段的长为， 当时，，， ∵， ∴三个木棒不能制作一个三角形木框， ∴第一段的长不能为； (2)符合条件的的整数长度为或或 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）先计算出三个木棒的长度，然后根据三角形三边关系判断即可得解； （2）设，则，先求出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵、、能组成三角形， ∴且， 解得， ∴整数为或或， 即符合条件的的整数长度为或或． 41．（25-26八年级上·河北衡水·期中）龟兔举行了新跑步比赛．比赛路线是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①；路线②；路线③． (1)若乌龟选择了路线②，在判断乌龟和兔子的路线长短时．有以下思路，请你继续解答． 如图，延长交于点P．在中，， (2)路线②和③相比，哪条更短？（需写出过程） 【答案】(1) 解：补全过程如下： 在中，， ∴， ∴， ∴兔子的路线长，乌龟的路线短． (2) 解：如图，延长交于点M，延长交于点N． 在中，，① 在中，，② 在中，∵， ∴，③ ∴由①②③式得， ∴， ∴， ∴路线②和③相比，路线③更短． 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系得出，可推出，从而得出答案； （2）如图，延长交于点，延长交于点．分别在中，根据三角形的三边关系得出，可推出，从而得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 42．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：． 【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：．       【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是 ．    【答案】直接应用：见解析；深化应用：见解析；拓展应用： 【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理： 直接应用：根据三角形三边关系得到，在不等式两边都加上即可得到结论； 深化应用：延长交于点D，根据三角形三边关系得到①，②， 利用即可推出； 拓展应用：根据三角形三边关系得到，，，将三个关系式相加并整理，结合三角形的周长即可得到答案． 【详解】解：[直接应用]：由三角形三边关系得，， ∴，即； [深化应用]：如图，延长交于点D， ∵①，②， ∴得， ∴， 即； [拓展应用]：在中，， 同理，，， 得，， ∴, 得， ∵点是内的任意一点，当点无限接近三角形的某一顶点时，就无限接近三角形的周长，但始终小于三角形的周长， ∴， ∴， 故答案为：． 【经典例题七 三角形内角与外角的综合应用】 43．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． (3)如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：结论：；理由如下： ∵平分外角，平分外角， ，， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，即可得出答案； （3）根据三角形外角的性质和角平分线的定义，求出，，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵、分别平分和， ∴，（角平分线的定义）， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， 即， ∴； （3）略 44．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）中，为的平分线，为边上的高． (1)如图1，若，，请求的度数； (2)如图2（），试说明，，的数量关系； (3)如图3，延长到点，和的平分线交于点，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得的度数，利用三角形的高线可求的度数，进而求解即可得出结论； （2）根据（1）的推理方法可求解，，的数量关系； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：∵和的角平分线交于点G， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 45．（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为． 【答案】(1)A (2)选用③证明三角形的内角和为，理由如下： ∵，， ∴，，，， ∴， 由平角的性质可得，， ∴，即三角形的内角和为． 选用④证明三角形的内角和为，理由如下： 如图所示，延长，在延长线上取一点， ∵， ∴，． 又， ∴， 即三角形的内角和为． 【分析】（1）证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． （2）选用③证明三角形的内角和为，根据平行线的性质得到，，，，得到，再根据平角的性质即可求解； 选用④证明三角形的内角和为，延长，在延长线上取一点，根据平行线的性质可求得，，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角，用到了转化思想，A选项符合题意； （2）略 【点睛】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，利用转化思想将三角形的内角和转化为平角是解题的关键． 46．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图①，已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)试说明：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与，相交于点，．若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴； (2) 【分析】（1）利用三角形内角和即可得答案； （2）根据角平分线的定义得到，，再由“8字型”得到，，两等式相减得到，即，最后把，代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：以M为交点“8字型”中，有， 以N为交点“8字型”中，有, ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴． 47．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）完成填空，并补全证明过程： 如图，是的一个外角，，的平分线与的平分线交于点，求的度数． 解：因为的平分线与的平分线交于， 所以， ．（ ）（填推理依据） 因为是的外角，是的外角， 所以 ， ． （ ）（填推理依据） … 【答案】解：因为的平分线与平分线交于， 所以，（角平分线的定义）， 因为是的外角，是的外角， 所以，，（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）， 所以． 【分析】根据三角形外角的性质可得，，再利用角平分线的定义即可解答 【详解】略 48．（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； (3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角平分线得出，，则，根据，即可求解． （2）根据角平分线得出，，则，结合（1）中，即可求解． （3）根据角平分线得出，，则，结合，，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由（1）知， ∴． （3）略 49．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数． 【详解】（1）解：分别是和的角平分线，， ， ， ； （2）解：分别是和的角平分线， ， ， ； （3）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ； （4）解：是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， 由（3）知， ， ， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，， 都是锐角， ∴分四种情况讨论： ①， ， ， ； ②， ， ； ③， ， ， ， ④， ， 解之得：， 综上可知：的度数为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角形章末49道压轴题型专训（7大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、根据三角形中线求长度与面积 1 题型二、与三角形的高有关的计算问题 2 题型三、三角形中折叠的问题 3 题型四、三角形内角和定理的应用 4 题型五、三角形角平分线的定义综合应用 5 题型六、三角形三边关系的应用 6 题型七、三角形内角与外角的综合应用 7 【经典例题一 根据三角形中线求长度与面积】 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的高线，是中点，连接交于点O． (1)若的周长为，求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点A到的距离． 2．（25-26八年级上·湖北·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点．      (1)若是边上中线，，，则与的周长之差为______； (2)若，是的角平分线，求的度数． 3．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，是的中线，是的中线． (1)若，的周长为24，求的周长； (2)若的面积为48，，求点B到线段的距离． 4．（25-26八年级上·山东烟台·期中）面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形、借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略．特殊情形下，问题变得具体、简单、易于解决；同时，它与一般性问题关系密切，特殊问题的解决经验有可能推广到一般性问题的解决中．因此，从特殊情形出发，有助于我们发现解决问题的思路．请用特殊化策略解决下面题目：四边形的面积为16，各边中点分别为M、N、P、Q，与相交于，求图中阴影部分面积． 5．（25-26七年级下·福建·期中）如图： (1)请在中画出边上的中线和边上的高． (2)与相等吗？试说明理由．（友情提示：表示三角形面积） (3)已知：为的中线，点E为边上的中点，若的面积为20，，求点E到边的距离为多少？ 6．（25-26七年级下·四川资阳·期末）综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 7．（25-26七年级下·山西临汾·期末）课题学习：三角形的中线 在认识了三角形的三条重要线段高、角平分线、中线之后，张华同学观察自己做的图形“的边上的中线……”时，发现：线段不仅平分的边，还平分的面积． (1)探究与发现：张华的同桌思考之后，给出了以下思路和证明：过点A作边上的高，则： … … … … … … … … 所以，三角形的中线平分三角形的边，也平分三角形的面积． 请你添加张华的同桌所作的辅助线，并将其证明过程补充完整． (2)运用与实践：请你根据以上发现，解决以下问题 如图，是的中线，是的中线，的面积为40，，求的面积和点E到的距离． 如图，有一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块试验田分成面积相等的四块三角形地块．请你设计出四种不同的划分方案． 【经典例题二 与三角形的高有关的计算问题】 8．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 9．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在锐角中，，P是射线上一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点A作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，若，，求的长． (2)猜想并证明线段，，之间的数量关系． 10．（25-26八年级上·山西朔州·阶段检测）数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 11．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，平分，若 (1)求的度数； (2)小明认为不需要知道的度数，只需要知道的度数，在其它条件不变的情况下，也能求出的度数．你认为可以吗？若能，请你求当时，直接写出的度数；若不能，请说明理由． 12．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 13．（26-27八年级·全国·暑假作业）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________； (3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________． 14．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 我校二班熊老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）在中，由于点是边中点，那么与___________的面积相等，同理可得与___________的面积相等；与___________的面积相等 （2）在中，由于点是边中点，那么的面积是的面积的___________，同理的面积是的面积的___________，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与___________的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等． （3）由的面积是的面积的2倍，可得___________；同理可得： ___________ 【拓展应用】 如图2，在中，点O是的重心．连接并延长分别交，于点．若，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【经典例题三 三角形中折叠的问题】 15．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 16．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 17．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点处，求证 （2）如图2，BI平分，CI平分，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若，求的度数； （3）如图3，在锐角△ABC中，于点F，于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索与的关系，并证明你的结论． 18．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）在中，点M，N分别在上，连接，将沿折叠得到． (1)如图1，当点C落在边上，且，，求的度数；    (2)如图2，当点C落在的内部时．    ①若，则的度数为______； ②求证：． 19．（25-26八年级上·广东中山·期中）（1）如图①，把纸片沿折叠，使点A落在四边形的内部点的位置，试说明； （2）如图②，若把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，此时与、之间的等量关系是　 　（无需说明理由）； （3）如图③，若把四边形沿折叠，使点A、D落在四边形的内部点、的位置，请你探索此时、、与之间的数量关系，写出你发现的结论并说明理由． 20．（25-26七年级下·全国·单元测试）发现问题 （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，请你判断与有何数量关系，写出你的结论，并说明理由； 思考探索 （2）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点重合，若，求的度数； 拓展应用 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，，交于点，把折叠使点和点重合，试探索与的关系，并证明你的结论． ． 21．（25-26八年级上·浙江·周测）如图①，在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿的平分线折叠，点与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称是的好玩角． 小马展示了确定是的好玩角的两种情形． 情形一：如图②，沿等腰三角形顶角的平分线折叠，点B与点C重合； 情形二：如图③，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，此时点与点C重合．    探究发现： (1)在中，，，经过两次折叠，是的好玩角，求的度数． (2)小马经过三次折叠发现了是的好玩角，请探究与（不妨设）之间的等量关系为________．根据以上内容猜想：若经过n次折叠是的好玩角，则与（不妨设）之间的等量关系为________． 应用提升： (3)小马找到一个三角形，三个角分别为，，，发现和的两个角都是此三角形的好玩角．请你完成，如果一个三角形的最小角是，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好玩角． 【经典例题四 三角形内角和定理的应用】 22．（25-26八年级上·河北邢台·期末）在中，，，． (1)求的度数； (2)在求的度数时，嘉琪说：“因为点位置不确定，可能在内，也可能在外，所以最后的结果是两个不同的数值．”通过计算判断嘉琪的说法是否正确． 23．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，，且，是的角平分线，是的高． (1)求的度数． (2)求的度数． 24．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，分别是的角平分线和高． (1)已知，求的度数．你还能求出哪些角的度数？ (2)与有怎样的关系？为什么？ 25．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，点和点分别在和上，，和的平分线交于点． (1)求图中的值． (2)求的度数． 26．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 27．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）【问题背景】如图①，在中，，，P是内一点，且．求的度数． （2）【实际应用】一个零件的形状如图②所示，按规定，和应分别是和．检验工人量得，就断定这个零件不合格．请你运用三角形的有关知识说明此零件不合格的理由． 28．（25-26八年级上·广东珠海·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【经典例题五 三角形角平分线的定义综合应用】 29．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在中，平分交于点，平分交于点P． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 30．（25-26七年级下·河北承德·期末）已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 31．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图1，一张三角形纸片，点D，E分别是边上两点． (1)如果沿直线折叠，使点A落在上的点处，则与的数量关系是_____； (2)如果折成图2的形状，猜想和的数量关系是_______； (3)如果折成图3的形状，猜想和的数量关系是什么，并说明理由． 32．（25-26七年级下·山东聊城·期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： (1)如图1，在中，与的平分线交于点，，则______． (2)如图2，的内角，的平分线与的外角，的平分线交于点，其中，求的度数； (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求_________（用表示）； 33．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点，．在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． (1)求的度数； 解：（已知）， __________． （__________）， （已知）， ___________________（等量代换）． (2)求的度数． 解：， （__________）． （已知）， ___________________（等量代换）． 34．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图1，在中，，和的平分线相交于点．求的度数． (1)对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解（________________________）， ________（等式的性质）． 平分，平分（已知）， ________． ， ________． (2)变式1：如图2，在中，和的外角平分线相交于点．若，则________； (3)变式2：如图3，在中，的平分线与的外角平分线相交于点．直接写出与之间的关系________． 35．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）下面是八年级下册数学教材部分内容． 【问题回顾】 (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． (2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 (4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 【经典例题六 三角形三边关系的应用】 36．（YHmlsjsxBS721）如图，四边形ABCD是任意四边形，AC与BD相交于点O．试说明：．    37．（25-26八年级上·广东广州·期中）一个等腰三角形的周长是． (1)如果腰长是底边的3倍，求出三角形各边的长是多少？ (2)能围成一边是的等腰三角形吗？如果能，请求出另外分别两边，如果不能，请说明理由． 38．（25-26八年级上·河南信阳·期中）华华想制作一个三角形框架，他找到了这样的两根木条： (1)华华应该锯断哪根木条？写出你的理由． (2)华华将这根木条锯成长度各是多少厘米的两段（取整厘米数），才能和另一根组成一个三角形呢？（写出一种即可） 39．（25-26八年级上·山东德州·期末）某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． (1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ (2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 40．（25-26八年级上·吉林四平·期末）在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 41．（25-26八年级上·河北衡水·期中）龟兔举行了新跑步比赛．比赛路线是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①；路线②；路线③． (1)若乌龟选择了路线②，在判断乌龟和兔子的路线长短时．有以下思路，请你继续解答． 如图，延长交于点P．在中，， (2)路线②和③相比，哪条更短？（需写出过程） 42．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：． 【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：．       【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是 ．    【经典例题七 三角形内角与外角的综合应用】 43．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． (3)如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 44．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）中，为的平分线，为边上的高． (1)如图1，若，，请求的度数； (2)如图2（），试说明，，的数量关系； (3)如图3，延长到点，和的平分线交于点，请直接写出的度数． 45．（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为． 46．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图①，已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)试说明：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与，相交于点，．若，，求的度数． 47．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）完成填空，并补全证明过程： 如图，是的一个外角，，的平分线与的平分线交于点，求的度数． 解：因为的平分线与的平分线交于， 所以， ．（ ）（填推理依据） 因为是的外角，是的外角， 所以 ， ． （ ）（填推理依据） … 48．（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； (3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 49．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $