第5章 第5讲 复 数 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦复数核心概念与运算，以问题链构建"概念-运算-几何-应用"的完整认知体系，渗透转化思想与数形结合方法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题|定义法识别实虚部、共轭复数|从复数代数形式到几何意义的生成过程| |运算求解|5题|复数四则运算法则、模的性质|运算律与实数运算的关联性推导| |几何意义|4题|复平面点轨迹转化、向量运算|复数模与距离公式的几何表征| |综合应用|3题|棣莫弗定理、方程虚根性质|从代数运算到三角形式的拓展应用|

1．设m∈R，若复数z1＝－2＋i的虚部与复数z2＝m＋mi的虚部相等，则z1z2＝(　　) A．－3＋i B．－1－i C．3－i D．－3－i 解析：选D.由题意得m＝1，则z2＝1＋i，因此z1z2＝(－2＋i)(1＋i)＝－3－i. 2．(2026·合肥质检)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，2)，则复数的虚部是(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：选A.由题意得z＝－1＋2i，所以＝＝＝＝2－i，则的虚部为－1. 3．(2025·湖北十一校联考)设复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z的共轭复数是，则＝(　　) A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i 解析：选C.由z＝1＋i，得＝1－i，所以＝＝＝＝1＋i. 4．(2026·晋中质检)若(m－i)2＝3＋4i(m∈R)，则|2＋mi|＝(　　) A． B．2 C．2 D．4 解析：选C.因为(m－i)2＝3＋4i(m∈R)， 即m2－2mi＋i2＝m2－1－2mi＝3＋4i， 所以m2－1＝3且－2m＝4，解得m＝－2. 所以|2＋mi|＝|2－2i|＝＝2. 5．(2026·安阳模拟)若复数z满足|z－1|＝2，则在复平面内，复数z所对应的点组成的图形的周长为(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 解析：选D.设z＝x＋yi(x，y∈R)， 因为|z－1|＝2，所以＝2， 则(x－1)2＋y2＝4，表示以(1，0)为圆心，2为半径的圆，故复数z所对应的点组成的图形的周长为2π×2＝4π. 6．(2026·湖南月考)已知3＋i是关于x的方程x2－ax＋b＝0的一个根，a，b∈R，则a＋b＝(　　) A．－16 B．16 C．－4 D．4 解析：选B.将3＋i代入方程x2－ax＋b＝0， 得8－3a＋b＋(6－a)i＝0， 则解得 所以a＋b＝16. 7．(2026·杭州月考)欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的θ取π就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”．已知复数z满足|z|＝，则|z－eiπ|的最大值为(　　) A． B．1 C． D． 解析：选D.设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则x2＋y2＝， z－eiπ＝x＋yi－cos π－isin π＝x＋1＋yi， 所以|z－eiπ|＝|x＋1＋yi| ＝＝ ＝， 因为x2＋y2＝，所以－≤x≤，所以|z－eiπ|的最大值为＝. 8．(多选)(2025·十堰一诊)已知虚数z满足z2＝，则(　　) A．z的实部为－ B．z的虚部为 C．|z|＝1 D．z可能为纯虚数 解析：选AC.设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)， 由z2＝，可得a2－b2＋2abi＝a－bi， 所以解得 则z＝－±i， 所以z的实部为－，虚部为±， |z|＝1，z不可能为纯虚数． 9．(多选)已知复数z1＝＋i，z2＝x＋yi(x，y∈R)，在复平面内，z1，z2对应的向量分别为1，2(O为坐标原点)，则下列说法中正确的是(　　) A．|z1|＝2 B．若1∥2，则x＋y＝0 C．若1⊥2，则z1z2＝0 D．若|z1－z2|＝，则|z2|的最大值为2＋ 解析：选AD.因为z1＝＋i，所以|z1|＝＝2，A正确； 由题意可知，1＝(，1)，2＝(x，y)，若1∥2，则y－x＝0，B错误； 若1⊥2，则x＋y＝0，即y＝－x，故z1z2＝(＋i)(x＋yi)＝(x－y)＋(x＋y)i＝2x－2xi. 当x＝0时，z1z2＝0； 当x≠0时，z1z2≠0，C错误； 若|z1－z2|＝，则|(＋i)－(x＋yi)|＝，即(x－)2＋(y－1)2＝3，则|z2|表示圆(x－)2＋(y－1)2＝3上的点到原点的距离，故|z2|的最大值为＋＝2＋，D正确． 10．若z＝(a－)＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝________． 解析：因为z为纯虚数，所以 解得a＝，所以＝＝＝－i. 答案：－i 11．如图所示， 平行四边形OABC，顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i.向量所对应的复数为__________，向量所对应的复数为__________． 解析：因为＝－，所以向量所对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.＝＋，所以向量所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 答案：5－2i　1＋6i 12．已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，为z的共轭复数，且满足|z＋|＝|z－|＝|z|2，则复数z＝________． 解析：由题意设z＝a＋bi(a，b∈R，a<0，b>0)，则＝a－bi. 因为|z＋|＝|z－|＝|z|2， 则|2a|＝|2bi|＝a2＋b2， 即|a|＝|b|＝，解得|a|＝|b|＝1. 因为a<0，b>0，所以a＝－1，b＝1， 所以z＝－1＋i. 答案：－1＋i 13．任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)(r≥0)的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈N*)，我们称这个结论为棣莫弗定理．则(1－i)2 025＝(　　) A．1 B．22 025 C．－22 025 D．i 解析：选C.1－i＝2(－i) ＝2[cos (－)＋isin (－)]， 所以(1－i)2 025 ＝22 025[cos (－)＋isin (－)] ＝－22 025. 14．(2025·上海卷)已知复数z满足z2＝2，|z|≤1，则|z－2－3i|的最小值是________． 解析： 设z＝a＋bi，a，b∈R，则＝a－bi，因为z2＝2，即(a＋bi)2＝(a－bi)2，则ab＝0，又|z|≤1，即a2＋b2≤1，则复数z在复平面内对应的点的轨迹为以(0，0)为圆心的单位圆内的两条线段BD，CE，而|z－2－3i|＝表示点(a，b)到点A(2，3)的距离，由图可知，min{|AB|，|AC|}为|z－2－3i|的最小值， 而|AB|＝＝2， |AC|＝＝＞2， 所以|z－2－3i|的最小值为2. 答案：2 15．(15分)已知在复数范围内，关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0(k∈R)有两个虚数根z1和z2.若|z1－z2|＝2，且z1的虚部为正数． (1)求实数k的值；(7分) (2)求＋()2＋()3＋…＋()2 025的值．(8分) 解：(1)设z1＝a＋bi(b>0，a，b∈R)，则z2＝a－bi，由题意知z1＋z2＝2a＝2，z1z2＝k，所以a＝1. 因为|z1－z2|＝2，所以|2bi|＝2，解得b＝1(负值已舍去)， 所以z1＝1＋i，z2＝1－i，所以k＝z1z2＝2. (2)因为＝＝i，i4n+1＝i，i4n+2＝－1， i4n+3＝－i，i4n+4＝1，n∈N， 所以＋()2＋()3＋…＋()2 025＝i＋i2＋i3＋…＋i2 025 ＝(i－1－i＋1)×506＋i＝i. 学科网（北京）股份有限公司 $