专题01 三角形的概念重难点题型 专项训练（2个知识点+4大题型+自我检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以“概念-分类-应用”为逻辑主线，通过2个核心知识点+4类基础题型+1类提高题型的层级设计，系统强化三角形概念的理解与应用，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|2个（含即时训练）|概念辨析（定义/元素/表示）、分类判断（按边）|从三角形基本概念生成到分类体系构建，明确等腰与等边三角形的包含关系| |基础题型|4类（每类含例题+3-4题）|图形识别、个数计数、类型判断、等腰三角形定义应用|对应知识点分层设题，从具象识别到抽象分类，逐步深化概念理解| |提高题型|1类（含例题+3题）|概念综合应用（多三角形关联、动态问题）|整合概念与分类知识，提升复杂情境下的几何推理能力| |自我检测|综合题（15题）|覆盖概念、分类、计数等核心考法|全面检验知识掌握程度，强化中考基础题型应对能力|

专题01 三角形的概念重难点题型专训（2个知识点+4大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、三角形的识别与有关概念 1 题型二、三角形的个数问题 2 题型三、三角形的分类 3 题型四、等腰三角形的定义 4 第二部分·练提高题型 题型一、与三角形的概念综合问题 1 第三部分・自我检测 知识点01 三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，中，与的夹角是____________，的对边是____________，，的公共边是____________．    知识点02 三角形的分类 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 【即时训练】 1．（25-26八年级上·黑龙江·单元测试）如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（   ） A．等边三角形，等腰直角三角形 B．等腰直角三角形，钝角三角形 C．等边三角形，钝角三角形 D．锐角三角形，等边三角形 2．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，两个含角的三角尺拼成的三角形是_____三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【基础题型一 三角形的识别与有关概念】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·河南许昌·阶段检测）如图所示，在中，于点D．E为上一点，且，，若，，则__________． 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，是的高，点在上，且，图中，与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在△BCE中，边BE所对的角是________，∠CBE所对的边是________；在△AEC中，边AE所对的角是________，∠A为内角的三角形是________． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，回答下列问题：    (1)写出以为顶点的三角形； (2)写出为内角的三角形； (3)写出以为边的三角形． 【基础题型二 三角形的个数问题】 【例1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，图中共有（    ）个三角形．    A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的多边形被分割成了______________个三角形． 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，这样的小三角形的个数是（　　  ） A．299 B．201 C．205 D．207 2．（26-27八年级上·全国·课后作业）已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______． （2）以线段为公共边的三角形是___________． （3）线段所在的三角形是_______，边所对的角是________． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）（1）如图1，D1是△ABC的边AB上的一点，则图中有哪几个三角形？ （2）如图2，D1，D2是△ABC的边AB上的两点，则图中有哪几个三角形？ （3）如图3，D1，D2，…，D10是△ABC的边AB上的10个点，则图中共有多少个三角形？ 【基础题型三 三角形的分类】 【例1】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 【例2】（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．判断有一个内角是的直角三角形_________“准等边三角形”．（填 “是”或“不是”） 1．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A．   B．   C．   D．   2．（25-26七年级下·福建宁德·阶段检测）在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为D， 是钝角，E是上一点，且是锐角． (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． (2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【基础题型四 等腰三角形的定义】 【例1】（25-26八年级下·四川成都·期末）等腰三角形一边长，另一边长，它第三边长可以是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·广东湛江·期中）若一个等腰三角形的两边长分别是3和5，则其周长是_____． 1．（25-26八年级上·北京密云·期末）如图，在中，，以的一边为腰画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是(    ) A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知直线垂直于直线，点A在直线上，且，点B在直线上，在直线或直线上找一点C（与A、B不重合），使成为一个等腰三角形，这样的点C能找到 __个．    3．（25-26八年级上·湖北恩施·阶段检测）若等腰三角形一腰上的中线分周长为和两部分，请你画出示意图，并结合图形，求这个等腰三角形的各边长 【提高题型一 与三角形的概念综合问题】 【例1】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知：，与相交于点O；现有如下命题： ①如果，那么； ②如果，那么．下列判断正确的是（     ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【例2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知，在中，，的对边长分别为a，b，若，，则a____b．（填“”、“”或“”） 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在为其中一边， (1)在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是______； (2)属于等腰三角形的是______． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． (1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，分别是上的点，连接交于点    (1)图中共有多少个以为边三角形？并把它们表示出来． (2)除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ 1．（2025八年级上·山东·专题练习）下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，图中的三角形共有（     ） A．10个 B．12个 C．14个 D．16个 3．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 5．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）等边三角形的定义：___________都相等的三角形叫做_____________． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期中）数一数图中共有___________个三角形． 8．（25-26八年级上·重庆忠县·期末）在中，若，则的形状是_________三角形（填钝角、直角和锐角）． 9．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）如果依次用分别表示图3中（1）、（2）、（3）、（4）内三角形的个数，那么，________．    10．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，，点Q是边上的一个动点，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发________秒后，是以为腰的等腰三角形． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）请举出现实生活中有关三角形的实例． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）请找出图中所有的三角形，并把它们写出来． 13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 14．（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，请在下图的网格中画出符合条件的格点三角形． (1)在图①中画出以为边且面积为2的等腰； (2)在图②中画出以为边的等腰直角． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，为AC边上不同的n个点，首先连接，图中出现了3个不同的三角形，再连接，图中便有6个不同的三角形…… (1)完成下表： 连接点的个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 (2)若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？ (3)若一直连接到，则图中共有多少个三角形？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的概念重难点题型专训（2个知识点+4大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、三角形的识别与有关概念 1 题型二、三角形的个数问题 2 题型三、三角形的分类 3 题型四、等腰三角形的定义 4 第二部分·练提高题型 题型一、与三角形的概念综合问题 1 第三部分・自我检测 知识点01 三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的定义：平面上不共线的三点及其每两点连接的线段所组成的封闭图形，即可进行解答． 【详解】 解：符合三角形概念的是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握：平面上不共线的三点及其每两点连接的线段所组成的封闭图形是三角形，这三点称为三角形的顶点；三条线段称为三角形的边． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，中，与的夹角是____________，的对边是____________，，的公共边是____________．    【答案】 【分析】根据图形即可解答． 【详解】解：与的夹角是，的对边是，，的公共边是， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了三角形的相关概念，熟练掌握相关内容是解题的关键． 知识点02 三角形的分类 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 【即时训练】 1．（25-26八年级上·黑龙江·单元测试）如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（   ） A．等边三角形，等腰直角三角形 B．等腰直角三角形，钝角三角形 C．等边三角形，钝角三角形 D．锐角三角形，等边三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系和角的大小分类是解题的关键．根据三角形的分类进行分析即可． 【详解】将三角形按边的相等关系， 可以分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形， 将三角形按角的大小可以分为， 锐角三角形、直角三角形和钝角三角形， 两处“？”分别为等边三角形，钝角三角形， 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，两个含角的三角尺拼成的三角形是_____三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】锐角 【分析】本题考查了三角尺和三角形按角分类，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出拼成的三角形的三个内角度数，再判断即可． 【详解】解：如图，两个含角的三角尺拼成的三角形的三个内角分别为， ∴该三角形为锐角三角形， 故答案为：锐角． 【基础题型一 三角形的识别与有关概念】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下面是一位同学用三根木棒拼成的图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，逐项验证即可得到答案，熟记三角形定义是解决问题的关键 【详解】解：由三角形定义可知A，B，C均不是三根木棒拼成的三角形，只有D是三根木棒拼成的三角形， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·河南许昌·阶段检测）如图所示，在中，于点D．E为上一点，且，，若，，则__________． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形，根据及即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：， , , ， 故答案为：1． 1．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，是的高，点在上，且，图中，与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得到∠BAD=∠ADE，再由三角形高的定义得到∠BAD+∠EDC=90°，则． 【详解】解：∵， ∴∠BAD=∠ADE， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC=90°， ∴∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠BAD+∠EDC=90°， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形高的定义，熟知相关知识是解题的关键． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在△BCE中，边BE所对的角是________，∠CBE所对的边是________；在△AEC中，边AE所对的角是________，∠A为内角的三角形是________． 【答案】 ∠BCE/∠ECB CE/EC ∠ACE/∠ECA △ABD，△ABC，△ACE 【分析】根据的边、角的定义，即可求解． 【详解】解：在△BCE中，边BE所对的角是∠BCE，∠CBE所对的边是CE； 在△AEC中，边AE所对的角是∠ACE，∠AEC所对的边是AC； ∠A为内角的三角形是△ABD，△ABC，△ACE． 故答案为：∠BCE；CE；∠ACE；△ABD，△ABC，△ACE 【点睛】本题考查了三角形的知识，掌握由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角是解题的关键． 3．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，回答下列问题：    (1)写出以为顶点的三角形； (2)写出为内角的三角形； (3)写出以为边的三角形． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接写出以为顶点的三角形即可； （2）直接写出以为内角的三角形即可； （3）直接写出以为边的三角形即可． 【详解】（1）解：以为顶点的三角形有：． （2）解：以为内角的三角形有：． （3）解：以为边的三角形有：． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义、三角形的顶点、内角、边等知识点，理解三角形的定义是解答本题的关键． 【基础题型二 三角形的个数问题】 【例1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，图中共有（    ）个三角形．    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意找出三角形的个数，即可求解． 【详解】解：如图所示，    图中有共5个三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的定义，找出三角形是解题的关键． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的多边形被分割成了______________个三角形． 【答案】5 【分析】观察图形，根据三角形定义数三角形的个数即可解题． 【详解】观察图形，可知途中的多边形被分割成个三角形， 故答案为：． 【点睛】本题考查多边形的有关概念，能根据图形数出三角形的个数是解题的关键． 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，这样的小三角形的个数是（　　  ） A．299 B．201 C．205 D．207 【答案】B 【分析】根据题意可以得到当三角形纸片内有1个点时，有3个小三角形；当有2个点时，有5个小三角形；当n=3时，有7个小三角形，若有n个点时，一定是有2n+1个三角形，据此即可求解． 【详解】解：根据题意当三角形纸片内有1个点时，有3个小三角形； 当有2个点时，有5个小三角形； 当n=3时，有7个小三角形， …… 若有n个点时，一定是有2n+1个三角形． ∴三角形的个数为：2n=1=2×100+1=201， 故选B． 【点睛】此题主要考查了利用平面内点的个数确定三角形个数，根据n取比较的数值时得到的数值，找出规律，再利用规律解决问题． 2．（26-27八年级上·全国·课后作业）已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______． （2）以线段为公共边的三角形是___________． （3）线段所在的三角形是_______，边所对的角是________． 【答案】 6 ，， ，， 【分析】（1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）观察图形可知线段所在的三角形以及边所对的角； 【详解】（1）由图可知， 图中三角形有、、、、、， 图中有6个三角形， 由图可知，直角三角形有，，； 故答案为：6，，，； （2）由图可知， 以线段为公共边的三角形是，，； 故答案为：，，； （3）由图可知， 线段所在的三角形是， 边所对的角是； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）（1）如图1，D1是△ABC的边AB上的一点，则图中有哪几个三角形？ （2）如图2，D1，D2是△ABC的边AB上的两点，则图中有哪几个三角形？ （3）如图3，D1，D2，…，D10是△ABC的边AB上的10个点，则图中共有多少个三角形？ 【答案】（1）3；（2）6；（3）66． 【分析】（1）根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行分析即可； （2）根据三角形的定义结合图形进行分析即可得； （3）根据直线AB上有几条线段就有几个三角形，由线段的计数方法进行计算即可得答案. 【详解】（1）图中三角形有：△ABC、△AD1C、△AD1B共3个； （2）图中三角形有：△ACD1、△ACD2、△ABC、△D1CD2、△D1CB、△D2CB共6个； （3）∵直线AB上有12个点， ∴直线AB上的线段共有：=66（条），即图中共有66个三角形． 【点睛】本题考查了三角形，规律题，关键在数三角形个数时要做到不重不漏. 【基础题型三 三角形的分类】 【例1】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定三角形的形状 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的分类，掌握各类三角形的定义是解题的关键． 根据钝角三角形的定义作答即可． 【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角，则这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．判断有一个内角是的直角三角形_________“准等边三角形”．（填 “是”或“不是”） 【答案】是 【分析】根据直角三角形有一个角为，结合有一个内角是，得到，即可得出结论． 【详解】解：∵有一个内角是的直角三角形， ∴三角形有一个角为， ∵， ∴是“准等边三角形”； 故答案为：是． 【点睛】本题考查三角形的分类．理解“准等边三角形”的定义，是解题的关键． 1．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据各类三角形的概念即可解答. 【详解】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系． 故选C． 【点睛】本题考查各种三角形的定义，要明白等边三角形一定是等腰三角形，等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形. 2．（25-26七年级下·福建宁德·阶段检测）在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 【答案】钝角 【分析】由最大内角的度数，即可确定三角形的形状． 【详解】解：∵在中， ， 即三角形的最大内角为钝角，故此三角形是钝角三角形． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为D， 是钝角，E是上一点，且是锐角． (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． (2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】(1) 图中有6个三角形：，，，，，． (2) 锐角三角形：； 直角三角形：，，； 钝角三角形：，． 【分析】本题考查了三角形及其分类．熟练掌握三角形定义，三角形分类定义是解题的关键，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形；三个内角都小于 90 度的三角形是锐角三角形；有一个内角为 90 度的三角形是直角三角形；有一个内角大于 90 度的三角形是钝角三角形． （1）根据三角形的定义解答； （2）根据三角形按角分类的定义判断． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型四 等腰三角形的定义】 【例1】（25-26八年级下·四川成都·期末）等腰三角形一边长，另一边长，它第三边长可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，分两种情况讨论：当为腰长，为底边长时；当为底边长，为腰长时；分别根据三角形三边关系定理判断即可． 【详解】解：若为腰长，为底边长， ， 能组成三角形， 它的第三边是； 若为底边长，为腰长， ， 不能组成三角形； 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·广东湛江·期中）若一个等腰三角形的两边长分别是3和5，则其周长是_____． 【答案】11或13/13或11 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，注意本题要分两种情况解答．根据等腰三角形的定义，分两种情况：当腰长为3时和腰长为5时求解即可． 【详解】解：当腰长为3时，三边为 则周长为； 当腰长为5时，三边为 则周长为， 故周长为11或13， 故答案为：11或13． 1．（25-26八年级上·北京密云·期末）如图，在中，，以的一边为腰画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是(    ) A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以三个顶点为等腰三角形的顶点可以画出4个等腰三角形，分别以三条边 等腰三角形的底边可以作出3个等腰三角形，最多可以作出7个不同的等腰三角形 【详解】①以为圆心，长为半径画弧，交于点，是等腰三角形， ②以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形； ③以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形，交于点,是等腰三角形；； ④作的垂直平分线交于点，就是等腰三角形； ⑤作的垂直平分线交于，则是等腰三角形； ⑥作的垂直平分线交于，则和都是等腰三角形，此情形点与点重合与④的情形重合，共计2个等腰三角形． 综上所述，最多有7个等腰三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键． 2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知直线垂直于直线，点A在直线上，且，点B在直线上，在直线或直线上找一点C（与A、B不重合），使成为一个等腰三角形，这样的点C能找到 __个．    【答案】6 【分析】 分两种情况讨论，当是底边时，当是腰时，即可求解． 【详解】 解：    （1）当是底边时，作的垂直平分线，分别与，线段的延长线相交，共两个交点，都符合题意； （2）当是腰时①以A圆心长为半径画圆交直线于两点，交线段延长线于一点（该点与前面的点重合），有两个交点符合题意； ②以B圆心长为半径画圆交直线于两点（有一个点与前面的点重合），交线段延长线于一点，有两个交点符合题意， 因此这样的点C能找到6个，使成为等腰三角形． 故答案为：6． 【点睛】 本题考查等腰三角形，关键是分两种情况讨论，并注意有重合的点． 3．（25-26八年级上·湖北恩施·阶段检测）若等腰三角形一腰上的中线分周长为和两部分，请你画出示意图，并结合图形，求这个等腰三角形的各边长 【答案】这个等腰三角形的底为9或5，这个等腰三角形的腰为6或8 【分析】由题意得，腰上的中线把等腰三角形分成9和12两部分，则要分一腰的一半与另一腰的和为9或12两种情况进行分析即可． 【详解】解：如图，①当时， 是边的中线， ， ，， ； ②当时，则， ； ， 答：这个等腰三角形的底为9或5，这个等腰三角形的腰为6或8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及二元一次方程组的应用；解题时主要利用了分情况讨论的思想及列二元一次方程组求解，也是正确解答本题的关键． 【提高题型一 与三角形的概念综合问题】 【例1】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知：，与相交于点O；现有如下命题： ①如果，那么； ②如果，那么．下列判断正确的是（     ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】根据“大角对大边，小角对小边”进行求解即可． 【详解】解：在一个三角形中，根据大角对大边，小角对小边可知：在中，，则有，故①是真命题； 若，则有， ∵， ∴， ∴， ∴，故②是假命题； 综上所述：①是真命题，②是假命题． 【例2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知，在中，，的对边长分别为a，b，若，，则a____b．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的边角关系． 根据“大角对大边，小角对小边”作答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在为其中一边， (1)在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是______； (2)属于等腰三角形的是______． 【答案】(1) 解：所画三角形如图所示， ，，，，，，，，， (2)，， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握以上两个定义． （1）根据不在同一条直线上的三个点即可构成一个三角形画图即可； （2）根据等腰三角形的定定义进行判定即可． 【详解】（1）图略 三角形有：，，，，，，，，， （2）解：属于等腰三角形的是，，， 故答案为：，，． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． (1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 【答案】(1)3个，见解析；各三角形的名称分别为 (2)是等腰三角形，是钝角三角形 【分析】本题考查本题考查了三角形的定义，网格结构的知识，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据网格结构作出图形并回答问题； （2）根据等腰三角形的定义和钝角三角形的定义分别作答． 【详解】（1）解：以为边的三角形能画3个，如图所示， 即为所求； （2）解：是等腰三角形，是钝角三角形． 3．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，分别是上的点，连接交于点    (1)图中共有多少个以为边三角形？并把它们表示出来． (2)除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ 【答案】(1)以为边的三角形有个，，，， (2)以点为顶点的三角形还有、 【分析】本题考查的是认识三角形， （1）以为边的三角形有个； （2）以为顶点的三角形有个，除外，还有个． 【详解】（1）解：以为边的三角形有个，，，，． （2）解：除外，以点为顶点的三角形还有、． 1．（2025八年级上·山东·专题练习）下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． 根据三角形的定义、三角形内角和定理、直角三角形的性质进行逐项判断即可． 【详解】解：选项A、三角形是由三条不在同一直线的线段首尾顺次连接组成的图形，则 A错误； 选项B、根据三角形内角和定理得，三角形的内角和为，外角和为，则 B错误； 选项C、锐角三角形的每个内角小于，每个外角内角，则三个外角都是钝角，C正确； 选项D、直角三角形有两条直角边作为高，还有从直角顶点向斜边所作的高，有三条高，则D错误； 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，图中的三角形共有（     ） A．10个 B．12个 C．14个 D．16个 【答案】B 【分析】根据三角形的概念求解即可． 【详解】解：如图所示， 图中的三角形有：，，，，，，，，，，，，共12个， 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的概念，解题的关键是熟练掌握三角形的概念． 3．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的具体形状，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ， ∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角， ∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ， ∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角形 ；另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形， 综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能． 4．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差计算与圆的半径性质，熟练掌握“同圆的半径相等”是解题的关键．先根据线段和差求出的长度，再利用已知条件得到、的长度，最后计算的周长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心、为半径作弧交延长线于点， ∴， ∴的周长， 故选：． 5．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形． 【详解】解：如图：可以画出7个等腰三角形； 故选C 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）等边三角形的定义：___________都相等的三角形叫做_____________． 【答案】 三条边 等边三角形 【分析】根据等边三角形的定义可以确定两空的内容． 【详解】解：等边三角形的定义：___三条边___都相等的三角形叫做__等边三角形__． 故答案为三条边；等边三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的定义，掌握等边三角形的定义是解题关键． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期中）数一数图中共有___________个三角形． 【答案】44 【分析】本题主要考查分类讨论的思想，根据三角形中包含的小三角形的个数进行分类求解，再求总数即可． 【详解】解：由一个小三角形组成的三角形数量为16个； 由二个小三角形组成的三角形数量为16个； 由四个小三角形组成的三角形数量为8个； 由八个小三角形组成的三角形数量为4个； 则共有个， 故答案为：44． 8．（25-26八年级上·重庆忠县·期末）在中，若，则的形状是_________三角形（填钝角、直角和锐角）． 【答案】锐角 【分析】根据三角形的内角和，以及三角形的三个角之间的比例，计算出最大角的度数，并且判断出三角形的类型即可． 【详解】∵三角形内角和为，， ∴， 即为锐角， 故答案为锐角． 【点睛】本题考查三角形的内角和，三角形的分类，能够根据三个角之间的比例计算出每个角的度数是解决本题的关键． 9．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）如果依次用分别表示图3中（1）、（2）、（3）、（4）内三角形的个数，那么，________．    【答案】24 【分析】本题主要考查了图形类规律题，根据题意得到，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ． 故答案为：24 10．（25-26八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，，点Q是边上的一个动点，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．当点Q在边CA上运动时，出发________秒后，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【分析】题考查了等腰三角形的性质，分两种情况：当时；当时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当时，如图： 秒； 当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， 秒； 综上所述：当点在边上运动时，出发或秒后，是以为腰的等腰三角形， 故答案为：或． 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）请举出现实生活中有关三角形的实例． 【答案】 三脚架、自行车车架、晾衣架等 【分析】本题考查了三角形的认识，根据由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形，据此举出在现实生活中的实例即可． 【详解】解：现实生活中三角形的实例包括：三脚架、自行车车架、晾衣架等． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）请找出图中所有的三角形，并把它们写出来． 【答案】、、、、、、、 【分析】本题考查了三角形的认识，根据由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形，据此在图中找出所有的三角形即可． 【详解】解：图中的三角形有：、、、、、、、． 13．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点C为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】(1)， (2)， (3)等腰三角形是，；等边三角形是 【分析】本题考查三角形的定义、三角形的分类： （1）根据三角形的定义，找出以点C为顶点的三角形即可； （2）根据三角形的定义，找出以为边的三角形即可； （3）根据题中边长关系，找出有两条边相等的三角形为等腰三角形，三边均相等的三角形为等边三角形． 【详解】（1）解：以点C为顶点的三角形有，； （2）解：以为边的三角形有，； （3）解：∵， ∴等腰三角形有，， 等边三角形有． 14．（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，请在下图的网格中画出符合条件的格点三角形． (1)在图①中画出以为边且面积为2的等腰； (2)在图②中画出以为边的等腰直角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义成为解题的关键． （1）直接根据等腰三角形以及相关要求作图即可； （2）直接根据等腰三角形以及相关要求作图即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，为AC边上不同的n个点，首先连接，图中出现了3个不同的三角形，再连接，图中便有6个不同的三角形…… (1)完成下表： 连接点的个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 (2)若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？ (3)若一直连接到，则图中共有多少个三角形？ 【答案】(1)3，6，10，15，21，28；(2)8；(3) 【分析】(1)根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数．所以当上面有3个分点时，有6+4=10；4个分点时，有10+5=15；5个分点时，有15+6=21；6个分点时，有21+7=28；7个分点时，有28+8=36； (2)若出现45个三角形，根据上述规律，则有8个分点； (3)若有n个分点，则有()()． 【详解】(1) 连接点的个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 3 6 10 15 21 28 (2)由(1)中表格：7个分点时，有28+8=36；8个分点时，有36+9=45； ∴出现了45个三角形，则共连接了8个点； (3)设连接到AAn时，图中有个三角形(n为正整数)． 观察图形和(1)中表格，可知：=2+1=3，=3+2+1=3，=4+3+2+1=10，， ∴ =()()， ∴若一直连接到，则图中共有()()个三角形． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律，注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数． 学科网（北京）股份有限公司 $