培优专题03 三角形中角度计算常考几何模型13大题型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以13类几何模型为核心，构建"模型识别-结论推导-变式应用"的系统化训练体系，强化角度计算的逻辑推理与模型迁移能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高频模型（8字/A字/三角板）|12题|模型特征识别、角度转化公式|从基础图形到含角平分线的复合模型| |重点模型（燕尾/风筝/翻角/双角平分线）|20题|凹四边形性质、折叠不变性、分线组合规律|从静态图形到动态翻折，从单角分到多角分线组合| |难点模型（高分线/双垂直/平分平行/角平分线定理）|18题|高与角平分线关系、射影定理、构等腰策略|从特殊位置关系到比例线段，渗透转化与方程思想|

专题03 三角形中角度计算常考几何模型 常考题型·精准突破 考点 三角形中角度计算常考几何模型 题型1 8字模型（高频） 题型2 A字模型（高频） 题型3 三角板模型（高频） 题型4 燕尾模型（重） 题型5 风筝模型（重） 题型6 翻角模型（重） 题型7 高分线模型 题型8 双垂直模型 题型9 双角平分线模型（双内角）（重） 题型10 双角平分线模型（一内角一外角）（重） 题型11 双角平分线模型（双外角）（重） 题型12 平分平行（射影）构等腰模型（难） 题型13 角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点 三角形中角度计算常考几何模型 ◆题型1 8字模型 8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，平分，交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北承德·期末）如图，在中，，的平分线，相交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，，则__________． 4．（25-26七年级下·河北承德·期末）已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． ◆题型2 A字模型 A字模型 条件：如图1，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 图1 图2 5．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点D在边上，点E在边上，．若，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·河北承德·期末）如图，在中，，，点是边上的一个动点，点是边上一定点，连接．当与的边垂直时，的度数为__________． 7．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，是边上的高，过点作交于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 8．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，直线，直线分别交，于点，，点在上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，．求的大小． ◆题型3 三角板模型 9．（25-26九年级上·全国·期末）一副直角三角板按照如图所示的方式摆放，其中一个三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山东济宁·二模）一副三角板按如图所示的方式放置：等腰直角三角形的三角板的直角顶点落在另一个三角板的斜边上，底角顶点与另一三角板的角顶点重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 11．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当旋转一周后停止运动，记（为常数）： ①当时，的值为________； ②当时，的值为________． 12．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）【问题情境】 在数学综合与实践课上，小滨和小波借助“两条平行线和直角三角尺”开展数学活动． 素材提供：三角板与三角板，其中，，， (1)【操作发现】 如图，小滨把三角板的顶点放在直线上，若，则_________． (2)【实践探究】 小滨和小波将三角板与三角板按如图所示摆放，点在直线上，点在直线上，小滨将三角板向左平移．在三角板向左平移过程中（初始状态三点共线），连接，记，．当点在右侧时，试探究与的数量关系． (3)【思维拓展】 小滨和小波一起将两块三角板旋转，如图，小滨将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时小波将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且，若边与三角板的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的的值． ◆题型4 燕尾模型 燕尾模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 13．（25-26八年级下·宁夏银川·开学考试）如图，在中，点D是上的点，，将沿着翻折得到，则__________． 14．（25-26七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 15．（25-26七年级下·广东惠州·期末）【综合与应用】当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．如图①、图②、图③入射光线经过镜子两次镜面反射，分别反射为两条反射光线，且，．设镜子与的夹角． 【问题初探】 (1)如图①，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子后反射，，．若，则的度数是______°． 【拓展应用】 (2)如图②，是一种由两面镜子组成的反光镜，若与平行，求两面镜子的夹角的度数． 【深入探究】 (3)如图③，若，，入射光线的延长线与反射光线的反向延长线的夹角，若三角形为锐角三角形，请求出的取值范围． 16．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． ◆题型5 风筝模型 风筝模型：如图，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 17．（25-26八年级上·重庆永川·期末）如图，是一个风筝的模型，则图中______． 18．（25-26八年级下·广东梅州·开学考试）在课本第七章第5节中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：是的一个外角（如图1），则．    (1)如图2，线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系 　 　． (2)如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状，若，运用（1）中得出的数量关系，求的度数． 19．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）本学期，在九中的综合实践课上，同学们动手制作了风筝．聪明的小贺同学将风筝的骨架图抽象成为了一个几何图形．如图所示，平分，点E是上一点，，连接交于点．求的度数． 20．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)问题提出 如图1，是的一个外角，则，，之间的数量关系为_____． (2)尝试探究 如图2，线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，求之间的数量关系． (3)拓展提升 如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状的图形．试探究，之间的数量关系． ◆题型6 翻角模型 翻角模型： 条件：如图1，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图2，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 21．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，将沿（点在边上）所在直线翻折，翻折后的对应边交于点，又将沿所在直线翻折，翻折后点的对应点恰好落在上，若，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 22．（青岛版八年级上学期期末考前模拟试卷02-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（青岛版））如图，中，，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形中为（　　） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图1，若点落在上，则_____； (2)如图2，当点落在的下方时，设与相交于点．若，试说明； (3)若点在边上，将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点，若是轴对称图形，直接写出的度数． 24．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图①， 当点落在上时， 则=___________． (2)当点落在下方时， 设与相交于点 ． 如图②， 若， 试说明． (3)当点E落在下方时， 设与相交于点 F． 如图③， 连接，平分交的延长线于点 G， 交于点 H． 若， 则 与之间的数量关系为___________． (4)如图④， 若点D在边上， 将沿直线翻折得到， 使射线与射线相交于点 Q．若是轴对称图形，则可能的度数为___________． ◆题型7 高分线模型 高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 25．（25-26七年级下·北京·期末）如图，，分别是的高和角平分线，若，则___________． 26．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 27．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，AD，CF相交于点O，且∠BAC＝60°，∠ABC＝74°． (1)求∠COD的度数； (2)若△ABE的面积是3，BC＝4，求高AD的长度． 28．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【感知】（1）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．若，则 °， °． 【探究】（2）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．求证：． 【拓展】（3）如图②，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，则的大小为 （用含的代数式表示）． ◆题型8 双垂直模型 双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 29．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）在△ABC中： (1)如图，若，，边上的高，交于点．求的度数； (2)若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； (3)由（1）（2）可以得到什么结论，尝试写出来． 30．（25-26八年级上·全国·单元测试）在中，已知，，是上的高，是上的高，H是和的交点，的度数是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，是斜边上的高，如果，那么______． 32．（25-26八年级上·四川达州·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数． ◆题型9 双角平分线模型（双内角） 两内角平分线的夹角模型 条件：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 33．（25-26八年级上·陕西延安·阶段检测）如图，在中，，的角平分线和的角平分线交于点O，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法计算 34．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，点O是、角平分线的交点，点P是、角平分线的交点，若，则的度数是________． 35．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，是的角平分线，点D在边上（点D不与点A，B重合），与交于点O． (1)若，是高，求的度数； (2)若，是角平分线，求的度数． 36．（24-25九年级下·山东青岛·阶段检测）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)问题再现： 如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． (2)问题推广： ①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． ◆题型10 双角平分线模型（一内角一外角） 一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 37．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，点E、F分别在边BC、AC上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为（   ） A．62° B．56° C．76° D．58° 38．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，在中，的角平分线与的外角平分线交于．当为时，________；图2，的角平分线与的角平分线交于的角平分线与的角平分线交于________． 39．（25-26八年级上·四川遂宁·开学考试）如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则______度． 40．（24-25七年级下·吉林长春·阶段检测） 解答下列各题： (1)【问题引入】如图①，在中，点D在的延长线上，三角形的内角与外角的角平分线相交于点P，求证：． (2)【深入探究】如图②，在图①中，，将以直线为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点M，则______． (3)【问题拓展】如图③，在四边形中，四边形的内角与外角的角平分线BP、CP相交于点P，若，则______．（用含的代数式表示） ◆题型11 双角平分线模型（双外角） 两外角平分线的夹角模型 条件：如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 41．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 42．（25-26八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，已知的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，则___________．    43．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）小明同学在学习了三角形内角和定理和外角的相关知识后，对三角形角之间的关系进行了探究学习．如图，在中，的角平分线与的角平分线相交于点． (1)【问题解决】 如图1，若，则______度，______度； (2)【问题探究】 如图2，和是的两个外角，的角平分线与的角平分线相交于点，试确定和之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，在四边形中，延长到点的角平分线与的角平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 44．（25-26七年级下·吉林长春·期末）在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． ◆题型12 平分平行（射影）构等腰模型 角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 45．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 46．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，是的角平分线，，交于点E，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 47．（25-26七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为边，上两点，且是的角平分线．若，，则__． 48．（25-26七年级下·山西晋中·期中）如图，在中， ，是的角平分线，点E在上，且，求的度数． ◆题型13 角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 条件：如图，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 外角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 奔驰模型（面积） 条件：如图，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 49．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的高，是边上的高，是，的交点，则下列结论：①图中共有6个直角三角形；②是钝角三角形；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 50．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 51．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D为BC边上任意一点，连接AD．已知DE，DF分别是，的高． 作图：（1）请在图①上作出中AC边上的高BG． 探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG之间的数量关系为________________________． 填空：（3）为了说明DE，DF，BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为， 所以． 因为， 所以________________________． 拓展：（4）当点D在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 52．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，在中，平分，平分外角，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，把纸片沿着折叠，使点落在四边形内部点处，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河北承德·期末）将一副三角板按如图的方式摆放，已知点在的延长线上，，，要使得，则的度数应该是（     ）    A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东汕头·期末）一副直角三角尺叠放如图所示，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则α的可能取值为（     ） A．15或45 B．45或135 C．60或105 D．以上都有可能 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图中，，延长到，与的平分线相交于点与的平分线相交于点2，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（    ） A．19.2° B．8° C．6° D．3° 6．（25-26八年级下·河南郑州·开学考试）如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使，则的度数为_________． 7．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、，则下列结论正确的是________． ①；②；③；④． 8．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点D，点F是边的中点，平分分别交于点G、点E，连接BF．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________． 9．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，中，，点E是边上一点，连接并延长至点D，连接，使得，若和都是锐角，则的取值范围是______． 10．（25-26七年级下·四川宜宾·期末）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和都是“倍角三角形”，则的度数为___________． 11．（25-26七年级下·河北沧州·期末）【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 12．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）【概念认识】 如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． (1)【问题解决】如图①，，，是的“三分线”，则 °； (2)【问题解决】如图②，在中，，，若的三分线交于点，则 °； (3)【问题解决】如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； (4)【延伸推广】在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，直接写出的度数．（用含m、n的代数式表示） 13（25-26七年级下·辽宁大连·期末）是锐角三角形，点D在线段上，交于点E，点F 在线段上（点F不与点A，E，B重合），连接，过点F作交射线于点G（点G不与点B重合） (1)如图1，当点F 在线段上时，，求的度数； (2)当点F 在线段上时，请在备用图中探究下列问题： ①直接写出与之间满足的数量关系 ； ②若与的角平分线所在直线相交于点P，请画出符合条件的图形，并尝试求出的度数． 14．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【问题再现】如图①，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若，求的度数． 【问题解决】 (1)小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程： 平分，平分， ，． ______， ． ______， ______度． 将小明的过程补充完整． 【应用】 (2)如图②，在中，的平分线与外角的平分线交于点．设的度数为，求的度数．（用含的代数式表示） 【拓展】 (3)如图③，在中，为锐角，内部的射线与外角内部的射线交于点（为锐角）．若，，设的度数为，则的大小为______．（用含的代数式表示） 15．（25-26七年级下·吉林长春·期末）在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺和，探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．其中，． (1)如图①，点在边上，点在边的延长线上，则的大小为_____度． (2)如图②，固定图①中的，将绕着点逆时针旋转，使点在的内部，求证：． (3)固定图①中的，将绕着点逆时针旋转度（），其他条件不变．若和的直角边在同一条直线上，则直线与相交所成的锐角的度数为_____． (4)固定图①中的，将绕着点逆时针旋转度（），其他条件不变．当的某条边与的某条边平行时，直接写出锐角的度数． 16．（25-26七年级下·河南南阳·期末）【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93页第4、5、6题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧． (1)如图①，在中，平分，平分．若，则____________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是____________； 【继续探索】 (2)如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长、交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 17．（25-26七年级下·福建泉州·期末）数学探究 在中，已知． (1)如图1，，的平分线相交于点． ①当时，________；（直接写出结果） ②的度数为________；（用含的代数式表示） (2)如图2，，的平分线相交于点，作外角，的角平分线交于点．求的度数．（用含的代数式表示） (3)如图3，点，分别为，延长线上的一点，点，分别在内部和外部，且满足，，，．分别求，的度数．（用含、的代数式表示） 18．（25-26七年级下·河南南阳·期末）探究题：已知在中，．的平分线与的外角的平分线相交于点D，与边相交于点E，直线与直线相交于点F． (1)，如图1． ①当∠时，求和的大小； ②当∠时，直接写出和的大小； ③根据以上结论，发现当的大小改变时，和之间的数量关系保持不变．和之间的数量关系可用等式表示为 ． (2)，如图2，和之间有何数量关系？写出你的结论并说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形中角度计算常考几何模型 常考题型·精准突破 考点 三角形中角度计算常考几何模型 题型1 8字模型（高频） 题型2 A字模型（高频） 题型3 三角板模型（高频） 题型4 燕尾模型（重） 题型5 风筝模型（重） 题型6 翻角模型（重） 题型7 高分线模型 题型8 双垂直模型 题型9 双角平分线模型（双内角）（重） 题型10 双角平分线模型（一内角一外角）（重） 题型11 双角平分线模型（双外角）（重） 题型12 平分平行（射影）构等腰模型（难） 题型13 角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点 三角形中角度计算常考几何模型 ◆题型1 8字模型 8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 1．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，平分，交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、垂线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，再利用角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，利用垂线的定义结合三角形内角和定理求出的度数，从而利用角之间的关系求解即可． 【详解】解：如图，设、交于点G， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·河北承德·期末）如图，在中，，的平分线，相交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴在中，由三角形内角和可得， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，，则__________． 【答案】 【分析】利用三角形的外角性质将分散的角和分别转化为和，再结合，，即可求解． 【详解】解：如图， 根据三角形外角的性质可知，，，， ∴， 即． 4．（25-26七年级下·河北承德·期末）已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 【答案】(1)， (2)证明：在与中，， ∵， ∴， ， ， ，， ， ； (3) 【分析】（1）根据三角形内角和及对顶角可进行求解； （2）根据三角形内角和及对顶角相等可得，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求证； （3）由（1）得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如下图， ，， ，， 由（1）得，， 两式相加，得， 即， ． ◆题型2 A字模型 A字模型 条件：如图1，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 图1 图2 5．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点D在边上，点E在边上，．若，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26七年级下·河北承德·期末）如图，在中，，，点是边上的一个动点，点是边上一定点，连接．当与的边垂直时，的度数为__________． 【答案】或或 【分析】当点D在上时，，当点D在时，，求解即可； 【详解】解：当点D在上，且时， ，， ， ； ：当点D在上，且时， ； 当点D在上，时， 根据题意，得； 7．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，是边上的高，过点作交于点． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理计算即可． （2）根据三角形高的性质，三角形内角和定理和直线平行性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，直线，直线分别交，于点，，点在上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，．求的大小． 【答案】(1)，理由：∵， ∴， ∵（已知）， ∴， ∴ (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的判定，得出答案即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理得出，从而得出，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又， ， ∴， ∵， ∴， ∴． ◆题型3 三角板模型 9．（25-26九年级上·全国·期末）一副直角三角板按照如图所示的方式摆放，其中一个三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角性质．先根据平行线的性质得出，进而利用三角形的外角性质可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 10．（2025·山东济宁·二模）一副三角板按如图所示的方式放置：等腰直角三角形的三角板的直角顶点落在另一个三角板的斜边上，底角顶点与另一三角板的角顶点重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形外角的性质，根据题意得到，再利用三角外角的性质进行解答即可． 【详解】解：由题意可得， ∴， ∴ 故选：C 11．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当旋转一周后停止运动，记（为常数）： ①当时，的值为________； ②当时，的值为________． 【答案】 3 2或 【分析】①当时， 分在左侧和在右侧两种情况，分别计算出和的度数，代入计算k值； ②当，分在上方和在下方两种情况，利用平行线的性质求出的度数，即可求出与的度数，代入计算k值． 【详解】解：由题可知． ①当时， 在左侧时，如图所示 ． ． ， ，解得． 在右侧时，如图所示 ， ． ， ，解得． ②当时， 在上方时，如图 ． ，． ， ，解得． 在下方时，如图 ，， ． ， ． ， ． ， ，解得． 12．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）【问题情境】 在数学综合与实践课上，小滨和小波借助“两条平行线和直角三角尺”开展数学活动． 素材提供：三角板与三角板，其中，，， (1)【操作发现】 如图，小滨把三角板的顶点放在直线上，若，则_________． (2)【实践探究】 小滨和小波将三角板与三角板按如图所示摆放，点在直线上，点在直线上，小滨将三角板向左平移．在三角板向左平移过程中（初始状态三点共线），连接，记，．当点在右侧时，试探究与的数量关系． (3)【思维拓展】 小滨和小波一起将两块三角板旋转，如图，小滨将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时小波将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且，若边与三角板的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（）由图可得，根据平行线的性质列出方程解答即可求解； （）延长交于点，根据平行线的性质和三角形内角和定理可得出结论； （）分且在的上方、、和且在的下方四种情况，根据平行线的性质和三角形内角和定理解答即可求解； 本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理及外角性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当且在的上方时，延长交于点，交于点，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； ②当时，延长交于，交于点，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 解得； ③当时，作直线分别交于点，如图， 则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得； ④当且在的下方时，延长交于点，设交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上，若边与三角板的一条边平行时，的值为或或或． ◆题型4 燕尾模型 燕尾模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 13．（25-26八年级下·宁夏银川·开学考试）如图，在中，点D是上的点，，将沿着翻折得到，则__________． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，则可求出的度数，再由折叠的性质求出的度数，据此可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 14．（25-26七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 【答案】30 【分析】延长交于．根据三角形内角和公式求出，可得，根据三角形外角的性质得，然后代入数据求解即可． 【详解】解：延长交于． ，， ， ． ，， ． ． 15．（25-26七年级下·广东惠州·期末）【综合与应用】当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．如图①、图②、图③入射光线经过镜子两次镜面反射，分别反射为两条反射光线，且，．设镜子与的夹角． 【问题初探】 (1)如图①，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子后反射，，．若，则的度数是______°． 【拓展应用】 (2)如图②，是一种由两面镜子组成的反光镜，若与平行，求两面镜子的夹角的度数． 【深入探究】 (3)如图③，若，，入射光线的延长线与反射光线的反向延长线的夹角，若三角形为锐角三角形，请求出的取值范围． 【答案】(1)40； (2)当与平行时，． (3)． 【分析】（1）先由三角形内角和定理得到，由题意得，，根据平角的定义得到，，再由三角形内角和定理求解即可； （2）根据当，得到，然后根据平角的定义得到，再由，，以及三角形内角和定理求解即可； （3）由图可得，，即得，再根据锐角三角形的定义列出不等式组解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵ ∴ 由题意得， ∵，， ∴； （2）解：当时，， ∵ ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即当与平行时，两面镜子的夹角； （3）解：由图可得，， ∵， ∴， 同理可得，， ∴ ． ∵三角形为锐角三角形， ∴， ∴ 16．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接，并延长，如图①所示： ∵是的外角， ∴①， ∵是的外角， ∴②， ①②，得：， 即； （2）；（3） 【分析】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理， （1）连接，并延长，如图①所示：根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理即可得到结论； （3）连接，如图③所示：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 由（1）知：， ∴椅面和椅背的夹角的度数为； （3）连接，如图③所示： ∵，， 由（1）知： ③， ④， ③+④，得：， ∴， 即的度数为． ◆题型5 风筝模型 风筝模型：如图，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 17．（25-26八年级上·重庆永川·期末）如图，是一个风筝的模型，则图中______． 【答案】360° 【分析】首先延长BC，再根据三角形内角和定理，三角形外角的性质，得∠AEB=∠ECD+∠3，∠4=180°+∠ECD，∠1+∠2+∠AEB=180°，然后代入计算即可． 【详解】延长BC，交AD于点E，如图． 可知∠AEB=∠ECD+∠3，∠4=180°+∠ECD，∠1+∠2+∠AEB=180°， 所以∠1+∠2+∠3+∠ECD=180°． 因为∠ECD=∠4-180°， 所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°． 故答案为：360°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，将四边形转化为两个三角形是解题的关键． 18．（25-26八年级下·广东梅州·开学考试）在课本第七章第5节中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：是的一个外角（如图1），则．    (1)如图2，线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系 　 　． (2)如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状，若，运用（1）中得出的数量关系，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形外角的性质即可找到之间的数量关系． （2）连接EF，可以把四个角之和集中在一个中，然后通过，即可求解． 【详解】（1）∵是的外角， ∴， ∴； 故答案为：； （2）连接，如图，    由（1）的结论可得：， ， ∵， ∴ ， 即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质妙用，作恰当的辅助线，使所求角之和集中在一起是解题的关键． 19．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）本学期，在九中的综合实践课上，同学们动手制作了风筝．聪明的小贺同学将风筝的骨架图抽象成为了一个几何图形．如图所示，平分，点E是上一点，，连接交于点．求的度数． 【答案】 【分析】该题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 设，，则，，表示出，再根据平分，得出，，根据三角形内角和得出，即可求解； 【详解】解：设，， 则，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)问题提出 如图1，是的一个外角，则，，之间的数量关系为_____． (2)尝试探究 如图2，线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，求之间的数量关系． (3)拓展提升 如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状的图形．试探究，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质即可求出答案； （2）根据三角形的内角和定理及对顶角相等即可得到结论； （3）结合（2），根据三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是的一个外角， ∴； （2）解：在图2中，有， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴． ◆题型6 翻角模型 翻角模型： 条件：如图1，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图2，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 21．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，将沿（点在边上）所在直线翻折，翻折后的对应边交于点，又将沿所在直线翻折，翻折后点的对应点恰好落在上，若，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．根据折叠得出，，，，根据三角形外角性质得出，设，则，，根据三角形内角和定理得出，解方程即可． 【详解】解：根据折叠可知：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 22．（青岛版八年级上学期期末考前模拟试卷02-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（青岛版））如图，中，，是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点，又将沿着翻折，点恰好落在上，此时，则原三角形中为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了图形的翻折变换的性质以及三角形内角和定理等知识，由翻折变换的性质得出是解答此题的关键． 由折叠的性质得，，再由三角形外角性质得，则，即可得出结果． 【详解】如图，由折叠的性质得：，， 是是外角， ， ， ， 即原三角形的为， 故选：C． 23．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图1，若点落在上，则_____； (2)如图2，当点落在的下方时，设与相交于点．若，试说明； (3)若点在边上，将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点，若是轴对称图形，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) 证明：∵在中，，， ∴， 由翻折的性质可得， ∵，即， ∴， ∴， ∴； (3)、或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，轴对称图形的定义和性质，三角形的外角定理，平行线的判定，熟知折叠的性质和轴对称图形的性质是解题的关键． （1）先求出的度数，再由折叠的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求出答案； （2）先求出的度数，再由折叠的性质求出的度数，再根据三角形的内角和定理和垂直的性质，得出即可证明结论； （3）一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形，据此可知中有两边相等，据此结合折叠的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解；∵在中，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：10； （2）略 （3）解：由折叠的性质可得， 如图所示，当时，是轴对称图形， ∴由轴对称图形的性质可得， ∵，， ∴， ∴； 如图所示，当时，是轴对称图形， ∴， ∴， 同理可得， ∴，即此种情况不存在； 如图所示，时，是轴对称图形， ∴， 同理可得， ∴； 如图所示，当时，是轴对称图形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为、或． 24．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图①， 当点落在上时， 则=___________． (2)当点落在下方时， 设与相交于点 ． 如图②， 若， 试说明． (3)当点E落在下方时， 设与相交于点 F． 如图③， 连接，平分交的延长线于点 G， 交于点 H． 若， 则 与之间的数量关系为___________． (4)如图④， 若点D在边上， 将沿直线翻折得到， 使射线与射线相交于点 Q．若是轴对称图形，则可能的度数为___________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)或或 【分析】本题考查了平行线的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）根据翻折可得，再利用外角即可求出的度数； （2）根据翻折可得，再由，，可得，则，可得； （3）设，可表示出，则．根据翻折可得，则．从而得出，可得．即； （4）点E在右上方时，则不可能为等边三角形，只能为等腰三角形，则有或或三种情况，点E在 右下方时，是轴对称图形，，则不可能为等边三角形，只能为等腰三角形．分别求出不同情况下的度数． 【详解】（1）解：，， ． 沿翻折后得到， ． ． （2）解：沿翻折后得到， ． ， ． ， ． ． ． ． （3）解：设， ，平分， ， ． 点是边上一点，将沿翻折后得到， ． ， ． ， ． ． 即． （4）解：当点E在右上方，如图 ，，点是边上一点，将沿翻折后得到， ，． 是轴对称图形，， 则不可能为等边三角形，只能为等腰三角形，则有或或三种情况∶ 当，则． ． ， ． ． 当，则． ， ． 则A、D、Q、E四点重合，不符合题意(舍去)． 当，则． ， ． ． 当点E在 右下方，如图所示 ，，点是边上一点，将沿翻折后得到， ，． ． 是轴对称图形，，则不可能为等边三角形，只能为等腰三角形． ， ． ． ， ． ． 综上所述∶ 的度数可能为或或． ◆题型7 高分线模型 高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 25．（25-26七年级下·北京·期末）如图，，分别是的高和角平分线，若，则___________． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得，根据三角形内角和定理得，计算即可． 【详解】解：是的角平分线，， ， ， ． 26．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 【答案】 【分析】由直角三角形两个锐角互余得出，，得到，由角平分线的定义得出，最后由三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 27．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，AD，CF相交于点O，且∠BAC＝60°，∠ABC＝74°． (1)求∠COD的度数； (2)若△ABE的面积是3，BC＝4，求高AD的长度． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）利用高的定义得到直角，根据三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义即可求解； （2）根据三角形中线的性质得到的面积是6，进而即可求解． 【详解】（1）解：在中，是高， ， ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵是中线，的面积是3， ∴的面积是6， ∴，即， ∴． 28．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【感知】（1）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．若，则 °， °． 【探究】（2）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．求证：． 【拓展】（3）如图②，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，则的大小为 （用含的代数式表示）． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】（1）先求得，， ，再结合三角形的外角的性质可得结论； （2）先证明，，再结合三角形的外角的性质可得结论； （3）先求解，结合角平分线可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：（1），是高，， ，， 是角平分线， ， ，， 故答案为：，； （2）证明：，是高， ，， ， 是角平分线， ， ，， ； （3）∵， ， 为的角平分线， ， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质解题是关键． ◆题型8 双垂直模型 双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 29．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）在△ABC中： (1)如图，若，，边上的高，交于点．求的度数； (2)若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； (3)由（1）（2）可以得到什么结论，尝试写出来． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)无论是锐角还是钝角，总有 【分析】（1）由垂线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再根据三角形外角的定义及性质即可得出答案； （2）由垂线的定义得出，由四边形内角和得出，再由对顶角相等得出，等量代换即可得解； （3）根据（1）（2）直接得出结论即可． 【详解】（1）解：∵，边上的高，交于点， ∴，， ∴， 在中，， ∵是的外角， ∴； （2）解：如图所示 ，理由如下： ∵，边上的高，交于点， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴； （3）解：由（1）（2）可得，无论是锐角还是钝角，总有． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、四边形的内角和、垂线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 30．（25-26八年级上·全国·单元测试）在中，已知，，是上的高，是上的高，H是和的交点，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高等知识． 先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据是上的高得出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是上的高， ∴在中，， 在中，， ∴． 故选：D． 31．（25-26八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，是斜边上的高，如果，那么______． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理． 根据高线的定义得到，即，根据求出，即，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 32．（25-26八年级上·四川达州·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解； （3）由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵，是高， ∴，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∵为边上的高， ∴， ∴， ． （3）证明：∵C、A、G三点共线，、为角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴． ◆题型9 双角平分线模型（双内角） 两内角平分线的夹角模型 条件：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 33．（25-26八年级上·陕西延安·阶段检测）如图，在中，，的角平分线和的角平分线交于点O，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，． 故选：B． 34．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，点O是、角平分线的交点，点P是、角平分线的交点，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，设，，得到，即可求出，可得的度数，然后根据三角形的内角和解决问题． 【详解】解：∵点P是、角平分线的交点， 设， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴. 故答案为：. 35．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，是的角平分线，点D在边上（点D不与点A，B重合），与交于点O． (1)若，是高，求的度数； (2)若，是角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的角平分线的定义求出的度数，再根据三角形的外角定理即可求解； （2）根据三角形的角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和定理得到即可求解． 【详解】（1）解：在中，为角平分线，， ∴（角平分线的定义）， ∵为高， ∴， ∴， 则的度数为； （2）解：， ∵在中，为角平分线，为角平分线， ∴，（角平分线的定义）， ∴， 在中，． 36．（24-25九年级下·山东青岛·阶段检测）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)问题再现： 如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． (2)问题推广： ①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． （1）先根据角平分线的性质把用表示出来，再根据三角形内角和定理把用表示出来，然后把代入进行计算即可； （2）①先根据平角定义和已知条件求出，再根据折叠求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的性质和三角形内角和定理把用表示出来，最后根据三角形内角和定理求出即可； ②同理①求解即可． 【详解】（1）解：、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①如图所示： ，， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； ②，，， ， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． ◆题型10 双角平分线模型（一内角一外角） 一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 37．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，点E、F分别在边BC、AC上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为（   ） A．62° B．56° C．76° D．58° 【答案】B 【分析】根据题意可知∠PBC=∠C，设∠C=x，表示出∠AEF，根据角平分线的定义，可得∠FEP的度数，根据∠PEC=∠P+∠PBC列方程，即可求出∠P的度数． 【详解】解：∵∠ABC=2∠C，BP平分∠ABC， ∴∠PBC=∠C， 设∠C=x， 则∠PBC=x， ∵∠FEC=28°， ∴∠AFE=x+28°， ∵∠AEF=2∠AFE， ∴∠AEF=2x+56°， ∵EP平分∠AEF， ∴∠FEP=x+28°， ∵∠PEC=∠P+∠PBC， ∴x+28°+28°=∠P+x， ∴∠P=56°， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 38．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，在中，的角平分线与的外角平分线交于．当为时，________；图2，的角平分线与的角平分线交于的角平分线与的角平分线交于________． 【答案】 40 10 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，角平分线的定义，根据角平分线的定义和三角形的外角定理得出，再根据三角形的内角和定理得出，即可推出，同理可得，，即可解答．掌握三角形的内角和为180度，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 即， 整理得：， ∵， ∴； 同理可得：，， 故答案为：40，10． 39．（25-26八年级上·四川遂宁·开学考试）如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则______度． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形的外角定理，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及角平分线的定义． 先根据，，求出，进而得出，最后根据三角形的外角定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：30． 40．（24-25七年级下·吉林长春·阶段检测） 解答下列各题： (1)【问题引入】如图①，在中，点D在的延长线上，三角形的内角与外角的角平分线相交于点P，求证：． (2)【深入探究】如图②，在图①中，，将以直线为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点M，则______． (3)【问题拓展】如图③，在四边形中，四边形的内角与外角的角平分线BP、CP相交于点P，若，则______．（用含的代数式表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的计算，三角形内角和定理，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由角平分线得到，再由三角形外角定理得到，，然后代入证明即可； （2）先由（1）的结论求出，再由折叠可得，然后根据角平分线定义以及三角形内角和定理即可求解； （3）先由（1）结论可得，然后运用三角形内角和定理和邻补角即可求解． 【详解】（1）证明：三角形的内角与外角的角平分线相交于点P， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图： ∵， ∴由（1）得， ∵翻折， ∴， ∴ ∵的角平分线与的角平分线交于点M， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：延长交于点， 同理由（1）可得：， ∵， ∴， ， 故答案为：． ◆题型11 双角平分线模型（双外角） 两外角平分线的夹角模型 条件：如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 41．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线定义、三角形外角的应用等知识点，熟知三角形的外角性质是解答此题的关键． 根据角平分线的定义有、得，根据外角的性质进而完成解答． 【详解】解：平分，平分的外角， ∴、， ， ∴， ∵， ． 故选：C． 42．（25-26八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，已知的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，则___________．    【答案】/90度 【分析】该题主要考查了角形内角和定理，三角形角平分线以及三角形外角的性质，解题的关键是理解题意． 根据角平分线得出，根据三角形外角的性质即可得，再根据内角和定理得出，即可求解． 【详解】解：∵的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：．    43．（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）小明同学在学习了三角形内角和定理和外角的相关知识后，对三角形角之间的关系进行了探究学习．如图，在中，的角平分线与的角平分线相交于点． (1)【问题解决】 如图1，若，则______度，______度； (2)【问题探究】 如图2，和是的两个外角，的角平分线与的角平分线相交于点，试确定和之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，在四边形中，延长到点的角平分线与的角平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)125；70 (2) 解：，理由如下： ∵的角平分线与的角平分线相交于点， ，， ∴在中， ， 又， ； (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理： （1）根据角平分线的定义得到，，进而推出，，据此利用三角形内角和定理即可求出答案； （2）由角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． （3）如图所示，连接，设，，则由三角形内角和定理得到，，，进而得到；由角平分线的定义得到，，进而得到，，则，则． 【详解】（1）解：∵在中，的角平分线与的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：125；70； （2）略 （3）解：如图所示，连接， 设，， ∴，，， ∴ ∵的角平分线与的角平分线相交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 44．（25-26七年级下·吉林长春·期末）在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形内角和定理可得，进而得到；①②利用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可； （3）如图：延长至D，利用角平分线的定义、三角形外角的性质可得，再结合，然后分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，，点P是和的平分线的交点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ①∵与的角平分线与相交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴． ②∵与的角平分线相交于点Q， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图：延长至D， ∵为的外角的角平分线， ∴, ∵，, ∴, ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； 由（2）可知 ∵在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍， ∴①当时，即，解得：； ②当时，即，解得：； 综上所述，的度数是或． ◆题型12 平分平行（射影）构等腰模型 角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 45．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和求出，由角平分线求出，最后由平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 46．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，是的角平分线，，交于点E，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”、“两直线平行内错角相等”及角平分线的性质是解决本题的关键． 利用三角形的内角和定理先求出，再利用角平分线的性质求出，最后利用平行线的性质得结论． 【详解】解：，，， ， 是的角平分线， ， ， 故选：． 47．（25-26七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为边，上两点，且是的角平分线．若，，则__． 【答案】48 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，牢记“三角形内角和是”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出的度数． 【详解】解：，，， ．， 是的角平分线， ． 在中，，， ， 故答案为：48． 48．（25-26七年级下·山西晋中·期中）如图，在中， ，是的角平分线，点E在上，且，求的度数． 【答案】 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，然后根据角平分线求解的度数，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：， ． 是的角平分线， ． 在中，， ． ◆题型13 角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 条件：如图，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 外角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 奔驰模型（面积） 条件：如图，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 49．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的高，是边上的高，是，的交点，则下列结论：①图中共有6个直角三角形；②是钝角三角形；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、三角形外角的性质、三角形的分类、等腰三角形的判定等基础知识，掌握这些知识是关键；根据三角形的高即可判断①；根据三角形外角的性质及钝角三角形的概念即可判断②；由三角形外角的性质、三角形内角和可判断③；由③即可判断④，最后即可作出结论． 【详解】解：∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∴都是直角三角形， 即直角三角形有6个，故①正确； ∵， ∴是钝角三角形，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，， 当时，有，即； 否则， 故④错误； 综上，正确的有①②③三个； 故选：C． 50．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则__________． 【答案】4 【分析】连接，利用，结合，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 则， ， ， 又∵，，即， ． 51．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D为BC边上任意一点，连接AD．已知DE，DF分别是，的高． 作图：（1）请在图①上作出中AC边上的高BG． 探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG之间的数量关系为________________________． 填空：（3）为了说明DE，DF，BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为， 所以． 因为， 所以________________________． 拓展：（4）当点D在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）  ，；（4）不成立．理由见解析 【分析】（1）过点作交于点，即可作答； （2）通过观察、测量，即可得到，，之间的数量关系； （3）将分成和，根据三角形的面积公式结合即可得到，，之间的数量关系； （4）将分成和，根据三角形的面积公式结合即可得到，，之间的数量关系． 【详解】解：（1）如图①，即为所求． （2） （3）因为， 所以． 因为， 所以． 故答案为：， ，． （4）不成立．理由如下： 如图②，过点作于点． ， ． ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用数形结合思想． 52．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，在中，平分，平分外角，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义和三角形的外角性质可推出，进而求解． 【详解】解：∵平分，平分外角， ∴， ∵， ∴，即， ∵，即， ∴． 2．（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，把纸片沿着折叠，使点落在四边形内部点处，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得出，，利用平角的定义推导出，从而求出的度数，最后根据三角形内角和定理及求解即可. 【详解】解：∵把纸片沿着折叠，点A落在四边形内部点处， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，且， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·河北承德·期末）将一副三角板按如图的方式摆放，已知点在的延长线上，，，要使得，则的度数应该是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用的条件，根据平行线的性质，确定与的数量关系结合已知的等腰直角三角板角度，求出的度数，进而得到的度数根据含角的直角三角板的内角特征，求出的度数利用平角为的性质，结合、的度数，计算的度数． 【详解】解：在等腰直角三角板中，，， ∴。 在三角板中，，， ∴ ． ，直线截两条平行线， ∴． 四点共线， ∴． 3．（25-26七年级下·广东汕头·期末）一副直角三角尺叠放如图所示，现将含的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则α的可能取值为（     ） A．15或45 B．45或135 C．60或105 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理和三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：①当时， 如图，延长交于F， ∵， ∴， ， ∴； ②当时，如图， 此时与重合， ∴； ③当时，； ④当时，； ⑤当时，； 综上：α可能取的值为15或45或60或135和105． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图中，，延长到，与的平分线相交于点与的平分线相交于点2，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（    ） A．19.2° B．8° C．6° D．3° 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形内角与外角的性质等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键．利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 同理，可得， 6．（25-26八年级下·河南郑州·开学考试）如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使，则的度数为_________． 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质，折叠的性质以及三角形的内角和为180度，进行求解即可. 【详解】解：如图2，当点在上方时， ∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 如图3，当点在下方时， 则， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴； 综上：的度数为或． 7．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、，则下列结论正确的是________． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的定义、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故①正确； 平分， ， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ， ， ， 不一定等于， 不一定等于， 故④不成立； 综上所述，结论正确的是①②③． 8．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，于点D，点F是边的中点，平分分别交于点G、点E，连接BF．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①②④ 【分析】①利用三角形中线的性质即可判断①；②运用等面积法即可判断②；利用三角形外角的性质以及作差法即可判断③；先利用同角的余角相等可得，再结合角平分线的定义即可判断④． 【详解】解：∵点F是边的中点， ∴，即①正确； ∵在中，，于点D， ∴，即，即②正确； ∵， ∴， ∵无法判断的正负， ∴无法判断的大小关系，即③错误； ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即④正确． 综上，正确的结论有①②④． 9．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，中，，点E是边上一点，连接并延长至点D，连接，使得，若和都是锐角，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设，，求出，，根据和都是锐角，推出，根据对顶角和三角形的内角和定理得到，即可得出结论. 【详解】解：设，， 在中，由三角形的内角和得； 在中，由三角形的内角和得； ∴，， ∵和都是锐角， ∴，， 整理得：，， 两式相加得， ∴， 在中：， ∴. 10．（25-26七年级下·四川宜宾·期末）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和都是“倍角三角形”，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，由折叠的性质得到，则可推出；当是“倍角三角形”时，只存在或这两种情况，据此根据，求出的度数，进而求出的度数，进一步求出的度数，再验证是否为“倍角三角形”即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴； 在中，， ∴当是“倍角三角形”时，只存在或这两种情况， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴此时不是“倍角三角形”，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时是“倍角三角形”，符合题意； 综上所述，． 11．（25-26七年级下·河北沧州·期末）【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理计算即可； （3）根据角平分线的定义求出，可知只能是或，根据三角形外角的性质得到，根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和定理求出，则，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的平分线，相交于点， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分外角，， ∴，即， 因此只能是或． 根据三角形外角的性质得到， ∵平分外角，平分外角， ∴， ∴，即， ∴， 分情况讨论： 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述，的度数为或． 12．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）【概念认识】 如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． (1)【问题解决】如图①，，，是的“三分线”，则 °； (2)【问题解决】如图②，在中，，，若的三分线交于点，则 °； (3)【问题解决】如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； (4)【延伸推广】在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，直接写出的度数．（用含m、n的代数式表示） 【答案】(1)40 (2)或 (3) (4)或或或或 【分析】（1）是“邻三分线”，是“邻三分线”时，根据三角形的三分线求出即可； （2）分情况讨论如图当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时，即可得答案； （3）求出，根据、分别是邻三分线和邻三分线求出，，求出，再求出即可； （4）画出符合的所有情况，①当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，②当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，③当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，④当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，再根据三角形的外角性质求出答案即可． 【详解】（1）解：，，是的“三分线”， ， ； （2）解：如图，    当是“邻三分线”时， ，， ； 当是“邻三分线”时， ，， ； 综上所述，或； （3）解：∵， ∴， ， 、分别是邻三分线和邻三分线， ，， ， ， ； （4）解：分为四种情况： 情况一：如图，    当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 则，， 由三角形外角的性质可得：， ； 情况二：如图，    当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 则，， 同理可得：， ； 情况三、    当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 当时，如图，，， 同理可得：， ； 当时，如图，则，，    同理可得：， ； 情况四、如图，    当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，，， 同理可得： ； 综合上述：的度数是或或或或． 13（25-26七年级下·辽宁大连·期末）是锐角三角形，点D在线段上，交于点E，点F 在线段上（点F不与点A，E，B重合），连接，过点F作交射线于点G（点G不与点B重合） (1)如图1，当点F 在线段上时，，求的度数； (2)当点F 在线段上时，请在备用图中探究下列问题： ①直接写出与之间满足的数量关系 ； ②若与的角平分线所在直线相交于点P，请画出符合条件的图形，并尝试求出的度数． 【答案】(1) (2)①或；②或． 【分析】（1）过点F作，交于H，根据三角形内角和定理，平行线的性质求解即可； （2）①分两种情况，画出图形利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可； ②分两种情况，画出图形，分别根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，交于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①情况1：当点G在线段上时，结论：． 理由：设交于J， ∵， ∴， ∵，， ∴． 情况2：当点G在的延长线上时，， 延长交于K， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②情况1：点G在线段上时，作， ∵， ∴， ∵与的角平分线所在直线相交于点P， ∴，， ∴； 情况2：当点G在的延长线上时，延长，交于点Q， ∵， ∴，， 在中，， ∵与的角平分线所在直线相交于点P， ∴，， ∴， 中，． 综上，的度数为或． 14．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【问题再现】如图①，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若，求的度数． 【问题解决】 (1)小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程： 平分，平分， ，． ______， ． ______， ______度． 将小明的过程补充完整． 【应用】 (2)如图②，在中，的平分线与外角的平分线交于点．设的度数为，求的度数．（用含的代数式表示） 【拓展】 (3)如图③，在中，为锐角，内部的射线与外角内部的射线交于点（为锐角）．若，，设的度数为，则的大小为______．（用含的代数式表示） 【答案】(1)；；45 (2) (3) 【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可； （2）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可； （3）先说明，，再利用三角形外角的性质以及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：平分，平分， ，． ， ． ， ， ∴ 度． （2）解：平分，平分， ，． ， ． ， ， ∴ ． （3）解：∵，， ∴，， ， ． ， ， ∴ ∴，即． 15．（25-26七年级下·吉林长春·期末）在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺和，探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．其中，． (1)如图①，点在边上，点在边的延长线上，则的大小为_____度． (2)如图②，固定图①中的，将绕着点逆时针旋转，使点在的内部，求证：． (3)固定图①中的，将绕着点逆时针旋转度（），其他条件不变．若和的直角边在同一条直线上，则直线与相交所成的锐角的度数为_____． (4)固定图①中的，将绕着点逆时针旋转度（），其他条件不变．当的某条边与的某条边平行时，直接写出锐角的度数． 【答案】(1) (2)证明：， ．   (3)或 (4)或或或 【分析】（1）根据邻补角的定义，即可求解． （2）根据，即可得出； （3）根据三角形的外角的性质，即可求解； （4）分五种情况讨论，分别画出图形，根据平行线的性质以及三角板的角度，即可求解． 【详解】（1）解：依题意 ∴； （2）略 （3）解：如图①，直线与相交所成的锐角的度数为 如图②，直线与相交所成的锐角的度数为 （4）如图③，， ∴ ∴ 如图④，， ∴ 如图⑤， ∴ ∴ ∴ 如图⑥， ∴ 如图⑦， ∴ ∴ ∴ 综上所述，锐角的度数为或或或． 16．（25-26七年级下·河南南阳·期末）【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93页第4、5、6题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧． (1)如图①，在中，平分，平分．若，则____________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是____________； 【继续探索】 (2)如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 (3)如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长、交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】（1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，； （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或． 17．（25-26七年级下·福建泉州·期末）数学探究 在中，已知． (1)如图1，，的平分线相交于点． ①当时，________；（直接写出结果） ②的度数为________；（用含的代数式表示） (2)如图2，，的平分线相交于点，作外角，的角平分线交于点．求的度数．（用含的代数式表示） (3)如图3，点，分别为，延长线上的一点，点，分别在内部和外部，且满足，，，．分别求，的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)①；② (2) (3)； 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可； （2）根据外角的性质、角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可； （3）根据外角的性质和三角形的内角和定理，进行解答即可． 【详解】（1）解：①平分，平分， ，， ， 当时，； ②由①可知，． （2）解：，，    ．     点是的外角，的角平分线的交点， ，， ，     ． （3）解：， ．     ，， ，     ．     由（2）可知，． ，， ，     ． 18．（25-26七年级下·河南南阳·期末）探究题：已知在中，．的平分线与的外角的平分线相交于点D，与边相交于点E，直线与直线相交于点F． (1)，如图1． ①当∠时，求和的大小； ②当∠时，直接写出和的大小； ③根据以上结论，发现当的大小改变时，和之间的数量关系保持不变．和之间的数量关系可用等式表示为 ． (2)，如图2，和之间有何数量关系？写出你的结论并说明理由． 【答案】(1)①，；② ， ；③ (2)． 理由如下： 设 因为， 所以， ； 因为， 所以， 因为 所以． 所以． 【分析】（1）根据角平分线的意义和三角形内角和定理求解即可； （2）设，求出；再求出 ，故可得出． 【详解】（1）解：①当 时， 因为 所以， 因为 是 的一个外角， 所以； 因为， 所以， 因为 所以， ②当 时， 因为 所以， 因为 是 的一个外角， 所以； 因为， 所以， 因为 所以， ③由上可得：； （2）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $