专题07函数期末易错压轴题型专练(16大题型共计49道)2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦函数全章高频易错点与压轴题型，通过「典题特征-易错点-解题思路」三层架构实现从概念理解到综合应用的递进突破，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错01-12|3-4题/模块|竖线检验函数、符号计算规则、实际场景变量限制|从变量关系表示（表格/关系式/图象）到函数概念、解析式及取值范围，构建函数基础认知链| |压轴13-16|3-5题/模块|动点临界点划分、分段函数建模、新定义转化|综合几何动态、实际应用与创新探究，强化推理意识与问题解决能力，衔接中考函数压轴考法|

专题07函数期末易错压轴题型专练 本专练聚焦函数全章高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.用表格表示变量间的关系 易错02.用关系式表示变量间的关系 易错03.用图象表示变量间的关系 易错04.函数的概念 易错05.函数解析式 易错06.求自变量的取值范围 易错07.求自变量的值或函数值 易错08.函数图象识别 易错09.用描点法画函数图象 易错10.从函数图象获取信息 易错11动点问题的函数图象 易错12.函数的三种表示方法 压轴13.几何动点分段函数 压轴14.实际情景分段函数图象 压轴15.三种表示法综合探究 压轴16函数新定义探究. 易错01.用表格表示变量间的关系 典题特征：①根据表格判断是否为函数；②由表格数据推导函数关系式 易错点：①同一自变量对应多个函数值，误判定为函数；②找数值规律时计算系数出错 1．某日李师傅加油时，加油机屏幕上显示的量如图所示，则加油机显示的量中为常量的是（  ）． A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和单价 2．根据下面的研究弹簧长度与所挂物体重量关系的实验表格，当所挂物体重量为时，弹簧长度为_____ ． 所挂物体重量 1 3 4 5 弹簧长度 10 14 16 18 3．一个蓄水池有50m3的水，打开放水闸门放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表，下列说法不正确的是（　　） 放水时间（分） 1 2 3 4 … 水池中的水量（） 48 46 44 42 … A．每分钟放水 B．放水10分钟后，水池中还有的水 C．水池中的水量是自变量，放水时间是因变量 D．放水25分钟，水池中的水全部放完 易错02.用关系式表示变量间的关系 典题特征：①根据实际情境列函数等式；②判断等式是否属于函数 易错点：①含y2的等式分不清一对多，错认函数；②列式忽略自变量实际限制 4．某车油箱中存油25升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 5．幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则与的关系可以表示为________． 6．跨学科试题·物理  在烧开水时，水温达到就会沸腾，如表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间和温度的数据： 0 2 4 6 8 10 12 14 … 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即），温度T与时间t的关系式及自变量分别为（     ） A．，t B．，t C．，t D．，T 易错03.用图象表示变量间的关系 典题特征：给出图像，用竖线检验法判断是否为函数 易错点：①竖线与图像有2个交点，仍判定是函数；②混淆横轴、纵轴代表的变量 7．如图①，钓鱼爱好者将挂在鱼钩上的鱼（可视为密度大于水的物体）从水中匀速提起，直至鱼完全离开水面停留在空中（不计空气阻力）．则以下物理量：钓鱼线的拉力、鱼受到的浮力、水面高度、钓鱼者对鱼竿的作用力，其中某个量与自变量时间t的关系大致可以用图②来描述，这个量是（    ） A．钓鱼线的拉力 B．鱼受到的浮力 C．水面高度 D．钓鱼者对鱼竿的作用力 8．下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画（填字母）？ （1）一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）：________________． （2）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）：________________． （3）足球守门员一脚踢出去的球（高度与时间的关系）：________________． （4）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）：________________． 9．下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 易错04.函数的概念 典题特征：判断函数相关命题对错，区分自变量与因变量 易错点：①忽略“给定一个x，仅有唯一y对应”核心条件；②混淆自变量、函数值概念 10．下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 11．小亮帮母亲预算家庭月份电费开支情况，下表是小亮家月初连续天每天早上电表显示的读数． 日期︳日 1 2 3 4 5 6 7 8 电表读数︳度 21 24 28 33 39 42 46 49 （1）表格中反映的自变量是______，因变量是______． （2）估计小亮家月份的用电量是____，若每度电是元，估计他家月份应交的电费是_____． 12．下列曲线不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 易错05.函数解析式 典题特征：识别解析式类型，代入数值计算 易错点：①分不清式中谁是自变量；②代入负数、分数时漏加括号，符号计算出错 13．已知点在函数的图象上，则代数式的值等于（） A． B．3 C．2 D．1 14．去学校食堂就餐，学生经常会在一个买菜窗口前等待，经调查发现，学生的舒适度指数与等待时间的关系如下表，则可以反映与之间的关系的式子是________． 等待时间 舒适度指数 15．长方形一条边的长度为厘米，其周长为厘米，面积为平方厘米，则与的关系可以表示为（    ） A． B． C． D． 16．写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围： (1)三角形的一边长为，它的面积是这边上的高的函数； (2)设直角三角形中一个锐角的度数为，另一个锐角的度数是的函数； (3)某种报纸的单价为1.50元，购买这种报纸x份的总价y（元）是x的函数． 易错06.求自变量的取值范围 典题特征：分式、二次根式、混合式、实际场景四类求x范围 易错点：①分式忘记分母≠0；②二次根式只写x>0，漏掉x=0；③混合条件不取公共解集；④实际问题忽略长度、人数不能为负 17．下列函数中自变量的取值范围不是全体实数的是(    ) A． B． C． D． 18．函数中自变量的取值范围是____． 19．函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 易错07.求自变量的值或函数值 典题特征：①已知x代入求y；②已知y解方程反求x 易错点：①负数代入不加括号，计算符号错误；②求出多个x值，不结合取值范围舍去无效解 20．当时，对应的y值不唯一的是（     ） A． B． C． D． 21．根据如图所示程序计算函数值，若输入的x值为，则输出的函数值y为________． 22．如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为（） A． B． C． D． 易错08.函数图象识别 典题特征：竖线检验图像是否为函数，匹配变量变化图像 易错点：①记错竖线检验规则；②读图像时横纵坐标颠倒 23．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 24．如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    25．向高为30的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深与注水量的函数关系的大致图象是（     ） A． B． C． D． 易错09.用描点法画函数图象 典题特征：按列表、描点、连线三步规范作图 易错点：①平滑曲线用折线连接；②取点过少，图像走势失真 26．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（     ） x 0 1 2 y 10 8 6 2 A． B． C． D． 27．小明在画函数（＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是 A． B． C． D． 28．如图，数轴上点表示的数是，点是数轴上一动点，若它表示的数是，与点之间的距离为． (1)填写下表，画出关于的函数图像；      ．．．                     0 1 2 ．．．      ．．． ．．． (2)y是x的函数吗？_____（填“是”或者“不是”）；如果是的话，请写出y与x的函数表达式：_____． 易错10.从函数图象获取信息 典题特征：读图求交点、最值、增减趋势、实际意义 易错点：①读数横纵坐标看反；②描述增减性左右顺序写反 29．我市今年4月份举行了鹤壁马拉松赛，甲、乙两选手参加了半马21.0975公里的比赛并跑完全程，其行程y（千米）随时间x（小时）变化的图象如图所示．下列说法正确的序号是（     ） ①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②在1小时的时候两人都跑了10千米； ③乙比甲先到达终点；④两人都跑了21.0975公里． A．③④ B．③ C．④ D．②③④ 30．某电信公司推出两种不同的收费标准：A种方式是月租20元；B种方式是月租0元．一个月本地打出电话费S（元）与打出时间t（分）的函数图象如图所示，当打出150分钟时，这两种方式的电话费相差___________元． 31．周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发后到达中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明坐公交车的同时，爸爸驾车沿相同的路线前往滨海公园，结果比小明早到．如图是他们离家的路程（）与小明离家的时间（）的关系图．请根据图中信息回答下列问题： (1)小明家到滨海公园的路程为___，小明在中心书城逗留的时间为___． (2)小明两次乘坐公交车，其中较快的速度为___；小明爸爸驾车的速度为___． (3)小明从家出发多长时间时和爸爸处在同一位置，此地距离滨海公园还有多远？ (4)小明从家出发多长时间和爸爸的距离是？ 易错11动点问题的函数图象 典题特征：图形边上动点，面积/线段长随时间变化匹配分段图像 易错点：①遗漏运动分段，误选单一直线图像；②增减趋势选反；③找不到拐点对应的运动临界点 32．如图1在一水平放置的正方形左侧有一个等腰，其顶点，在同一水平线上，，且点与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点运动到边中点时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的对应关系如图2所示，则正方形的边长为（     ） A．4 B．6 C．7 D．8 33．如图1，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间（单位：秒）之间的函数关系图象如图2所示（点为曲线部分的最低点）． 则：（1）______； （2）点的纵坐标的值为______． 34．如图，在等腰中，，，点为边上的中点，连接，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，到达点时停止运动．设点运动的时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积大于6时，的取值范围． 易错12.函数的三种表示方法 典题特征：表格、关系式、图像三者互相转化 易错点：①表格转解析式找错数字规律；②图像转关系式时坐标读取错误 35．下面说法中正确的是（   ） A．两个变量之间的函数关系只能用表达式表示 B．图象法不能直观地表示函数的变化趋势 C．借助表格可以表示出函数值随自变量的变化情况 D．表达式法不能明显地表示对应规律 36．声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温之间的关系如下从表中可知音速y随温度x的升高而__________．在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点__________米． 气温（） 0 5 10 15 20 音速y（米/秒） 331 334 337 340 343 37．九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 压轴13.几何动点分段函数 典题特征：①矩形、三角形、正方形边上设单/双动点；②以运动时间t为自变量，线段长、图形面积为函数；③动点分多段运动，需分段写出完整函数式；④设问含求临界时间、面积最值、满足等腰/直角三角形的t值，多小问综合作答。 解题思路⓵找动点转向、抵达顶点的临界点，划分自变量区间；⓶单段内用运动时间表示线段，结合面积、相似、勾股列函数；⓷标注每段自变量取值范围；⓸利用分段函数求解最值、存在性，结合图形检验答案。 38．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示． (1)在这个变化中，自变量是 ； (2)当点运动的路程时，的面积为 ； (3)求的长和梯形的面积． 39．如图1，中，点是边的中点，点从的顶点出发，沿的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点，在运动过程中，线段的长度随时间（秒）变化的关系图象如图2所示，点是曲线部分的最低点． (1)求图2中点的坐标； (2)求图1中线段的长． 40．如图，在平行四边形中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿方向运动．点、、三点同时出发，当点到达点时，点，和均停止运动，设动点运动的时间为秒，的面积为，点与点之间的距离为． 　　 (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 压轴14.实际情景分段函数图象 典题特征：①行程、注水、销售、工程等生活化背景；②给出完整分段函数图像；③推导分段解析式、计算速度/单价、解释拐点/交点实际意义、求解最值。 解题思路⓵梳理行程、收费等场景的分段节点；⓶取图像点，待定系数法求每段解析式；⓷结合图像拐点、斜率分析实际含义，结合现实限制取舍自变量。 41．如图①，在长方形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒，点Q的速度变为每秒．图②是点P出发x秒后的面积（）与x（秒）的函数关系图象；图③是点Q出发x秒后的面积（）与x（秒）的函数关系图象． (1)参照图②，求a、b及图②中的c值； (2)求d的值； (3)当点Q出发______秒时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为． 42．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间关系如图：当___h时，甲、乙两个工程队所挖河渠的长度相等． 43．甲乙两车在高速公路上同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，乙车第一次确认与前方甲车的距离为．后再次确认与前方甲车的距离为，乙车开始均匀减速，每秒减少．设行驶的时间为（单位：s），甲乙两车之间的距离为（单位：m），甲乙两车的车速与的关系如图1所示，与的关系如图2所示．【提示：距离平均速度时间，平均速度为（其中是开始时的速度，是秒时的速度）】 （1）___________； （2）___________． 44．已知学校、花店、书店在同一直线上．如图反映的过程是：小华从学校出发步行到花店，在那里停留一段时间后，又以相同速度步行到书店，在书店共停留了．图中x表示时间，y表示小华与学校的距离．小清也从学校出发，沿同一条路步行去书店，他步行的速度与小华相同，最后，小清在书店遇到小华．小清出发的时间可能是小华出发后的（    ） A． B． C． D． 45．某天，甲骑自行车，乙骑电动车相约从北仑图书馆门口出发，沿同一条路线匀速行驶到相距的九峰山游玩，图表示甲、乙两人离终点的距离与甲行驶的时间之间的函数图象．图表示甲乙两人之间的路程差关于的函数图象． (1)计算甲和乙的速度（单位：千米/分）． (2)________，________，________ (3)为了保证及时联络，出发前甲乙都携带了对讲机，该对讲机可以直连通话的有效距离是千米，超过千米就会信号中断．请通过计算，甲在行驶过程中，是否一直可以与乙保持直连通话，若不能，请计算甲乙对讲机出现信号中断持续的时间． 压轴15.三种表示法综合探究 典题特征：①同步给出变量表格、坐标系、实际场景；②由表格推导函数关系式，描点绘图；③结合实际限制确定自变量取值范围，验证点是否在函数图像、求参数。 解题思路⓵化简解析式，分析对称、增减基础性质；⓶借助表格找点，预判函数变化趋势；⓷描点绘图，数形结合解方程、求取值范围、比较函数值大小。 46．某污水处理厂采用新型微生物制剂净化水质．在投放制剂后，需监测污染物的去除率．记投放制剂后的第日，污染物去除率为（单位：）．根据试验数据，对于给定制剂投放量单位（可取1，2，3或4），可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： （日） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 时的值 0 10 18 25 30 35 40 43 45 46 47 48 时的值 0 30 45 55 62 65 67 68 69 70 70 时，从第2日起，每日比前一日增加的去除率逐渐减少或保持不变．对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数的值为______时，的值首次超过60； (2)写出表中整数的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)技术人员小张正在调试制剂投放方案．若去除率达到即可认定为达标．每单位制剂的成本为200元，从第一天开始直至去除率达标，每天会产生100元的运营成本（含达标当天）． ①根据函数关系，小张最早在投放制剂后的第_______日可实现达标（结果为整数）； ②小张应选择______单位制剂投放方案，总成本最低，最低是______元． 47．为提升学生的跳绳能力，学校为同学们安排了“活力跳跳营”课程．该课程分为体能提升（不含跳绳）和跳绳训练两个阶段：先进行T天（T可取0、2、4或6）的体能提升，从第天开始进入跳绳训练，每日跳绳训练后安排课堂测试，当跳绳的个数达到合格标准时立即停止跳绳．体育老师根据以往经验制定的课堂测试合格标准为：一名同学在跳绳训练的第x天跳绳个数为y个．经统计，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 时y的值 30 55 75 90 100 m 107 110 时y的值 70 120 155 170 180 185 188 190 时，从跳绳训练的第2日起，合格标准中每一日比前一日多跳的跳绳个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各有序数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线． 当和时，曲线，如图所示． 解答下列问题： (1)观察曲线，当跳绳训练天数x为第 天时，当天课堂测试的跳绳合格个数首次超过100； (2)表中m= ，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)小月同学报名参加了学校的“活力跳跳营”课程． ① 若小月的目标是在课堂测试中完成跳绳个数不少于150个，在T= 0、2、4、6四种训练方案中，小月最早在参加课程（包含体能提升和跳绳训练）的第 天可以完成目标． ② 若课程的总天数均为8天，小月应该选择安排 天的体能提升训练，能使自己在课堂测试中的累计跳绳个数最多． 压轴16函数新定义探究 典题特征：①题干给出课本未出现的全新函数/点/符号定义，附带示例；②结合表格、图像、解析式三层工具理解定义；③分层设问：基础计算、图像分析、分类讨论、举反例判断命题正误，整道大题作为试卷最后一题。 解题思路⓵拆解题干新定义，标记新规则、符号、限制条件；⓶代入数值、函数套用定义，转化为常规计算/不等式问题；⓸用定义约束检验答案，剔除不符合条件的解。 48．阅读下面材料，再回答问题． 一般地，如果函数对于自变量取值范围内的任意，都有，那么就叫偶函数．如果函数对于自变量取值范围内的任意，都有，那么就叫奇函数． 例如： 当取任意实数时， 是偶函数． 又如：． 当取任意实数时， 是奇函数． (1)下列函数中：①；②；③；④；⑤ 是奇函数的有________；是偶函数的有________．（填序号） (2)仿照例证明：函数④或⑤是奇函数还是偶函数（选择其中之一）． 49．阅读下面材料：若与意义相同，也就是说，与的表示法相同．给出一个不等式，并将解集表达在一个数轴上，我们规定（和都是不等式的解）： 解集 对应区间 函数在有意义，若在上单调递增，在上单调递减（y随x的增大而增大，我们称为单调递增，反之则为单调递减），则称为函数的峰点，为含峰函数．（特别地，若在上单调递增或递减，则峰点为或） 对于不易直接求出峰点的含峰函数，可通过做试验的方法给出的近似值．试验原理为：“对任意的都在的区间，，若，则为含峰区间，此时称为近似峰点；若，则为含峰区间，此时称为近似峰点”． 我们把近似峰点与之间可能出现的最大距离称为试验的“预计误差”，记为，其值为（其中表示中较大的数）． (1)若，，求此试验的预计误差； (2)如何选取、，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明的取值即可）． (3)选取、都在的区间，且，可以确定含峰区间为或．在所得的含峰区间内选取，由与或与类似地可以进一步得到一个新的预计误差．分别求出当和时预计误差的最小值．（本问只写结果，不必证明） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07函数期末易错压轴题型专练 本专练聚焦函数全章高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.用表格表示变量间的关系 易错02.用关系式表示变量间的关系 易错03.用图象表示变量间的关系 易错04.函数的概念 易错05.函数解析式 易错06.求自变量的取值范围 易错07.求自变量的值或函数值 易错08.函数图象识别 易错09.用描点法画函数图象 易错10.从函数图象获取信息 易错11动点问题的函数图象 易错12.函数的三种表示方法 压轴13.几何动点分段函数 压轴14.实际情景分段函数图象 压轴15.三种表示法综合探究 压轴16函数新定义探究. 易错01.用表格表示变量间的关系 典题特征：①根据表格判断是否为函数；②由表格数据推导函数关系式 易错点：①同一自变量对应多个函数值，误判定为函数；②找数值规律时计算系数出错 1．某日李师傅加油时，加油机屏幕上显示的量如图所示，则加油机显示的量中为常量的是（  ）． A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和单价 【答案】C 【详解】解：在本次加油过程中： 单价（9.5元/升）全程固定不变，是常量； 随着加油进行，油量不断增加，总金额跟着油量变大，因此油量、金额是变量， 综上，常量为单价，故选C． 2．根据下面的研究弹簧长度与所挂物体重量关系的实验表格，当所挂物体重量为时，弹簧长度为_____ ． 所挂物体重量 1 3 4 5 弹簧长度 10 14 16 18 【答案】15 【分析】从表格中观察并估计y与x的之间的关系，再预测相关值即可． 【详解】解：所挂物体重量每增加，弹簧长度增加， 当物体重量为时，弹簧长度为, 故答案为：15． 【点睛】本题考查根据表格数据估计因变量的值，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．一个蓄水池有50m3的水，打开放水闸门放水，水池中的水量和放水时间的关系如下表，下列说法不正确的是（　　） 放水时间（分） 1 2 3 4 … 水池中的水量（） 48 46 44 42 … A．每分钟放水 B．放水10分钟后，水池中还有的水 C．水池中的水量是自变量，放水时间是因变量 D．放水25分钟，水池中的水全部放完 【答案】C 【分析】先根据表格数据得到每分钟放水量，推导出水池水量与放水时间的关系式，再逐一判断各选项，找出错误说法即可． 【详解】解：根据表格数据可知，放水时间每增加1分钟，水池水量减少，即每分钟放水，故A选项正确，不符合题意； 设放水时间为分钟，水池中水量为，则， 当时，，即放水10分钟后水池还有水，故B选项正确，不符合题意； 放水时间是主动变化的量，水池水量随放水时间变化，因此放水时间是自变量，水池水量是因变量，故C选项错误，符合题意； 当时，，解得，即放水25分钟水全部放完，故D选项正确，不符合题意； 易错02.用关系式表示变量间的关系 典题特征：①根据实际情境列函数等式；②判断等式是否属于函数 易错点：①含y2的等式分不清一对多，错认函数；②列式忽略自变量实际限制 4．某车油箱中存油25升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余油量等于总存油量减去流出的油量，列出函数关系式即可求解． 【详解】解：∵流速为升/分钟，流出时间为分钟， ∴分钟流出的油量为升， 又∵剩余油量总存油量流出油量，总存油量为升， ∴． 5．幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则与的关系可以表示为________． 【答案】 【详解】解：∵幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等， ∴第三行与第三列的和都减去右下角的数结果依然相等， ∴， 移项整理得：． 6．跨学科试题·物理  在烧开水时，水温达到就会沸腾，如表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的两个变量时间和温度的数据： 0 2 4 6 8 10 12 14 … 30 44 58 72 86 100 100 100 … 在水烧开之前（即），温度T与时间t的关系式及自变量分别为（     ） A．，t B．，t C．，t D．，T 【答案】A 【分析】根据表格信息即可求解． 【详解】解：由表格可得，开始时温度为，每增加1分钟，温度增加， ∴温度T与时间t的关系式为：，此时自变量为t． 易错03.用图象表示变量间的关系 典题特征：给出图像，用竖线检验法判断是否为函数 易错点：①竖线与图像有2个交点，仍判定是函数；②混淆横轴、纵轴代表的变量 7．如图①，钓鱼爱好者将挂在鱼钩上的鱼（可视为密度大于水的物体）从水中匀速提起，直至鱼完全离开水面停留在空中（不计空气阻力）．则以下物理量：钓鱼线的拉力、鱼受到的浮力、水面高度、钓鱼者对鱼竿的作用力，其中某个量与自变量时间t的关系大致可以用图②来描述，这个量是（    ） A．钓鱼线的拉力 B．鱼受到的浮力 C．水面高度 D．钓鱼者对鱼竿的作用力 【答案】A 【详解】解：当鱼还在水中时，钓鱼线的拉力不变； 随着鱼上浮，钓鱼线的拉力逐渐变大； 当鱼浮出水面时，钓鱼线的拉力不变． ∴钓鱼线的拉力与自变量时间t的关系大致可以用图②来描述． 8．下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画（填字母）？ （1）一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）：________________． （2）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）：________________． （3）足球守门员一脚踢出去的球（高度与时间的关系）：________________． （4）一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）：________________． 【答案】 D B A C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键． 确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． 【详解】解：（1）一面冉冉上升的旗子，高度随着时间的增加而增加，故选D； （2）匀速行驶的汽车，速度始终不变，故选B； （3）足球守门员踢出去的球，球的高度先上升后下降，故选A； （4）一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低，最后趋于0°C，故选C；   故答案为：D，B，A，C． 9．下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故B不符合题意； C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C不符合题意； D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D符合题意； 故选：D． 易错04.函数的概念 典题特征：判断函数相关命题对错，区分自变量与因变量 易错点：①忽略“给定一个x，仅有唯一y对应”核心条件；②混淆自变量、函数值概念 10．下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义：对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应即可． 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，并不是有唯一确定的值与之对应，故不是的函数，符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，不符合题意． 11．小亮帮母亲预算家庭月份电费开支情况，下表是小亮家月初连续天每天早上电表显示的读数． 日期︳日 1 2 3 4 5 6 7 8 电表读数︳度 21 24 28 33 39 42 46 49 （1）表格中反映的自变量是______，因变量是______． （2）估计小亮家月份的用电量是____，若每度电是元，估计他家月份应交的电费是_____． 【答案】 日期 电表读数 120 58.8元 【分析】（1）由函数的定义指出因变量和变量； （2）先计算平均每天的耗电量，然后计算4月份用电量并计算应交电费． 【详解】（1）表中反映的变量是日期和电表读数，自变量是日期，因变量是电表读数； （2）每天的用电量为：度， 4月份用电量为：度， ∵每度电是元， ∴应缴纳费用为：元． 故答案为:（1）日期；电表读数 （2）度；元 【点睛】本题考查函数的定义，简单的函数求值，掌握函数的定义是解题的关键． 12．下列曲线不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐一判断即可求解，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应． 【详解】解：根据函数的定义可得： A、B、D都符合函数的定义，故不符合题意； C、对于x的每一个值，y的值不是唯一的，则不能表示y是x的函数，故符合题意． 易错05.函数解析式 典题特征：识别解析式类型，代入数值计算 易错点：①分不清式中谁是自变量；②代入负数、分数时漏加括号，符号计算出错 13．已知点在函数的图象上，则代数式的值等于（） A． B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，得到，再代入即可计算代数式的值． 【详解】解：点在函数的图象上， 将，代入解析式得， ∴． 14．去学校食堂就餐，学生经常会在一个买菜窗口前等待，经调查发现，学生的舒适度指数与等待时间的关系如下表，则可以反映与之间的关系的式子是________． 等待时间 舒适度指数 【答案】 【分析】根据表格数据计算x与y的乘积，乘积为定值即可得到y与x的关系式． 【详解】解：观察表格数据计算得：，即与的乘积为定值， ∴， ∴． 15．长方形一条边的长度为厘米，其周长为厘米，面积为平方厘米，则与的关系可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列函数关系式，首先利用表示出长方形的另一边长，然后利用长方形的面积公式求解即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】∵长方形的一边是，则另一边长是， ∴与的关系可以表示为， 故选：． 16．写出下列各问题中的函数关系式，并指出自变量的取值范围： (1)三角形的一边长为，它的面积是这边上的高的函数； (2)设直角三角形中一个锐角的度数为，另一个锐角的度数是的函数； (3)某种报纸的单价为1.50元，购买这种报纸x份的总价y（元）是x的函数． 【答案】(1) 函数关系式为，自变量取值范围为 (2) 函数关系式为，自变量取值范围为 (3) 函数关系式为，自变量取值范围为是正整数 【分析】（1）根据三角形的面积公式解答； （2）根据直角三角形的两个锐角互余得出答案； （3）根据总价等于单价乘以数量解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，其中自变量取值范围是； （2）解：根据题意，得，其中自变量的取值范围是； （3）解：根据题意，得，自变量的取值范围是x是正整数． 易错06.求自变量的取值范围 典题特征：分式、二次根式、混合式、实际场景四类求x范围 易错点：①分式忘记分母≠0；②二次根式只写x>0，漏掉x=0；③混合条件不取公共解集；④实际问题忽略长度、人数不能为负 17．下列函数中自变量的取值范围不是全体实数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，初中数学中，整式函数的自变量取值范围为全体实数，分式的分母不能为0，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵选项A、是正比例函数，属于整式，自变量的取值范围是全体实数． ∵选项B、是一次函数，属于整式，自变量的取值范围是全体实数． ∵选项D、是二次函数，属于整式，自变量的取值范围是全体实数． 选项C、是分式，∵分式的分母不能为0，∴，自变量的取值范围是，不是全体实数． 18．函数中自变量的取值范围是____． 【答案】 【分析】根据函数、二次根式、分式有意义的条件列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，可得，解得：． 19．函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式、根式和零指数幂的条件. 根据函数表达式，分式的分母不为零，平方根的被开方数非负，零指数幂的底数不为零，综合可得自变量取值范围. 【详解】解：∵ 函数 有意义， ∴ 需满足： (1) 平方根被开方数非负：，即 ； (2) 分式分母不为零：； (3) 零次幂底数不为零：，即 . 综上， 且 且 . 故选：D. 易错07.求自变量的值或函数值 典题特征：①已知x代入求y；②已知y解方程反求x 易错点：①负数代入不加括号，计算符号错误；②求出多个x值，不结合取值范围舍去无效解 20．当时，对应的y值不唯一的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需将代入各选项，统计y的取值个数即可解答． 【详解】解：将分别代入各选项计算： A．，y只有唯一值，不符合题意； B．，y只有唯一值，不符合题意； C．，解得或，y有两个不相等的值，符合题意； D．，y只有唯一值，不符合题意． 综上，符合题意的是选项C． 21．根据如图所示程序计算函数值，若输入的x值为，则输出的函数值y为________． 【答案】 【分析】先判断输入所属的取值区间，再代入对应区间的函数解析式计算的值． 【详解】解：，满足，因此选用解析式， 将代入，． 22．如图，矩形，点在边上，设的底边长为，边上的高为，它的面积为，且，是关于的函数，则的最大值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式列出与的函数关系式，利用进行代换，将表示为关于的函数关系式，利用配方即可求出最大值． 【详解】解：∵的底边长为，边上的高为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值． 易错08.函数图象识别 典题特征：竖线检验图像是否为函数，匹配变量变化图像 易错点：①记错竖线检验规则；②读图像时横纵坐标颠倒 23．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数的定义：在一个变化过程中，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，则是的函数． 【详解】解：A．对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，能表示y是x的函数； B．对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，能表示y是x的函数； C．对于的每一个确定的值，不一定有唯一确定的值与其对应，不能表示y是x的函数； D．对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，能表示y是x的函数． 24．如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【答案】③②④① 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案． 【详解】解：图1表示：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；图2表示： ②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；图3表示： ④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低； 图4表示：①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系， 故图象顺序为：③②④①， 故答案为：③②④①． 25．向高为30的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深与注水量的函数关系的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察容器形状可知，该容器由上下两个圆柱体组成，且下部底面积大于上部底面积.根据圆柱体积公式可知，水深与注水量为分段变化关系，底面积越大，水深增加越慢，图象越平缓，据此逐项判断即可． 【详解】解：容器下部较粗，上部较细，且均为圆柱体， 注水过程中，水深与注水量的关系图象应为折线， 排除A、D选项； 下部底面积大，上部底面积小 ， 在下部注水时，水深随注水量的增加上升较慢，图象斜率较小（较平缓）， 在上部注水时，水深随注水量的增加上升较快，图象斜率较大（较陡峭）， 符合题意的图象是先平缓后陡峭的折线， 故选：C． 易错09.用描点法画函数图象 典题特征：按列表、描点、连线三步规范作图 易错点：①平滑曲线用折线连接；②取点过少，图像走势失真 26．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（     ） x 0 1 2 y 10 8 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：根据表格数据描点，如图， ， 则点，，在同一直线上，点没在这条直线上， 故选：D. 27．小明在画函数（＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将各选项代入计算看是否在直线上即可. 【详解】A 选项，当 代入 故在直线上. B 选项，当 代入 故在直线上. C选项，当 代入 故在直线上. D选项，当 代入 故不在直线上. 故选D. 【点睛】本题主要考查直线上的点满足直线方程，是考试的基本知识，应当熟练掌握. 28．如图，数轴上点表示的数是，点是数轴上一动点，若它表示的数是，与点之间的距离为． (1)填写下表，画出关于的函数图像；      ．．．                     0 1 2 ．．．      ．．． ．．． (2)y是x的函数吗？_____（填“是”或者“不是”）；如果是的话，请写出y与x的函数表达式：_____． 【答案】(1)见解析 (2)是； 【分析】本题主要考查描点法画函数图像、求一次函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式进行计算填写表格，再画出图像即可； （2）根据图像进行判断，再利用待定系数法求出y与x的函数表达式． 【详解】（1）解：如下表：      ．．．                     0 1 2 ．．．      ．．．                                    ．．． 如图，函数图像即为所求： （2）解：由（1）中的图像可知，y是x的函数； 当时，设函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴函数表达式为； 当时，设函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴函数表达式为； ∴综上所述，y与x的函数表达式为． 故答案为：是；． 易错10.从函数图象获取信息 典题特征：读图求交点、最值、增减趋势、实际意义 易错点：①读数横纵坐标看反；②描述增减性左右顺序写反 29．我市今年4月份举行了鹤壁马拉松赛，甲、乙两选手参加了半马21.0975公里的比赛并跑完全程，其行程y（千米）随时间x（小时）变化的图象如图所示．下列说法正确的序号是（     ） ①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②在1小时的时候两人都跑了10千米； ③乙比甲先到达终点；④两人都跑了21.0975公里． A．③④ B．③ C．④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据函数图象，对四个选项逐一分析，作出判断即可． 【详解】解：根据函数图象提供的信息逐项分析判断如下： 起跑后1小时内，乙已经超过甲，故①错误； 在1小时的时候乙跑了10千米，甲不到10千米，故②错误； 在2小时处乙跑在甲前面，从函数图象可知，短时间内甲不可能超过乙，由此可估计乙比甲先到达终点，故③正确； 甲、乙两选手参加了半马21.0975公里的比赛并跑完全程，可知两人都跑了21.0975公里，故④正确； 综上所述：正确的有③④． 30．某电信公司推出两种不同的收费标准：A种方式是月租20元；B种方式是月租0元．一个月本地打出电话费S（元）与打出时间t（分）的函数图象如图所示，当打出150分钟时，这两种方式的电话费相差___________元． 【答案】10 【分析】先求出两种方式每分钟的通话费用，进而求出打出150分钟时，两种方式的费用，相减即可. 【详解】解：由图象可知，A种方式每分钟通话的费用为元； B种方式每分钟通话的费用为元； 故通话150分钟时，A种方式需元；B种方式需元； 故这两种方式的电话费相差元. 31．周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发后到达中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明坐公交车的同时，爸爸驾车沿相同的路线前往滨海公园，结果比小明早到．如图是他们离家的路程（）与小明离家的时间（）的关系图．请根据图中信息回答下列问题： (1)小明家到滨海公园的路程为___，小明在中心书城逗留的时间为___． (2)小明两次乘坐公交车，其中较快的速度为___；小明爸爸驾车的速度为___． (3)小明从家出发多长时间时和爸爸处在同一位置，此地距离滨海公园还有多远？ (4)小明从家出发多长时间和爸爸的距离是？ 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)小明从家出发小时后和爸爸的距离是 【分析】（1）直接根据图象得出答案即可； （2）根据相应的路程除以时间，即可得出速度； （3）设小明从家出发x小时和爸爸处在同一位置，列方程求出x的值，进而可求出此地距离滨海公园距离． （4）根据题意分别写出小明和爸爸离家的路程（）与小明离家的时间（）的关系式，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，小明家到滨海公园的路程为30km，小明在中心书城逗留的时间为2.5-0.8=1.7（h）； 故答案为：30，1.7； （2）解：小明从家到中心书城时，他的速度为， 小明从中心书城到滨海公园的平均速度为， ∴小明两次乘坐公交车，其中最快的速度为； 小明爸爸驾车的平均速度为； （3）解：设小明从家出发x小时和爸爸处在同一位置，由题意得 ， 解得， ， 所以小明从家出发小时和爸爸处在同一位置，此地距离滨海公园还有． （4）解：由（3）可得小明从中心书城到滨海公园的平均速度为，则 小明爸爸的路程和小明离家的时间的函数关系式为： 根据题意， 相遇后：，解得：（舍去） 小明的爸爸到达以后，即当时，，解得：（舍去） 相遇前：，解得： 答：小明从家出发小时后和爸爸的距离是． 易错11动点问题的函数图象 典题特征：图形边上动点，面积/线段长随时间变化匹配分段图像 易错点：①遗漏运动分段，误选单一直线图像；②增减趋势选反；③找不到拐点对应的运动临界点 32．如图1在一水平放置的正方形左侧有一个等腰，其顶点，在同一水平线上，，且点与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点运动到边中点时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的对应关系如图2所示，则正方形的边长为（     ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：由图象得，当时，点与的中点重合， 当时，点B运动到的中点， ∴， ∴正方形的边长为6． 33．如图1，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间（单位：秒）之间的函数关系图象如图2所示（点为曲线部分的最低点）． 则：（1）______； （2）点的纵坐标的值为______． 【答案】 6 4 【分析】（1）由题意可得，再由点为的中点，即可求得； （2）由图象可知，当运动时间时，最小，即最小，此时，可得，则，在中，即可求解． 【详解】解：（1）∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为，根据图象可知，当时，， ∴， ∵点为的中点， ∴． （2）由图象可知，当运动时间时，最小，即最小， ∴此时， ∴如图所示，此时点P运动的路程为， 由（1）可知，， ∴， 在中，，即． 34．如图，在等腰中，，，点为边上的中点，连接，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，到达点时停止运动．设点运动的时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积大于6时，的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求出，再根据题意进行分类讨论：①当点P在上时，②当点P在上时； （2）根据（1）中得出的函数表达式，列表，画出图象即可，结合图象即可写出性质； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵，，点为边上的中点， ∴，， ∴， ①当点P在上时，即时， ∴， ∴； ②当点P在上时，过点C作于点E， ∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上：； （2）解：列表如下： x 3 4 6 12 6 函数图象如图所示： 由图可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）解：由图象可得，当的面积大于6时，的取值范围． 易错12.函数的三种表示方法 典题特征：表格、关系式、图像三者互相转化 易错点：①表格转解析式找错数字规律；②图像转关系式时坐标读取错误 35．下面说法中正确的是（   ） A．两个变量之间的函数关系只能用表达式表示 B．图象法不能直观地表示函数的变化趋势 C．借助表格可以表示出函数值随自变量的变化情况 D．表达式法不能明显地表示对应规律 【答案】C 【分析】本题考查函数表示方法的特点．函数有三种表示方法：表达式法、图象法和表格法．选项A、B、D的说法均与函数表示方法的实际特性不符，只有C选项正确描述了表格法的作用． 【详解】解：A项：函数关系不仅能用表达式表示，还能用图象和表格表示，∴ A错误，不符合题意； B项：图象法能直观地表示函数的变化趋势，∴ B错误，不符合题意； C项：表格法通过列出自变量与函数值的对应关系，可以表示函数值随自变量的变化情况，∴ C正确，符合题意； D项：表达式法能明显地表示函数与自变量之间的对应规律，∴ D错误，不符合题意； 故选：C． 36．声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温之间的关系如下从表中可知音速y随温度x的升高而__________．在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点__________米． 气温（） 0 5 10 15 20 音速y（米/秒） 331 334 337 340 343 【答案】 加快 68.6 【详解】解：观察表中的数据可知，音速随温度的升高而加快； 当气温为时，音速为343米/秒，而该人是看到发令枪的烟秒后，听到了枪声． 则由此可知，这个人距发令地点（米）． 37．九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 【答案】D 【分析】本题考查的是利用表格表示函数，根据表格信息逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表格信息可得：箭尺读数y随供水时间x的增加而增加，正确，故A不符合题意； 由表格信息可得：当时，，每增加1小时，箭尺读数y增加， ∴箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为， ∴B正确，D错误，B不符合题意，D符合题意； 由可得： 当时，，C正确，不符合题意； 故选：D． 压轴13.几何动点分段函数 典题特征：①矩形、三角形、正方形边上设单/双动点；②以运动时间t为自变量，线段长、图形面积为函数；③动点分多段运动，需分段写出完整函数式；④设问含求临界时间、面积最值、满足等腰/直角三角形的t值，多小问综合作答。 解题思路⓵找动点转向、抵达顶点的临界点，划分自变量区间；⓶单段内用运动时间表示线段，结合面积、相似、勾股列函数；⓷标注每段自变量取值范围；⓸利用分段函数求解最值、存在性，结合图形检验答案。 38．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示． (1)在这个变化中，自变量是 ； (2)当点运动的路程时，的面积为 ； (3)求的长和梯形的面积． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查动点问题的函数图象解读，自变量的概念，函数图象与几何图形的关系，以及直角梯形的面积计算． （1）根据函数的定义和自变量的概念即可得到答案． （2）根据函数图象与几何图形的关系，找到时，对应的值即为答案． （3）根据函数图象与几何图形的关系，得到，，继而根据直角梯形的面积计算公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点运动的路程为，的面积为， ∴根据图象可知，的面积是关于点运动的路程的函数， ∴自变量为， 故答案为：； （2）解：根据图象可知，点运动的路程时，的面积为， 故答案为：； （3）解：根据图象可得：，此时为， ∴，即，解得：， 由图象可得：， 则． 39．如图1，中，点是边的中点，点从的顶点出发，沿的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点，在运动过程中，线段的长度随时间（秒）变化的关系图象如图2所示，点是曲线部分的最低点． (1)求图2中点的坐标； (2)求图1中线段的长． 【答案】(1)点的坐标为； (2)． 【分析】（1）先根据图象得出，，再根据勾股定理列方程求解； （2）求得，得到是等边三角形，，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意和函数的图象得：， 过D作于点H，则， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵，，， ∴， ∴是等边三角形，∴， ∴， ∴． 40．如图，在平行四边形中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿方向运动．点、、三点同时出发，当点到达点时，点，和均停止运动，设动点运动的时间为秒，的面积为，点与点之间的距离为． 　　 (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1)； (2)图象见解析；在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）过点P作于点N，根据题意可得，，则，结合30度直角三角形的性质表示出，然后利用三角形面积公式即可表示出；分点M在上和在上时，分别表示出即可； （2）根据（1）中所求表达式，利用描点法作图即可； （3）根据图象找出的图象在的图象下方时，x的取值范围即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作于点N， ∵在平行四边形中，，，， ∴，， 根据题意可得，，，则， ∵中，， ∴， ∴； 当点M在上时，即时，， 当点M在上时，即时，； ∴； （2）解：描点如下： 1 2 3 4 5 6 7 3.5 6 7.5 8 7.5 6 3.5 6 4 2 0 2 4 6 图象如图所示： 函数的性质：在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大； （3）解：由函数图象，时，的取值范围是或． 压轴14.实际情景分段函数图象 典题特征：①行程、注水、销售、工程等生活化背景；②给出完整分段函数图像；③推导分段解析式、计算速度/单价、解释拐点/交点实际意义、求解最值。 解题思路⓵梳理行程、收费等场景的分段节点；⓶取图像点，待定系数法求每段解析式；⓷结合图像拐点、斜率分析实际含义，结合现实限制取舍自变量。 41．如图①，在长方形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒，点Q的速度变为每秒．图②是点P出发x秒后的面积（）与x（秒）的函数关系图象；图③是点Q出发x秒后的面积（）与x（秒）的函数关系图象． (1)参照图②，求a、b及图②中的c值； (2)求d的值； (3)当点Q出发______秒时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为． 【答案】(1)，， (2)； (3)或 【分析】（1）分；；和，四种情况求解即可； （2）根据题意，得当时，点Q的速度改变为每秒，此时点Q在上运动了， 运动路程为，此时距离终点的路程为，运动所用时间为，求解即可； （3）设运动时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为，根据题意，得；当运动时，点P停止运动，此时P，Q相距的路程为，而点P、点Q在运动路线上相距的路程为，故点Q还要运动，求解即可； 【详解】（1）解：当时，，且，， 此时， 根据图象，得当时，， 故， 解得； 当时，运动路程为，此时， 根据图象，得当时，， 故， 解得； 当点P在上运动时，，恒成立， 此时运动时间为：， 故点P运动时，到达点C的位置上， 当点P在上运动时，运动速度为，运动路程为， 运动时间为：， 故运动时，到达终点D处， 根据图象的意义，得； （2）解：根据题意，得，， 当点P在上运动时，此时运动时间为：， 故当时，，此时， 根据题意，得当时，点Q的速度改变为每秒，此时点Q在上运动了， 运动路程为，此时距离终点的路程为，运动用时间为， 故运动速度为：； （3）解：设运动时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为， 根据题意，得， 解得； 当运动时，点P停止运动，此时P，Q相距的路程为， 而点P、点Q在运动路线上相距的路程为， 故点Q还要运动， 由于运动速度为：， 故还需运动时间为：， 故共需要运动时间为； 42．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间关系如图：当___h时，甲、乙两个工程队所挖河渠的长度相等． 【答案】4 【分析】先求出甲、乙两个工程队挖河渠的速度，然后根据甲、乙两个工程队所挖河渠的长度相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据图象可得：甲工程队挖河渠的速度为：， 工作2小时后，乙工程队挖河渠的速度为：， 甲、乙两个工程队所挖河渠的长度相等时，， 解得： 即时，甲、乙两个工程队所挖河渠的长度相等． 43．甲乙两车在高速公路上同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，乙车第一次确认与前方甲车的距离为．后再次确认与前方甲车的距离为，乙车开始均匀减速，每秒减少．设行驶的时间为（单位：s），甲乙两车之间的距离为（单位：m），甲乙两车的车速与的关系如图1所示，与的关系如图2所示．【提示：距离平均速度时间，平均速度为（其中是开始时的速度，是秒时的速度）】 （1）___________； （2）___________． 【答案】 35 75 【分析】（1）根据图中的信息和等量关系，列方程求出和的值，再计算即可； （2）先求出甲乙的路程，计算即可． 【详解】解：（1）由图1可知，当时，，， 则，解得， 由图1可知，当时，甲乙的速度相等， 则，解得， ； （2）当时间为时，甲的路程为，乙的路程为， 甲乙两车之间的距离． 44．已知学校、花店、书店在同一直线上．如图反映的过程是：小华从学校出发步行到花店，在那里停留一段时间后，又以相同速度步行到书店，在书店共停留了．图中x表示时间，y表示小华与学校的距离．小清也从学校出发，沿同一条路步行去书店，他步行的速度与小华相同，最后，小清在书店遇到小华．小清出发的时间可能是小华出发后的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图像获取信息，可得小华在花店停留了5分钟，在书店停留了5分钟，再结合题意分析即可解答． 【详解】解：由图可知，小华在花店停留了5分钟，在书店停留了5分钟，小清在书店遇到小华小清出发的时间要比小华晚5分钟以上，10分钟以下，即小清出发的时间可能是小华出发后的． 45．某天，甲骑自行车，乙骑电动车相约从北仑图书馆门口出发，沿同一条路线匀速行驶到相距的九峰山游玩，图表示甲、乙两人离终点的距离与甲行驶的时间之间的函数图象．图表示甲乙两人之间的路程差关于的函数图象． (1)计算甲和乙的速度（单位：千米/分）． (2)________，________，________ (3)为了保证及时联络，出发前甲乙都携带了对讲机，该对讲机可以直连通话的有效距离是千米，超过千米就会信号中断．请通过计算，甲在行驶过程中，是否一直可以与乙保持直连通话，若不能，请计算甲乙对讲机出现信号中断持续的时间． 【答案】(1)甲的速度：（千米/分），乙的速度：（千米/分） (2)；；； (3)不能， 设甲出发分钟时，两人相距超过， 当乙行驶中：，解得：， 当乙行驶完：，解得：， 综上， 所以甲乙对讲机出现信号中断持续的时间为：． 【分析】（1）根据图运用速度路程时间即可求解； （2）结合图、图即可发现表示乙的出发时间，表示在分钟的时候，甲乙之间的路程差，表示甲乙两人相遇的时间，根据路程速度时间即可求解； （3）设甲出发分钟时，两人相距超过，根据题意设列出当乙行驶中甲乙之间的路程差超过千米的不等方程和当乙行驶完时甲乙之间的路程差超过千米的不等方程，即可求解． 【详解】（1）甲的速度：（千米/分），乙的速度：（千米/分） （2）表示乙的出发时间，由图可以看出，乙在的时候开始出发，所以； 表示在分钟的时候，甲乙之间的路程差，此时乙未出发，甲已出发分钟，所以； 表示甲乙两人相遇的时间，即，解得：； （3）略． 压轴15.三种表示法综合探究 典题特征：①同步给出变量表格、坐标系、实际场景；②由表格推导函数关系式，描点绘图；③结合实际限制确定自变量取值范围，验证点是否在函数图像、求参数。 解题思路⓵化简解析式，分析对称、增减基础性质；⓶借助表格找点，预判函数变化趋势；⓷描点绘图，数形结合解方程、求取值范围、比较函数值大小。 46．某污水处理厂采用新型微生物制剂净化水质．在投放制剂后，需监测污染物的去除率．记投放制剂后的第日，污染物去除率为（单位：）．根据试验数据，对于给定制剂投放量单位（可取1，2，3或4），可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： （日） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 时的值 0 10 18 25 30 35 40 43 45 46 47 48 时的值 0 30 45 55 62 65 67 68 69 70 70 时，从第2日起，每日比前一日增加的去除率逐渐减少或保持不变．对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数的值为______时，的值首次超过60； (2)写出表中整数的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)技术人员小张正在调试制剂投放方案．若去除率达到即可认定为达标．每单位制剂的成本为200元，从第一天开始直至去除率达标，每天会产生100元的运营成本（含达标当天）． ①根据函数关系，小张最早在投放制剂后的第_______日可实现达标（结果为整数）； ②小张应选择______单位制剂投放方案，总成本最低，最低是______元． 【答案】(1)6 (2)59，曲线如下图所示： (3)①5；②3，1200元 【分析】（1）观察曲线，即可获得答案； （2）由表中数据列出关于的不等式组，据此即可确定整数的值；结合的值以及表中数据，作出曲线即可； （3）①结合（2），观察曲线，可知小张最早在投放制剂后的第5日可实现达标；②结合题意可知，确定当、、和时，何日可达标，并分别计算总成本，比较即可获得答案． 【详解】（1）解：观察曲线，当整数的值为6时，的值首次超过60； （2）解：根据题意，时，从第2日起，每日比前一日增加的去除率逐渐减少或保持不变， 由表中数据可知，， 解得， 故整数； （3）解：①结合（2），观察曲线，可知小张最早在投放制剂后的第5日可实现达标； ②结合题意可知， 当时，直至第11日仍无法达标，此时总成本为元，若要达标成本会继续增加， 当时，直至第11日仍无法达标，此时总成本为元，若要达标成本会继续增加， 当时，至第6日达标，此时总成本为元， 当时，至第5日达标，此时总成本为元， ∵， ∴小张应选择单位制剂投放方案，总成本最低，最低是1200元． 47．为提升学生的跳绳能力，学校为同学们安排了“活力跳跳营”课程．该课程分为体能提升（不含跳绳）和跳绳训练两个阶段：先进行T天（T可取0、2、4或6）的体能提升，从第天开始进入跳绳训练，每日跳绳训练后安排课堂测试，当跳绳的个数达到合格标准时立即停止跳绳．体育老师根据以往经验制定的课堂测试合格标准为：一名同学在跳绳训练的第x天跳绳个数为y个．经统计，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 时y的值 30 55 75 90 100 m 107 110 时y的值 70 120 155 170 180 185 188 190 时，从跳绳训练的第2日起，合格标准中每一日比前一日多跳的跳绳个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各有序数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线． 当和时，曲线，如图所示． 解答下列问题： (1)观察曲线，当跳绳训练天数x为第 天时，当天课堂测试的跳绳合格个数首次超过100； (2)表中m= ，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)小月同学报名参加了学校的“活力跳跳营”课程． ① 若小月的目标是在课堂测试中完成跳绳个数不少于150个，在T= 0、2、4、6四种训练方案中，小月最早在参加课程（包含体能提升和跳绳训练）的第 天可以完成目标． ② 若课程的总天数均为8天，小月应该选择安排 天的体能提升训练，能使自己在课堂测试中的累计跳绳个数最多． 【答案】(1)3 (2)104，曲线见解析 (3)①7；②2 【分析】（1）观察曲线可得，当时，，当时，，即可解答． （2）根据从跳绳训练的第2日起，合格标准中每一日比前一日多跳的跳绳个数逐渐减少或保持不变，则第6天增加4个，第7天增加3个，第8天增加3个，即可求出m的值；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象； （3）①观察表格和图象，分别得到在T= 0、2、4、6四种训练方案中跳绳个数不少于150个时x的值，从而求出参加课程的天数，进行比较即可解答； ②分别求出T= 0、2、4、6四种训练方案中，8天课程课程后跳绳的个数，比较即可解答． 【详解】（1）解：由曲线可得，当时，，当时，， 所以当跳绳训练天数x为第3天时，当天课堂测试的跳绳合格个数首次超过100； （2）解：∵时，从跳绳训练的第2日起，合格标准中每一日比前一日多跳的跳绳个数逐渐减少或保持不变， 而在跳绳训练的第5天跳绳个数为100个，在跳绳训练的第7天跳绳个数为107个，在跳绳训练的第8天跳绳个数为110个， ∴第5天和第7天相差（个）， 第7天和第8天相差（个） ∴把7分成4和3，即第6天增加4个，第7天增加3个，第8天增加3个才符合题意， ∴． 画出时的曲线如图： （3）解：①当时，无法完成跳绳个数不少于150个的目标； 当时，由图象可得当，跳绳个数不少于150个，故在参加课程第天时可以完成目标； 当时，由表格可得当，跳绳个数为155个，故在参加课程第天时可以完成目标； 当时，由图象可得当，跳绳个数不少于150个，故在参加课程第天时可以完成目标； 综上所述，小月最早在参加课程（包含体能提升和跳绳训练）的第7天可以完成目标． ②若，则，则累计跳绳为， 若，则，则累计跳绳为， 若，则，则累计跳绳为， 若，则，则累计跳绳为， ∵， ∴小月应该选择安排2天的体能提升训练，能使自己在课堂测试中的累计跳绳个数最多． 压轴16函数新定义探究 典题特征：①题干给出课本未出现的全新函数/点/符号定义，附带示例；②结合表格、图像、解析式三层工具理解定义；③分层设问：基础计算、图像分析、分类讨论、举反例判断命题正误，整道大题作为试卷最后一题。 解题思路⓵拆解题干新定义，标记新规则、符号、限制条件；⓶代入数值、函数套用定义，转化为常规计算/不等式问题；⓸用定义约束检验答案，剔除不符合条件的解。 48．阅读下面材料，再回答问题． 一般地，如果函数对于自变量取值范围内的任意，都有，那么就叫偶函数．如果函数对于自变量取值范围内的任意，都有，那么就叫奇函数． 例如： 当取任意实数时， 是偶函数． 又如：． 当取任意实数时， 是奇函数． (1)下列函数中：①；②；③；④；⑤ 是奇函数的有________；是偶函数的有________．（填序号） (2)仿照例证明：函数④或⑤是奇函数还是偶函数（选择其中之一）． 【答案】(1)奇函数，②④；偶函数，①⑤ (2)证明见解析 【分析】本题考查了奇函数与偶函数的定义，熟练掌握新定义，互为相反数的乘方运算，是解题的关键． （1）根据题目信息，求出的表达式，如果，则是偶函数，如果，则是奇函数； （2）同（1）的思路进行计算即可证明． 【详解】（1）解：①， ∴①是偶函数； ②， ∴②是奇函数； ③， ∴③既不是奇函数，也不是偶函数； ④， ∴④是奇函数； ⑤， ∴⑤是偶函数， 故答案为：奇函数有②④；偶函数有①⑤； （2）证明：④∵当时，， ∴是奇函数， ⑤∵， ∴是偶函数． 49．阅读下面材料：若与意义相同，也就是说，与的表示法相同．给出一个不等式，并将解集表达在一个数轴上，我们规定（和都是不等式的解）： 解集 对应区间 函数在有意义，若在上单调递增，在上单调递减（y随x的增大而增大，我们称为单调递增，反之则为单调递减），则称为函数的峰点，为含峰函数．（特别地，若在上单调递增或递减，则峰点为或） 对于不易直接求出峰点的含峰函数，可通过做试验的方法给出的近似值．试验原理为：“对任意的都在的区间，，若，则为含峰区间，此时称为近似峰点；若，则为含峰区间，此时称为近似峰点”． 我们把近似峰点与之间可能出现的最大距离称为试验的“预计误差”，记为，其值为（其中表示中较大的数）． (1)若，，求此试验的预计误差； (2)如何选取、，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明的取值即可）． (3)选取、都在的区间，且，可以确定含峰区间为或．在所得的含峰区间内选取，由与或与类似地可以进一步得到一个新的预计误差．分别求出当和时预计误差的最小值．（本问只写结果，不必证明） 【答案】(1) (2)时，预计误差达到最小，证明见解析 (3) 【分析】本题考查新定义情况下的函数性质的研究： （1）直接代入公式计算预计误差； （2）通过分析不同情况下的误差最小值，确定和的最优位置； （3）根据给定条件分含峰区间为或两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由已知， ； （2）解：要使预计误差最小，需保证最小， 通过对称性分析， 当时，三部分长度相等，此时． 证明：分两种情况讨论点的位置， ①当时，如图所示， 如果， 那么； 如果， 那么； ②当时， 则． 综上，时，． 同理得时，． ∴当时，才能使这个试验方案的预计误差达到最小； （3）解：①当时， 若含峰区间为，在内取，根据（2）中讨论可知，预计误差最小为该区间长度的，故的最小值为； 若含峰区间为时， ∵该区间长度为，其最大值为1， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为； ②当时， 若含峰区间为，在内取，根据（2）中讨论可知，预计误差最小为该区间长度的，故的最小值为； 若含峰区间为时， ∵该区间长度为，其最大值为1， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为； 综上，当和时预计误差的最小值分别为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $