专题03 勾股定理的逆定理及其应用重难点题型专训（1个知识点+5大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题03 勾股定理的逆定理及其应用重难点题型专训 （1个知识点+5大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 判断三边能否构成直角三角形 题型二 在网格中判断直角三角形 题型三 利用勾股定理的逆定理求解 题型四 勾股定理逆定理的拓展问题 题型五 勾股定理逆定理的实际应用 拓展训练一 利用勾股定理的逆定理求长度 拓展训练二 利用勾股定理的逆定理求角度 拓展训练三 利用勾股定理的逆定理求面积 知识点一：勾股定理逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形. （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形； （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（不知道角度的情况下） （1）在△ABC中，首先确定最大边（如c）； （2）验证与的关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形，若，则△ABC不是直角三角形. PS：当时，三角形为钝角三角形，当时，三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ANC中，∠C＝90° 在△ABC中， 结论 ∠C＝90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”得到“数” 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”得到“形” 联系 两者都与三角形的三边有关系 【即时训练】 1．（24-25八年级上·全国·期中）如果下列各组数分别是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在四边形中，连接，于E，，，，则的度数等于_______． 【经典例题一 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）一根长为的绳子，其端点为，绳上有两点，将绳子分成长为和的三条线段．一人握住绳子的两个端点（点和点），两人分别握住点和点，将绳子拉直，会得到一个（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．非三角形 【例2】（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，在中，，，，与的平分线交于点，则的度数为_____． 1．（25-26八年级上·广东深圳·期末）五根小木棒的长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成下列图形，其中包含两个直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知在中，，则的长为_______． 3．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，在中，，，，平分，E为边上一点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【经典例题二 在网格中判断直角三角形】 【例1】（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点A，B，C均在格点上． （1）_______度； （2）取格点D，连接，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段上画出点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_________． 3．（24-25八年级上·北京·期末）数学小组开展了“在正方形网格中画三角形”的探究活动．具体要求如下：已知，，，点、、都在网格的格点上，，，都不在网格线上． (1)在图、图的正方形网格中分别画出符合题意的（所画的两个三角形不全等）； (2)说明图所画为什么是直角三角形？ 【经典例题三 利用勾股定理的逆定理求解】 【例1】（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（   ） A．48 B．60 C．76 D．80 【例2】（24-25八年级下·广西桂林·月考）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为______． 1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东威海·期中）如图，凸四边形的四边，，和的长分别是3，4，12和13，，则四边形的面积______． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，D为边上的一点，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【经典例题四 勾股定理逆定理的拓展问题】 【例1】 （24-25八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【例2】（24-25八年级上·河北承德·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 3．（24-25八年级下·福建莆田·月考）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【经典例题五 勾股定理逆定理的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·四川雅安·期中）如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动．这次植树活动中，小洛所在班级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是，则小洛所在班级植树围成的区域（）的面积为____________． 1．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 2．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知，，．根据规划要求，．，求阴影部分的面积． 3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且． (1)求的度数； (2)若直线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的80米（包含80米），求被监控到的道路长度为多少？ 【拓展训练一 利用勾股定理的逆定理求长度】 【例1】（24-25八年级下·吉林松原·期中）小智用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将活动学具制成为如图①所示的菱形，并测得，接着将活动学具制成为如图②所示的正方形，并测得图②中的对角线，则图①中的对角线的长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·云南德宏·期末）在△中，已知，，边上的中线，过点作⊥，垂足为点，则的长度是__________． 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·月考）数学课上老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片，已知底边，点D是腰上一点，且，． (1)请你判断的形状，并说明理由： (2)求三角形腰的长度． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·月考）某地要开发一个三角形植物园，其平面示意图如图所示（图上距离是由实际距离按适当比例缩小后得到），测得，，． (1)若入口E在边AB上，且，求从入口E到出口C的距离（线段CE的长度）； (2)在（1）的条件下，若线段CD是一条水渠，且点D在边AB上，，求线段DE的长度． 3．（25-26八年级上·四川成都·月考）第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度． 【拓展训练二 利用勾股定理的逆定理求角度】 【例1】 （24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，中，，点在上，点为的中点，，相交于点，且．若，则的度数是______________． 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，．求的度数． 3．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图1，在中，，，点为内任意一动点， (1)当时，求的度数； (2)当点满足时， ①求的度数； ②如图2，取的中点，连接，试求，，之间的数量关系并说明理由． 【拓展训练三 利用勾股定理的逆定理求面积】 【例1】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，6，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　） A．2，4，6 B．2，3，5 C．3，3，6 D．2，2，4 【例2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形的面积是169平方厘米，正方形面积是144平方厘米，正方形的面积是25平方厘米，则阴影四边形的面积是______平方厘米．    1．（25-26八年级上·广东佛山·月考）（1）如果等腰直角三角形斜边长是6，那么面积是______； （2）如图，四边形中，，，，，，求这个四边形的面积． 2．（24-25八年级上·云南昆明·期末）某校利用课后服务时间开设创意编程、模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成． 生活中的数学：确定模型零件平面图的面积 素材一 素材二 如图所示，四边形是模型零件平面图． 通过相应仪器扫描测量：已知，，，，． 问题解决：根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积． 3．（24-25八年级上·广东·单元测试）（1）如图1，点在的边上，，，，，求的面积； （2）如图2，中，，，，求的面积． （3）如图3，在中，，，，求的面积． A基础训练 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，；为上一点，连接，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分阴影部分的面积为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C．31 D．37 4．（24-25八年级下·湖北·期中）如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个通讯基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该通讯基站覆盖范围内的是（   ） A．只有 B．只有， C．只有， D．，， 5．（24-25八年级上·上海徐汇·月考）如图，在四边形中，，，，，且，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．② B．①② C．①④ D．①③④ B 提高训练 6．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为_____． 7．（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，，，，，均为格点，连接、，则______． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，，则的度数为____________．    9．（2026九年级·河北·专题练习）如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为_______ ． 10．（24-25八年级上·浙江温州·月考）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架的长度为______．当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高（与之间的距离）为______． C 培优训练 11．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 12．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，有一块三角形菜园，其中，，． (1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由； (2)现要扩大菜园，在边的延长线上找一点D，使边的长为，求的长． 14．（25-26八年级上·重庆万州·月考）某公园是人们健身散步的好去处，从点到点有两条路线，分别是和．经测量米，米，点在点的正东方120米处，点在点的正北方50米处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)通过计算，请你求出点到路线的最短距离． 15．（24-25八年级上·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理的逆定理及其应用重难点题型专训 （1个知识点+5大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 判断三边能否构成直角三角形 题型二 在网格中判断直角三角形 题型三 利用勾股定理的逆定理求解 题型四 勾股定理逆定理的拓展问题 题型五 勾股定理逆定理的实际应用 拓展训练一 利用勾股定理的逆定理求长度 拓展训练二 利用勾股定理的逆定理求角度 拓展训练三 利用勾股定理的逆定理求面积 知识点二：勾股定理逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形. （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形； （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（不知道角度的情况下） （1）在△ABC中，首先确定最大边（如c）； （2）验证与的关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形，若，则△ABC不是直角三角形. PS：当时，三角形为钝角三角形，当时，三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ANC中，∠C＝90° 在△ABC中， 结论 ∠C＝90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”得到“数” 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”得到“形” 联系 两者都与三角形的三边有关系 【即时训练】 1．（24-25八年级上·全国·期中）如果下列各组数分别是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理（判断三角形是否为直角三角形），解题的关键是对于每组边长，找出最长边，验证最长边的平方是否等于另外两边的平方和，若满足则为直角三角形． 先确定每组选项中的最长边（直角三角形中最长边为斜边）；再分别计算最长边的平方，以及另外两边的平方和；比较两者是否相等，相等则该组边长能组成直角三角形，反之则不能． 【详解】解：A、选项中三边长为1，2，2，最长边为2计算：， ∵， ∴不能组成直角三角形，此选项不符合题意； B、选项中三边长为2，3，4，最长边为4计算：， ∵， ∴不能组成直角三角形，此选项不符合题意； C、选项中三边长为3，4，5，最长边为5计算：， ∵， ∴能组成直角三角形，此选项符合题意； D、选项中三边长为4，5，6，最长边为6计算：， ∵， ∴不能组成直角三角形，此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在四边形中，连接，于E，，，，则的度数等于_______． 【答案】90 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先根据，求出，再根据“两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形”，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：90． 【经典例题一 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）一根长为的绳子，其端点为，绳上有两点，将绳子分成长为和的三条线段．一人握住绳子的两个端点（点和点），两人分别握住点和点，将绳子拉直，会得到一个（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．非三角形 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是，理解题意是解题的关键． 绳子总长，被分成、、三段，当端点和被握在一起时，绳子拉直后形成三边为、、的三角形，根据勾股定理判断形状. 【详解】解：∵ 三边长度分别为、、， 且，， ∴ ， ∴ 该三角形为直角三角形. 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，在中，，，，与的平分线交于点，则的度数为_____． 【答案】/45度 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，与角平分线有关的三角形内角和问题，由得到，再根据角平分线得到即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴，， ∴， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·广东深圳·期末）五根小木棒的长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成下列图形，其中包含两个直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐项分析即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、，，故不包含两个直角三角形，故不符合题意； B、，，故不包含两个直角三角形，故不符合题意； C、，，故包含两个直角三角形，故符合题意； D、，，故不包含两个直角三角形，故不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知在中，，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先根据勾股定理的逆定理，推导出是直角三角形，得到，继而推导出，则，得到，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，在中，，，，平分，E为边上一点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)为直角三角形,理由见详解 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，解题的关键在于熟练掌握逆定理的公式以及如何利用勾股定理将线段长转化为方程的形式. （1）根据已知条件，利用勾股定理逆定理即可证明三角形的形状； （2）根据三角形全等的性质，设，利用直角三角形性质和勾股定理即可列出关于的方程，求出即可求出的长. 【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下： ，，， ，，， . 为直角三角形. （2）解：∵平分 ∴ ∵，． ∴ ， 为直角三角形， ， 设，则，， 在中，， ， ， , 在中，， . 【经典例题二 在网格中判断直角三角形】 【例1】（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键． 分别以中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．以及勾股定理的逆定理，根据勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可． 【详解】解：A、∵，本选项结论正确，不符合题意； B、∵，本选项结论正确，不符合题意； C、∵，本选项结论错误，符合题意； D、∵ ∴， ∴是直角三角形，且，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点A，B，C均在格点上． （1）_______度； （2）取格点D，连接，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段上画出点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_________． 【答案】 45 取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理及其逆定理可证明是等腰直角三角形，据此可得答案； （2）取格点E，连接并延长，交于点P，则点P即为所求；可证明，则垂直平分，则，可得，再由三角形外角的性质可得． 【详解】解：（1）由勾股定理和网格的特点可得， ， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45； （2）如图所示，取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求． 故答案为：取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求． 3．（24-25八年级上·北京·期末）数学小组开展了“在正方形网格中画三角形”的探究活动．具体要求如下：已知，，，点、、都在网格的格点上，，，都不在网格线上． (1)在图、图的正方形网格中分别画出符合题意的（所画的两个三角形不全等）； (2)说明图所画为什么是直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． （1）利用网格特征画出图形即可； （2）设小正方形的边长为，利用网格特征，根据勾股定理分别求出，，的长，利用勾股定理逆定理即可证明是直角三角形． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：设小正方形的边长为， 如图中，，，， ∴， ∴是直角三角形； 如图中，，，， ∴， ∴是直角三角形． 【经典例题三 利用勾股定理的逆定理求解】 【例1】（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（   ） A．48 B．60 C．76 D．80 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理； 先利用勾股定理的逆定理求出，再根据列式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为100， ∴正方形的边长， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·广西桂林·月考）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为______． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先由勾股定理求出，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解． 【详解】解：连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股逆定理，解题的关键是求出的三边长，证明是直角三角形． 设长为，长为，长为．根据的周长为，列出方程求出的值，通过勾股逆定理是直角三角形，经过秒时，求出，，根据三角形面积公式即求出的面积． 【详解】解：设长为，长为，长为． 的周长为，即， ， 解得， ，，， ， 是直角三角形，且． 经过，，， ． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东威海·期中）如图，凸四边形的四边，，和的长分别是3，4，12和13，，则四边形的面积______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，连接，在直角中，根据勾股定理可以求得，在中，可得，根据勾股定理的逆定理确定为直角三角形，四边形的面积为和面积之和． 【详解】解：连接， 在直角中，，， ∴， 又∵，∴为直角三角形， ∴的面积为，的面积为， ∴四边形的面积为和面积之和，即． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，D为边上的一点，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)84 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据，，，得，证明； （2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴. （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴的面积为：． 【经典例题四 勾股定理逆定理的拓展问题】 【例1】 （24-25八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·河北承德·期末）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 【答案】(1)两组数为：   (2)“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，证明见解析 【分析】（1）根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，取适当的值代入即可； （2）由（1）总结的“商高数”规律，直接证明即可. 【详解】（1）解：根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，通过选择合适的使用均大于； 第一组：取，即. 第二组：取，即. （2）解：用两个正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组， 设， 证明：， ， ， . . 即：“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组”． 【点睛】本题考查了新定义问题中的规律问题，实质上是勾股数的规律问题，找出数列规律是解题的关键. 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 3．（24-25八年级下·福建莆田·月考）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 【经典例题五 勾股定理逆定理的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·四川雅安·期中）如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ，，， ， ∵，， ，， ， 是直角三角形， ， ∴四边形的面积的面积的面积， ， 这块菜地的面积为， 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）为了增强学生的环保意识和生态意识，阳明中学在植树节当天组织了植树活动．这次植树活动中，小洛所在班级一共植树12棵，按图中所示的方式进行分布，已知每相邻的两棵树之间的距离是，则小洛所在班级植树围成的区域（）的面积为____________． 【答案】24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据题意可知，m，m，m，根据勾股定理的逆定理可得到，再由三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，m，m，m， ∵ ∴ ∴小洛所在班级植树围成的区域的面积为． 故答案为：． 1．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 【答案】(1)15米 (2)22800元 【分析】（1）利用勾股定理直接计算求解即可． （2）根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式， 面积乘以单价计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故的长为15米． （2）解：∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为：． 购买运动型塑胶地板的总费用为（元）． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 2．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知，，．根据规划要求，．，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算出，再根据逆定理判断出，利用作差法求出阴影面积即可． 【详解】解：在直角中，， ∴， ∵， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且． (1)求的度数； (2)若直线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的80米（包含80米），求被监控到的道路长度为多少？ 【答案】(1) (2)被监控到的道路长度为米 【分析】（1）根据题目易得，，由勾股定理求出的长度,然后由勾股定理的逆定理即可求解； （2）过D作，由轴对称的性质，得到,最后可根据勾股定理求解． 本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，正确利用勾股定理是解题关键． 【详解】（1）解：连接， ，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （2）解：过D作，然后作点A关于的对称点F，连接，如图 ∴，， 由（1）：， ∴， ∴是等腰直角三角形，即，· 在中，有， ∴， ∴， ∴被监控到的道路长度为米． 【拓展训练一 利用勾股定理的逆定理求长度】 【例1】（24-25八年级下·吉林松原·期中）小智用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将活动学具制成为如图①所示的菱形，并测得，接着将活动学具制成为如图②所示的正方形，并测得图②中的对角线，则图①中的对角线的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，在正方形中，连接，由正方形的性质得出，在菱形中连接、交于点，利用菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形为正方形，， ∴， 如图，连接、交于点， ， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·云南德宏·期末）在△中，已知，，边上的中线，过点作⊥，垂足为点，则的长度是__________． 【答案】 【分析】首先根据题意画出图像，根据勾股定理逆定理得出△ABD是直角三角形，即再用勾股定理求出AC的长，在Rt△ADC中，利用等面积法即可求得DE的长． 【详解】根据题意，画出图形，如图， ∵AD是的中线， ∴， 在中， ∵， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴ 在中， ， ∵， ∴ 解得，， 故填：． 【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理，解题关键是根据题意画出图形，结合勾股定理和勾股定理逆定理进行求解． 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·月考）数学课上老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片，已知底边，点D是腰上一点，且，． (1)请你判断的形状，并说明理由： (2)求三角形腰的长度． 【答案】(1)为直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理； （1）依据勾股定理的逆定理，即可得到，即可得到； （2）设腰长为，则，由（1）可知，解方程，即可得到腰长． 【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下： ，，， ，， ∴， 根据勾股定理逆定理可知，为直角三角形； （2）设腰长为，则， 由（1）可知， ∴由勾股定理可知，， 即：， 解得， 腰长为． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·月考）某地要开发一个三角形植物园，其平面示意图如图所示（图上距离是由实际距离按适当比例缩小后得到），测得，，． (1)若入口E在边AB上，且，求从入口E到出口C的距离（线段CE的长度）； (2)在（1）的条件下，若线段CD是一条水渠，且点D在边AB上，，求线段DE的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）∵，，，， ∴， ∴△ABC为直角三角形，且． ∵， ∴E为AB的中点， ∴． （2）如图，过点C作交AB于点F． ∵，∴． ∵， ∴． 在Rt△CEF中，根据勾股定理，得， 则． 3．（25-26八年级上·四川成都·月考）第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度． 【答案】(1)与的位置关系为，理由见解析； (2)线段的长度为． 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． （1）由勾股定理可得，根据勾股定理的逆定理可得，从而可得与的位置关系； （2）作，交延长线于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可得线段的长度． 【详解】（1）解：与的位置关系为，理由： 根据题意可知，，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． （2）解：作，交延长线于点，则四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴线段的长度为． 【拓展训练二 利用勾股定理的逆定理求角度】 【例1】 （24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键． 连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，中，，点在上，点为的中点，，相交于点，且．若，则的度数是______________． 【答案】/105度 【分析】根据，可知为直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半，可知，利用等边对等角，可求得，，接着利用外角，推出，最后利用求得答案． 【详解】解： 中，，不妨设，，， ，，， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的定义，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 1．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，， ， ， ，求的度数． 【答案】 【分析】根据，，可以得到为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，从而可以求得，进而可求得的度数．本题考查勾股定理的逆定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是求出和的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ， ∴ 为等边三角形， ∴，， 又∵， ，， ∴，   ，   ， ∴ ∴为直角三角形， ∴ ， ∴． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，掌握通过构造辅助线将四边形问题转化为三角形问题，利用勾股定理及逆定理求解角度是解题的关键． 利用等腰直角三角形的性质求出的长度和的度数，再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，得到的度数，最后将和相加得到的度数． 【详解】解：，， ，． 由勾股定理，得． ，， ，， ， 为直角三角形，， ． 3．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图1，在中，，，点为内任意一动点， (1)当时，求的度数； (2)当点满足时， ①求的度数； ②如图2，取的中点，连接，试求，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)①  ②，理由见解析 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得到，然后求出和的度数，利用三角形的内角和定理解题即可； （2）①作且使，连接、，则有，然后推导出，然后得到，进而计算解题；②延长至，使，连接，得到，然后得到，，再证明，根据①中的即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：①作且使，连接、， ∴，，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②，理由为： 由①知， ∴， ∴在一条直线上， 延长至，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【拓展训练三 利用勾股定理的逆定理求面积】 【例1】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，6，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　） A．2，4，6 B．2，3，5 C．3，3，6 D．2，2，4 【答案】C 【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题． 【详解】解：当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是2，4，6时，围成的直角三角形的面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是3，3，6时，围成的三角形面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是， ∵， 因为当选取2，3，4；2，3，6；3，4，5；4，5，6；四种情况时，都不能构成直角三角形， ∴要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是3，3，6． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答． 【例2】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形的面积是169平方厘米，正方形面积是144平方厘米，正方形的面积是25平方厘米，则阴影四边形的面积是______平方厘米．    【答案】 【分析】根据正方形的面积、正方形面积、正方形的面积可以计算，，，进而判定为直角三角形，即可求证、、三点共线，且阴影部分的面积为，即可解题． 【详解】解：根据正方形的面积、正方形面积、正方形的面积可得厘米，厘米，厘米，且满足， 为直角三角形， ， 、、三点共线，、、三点共线， 为直角三角形，（厘米），（厘米）， ∴（平方厘米） （平方厘米） ∴（平方厘米）． ∵（平方厘米） ∴阴影四边形的面积（平方厘米）． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正方形各边长相等、各内角为直角的性质，三角形面积的计算，本题中求阴影部分的面积为是解题的关键． 1．（25-26八年级上·广东佛山·月考）（1）如果等腰直角三角形斜边长是6，那么面积是______； （2）如图，四边形中，，，，，，求这个四边形的面积． 【答案】（1）9；（2） 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，三角形面积的计算，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）设等腰直角三角形的腰长为x，根据勾股定理求出边长，再求三角形的面积即可； （2）连接，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理逆定理得到，根据求出最后结果即可． 【详解】解：（1）设等腰直角三角形的腰长为x， 则有：， 解得：， 等腰直角三角形的面积， 故答案为：9； （2）如图，连接， ，，， ， ， ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·云南昆明·期末）某校利用课后服务时间开设创意编程、模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成． 生活中的数学：确定模型零件平面图的面积 素材一 素材二 如图所示，四边形是模型零件平面图． 通过相应仪器扫描测量：已知，，，，． 问题解决：根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，连接．由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形且．再根据零件的面积，计算即可得出答案． 【详解】解：连接． ∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，，， ∴满足， ∴是直角三角形且． ∴零件的面积 ． 3．（24-25八年级上·广东·单元测试）（1）如图1，点在的边上，，，，，求的面积； （2）如图2，中，，，，求的面积． （3）如图3，在中，，，，求的面积． 【答案】（1）150；（2）66；（3）84 【分析】（1）根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理的逆定理得出△ADB是直角三角形，根据勾股定理求出CD，求出BC，再求出△ABC的面积即可； （2）过E作EM⊥FG，交GF的延长线于M，设FM=x,则GM=11+x,根据勾股定理得出，代入求出x,再求出EM，最后求出△EFG的面积即可； （3）过点E作EH⊥FG于点H，由勾股定理可得，从而可得，设FH=x,则GH=14-x,即，再求出EH，即可求解． 【详解】解：（1），，， ，， ， 是直角三角形， 即， ， 由勾股定理得：， ， 的面积； （2）过作，交的延长线于，设，则， 在和中，由勾股定理得：，， ， ， 解得：， 即， ， 的面积． （3）解：如图，过点作于点， 在和中，由勾股定理可得： ，， ， 设，则， ，，， ， 解得：， ， ， 的面积为84 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识点，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． A基础训练 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，；为上一点，连接，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分阴影部分的面积为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等，并利用勾股定理列方程求解是解题的关键． 先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，再根据折叠性质得到对应边相等，设未知数表示线段长度，在中用勾股定理列方程求解，最后计算重叠部分（）的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 由折叠性质可知：，， ∴， 设，则，． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， ． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C．31 D．37 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；先根据勾股定理求得的长，然后根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， ∴四边形的面积为， 故选：B． 4．（24-25八年级下·湖北·期中）如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个通讯基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该通讯基站覆盖范围内的是（   ） A．只有 B．只有， C．只有， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的逆定理．首先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可以判断，、、三栋楼都在该通讯基站覆盖范围内． 【详解】解：如下图所示，连接 、、， 又 ， 是直角三角形， 又点是的中点， ， 、、三栋楼都在该通讯基站覆盖范围内． 故选：D ． 5．（24-25八年级上·上海徐汇·月考）如图，在四边形中，，，，，且，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．② B．①② C．①④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，四边形内角和定理，先根据勾股定理得到，进而证明，推出是直角三角形，且，由四边形内角和定理得到，再由得到，据此可判断①②④；根据现有条件无法得到，即可判断③． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且，故①正确； ∴，故②正确； ，故④错误； 根据现有条件无法得到，故③错误； 故选B． B 提高训练 6．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为_____． 【答案】3.5 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理得到，求出，然后由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理即可求出的长，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3.5． 7．（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，，，，，均为格点，连接、，则______． 【答案】/45度 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质．取格点，连接，，求得，推出，利用勾股定理及其逆定理求得是等腰直角三角形，求得，据此求解即可． 【详解】解：取格点，连接，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，，则的度数为____________．    【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理得到，则为直角三角形，由勾股定理计算出，得出，从而得到结论． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，， ． ，， ， ， ， 是直角三角形，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并运用是解题的关键． 9．（2026九年级·河北·专题练习）如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为_______ ． 【答案】24 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理，关键是由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理推出．连接，，由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理得到，求出，即可求出△的面积． 【详解】解：连接，， ，分别是和中垂线， ，， ， ， ， ， ， △的面积． 故答案为：24． 10．（24-25八年级上·浙江温州·月考）如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架的长度为______．当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高（与之间的距离）为______． 【答案】 8 12 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，平行线间的距离，理解题意将实际问题转化为数学模型是解题的关键． 当伸缩杆打开最大时，先证明是直角三角形，由勾股定理，得，即可由求得长；当伸缩杆完全收拢时，，过点C作于H，过点D作于F，由平行线间的距离，可得，，，再由勾股定理，得，即，即可求得，即可由求解． 【详解】解：如图2， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵成， ∴是直角三角形，由勾股定理，得 ∴； 当伸缩杆完全收拢时，，过点C作于H，过点D作于F，如图， ∵，于H，过点D作于F， ∴，， ∴， ∴ 由勾股定理，得 ∴ ∴ ∴ 故答案为：8；12． C 培优训练 11．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 【答案】（1）直角三角形；（2）. 【分析】把a2+b2+c2+338=10a+24b+26c化为（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，根据非负数的性质求得a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形即可；（2）利用直角三角形面积的两种表示法求得AB边上的高即可. 【详解】（1）∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， ∴a2-10a+25+b2-24b+144-c2+26c+169=0， ∴（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0， 即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的）， ∵52+122=132， ∴该三角形是直角三角形，且∠ACB=90°． （2）设AB边上的高为h， 根据直角三角形面积的两种表示法可得，， 即， 解得h=. ∴AB边上的高为. 【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解决问题的关键. 12．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题的关键． （）先根据勾股定理逆定理，判断为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可； （）连接，根据折叠的性质可知，，，设，则，在中利用勾股定理即可求出的长，同理，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设， ∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，有一块三角形菜园，其中，，． (1)判断菜园的边与是否垂直，并说明理由； (2)现要扩大菜园，在边的延长线上找一点D，使边的长为，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握以上定理． （1）根据勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，且， 即， ∴为直角三角形， ∴， 即； （2）解：∵， ∴由勾股定理得， ∴． 14．（25-26八年级上·重庆万州·月考）某公园是人们健身散步的好去处，从点到点有两条路线，分别是和．经测量米，米，点在点的正东方120米处，点在点的正北方50米处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)通过计算，请你求出点到路线的最短距离． 【答案】(1)，理由见解析 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，勾股定理，三角形面积公式，垂线段最短，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理逆定理计算即可得出结果； （2）由勾股定理可得米，再根据三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意可得：米，米，米， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意可得：米，， 由勾股定理可得：米， 由垂线段最短可得，点到路线的最短距离为米． 15．（24-25八年级上·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解 【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解； （2）根据勾股定理画出边长为的正方形，即可； （3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可； （4）根据勾股定理画出长为，，的三角形，即可． 【详解】（1）∵， ∴即为所求； （2）∵EF=FG=GD=DE=， ∴正方形的面积为13； （3）HI=； （4）∵KL=，JL=，JK=， 且 ∴是直角三角形，且周长为． 【点睛】本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $