5.4 复数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦复数核心素养，通过14道题构建从概念到应用的递进训练，涵盖模运算、几何意义及方程应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|5题|含新课标真题，考查模、共轭及四则运算|从复数定义到运算律，培养运算能力| |几何意义|3题|复平面点的位置与模的范围|体现数形结合，发展几何直观| |方程应用|4题|含实系数方程虚根问题|构建代数模型，强化推理意识| |综合应用|2题|多考点交汇，如向量与模的综合|提升数学语言表达与应用能力|

第4节　复　数 课时作业 选题明细表 知识点、方法 题号 复数的有关概念 1,2,5,6 复数的四则运算 4,7,10,13 复数的几何意义 3,8,11,14 复数的有关方程 9,12 一、选择题 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z|=(　　) A.0 B.1 C. D.2 【答案】 C 【解析】 z=-1-i,则|z|==.故选C. 2.(2024·全国甲卷)设z=5+i,则i(+z)等于(　　) A.10i B.2i C.10 D.-2 【答案】 A 【解析】 i(+z)=i(5-i+5+i)=10i.故选A. 3.在复平面内,复数z=3i+2i2+i3对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】 B 【解析】 根据复数的运算可得z=3i+2i2+i3=3i-2-i=-2+2i,所以其在复平面内所对应的点的坐标为(-2,2),显然在第二象限.故选B. 4.设a,b∈N*,(a+i)(1-bi)=8-15i,则+=(　　) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 因为(a+i)(1-bi)=a+b+(1-ab)i=8-15i,所以即 故+===.故选A. 5.(2026·湖南衡阳模拟)关于复数z=,下列判断正确的是(　　) A.z的实部为8 B.z为纯虚数 C.z的虚部为6 D.z为实数 【答案】 D 【解析】 因为z=(-2+2i)(1+i)=-2(1-i)(1+i)=-2×(1+3)=-8, 所以z为实数-8,A,B,C均错误,D正确.故选D. 6.(2026·河北保定模拟)若非零复数z满足(2-i)z=|z|2,则=(　　) A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 【答案】 C 【解析】 由题意(2-i)z=|z|2=z·,因为z≠0,所以=2-i.故选C. 7.(2026·江西新余模拟)若z·(2+3i)=4-5i(i是虚数单位),则z的虚部为(　　) A.- B. C.- D. 【答案】 C 【解析】 依题意,z=====--i,故z的虚部为-.故选C. 8.(2026·黑龙江大庆模拟)设z∈C,在复平面内对应的点为Z,则满足1≤|z-1|≤2的点Z的集合形成的图形的面积为(　　) A.π B.2π C.3π D.4π 【答案】 C 【解析】 |z-1|表示复平面内点Z到(1,0)的距离,又1≤|z-1|≤2,所以点Z的集合形成的图形为圆环,如图所示, 面积为π×22-π=3π. 故选C. 9.(多选)(2026·广东茂名模拟)已知z=2+i为关于x的方程x2-ax+5=0(a∈R)在复数范围内的一个根,则(　　) A.|z2|=5 B.a=4 C.+2为纯虚数 D.2-i为关于x的方程x2-ax+5=0的另一个根 【答案】 ABD 【解析】 对于A,因为z=2+i,所以|z2|=|(2+i)2|=|3+4i|=5,故A正确;对于C,+2=+2=4-i,故C错误;对于D,易知=2-i也是方程的根,故D正确;对于B,z+=4=a,故B正确.故选ABD. 10.(多选)(2026·河北石家庄模拟)已知复数z满足(1+2i)z=4+3i,其中i为虚数单位,则下列说法正确的是(　　) A.z=2-i B.|z+2+3i|=2 C.若(a+bi)z(a,b∈R)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=b D.在复平面内对应的点在直线y=x上 【答案】 AB 【解析】 对于A,z====2-i,A正确; 对于B,|z+2+3i|=|4+2i|==2,B正确; 对于C,a,b∈R,(a+bi)z=(a+bi)(2-i)=2a+b+(2b-a)i,依题意,a=2b,C错误; 对于D,因为====+i,所以在复平面内对应的点(,)不在直线y=x上, D错误.故选AB. 二、填空题 11.(2026·安徽合肥模拟)已知复数z满足|z-1|=|z-2|,则|z|的最小值为　　　　.  【答案】 【解析】 法一　设z=a+bi(a,b∈R),由|z-1|=|z-2|,得|a-1+bi|=|a-2+bi|, 所以(a-1)2+b2=(a-2)2+b2,解得a=,所以|z|=|+bi|=≥, 当且仅当b=0时,等号成立,所以|z|的最小值为. 法二　设复数z在复平面内对应的点为Z,则|z-1|=|z-2|表示点Z到点(1,0)和(2,0)的距离相等,故点Z在(1,0)和(2,0)连线段的垂直平分线上,若要使|z|最小,即点Z到原点O的距离|OZ|最小,易知当Z位于实轴上,即Z恰为连线段中点,坐标为(,0)时,|OZ|取得最小值,所以|z|的最小值为. 12.已知方程x2-2x+m=0(m∈R)的两共轭虚根为x1,x2,且|x1|+|x2|=2,则m=　　　　.  【答案】 3 【解析】 由题设可令x1=1+ai,x2=1-ai且a∈R,所以|x1|+|x2|=2=2,即a2=2,所以x1x2=1+a2=m=3. 13.(多选)(2026·重庆沙坪坝模拟)设z1,z2为复数,则下列结论中正确的是(　　) A.若|z1|=|z2|,则z1=z2 B.|z1z2|=|z1| C.若z1为虚数,则也为虚数 D.若|z1+i|=1,则|z1|的最大值为 【答案】 BC 【解析】 对于A,令z1=1,z2=i,则|z1|=|z2|,但z1≠z2,所以A错误; 对于B,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,z1=(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i, 所以|z1z2|==, |z1|==,所以|z1z2|=|z1|, 所以B正确; 对于C,设z1=a+bi(a,b∈R,b≠0),所以===-i,因为≠0,所以为虚数,所以C正确; 对于D,当z1=-2i时,满足|z1+i|=1,此时|z1|=2>,所以D错误.故选BC. 14.(2026·四川巴中模拟)已知三个复数z1,z2,z3,且|z1|=|z2|=2,|z3|=,z1,z2所对应的向量, 满足·=0,则|z3-z1-z2|的最大值为　　　　.  【答案】 3 【解析】 设复数z1,z2,z3在复平面内对应的点分别为A,B,C,因为|z1|=|z2|=2且z1,z2所对应的向量,满足·=0,即⊥,不妨令A(2,0),B(0,2),则z1=2,z2=2i,如图所示, 又|z3|=,设C(cos θ,sin θ)(θ∈R),即z3=cos θ+(sin θ)i, 所以z3-z1-z2=cos θ+(sin θ)i-2-2i=(cos θ-2)+(sin θ-2)i, 所以|z3-z1-z2| = = = =, 所以当sin (θ+)=-1时,|z3-z1-z2|取得最大值, 即==3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4节　复　数 一、选择题 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z|=(　　) A.0 B.1 C. D.2 2.(2024·全国甲卷)设z=5+i,则i(+z)等于(　　) A.10i B.2i C.10 D.-2 3.在复平面内,复数z=3i+2i2+i3对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.设a,b∈N*,(a+i)(1-bi)=8-15i,则+=(　　) A. B. C. D. 5.(2026·湖南衡阳模拟)关于复数z=,下列判断正确的是(　　) A.z的实部为8 B.z为纯虚数 C.z的虚部为6 D.z为实数 6.(2026·河北保定模拟)若非零复数z满足(2-i)z=|z|2,则=(　　) A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 7.(2026·江西新余模拟)若z·(2+3i)=4-5i(i是虚数单位),则z的虚部为(　　) A.- B. C.- D. 8.(2026·黑龙江大庆模拟)设z∈C,在复平面内对应的点为Z,则满足1≤|z-1|≤2的点Z的集合形成的图形的面积为(　　) A.π B.2π C.3π D.4π 9.(多选)(2026·广东茂名模拟)已知z=2+i为关于x的方程x2-ax+5=0(a∈R)在复数范围内的一个根,则(　　) A.|z2|=5 B.a=4 C.+2为纯虚数 D.2-i为关于x的方程x2-ax+5=0的另一个根 10.(多选)(2026·河北石家庄模拟)已知复数z满足(1+2i)z=4+3i,其中i为虚数单位,则下列说法正确的是(　　) A.z=2-i B.|z+2+3i|=2 C.若(a+bi)z(a,b∈R)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=b D.在复平面内对应的点在直线y=x上 二、填空题 11.(2026·安徽合肥模拟)已知复数z满足|z-1|=|z-2|,则|z|的最小值为　　　　.  12.已知方程x2-2x+m=0(m∈R)的两共轭虚根为x1,x2,且|x1|+|x2|=2,则m=　　　　.  13.(多选)(2026·重庆沙坪坝模拟)设z1,z2为复数,则下列结论中正确的是(　　) A.若|z1|=|z2|,则z1=z2 B.|z1z2|=|z1| C.若z1为虚数,则也为虚数 D.若|z1+i|=1,则|z1|的最大值为 14.(2026·四川巴中模拟)已知三个复数z1,z2,z3,且|z1|=|z2|=2,|z3|=,z1,z2所对应的向量,满足·=0,则|z3-z1-z2|的最大值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $