专题04 三角形章末易错必刷题型 专项训练（70题14个考点）2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形14个核心易错考点，70题分层覆盖概念辨析、性质应用及综合计算，知识逻辑从基础定义到性质推理再到实际应用，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形的分类|5题|选择/填空/作图|从内角、边的分类标准建立三角形概念体系| |构成三角形的条件|5题|选择/解答/探究|通过三边关系推导与实际情境应用，培养应用意识| |三角形的外角|5题|选择/解答/证明|衔接内角和性质，构建角关系推理链条，发展推理能力|

专题04 三角形章末易错必刷题型专训（70题14个考点） 【易错必刷一 三角形的分类】 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）一个三角形三个内角度数的比是，则这个三角形一定是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．由一个三角形三个内角度数的比是，可得出这个三角形有两个相等的角，结合“等角对等边”，可得出这个三角形一定是等腰三角形． 【详解】解：一个三角形三个内角度数的比是， 这个三角形有两个相等的角， 这个三角形有两个相等的边， 这个三角形一定是等腰三角形． 故选：B． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为___________，按边分，这个三角形是___________三角形． 【答案】 8 cm，12 cm，12 cm 等腰 【分析】本题考查了三角形的分类，根据题意设三角形三边的长度比为，即可列方程求解． 【详解】解：设三角形三边的长度比为， 则：， 解得： ∴ 故答案为：①8 cm，12 cm，12 cm②等腰 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）观察下面的三角形，其中哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形？ 【答案】锐角三角形：③ ⑤；直角三角形：① ④ ⑥；钝角三角形：② ⑦ 【分析】根据三角形按角分类的定义：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此对图中三角形逐个分类即可求解． 【详解】解：观察图形可得①，④，⑥中都有一个标注直角符号的内角，说明有一个内角是直角，因此①④⑥是直角三角形； ②，⑦中都有一个内角是钝角，因此②⑦是钝角三角形； ③，⑤中三个内角都是锐角，因此③⑤是锐角三角形． 4．（25-26七年级下·全国·暑假作业）利用网格中的点A，B，C，D，E，在下面的方框中画三角形： (1)在第一个方框中画锐角三角形； (2)在第二个方框中画直角三角形； (3)在第三个方框中画钝角三角形． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求； (3) 如图，即为所求； 【分析】本题考查的是画三角形，三角形的分类； （1）根据锐角三角形的定义画锐角三角形的即可； （2）根据直角三角形的定义画直角三角形的即可； （3）根据钝角三角形的定义画钝角三角形的即可； 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 【答案】锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有： 【分析】根据三角形的分类进行求解即可． 【详解】解：由题意得：锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有：． 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟知三角形的分类方法是解题的关键． 【易错必刷二 等腰三角形的定义】 6．（25-26八年级下·贵州毕节·阶段检测）已知a，b是等腰三角形的两腰，c为底边，若，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】该题主要考查了等腰三角形的定义以及整式加减运算，解题的关键是得出． 根据题意得出，代入即可求解； 【详解】解：∵a，b是等腰三角形的两腰， ∴， ∴， 故选：B． 7．（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰三角形，等腰三角形的腰长为， ∴， ∵、分别与两边垂直 ∴， ∵面积为， ∴， ∴， 故答案为5． 8．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）用24cm长的绳子围成一边长为6cm的等腰三角形，求三角形的三边长． 【答案】该三角形的三边长为 【分析】根据等腰三角形的定义可分两种情况进行求解． 【详解】解：当边长为6cm是该等腰三角形的底边长时，则该等腰三角形的腰长为， ∵， ∴该等腰三角形的三边长分别为； 当边长为6cm是该等腰三角形的腰长时，则该等腰三角形的底边长为， ∵， ∴不能构成三角形，故不符合题意； 综上所述：该三角形的三边长为． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义及三角形三边关系是解题的关键． 9．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知：在等腰三角形中，，上任意一点D，于点E，于点F，于点G．求证：．    【答案】 证明：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】连接，根据，列出等式即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形的面积公式，连接，根据列出等式是关键． 10．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，D是上任意一点，分别向引垂线，垂足分别为E、F，是边上的高．问：的长之间存在着怎样的等量关系？并说明理由． 【答案】． 理由：连接， 则， 即， ∵， ∴． 【分析】连接，利用进行解答即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等积法证明线段间的关系，掌握解答的方法是解题关键． 【易错必刷三 构成三角形的条件】 11．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下面的图中，三条线段首尾相接能围成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形和构成三角形的条件进行判断即可． 【详解】解：A．两条较短线段之和等于最长的线段，不能构成三角形； B．两条较短线段之和大于最长的线段，能构成三角形； C．两条较短线段之和小于最长的线段，不能构成三角形； D．两条较短线段之和小于最长的线段，不能构成三角形． 12．（25-26七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边的关系． 根据三角形三边的关系，选出能围成三角形的三条木棒，计算周长即可． 【详解】解：∵，，，， ∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为：，，，或，，， ∴这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是或， 故答案为： 或． 13．（25-26八年级上·广西南宁·期中）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，4，8 (2)5，6，11 (3)5，6，10 【答案】(1) 不能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度不满足两边之和大于第三边， 故不能组成三角形； (2) 不能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度不满足两边之和大于第三边， 故不能组成三角形； (3) 能，理由如下： 依题意，， ∵， ∴这三条线段的长度满足两边之和大于第三边， 故能组成三角形． 【分析】本题考查了三边关系：两边之和大于第三边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得，根据，不满足两边之和大于第三边，即可作答． （2）先得，根据，不满足两边之和大于第三边，即可作答． （3）先得，根据，满足两边之和大于第三边，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 14．（25-26八年级上·广东江门·期中）用一条长为28cm的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的3倍，那么三边长分别是多少？ (2)能围成有一边的长为6cm的等腰三角形吗？若能，写出等腰三角形的三边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)三边长分别为 (2)能围成有一边的长为的等腰三角形，三边长分别为． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、一元一次方程的应用、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解决此题的关键． （1）设底边长为，则腰长为，根据周长列方程得到，解方程即可得到答案； （2）分两种情况：当长为的边为底边时；长为的边为腰时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设底边长为，则腰长为， 根据题意得：， 解得：， ， 三边长分别为，满足三角形的三边关系，符合题意； （2）解：能围成有一边的长为的等腰三角形， 当长为的边为底边时，腰长为：，此时三边长为，满足三角形的三边关系； 当长为的边为腰时，底边长为：，此时三边长为，不能满足三角形的三边关系； 能围成有一边的长为的等腰三角形，三边长分别为． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴棒首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下． 火柴棒数 3 5 6 … 示意图 … 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 … 问： (1)4根火柴棒能搭成三角形吗？ (2)8根、12根火柴棒分别能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图． 【答案】(1)4根火柴棒不能搭成三角形 (2)8根火柴棒能搭成一种三角形，12根火柴棒能搭成三种不同的三角形，画图见解析 【分析】（1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，故4根火柴棒不能搭成三角形； （2）利用三角形三边关系定理求解即可． 【详解】（1）解：∵把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，而1+1＝2， ∴4根火柴棒不能搭成三角形； （2）① 8根火柴棒能搭成一种三角形，示意图如下： ②12根火柴棒能搭成三种不同的三角形，其边长分别为：(4，4，4)，(5，5，2)，(3，4，5)，示意图如下： 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【易错必刷四 确定第三边的取值范围】 16．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，人字梯支架，的长度都是2.2米（连接处的长度忽略不计），B、C两点间的距离可能是（    ） A．6米 B．5.5米 C．5米 D．4米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其他两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，即． ∴． ∴B、C两点间的距离可能是． 故选：D． 17．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）以线段3、4、为边组成三角形，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故答案为：． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知三角形的三边长分别为2，x，8．若x为正整数，则这样的三角形有多少个？ 【答案】有3个 【分析】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，牢记三角形的三边关系定理是解题的关键． 根据三角形的三边关系得出解答即可． 【详解】解：，即， 且x为正整数，则x可取的值为7，8，9， ∴这样的三角形有3个． 19．（25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）已知一个等腰三角形的一边长为，另一边长为，求这个等腰三角形第三边的长x． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的构成条件等知识，解题的关键是需要注意的是，涉及到三角形三边时，要考虑三角形的构成条件．根据三角形的构成条件可得到的取值范围，根据该三角形是等腰三角形可得到的值， 【详解】解：该三角形是等腰三角形， 或2． 根据三角形的构成条件可得：， 即． 综上：这个等腰三角形第三边的长． 20．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）两根木棒的长分别是和．要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形．若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒长的取值情况有几种? 【答案】第三根木棒长的取值情况有4种． 【分析】设第三根木棒长度为 ，根据三角形的三边关系可得，可得到的取值范围，即可求解． 【详解】解：设第三根木棒长度为 ，根据题意得： ，即， ∵第三根木棒的长为偶数， ∴可取4，6，8，10，有4种情况． 答：第三根木棒长的取值情况有4种． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 【易错必刷五 三角形的稳定性】 21．（25-26八年级上·广东潮州·期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是（    ） A．三角形重心的确定 B．两点之间，线段最短 C．三角形的稳定性 D．图形的轴对称 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形，根据题意可知，主要利用了三角形的稳定性． 【详解】根据题意可知，主要利用了三角形的稳定性． 故选：C 22．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，工人师傅在木门板上钉了一个加固板，从几何学的角度看，这样做的原理是______； 【答案】利用三角形的稳定性 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用，根据三角形的稳定性求解即可． 【详解】解：工人师傅在木门板上钉了一个加固板，从几何学的角度看，这样做的原理是利用三角形的稳定性． 故答案为：利用三角形的稳定性． 23．（25-26八年级·全国·课堂例题）小明用根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上根木条，请在图中画出你的三种做法．    【答案】作图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，利用这一特性即可解决问题．解题的关键是将七边形分成五个三角形． 【详解】解：如图所示（答案不唯一）．    24．（25-26八年级上·全国·课后作业）我们知道，四边形不稳定，易变形．工人师傅现做了一个正方形窗框（如图），为了防止它在安装前变形，你有什么办法？请画图说明． 【答案】 如图，用木板连接任一对角线，利用“三角形的稳定性”加固防止窗框变形． 【详解】略 25．（25-26八年级上·全国·单元测试）为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？    【答案】见解析 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：哥哥的如图①那样钉上两根木条能使木架不变形， 因为三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，理解概念是解题的关键． 【易错必刷六 根据三角形中线求长度】 26．（2026·广东·模拟预测）如图，在中，是的中线，是的中线，是的中线．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了利用三角形的中线求线段，熟练掌握三角形的中线等分线段是解题的关键． 根据三角形的中线等分线段得到，，，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：B． 27．（25-26七年级下·北京·期末）如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握中线的定义是解题的关键；根据中线的定义得到，然后根据的周长可得，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 28．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知三边，是边上的中线． (1)求的取值范围； (2)若，求的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，即； （2）解：是边上的中线， ∴． 29．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）按要求画图，并描述所作线段． (1)过点A画三角形的高线； (2)过点B画三角形的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了作三角形的高线和中线，正确掌握钝角三角形高线作法是解题关键． （1）延长，过点A作即可； （2）找到中点E，连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求． 30．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查三角形中线的相关计算，理解图示，掌握周长的计算是关键． （1）根据中线得到，由周长的计算公式及周长的计算得到周长差为，代入计算即可； （2）根据周长的计算，结合题意得到，根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∵的周长为，的周长为，是中线， ∴ ； （2）解：的周长为，四边形的周长为， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷七 根据三角形中线求面积】 31．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，是的中线，是的中线，是的中线，如果的面积是12，那么的面积为（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分面积，进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴； 故选C． 32．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在中，是上一点，，点是的中点，设，，的面积分别是，，，且，则__________． 【答案】4 【分析】本题主要考查求解三角形面积；结合图形，利用高相同，底的比即为面积比计算是解题关键． 利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，点D是的中点则，则，然后利用即可得到答案． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ． 故答案为：4． 33．（25-26八年级上·甘肃金昌·期中）如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 【答案】10 【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键．先根据三角形面积公式求出，再根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：是的高，，， ， ∵是的中线， ∴． 34．（25-26七年级下·甘肃武威·阶段检测）学校有一块三角形空地，要铺成面积相等的四块不同颜色的彩砖．请你设计出三种不同的分割方案（分成三角形或四边形不限，只要求画出图形）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质．方法一：如图1，取的三边的中点D，E，F，再连接即可；方法二：在边上取点K，M，N，使，连接即可；方法三：取边的中点Q，连接，再取的中点P，连接即可． 【详解】解：如图， 35．（25-26八年级上·广东·期中）如图，点D是的边上任意一点，点E、F分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查三角形中线的性质．熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键． ，根据三角形的中线平分面积，得到，，进而得到，又因为，即可求出的面积． 【详解】解：点E是线段的中点， ，， ， F是线段的中点， ． 【易错必刷八 重心的概念】 36．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在，，，四个点中，有一个点是的重心，请你用刻度尺确定这个点是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的重心，解题的关键是熟练掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点，分别连接三角形两个顶点与各个点并延长与各边相交，用刻度尺测出交点是否为各边的中点，即可作出判断． 【详解】解：A．如图，连接并延长交于点P，显然不是的中点，因此不是重心，故A错误；    B．如图，连接并延长交于点Q，显然不是的中点，因此F不是重心，故B错误；    C．如图，连接并延长交于点N，连接并延长交于点M，显然M、N分别是、的中点，因此G是重心，故C正确；    D．如图，连接并延长交于点K，显然不是的中点，因此H不是重心，故D错误．    故选：C． 37．（25-26八年级上·广东湛江·阶段检测）如图，点是的三条中线的交点，则___________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的定义，解题的关键是明确三角形三条中线的交点（重心）与中线的关系，即过重心的线段为的中线． 先根据“点O是的三条中线的交点”，可知线段是的一条中线；再依据三角形中线的定义——连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，可判断点D是边的中点；最后根据中点的性质，得出与的数量关系． 【详解】解：∵点O是的三条中线的交点，且A、O、D在同一条直线上，D在边上， ∴是的中线． 又∵三角形中线的定义为连接三角形一个顶点和它对边中点的线段， ∴点D是的中点． ∵中点将线段分为两条相等的线段， ∴． 故答案为：． 38．（25-26七年级下·河北保定·期末）画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 【答案】如下图O是的重心． 【分析】本题主要考查了画三角形的重心，重心的性质，掌握三角形的重心定义以及性质是解题的关键． 根据三角形重心的定义画图即可，由O是的重心，可得出、、是的中线，由中线可得出，进可可得出，又由，可得出，同理可得出，即可证明． 【详解】解：理由如下： ∵O是的重心， ∴、、是的中线， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理可得， ∴． 39．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查的是三角形重心的性质． （1）由点为的重心，可知是的中线，进而即可求解； （2）由三角形重心可得，进而即可求解． 掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵点为的重心（即：点为三条中线、、的交点）， ∴，则， 故答案为：； （2）∵点为的重心，    ∴由三角形中线性质可得：，，， 则：，， ∴，， ∴， 则，即：， ∵， ∴， 40．（25-26八年级上·广东东莞·自主招生）如图，，，分别为四边形的边，，的中点，求作边的中点．要求：仅能使用无刻度直尺，不能使用圆规，请保留作图痕迹，并写出作图方法． 【答案】解：如图，点Q即为所求作的边的中点． 连接，相交于点H，连接并延长交于点O，则O是的中点． 连接，相交于点K，连接并延长交于点Q，则Q是的中点． 【详解】略 【易错必刷九 画三角形的高】 41．（25-26八年级上·福建南平·期中）中，边上的高画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握“三角形的高是从顶点向对边作的垂线，垂足在对边（或其延长线）上”是解题的关键． 先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．再据此逐一判断各选项中边上高的画法是否符合定义． 【详解】解：三角形边上的高是从点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上 选项：垂足在上，不符合 选项：垂足在上，但不是从点作的垂线，不符合 选项：从点向的延长线作垂线，垂足在延长线上，符合高的定义 选项：垂足在的延长线上，不符合 故选：． 42．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，则线段______是中边上的高． 【答案】 【分析】根据过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高解答． 【详解】解：∵， ∴中边上的高是 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的高，解题关键是熟记三角形的高的概念． 43．（25-26八年级上·广西梧州·阶段检测）如图，中， (1)画出边上的中线； (2)画出 边上的高 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了作图——三角形的中线和高，根据相关定义正确作图即可． （1）根据三角形中线的定义作图即可； （2）根据三角形的高的定义作图即可． 【详解】（1）解：如图，中线即为所求作； （2）解：如图，高即为所求作． 44．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知（如图）． (1)用刻度尺画AC边上的中线． (2)用量角器画的平分线． (3)用三角尺画BC边上的高线． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）用刻度尺找到的中点，连接即可； （2）用量角器测量的度数，画出线段平分，即可； （3）过点作，交延长线于点，即可． 【详解】（1）解：用刻度尺找到的中点，连接， 则为边的上的中线； （2）用量角器测量的度数，画出线段平分，则线段为的角平分线； （3）过点作，交延长线于点，为垂足，则为边上的高． 【点睛】此题考查了作三角形的中线，角平分线和高，解题的关键是掌握三角形的中线，角平分线和高的定义． 45．（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）作图题：作出下列各图中BC边上的高（写结论）． 【答案】见解析 【分析】根据三角形的高的定义作出图形即可． 【详解】解：如图，线段AD即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，三角形的高等知识，解题的关键是理解三角形的高的定义，属于中考常考题型． 【易错必刷十 与三角形的高有关的计算问题】 46．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，，，，是边上的高，则的长度为（    ） A．4.8 B．5 C．5.2 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了和三角形高有关的计算，根据三角形等面积法求解即可． 【详解】解：根据题意可知：， 即， 解得：， 故选A 47．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，、分别是的高且，，，则_____． 【答案】 【详解】解：根据三角形面积公式可得：， ∵， ∴， ∴． 48．（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在三角形中，，，垂足为，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了与三角形高有关的计算，通过三角形等积法求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ． 49．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查割补法求图形的面积，过点C作于点H，又，可得，根据该四边形的面积为求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点H，又． ∴,又， ∴四边形的面积为 ． 50．（2026八年级上·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，的高和的比是多少？ 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：∵ ∴． 【易错必刷十一 与平行线有关的三角形内角和问题】 51．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，，，相交于点，如果，，那么的度数是(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到，由三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 52．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，直线，，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】先利用平行线的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 53．（25-26八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、垂直定义、三角形内角和定理等知识点，根据平行线的性质得出，求出，即可求出，根据垂直求出，即可求出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 54．（25-26七年级下·天津滨海新区·期末）如图，点D是三角形ABC边CA延长线上一点，过点A作DC的垂线AP，MN是过点A的一条直线，且∠MAB=∠B，过点D作DE∥MN交AP于点E，求证：∠C+∠DEA=90°． 【答案】见解析 【分析】根据∠MAB=∠B得到MN∥BC，结合已知DE∥MN，从而得到BC∥DE，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求证结论． 【详解】证明：∵∠MAB=∠B， ∴， ∵， ∴， ∴∠EDA=∠C， 又∵AE⊥DC， ∴∠ADE+∠DEA=90°， ∴∠C+∠DEA=90°． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 55．（25-26八年级上·广西崇左·期中）如图，已知△ABC． （1）若AB=3，AC=4，求BC的取值范围； （2）点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，若∠E=60°，∠ACD=125°，求∠B的度数． 【答案】（1）1<BC<7；（2）65° 【分析】（1）根据三角形的三边关系，即可求解； （2）根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠CDE=180°－125°= 55°，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：（1）在△ABC中，根据三角形的三边关系得， 4-3<BC<4+3 ∴1<BC<7； （2）∵DE∥AC，∠ACD=125°， ∴∠ACD +∠CDE=180°， ∴ ∠CDE=180°－125°= 55°， ∵∠E=60°， ∴∠B=180°－∠E－∠BDE=180°－60°－55°=65°． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，三角形的内角和定理，平行线的性质，熟练掌握三角形的三边关系，三角形的内角和定理，平行线的性质定理是解题的关键． 【易错必刷十二 与角平分线有关的三角形内角和问题】 56．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，是的角平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据题意得到，由角平分线的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：D ． 57．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，中，，的平分线交于点，过点作于点，，则的度数为__________．（结果用含的式子表示） 【答案】． 【分析】本题考查角平分线性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用这些是解题的关键． 根据角平分线性质得角相等，在中，根据三角形内角和定理得度数，从而得度数，再在中，求得度数． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， 在中，，， ． 故答案为：． 58．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，于点，平分交于点．，，求的度数及的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义可求出的度数，根据垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 59．（25-26八年级上·全国·期中） 如图，在中，是角平分线，，． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)若于点E，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理． （1）直接根据三角形内角和定理计算即可； （2）根据是角平分线求出的度数，进而根据三角形内角和定理计算即可； （3）根据垂线的定义求出，进而根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）； （2）∵是角平分线， ∴， ∴； （3）∵于点E， ∴， ∴． 60．（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，在中，，O是内一点 (1)如果，求的度数； (2)如果分别是和的角平分线． ①当时，求的度数； ②当时，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义： （1）先由三角形内角和定理求出，进而求出，则由三角形内角和定理可得答案； （2）①先由三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义推出，则由三角形内角和定理可得答案；②同（2）①求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵分别是和的角平分线， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵分别是和的角平分线， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷十三 直角三角形的两个锐角互余】 61．（25-26八年级下·广东佛山·期中）在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算求解． 【详解】解：∵在中， ∴直角三角形两锐角和为，即 又∵ ∴ ． 62．（2025·广东韶关·三模）如图，已知在中，，，直线经过直角顶点，直线与边相交于点，且．若，则________． 【答案】/度 【分析】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，平行线的性质，过点作，根据平行线的性质得出，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∴， ∵， ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 63．（25-26七年级下·天津滨海新区·阶段检测）如图，已知，垂足为B，，，试证明平分． 【答案】证明：， ， ，即， 又， ， ，， ， ， 平分． 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由得到，根据直角三角形的性质得到，利用平角的定义得到，得出，再利用角平分线的定义即可证明． 【详解】略 64．（25-26八年级上·云南文山·阶段检测）如图，已知中，，，于D，平，求．    【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和、直角三角形两锐角互余、角平分线的定义根据三角形内角和定理，计算得，根据平分，得，根据，计算得，再结合的关系计算，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 65．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）如图，在中，平分，，，F为射线上一点（不与E点重合），且．    (1)若点F与点A重合，如图①，求的度数； (2)若点F在线段AE上（不与点A重合），如图②，求的度数； (3)若点F在△ABC外部，如图③，此时的度数会变化吗？是多少？ (4)由上可得出与∠B，∠C之间的数量关系为____________． 【答案】(1)； (2)； (3)没有变化，； (4)． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出和，再利用角平分线的定义和角的和差关系求解； （2）根据三角形内角和定理先求，再求； （3）先根据对顶角相等得出，再利用三角形内角和定理求解． （4）由（1）（2）（3）可得． 【详解】（1）解：，，， ，， 平分， ， ； （2）解：，， ， ； （3）解：没有变化， ， ； （4）解：由（1）（2）（3）可得． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义等，解题的关键是掌握三角形内角和定理，即任意一个三角形的三个内角和为180度． 【易错必刷十四 三角形的外角的定义及性质】 66．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，是的一个外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的一个外角， ∴． 67．（25-26八年级上·北京·期末）如图，点D是延长线上一点，若，，则________． 【答案】103 【分析】此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 由点D是延长线上一点，，，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，求得，即可得出的度数． 【详解】解：∵在中，点D是延长线上一点， ， ，， ， 故答案为：103． 68．（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）求出下列各图形中的值． 【答案】图1：；图2： 【分析】本题考查三角形内角和外角，根据三角形内角和求图1中的值，根据三角形外角求图2中的值． 【详解】解：由图1可得：； 由图2可得：， 解得． 69．（25-26八年级上·广西贵港·期中）如图，在中，点D在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【答案】(1)的度数是 (2)的长为8 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的中线等知识．熟练掌握三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由题意知，根据，计算求解即可； （2）由为的中线，可得，由的周长比的周长大3，可得，进而可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 的度数是； （2）解：为的中线， ， ∵的周长比的周长大3， ∴，即， ，即， 解得：， 即的长为8． 70．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图①，是的外角的平分线，且交的延长线于点E． (1)求证：； (2)如图②，若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据三角形外角的性质得到，，等量代换即可证明； （2）利用三角形外角的性质求出，结论（1）中的结论得到，再利用角平分线的定义以及三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的外角的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∵平分， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形章末易错必刷题型专训（70题14个考点） 【易错必刷一 三角形的分类】 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）一个三角形三个内角度数的比是，则这个三角形一定是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为___________，按边分，这个三角形是___________三角形． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）观察下面的三角形，其中哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形？ 4．（25-26七年级下·全国·暑假作业）利用网格中的点A，B，C，D，E，在下面的方框中画三角形： (1)在第一个方框中画锐角三角形； (2)在第二个方框中画直角三角形； (3)在第三个方框中画钝角三角形． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 【易错必刷二 等腰三角形的定义】 6．（25-26八年级下·贵州毕节·阶段检测）已知a，b是等腰三角形的两腰，c为底边，若，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．或 7．（25-26八年级上·广东惠州·期中）如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为________． 8．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）用24cm长的绳子围成一边长为6cm的等腰三角形，求三角形的三边长． 9．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知：在等腰三角形中，，上任意一点D，于点E，于点F，于点G．求证：．    10．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，D是上任意一点，分别向引垂线，垂足分别为E、F，是边上的高．问：的长之间存在着怎样的等量关系？并说明理由． 【易错必刷三 构成三角形的条件】 11．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下面的图中，三条线段首尾相接能围成三角形的是（     ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是___________． 13．（25-26八年级上·广西南宁·期中）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，4，8 (2)5，6，11 (3)5，6，10 14．（25-26八年级上·广东江门·期中）用一条长为28cm的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的3倍，那么三边长分别是多少？ (2)能围成有一边的长为6cm的等腰三角形吗？若能，写出等腰三角形的三边长；若不能，请说明理由． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴棒首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下． 火柴棒数 3 5 6 … 示意图 … 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 … 问： (1)4根火柴棒能搭成三角形吗？ (2)8根、12根火柴棒分别能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图． 【易错必刷四 确定第三边的取值范围】 16．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，人字梯支架，的长度都是2.2米（连接处的长度忽略不计），B、C两点间的距离可能是（    ） A．6米 B．5.5米 C．5米 D．4米 17．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）以线段3、4、为边组成三角形，那么的取值范围是__________． 18．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知三角形的三边长分别为2，x，8．若x为正整数，则这样的三角形有多少个？ 19．（25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）已知一个等腰三角形的一边长为，另一边长为，求这个等腰三角形第三边的长x． 20．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）两根木棒的长分别是和．要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形．若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒长的取值情况有几种? 【易错必刷五 三角形的稳定性】 21．（25-26八年级上·广东潮州·期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是（    ） A．三角形重心的确定 B．两点之间，线段最短 C．三角形的稳定性 D．图形的轴对称 22．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，工人师傅在木门板上钉了一个加固板，从几何学的角度看，这样做的原理是______； 23．（25-26八年级·全国·课堂例题）小明用根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上根木条，请在图中画出你的三种做法．    24．（25-26八年级上·全国·课后作业）我们知道，四边形不稳定，易变形．工人师傅现做了一个正方形窗框（如图），为了防止它在安装前变形，你有什么办法？请画图说明． 25．（25-26八年级上·全国·单元测试）为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？    【易错必刷六 根据三角形中线求长度】 26．（2026·广东·模拟预测）如图，在中，是的中线，是的中线，是的中线．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 27．（25-26七年级下·北京·期末）如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为________． 28．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知三边，是边上的中线． (1)求的取值范围； (2)若，求的长度． 29．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）按要求画图，并描述所作线段． (1)过点A画三角形的高线； (2)过点B画三角形的中线． 30．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【易错必刷七 根据三角形中线求面积】 31．（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，是的中线，是的中线，是的中线，如果的面积是12，那么的面积为（   ） A．6 B．3 C． D． 32．（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在中，是上一点，，点是的中点，设，，的面积分别是，，，且，则__________． 33．（25-26八年级上·甘肃金昌·期中）如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 34．（25-26七年级下·甘肃武威·阶段检测）学校有一块三角形空地，要铺成面积相等的四块不同颜色的彩砖．请你设计出三种不同的分割方案（分成三角形或四边形不限，只要求画出图形）． 35．（25-26八年级上·广东·期中）如图，点D是的边上任意一点，点E、F分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是多少？ 【易错必刷八 重心的概念】 36．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在，，，四个点中，有一个点是的重心，请你用刻度尺确定这个点是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 37．（25-26八年级上·广东湛江·阶段检测）如图，点是的三条中线的交点，则___________．（填“”“”或“”） 38．（25-26七年级下·河北保定·期末）画出三角形的重心O，并说明、、的面积存在什么数量关系？ 39．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 40．（25-26八年级上·广东东莞·自主招生）如图，，，分别为四边形的边，，的中点，求作边的中点．要求：仅能使用无刻度直尺，不能使用圆规，请保留作图痕迹，并写出作图方法． 【易错必刷九 画三角形的高】 41．（25-26八年级上·福建南平·期中）中，边上的高画法正确的是（   ） A． B． C． D． 42．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，，则线段______是中边上的高． 43．（25-26八年级上·广西梧州·阶段检测）如图，中， (1)画出边上的中线； (2)画出 边上的高 44．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）已知（如图）． (1)用刻度尺画AC边上的中线． (2)用量角器画的平分线． (3)用三角尺画BC边上的高线． 45．（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）作图题：作出下列各图中BC边上的高（写结论）． 【易错必刷十 与三角形的高有关的计算问题】 46．（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，，，，是边上的高，则的长度为（    ） A．4.8 B．5 C．5.2 D．6 47．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，、分别是的高且，，，则_____． 48．（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在三角形中，，，垂足为，，，，求的长． 49．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，，求四边形的面积． 50．（2026八年级上·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，的高和的比是多少？ 【易错必刷十一 与平行线有关的三角形内角和问题】 51．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，，，相交于点，如果，，那么的度数是(    )    A． B． C． D． 52．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，直线，，，则的度数为_________． 53．（25-26八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 54．（25-26七年级下·天津滨海新区·期末）如图，点D是三角形ABC边CA延长线上一点，过点A作DC的垂线AP，MN是过点A的一条直线，且∠MAB=∠B，过点D作DE∥MN交AP于点E，求证：∠C+∠DEA=90°． 55．（25-26八年级上·广西崇左·期中）如图，已知△ABC． （1）若AB=3，AC=4，求BC的取值范围； （2）点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，若∠E=60°，∠ACD=125°，求∠B的度数． 【易错必刷十二 与角平分线有关的三角形内角和问题】 56．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，是的角平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 57．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，中，，的平分线交于点，过点作于点，，则的度数为__________．（结果用含的式子表示） 58．（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，于点，平分交于点．，，求的度数及的度数． 59．（25-26八年级上·全国·期中） 如图，在中，是角平分线，，． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)若于点E，求的度数． 60．（25-26八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，在中，，O是内一点 (1)如果，求的度数； (2)如果分别是和的角平分线． ①当时，求的度数； ②当时，求的度数． 【易错必刷十三 直角三角形的两个锐角互余】 61．（25-26八年级下·广东佛山·期中）在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 62．（2025·广东韶关·三模）如图，已知在中，，，直线经过直角顶点，直线与边相交于点，且．若，则________． 63．（25-26七年级下·天津滨海新区·阶段检测）如图，已知，垂足为B，，，试证明平分． 64．（25-26八年级上·云南文山·阶段检测）如图，已知中，，，于D，平，求．    65．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）如图，在中，平分，，，F为射线上一点（不与E点重合），且．    (1)若点F与点A重合，如图①，求的度数； (2)若点F在线段AE上（不与点A重合），如图②，求的度数； (3)若点F在△ABC外部，如图③，此时的度数会变化吗？是多少？ (4)由上可得出与∠B，∠C之间的数量关系为____________． 【易错必刷十四 三角形的外角的定义及性质】 66．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，是的一个外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 67．（25-26八年级上·北京·期末）如图，点D是延长线上一点，若，，则________． 68．（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）求出下列各图形中的值． 69．（25-26八年级上·广西贵港·期中）如图，在中，点D在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 70．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图①，是的外角的平分线，且交的延长线于点E． (1)求证：； (2)如图②，若平分，，，求的度数． 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