精品解析：四川省南充市高坪中学2026年春季第一次质量监测九年级数学

南充市高坪中学2026春九年级寒假自主学习反馈测试 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一．单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据同底数幂的乘除法及幂的乘方可进行求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、，计算正确，故符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选B． 2. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10-n，在本题中a应为3，10的指数为-7． 【详解】解：0.0000003 故选A 【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定． 3. 如图，在正五边形中，经过，两点的分别与，相切于点，，连接，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质是解题关键． 根据切线性质求出，再求出五边形内角，根据四边形内角和，即可求出，再根据圆周角定理求出即可解答． 【详解】解：如图，连接、， 、与相切， ， 五边形是正五边形， ， ∴， ， 故选：B． 4. 不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 先分别解两个不等式，求出它们的解集，再根据解集是，即可求出m的取值范围． 【详解】解：解，得， 解，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得 ． 故选：A． 5. 为坚持“五育”并兴，全面发展素质教育，某校规定学生的学期体育总成绩满分为100，其中平时运动情况占，期中测试成绩占，期末测试成绩占．小明的三项成绩（百分制）依次为93，88，86，则小明这学期的体育成绩总分是（ ）. A. 90 B. 93 C. 86 D. 88 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法成为解题的关键． 根据加权平均数的定义列式计算即可. 【详解】解：小明这学期的体育成绩总分是（分）． 故选：D． 6. 《九章算术》中记载一题目，译文如下，今有人合伙购物，每人出钱，会多钱；每人出钱，又会差钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为人，物价为钱，以下列出的方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：设合伙人数为人，物价为钱， 每人出钱，会多钱，即所有人出的总钱数比物价多钱， ， 又每人出钱，又会差钱，即所有人出的总钱数比物价少钱， ， 因此可得方程组，选项符合题意． 7. 如图，在由个相同的小正方形拼成的网格中，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键． 8. 如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线的性质，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解． 【详解】解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C， ∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°， ∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ， ∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键． 9. 如图，在菱形中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可设，则，，根据，得出，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案． 【详解】四边形是菱形， ， ， ， 设， 则，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． 10. 二次函数图象如图，下列结论： ； ； 当时，； ； 若，且，则． 其中正确的有（    ） A. ①②③ B. ①②④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向确定，利用抛物线的对称轴得到，利用抛物线与轴的交点位置确定，从而可对①②进行判断；利用二次函数的最值问题可对③进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与轴的另一个交点在的右侧，则时，，即，则可对④进行判断；利用抛物线的对称性可对⑤进行判断． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴，，， ∴， ∴①错误，故不符合要求； ∵， ∴， ∴②正确，故符合要求； 由二次函数的性质可知，当时，有最大值， 当时，， 即当时，， ∴③正确；故符合要求； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点在点的左侧， ∴抛物线与轴的另一个交点在的右侧， 时，， 即， ∴④错误，故不符合要求； 若，即，且， 则当和时，函数值相等， ∴与关于直线对称， ∴， ∴⑤正确，故符合要求； 综上，正确的有②③⑤， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于数形结合并灵活运用知识． 二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，立方根，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算特殊角的三角函数值，立方根，然后化简绝对值，然后计算加减即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 如图，将直角三角形纸片折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，已知，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题综合运用了折叠的性质、直角三角形的性质，根据折叠可得，，熟练运用折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：根据折叠可得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：1． 13. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于_____． 【答案】1． 【解析】 【分析】根据红球的概率结合概率的计算方法即可得到结果. 【详解】解：因为红球的概率是，布袋里有2个红球，3个白球和a个黄球， 所以 ∴a=1 故答案为1. 【点睛】此题重点考查学生对概率的应用，会计算事件的概率是解题的关键. 14. 已知关于x的一元二次方程的两个根分别是1和－3，若二次函数与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是________． 【答案】（−6，0） 【解析】 【分析】根据一元二次方程与函数的关系，可知抛物线y＝（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标为方程的两个根，从而求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可求得二次函数y＝＋m（m＞0）与x轴的另一个交点． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根分别是1和−3， ∴抛物线y＝（a≠0）与x轴的两个交点为（1，0），（−3，0）， ∴抛物线y＝的对称轴为直线x＝ ∵二次函数y＝＋m（m＞0）与x轴的一个交点坐标是（4，0）， ∴函数y＝与直线y＝−m的一个交点的横坐标为4， ∴函数y＝与直线y＝−m的另一个交点的横坐标为−6， ∴次函数y＝＋m（m＞0）与x轴的另一个交点坐标是（−6，0）， 故答案为：（−6，0）． 【点睛】此题主要考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根． 15. 如图，点、、、都在上，若，，则的度数为_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据已知可得，根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，分别是线段，上的两个动点，若，，则的最小值为______ ． 【答案】8 【解析】 【分析】作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质和垂线段最短可知，当三点共线且时，最小，即最小，最小为，先解直角三角形求出，利用面积法和轴对称的性质求出，证明，，即，由此即可得到答案． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，最小，即最小，最小为， 设中，边上的高为h， ，，四边形是矩形， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴的最小值为8， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，轴对称最短路径问题，正确作出辅助线确定取得最小值的情形是解题的关键． 三．解答题（本大题共9个小题，共86分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】-16 【解析】 【分析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值． 【详解】原式=a2-4- a2+4a-4, =4a-8; 当a=-2时，原式=-8-8=-16. 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 如图，在中，，，为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：由旋转性质得，，又， ∴， 在和中， ∴， ∴； ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等即可求解； （2）根据全等三角形的面积相等，将所求面积转化为等腰直角的面积，进而利用直角三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的面积为． 19. 为更有针对性地备战中考体考，九年级决定每周五下午第三节课全年级统一安排为“体考分类训练课”，训练课分为四类：A跳绳、B实心球、C立定跳远、D综合训练．每位同学必须选择其中一类课进行训练，且只限一类，不可多选．为更科学地分配训练课的老师人数，年级组事先随机抽取了部分学生了解其参加训练课类型的意愿，并将调查结果绘制成图1、图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次调查抽取了 名学生，希望参加“C立定跳远”训练课的学生人数所占百分比是 ； （2）请补全条形图； （3）如果九（1）班希望参加“A跳绳”训练课的共有4名同学，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率． 【答案】（1）， （2） 补全条形图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图和扇形统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，正确画出树状图是解题的关键． （1）由题意根据D综合训练的人数除以占比求得总人数，根据扇形图求得希望参加“立定跳远”训练课的学生人数所占百分比； （2）由（1）的数据分别求出各类人数，补全条形图即可； （3）画树状图，共有种等可能的结果，刚好抽到同性别学生的结果有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：希望参加“立定跳远”训练课的学生人数所占百分比为：， 本次调查的学生人数为：（人）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：希望参加“跳绳”训练课的学生人数为：（人）， 希望参加“实心球”训练课的学生人数为：（人）， 希望参加“立定跳远”训练课的学生人数为：（人）； 【小问3详解】 解：画树状图如图， 共有种等可能的结果，刚好抽到同性别学生的结果有种， ∴刚好抽到同性别学生的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）若点在轴上，当的周长最小时，求出点的坐标． 【答案】（1）， （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求解析式，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合一次函数与反比例函数的图象交于点，，先求出，故，然后把代入进行求解，即可作答． （2）先理解题意，则作点关于轴的对称点，结合，易得，再求出直线的解析式为，然后把代入进行求解，即可作答． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数解析式得：， ∴， ∴， 把代入反比例函数解析式得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴的对称点， 连接交轴于，此时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴ 解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，则， ∴， ∴点的坐标为． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】（1）证明：根据题意得， ∴该方程有两个不相等的实数根； （2）的值为0或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根，熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，，结合题意可列出关于k的等式，解出k即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ∴的值为0或． 22. 如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作直线，交的延长线于点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径和阴影部分的面积． 【答案】（1） 解：直线与相切，理由如下： 连接，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线与相切； （2）的半径为，阴影部分的面积为 【解析】 【分析】（1）连接，，由等边对等角得，由角平分线的定义得，所以，进而求得，再结合得，即可得解； （2）连接，，由得，证明是等边三角形得，进而求得，所以，， 由解直角三角形的知识得，所以，最后根据扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 即的半径为，阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，等边对等角，角平分线的定义，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，由特殊三角函数值求角度，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 23. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，已知乙种灯笼每对进价比甲种灯笼每对进价多15元．经市场调查发现，乙种灯笼每对售价60元时，每天可售出90对，售价每提高1元，则每天少售出2对，物价部门规定其销售单价不高于每对70元，设乙种灯笼每对的销售单价为元，该商店一天通过乙种灯笼获得利润元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）当乙种灯笼每对的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲种灯笼每对的单价为30元，乙种灯笼每对的单价为45元 （2）当乙种灯笼每对的销售单价为70元时，一天获得利润最大，最大利润是1750元 【解析】 【分析】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．根据数量关系列出方程和函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设甲种灯笼每对的进价为元，则乙种灯笼每对的进价为元，根据用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，列分式方程可解； （2）利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式，由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 【小问1详解】 解：设甲种灯笼每对的进价为元，则乙种灯笼每对的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴， 答：甲种灯笼每对的单价为30元，乙种灯笼每对的单价为45元； 【小问2详解】 解：设该商店一天通过乙种灯笼获得利润元，乙种灯笼每对的销售单价为元， 则 ∵， ∴函数有最大值，该二次函数图象的对称轴为：， ∴时，随的增大而增大， ∵物价部门规定其销售单价不高于每对70元， ∴， ∴当时，（元） 答：当乙种灯笼每对的销售单价为70元时，一天获得利润最大，最大利润是1750元． 24. 如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接，． （1）求证：； （2）将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），判断的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，已知，当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，即：， 在与中， ∴， ∴； （2） 解：为等腰直角三角形，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的基本性质以及“斜中半定理”等推出，即可证得结论； （2）由旋转的性质得，从而利用等腰三角形的性质推出，再结合正方形对角线的性质推出，即可证得结论； （3）结合已知信息推出，从而利用相似三角形的性质以及勾股定理进行计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，延长交于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等，理解并熟练运用基本图形的证明方法和性质，掌握勾股定理等相关计算方式是解题关键． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把，代入抛物线解析式，利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，，则，，列出方程，再求解即可； （3）设，且，则，，再求出；再分为当时及当时，这两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：令，得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得，（舍去），，（舍去）， ∴或； 【小问3详解】 解：存在符合条件的点，理由如下： ∵轴， ∴设，且， 则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵和相似，且， ∴或， 当时，则，且， ∴，即：， 解得（舍去）或， ∴； 当时，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）或， ∴； 综上，当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 【点睛】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市高坪中学2026春九年级寒假自主学习反馈测试 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一．单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 2. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在正五边形中，经过，两点的分别与，相切于点，，连接，，则（　　） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集是，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 为坚持“五育”并兴，全面发展素质教育，某校规定学生的学期体育总成绩满分为100，其中平时运动情况占，期中测试成绩占，期末测试成绩占．小明的三项成绩（百分制）依次为93，88，86，则小明这学期的体育成绩总分是（ ）. A. 90 B. 93 C. 86 D. 88 6. 《九章算术》中记载一题目，译文如下，今有人合伙购物，每人出钱，会多钱；每人出钱，又会差钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为人，物价为钱，以下列出的方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在由个相同的小正方形拼成的网格中，（ ） A. B. C. D. 8. 如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数图象如图，下列结论： ； ； 当时，； ； 若，且，则． 其中正确的有（    ） A. ①②③ B. ①②④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：_____________． 12. 如图，将直角三角形纸片折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，已知，，则________． 13. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于_____． 14. 已知关于x的一元二次方程的两个根分别是1和－3，若二次函数与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是________． 15. 如图，点、、、都在上，若，，则的度数为_______． 16. 如图，在矩形中，，分别是线段，上的两个动点，若，，则的最小值为______ ． 三．解答题（本大题共9个小题，共86分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，，，为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 19. 为更有针对性地备战中考体考，九年级决定每周五下午第三节课全年级统一安排为“体考分类训练课”，训练课分为四类：A跳绳、B实心球、C立定跳远、D综合训练．每位同学必须选择其中一类课进行训练，且只限一类，不可多选．为更科学地分配训练课的老师人数，年级组事先随机抽取了部分学生了解其参加训练课类型的意愿，并将调查结果绘制成图1、图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）本次调查抽取了 名学生，希望参加“C立定跳远”训练课的学生人数所占百分比是 ； （2）请补全条形图； （3）如果九（1）班希望参加“A跳绳”训练课的共有4名同学，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）若点在轴上，当的周长最小时，求出点的坐标． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 22. 如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作直线，交的延长线于点． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径和阴影部分的面积． 23. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，已知乙种灯笼每对进价比甲种灯笼每对进价多15元．经市场调查发现，乙种灯笼每对售价60元时，每天可售出90对，售价每提高1元，则每天少售出2对，物价部门规定其销售单价不高于每对70元，设乙种灯笼每对的销售单价为元，该商店一天通过乙种灯笼获得利润元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）当乙种灯笼每对的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 24. 如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接，． （1）求证：； （2）将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），判断的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，已知，当时，求的长． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）若点在直线下方的抛物线上运动，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $