精品解析：四川省南充市高坪中学2024-2025学年九年级下学期开学检测数学试题

2025年春季初2022级（初三）入学质量监测 数 学 试 卷 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕这点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 2. 用科学记数法表示805.5亿，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】805.5亿用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表，则关于这10户家庭的月用电量，说法正确的是（ ） 月用电量（度 20 30 40 50 60 户数 1 2 2 4 1 A. 平均数是40 B. 众数是35 C. 中位数是45 D. 方差是40 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的定义进行求解即可． 【详解】解：A．平均数是（度，故本选项不合题意； B．众数是50，故本选项不合题意； C．中位数是，故本选项符合题意； D．方差是，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了求平均数，众数，中位数，方差，掌握平均数，众数，中位数，方差是解题的关键． 4. 如图，在两个同心圆中，三条直径把大、小圆都分成相等的六个部分，若随意向圆中投球，球落在阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：球落在阴影区域的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】由图可知阴影区域与白色区域的面积相等， 故球落在阴影区域的概率是， 故选D． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 5. 如图，与相交于点，且，，，则的长为（ ） A. 16 B. 24 C. 2 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 根据可证，则有，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 6. 如图所示，在中，是的平分线，且，过点作交于，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形，相似三角形，角平分线的知识，解题的关键是根据角平分线的性质，得，根据平行线的性质，则，根据等角对等边，则，根据，则，全等三角形的判定和性质，则，根据相似三角形的判定和性质，则，则，即可求出． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：． 7. 如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，解答时注意观察图中三角形面积关系以构造方程．应用反比例函数比例系数k的几何意义，表示、的面积，利用构造方程即可． 【详解】解：由反比例函数比例系数k的几何意义可知，，， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 8. 如图所示，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是(　　) A. (2，－3) B. (2，3) C. (3，2) D. (3，－2) 【答案】C 【解析】 【详解】∵点A坐标为（0，a）， ∴点A在该平面直角坐标系的y轴上， ∵点C、D的坐标为（b，m），（c，m）， ∴点C、D关于y轴对称， ∵正五边形ABCDE是轴对称图形， ∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴， ∴点B、E也关于y轴对称， ∵点B的坐标为（﹣3，2）， ∴点E的坐标为（3，2）， 故选C.. 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的点坐标特征及正五边形的轴对称性质，解题的关键是通过顶点坐标确认正五边形的一条对称轴即为平面直角坐标系的y轴． 9. 抛物线与轴交于，两点，和也是抛物线上的点，且，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线解析式化为顶点式，得到抛物线的对称轴为直线，顶点，由抛物线与轴交于，两点，得出抛物线开口向上，，距离对称轴越远，函数的值越大，根据，，判断，与对称轴之间的关系即可． 【详解】解：抛物线， 对称轴为，顶点为， 抛物线与轴交于，两点， 抛物线图象开口向上，， ，， ，即点距离对称轴更远， ， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象以及性质，抛物线与轴的交点，解题的关键是明确题意，利用二次函数的额性质解答． 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵对称轴在y轴的右侧， ∴ab＜0， 由图象可知：c＞0， ∴abc＜0， 故①不正确； ②∵， ∴b=-2a， ∴2a+b=0， 故②不正确； ③由对称知，当x=3时，函数值小于0，即y=9a+3b+c＜0， 故③不正确； ④∵当x=-1时，函数值小于0，即a-b+c＜0， 又∵b=-2a， ∴a+2a+c＜0， ∴3a＜-c，即c＜-3a， 故④正确； ⑤当x=1时，y=a+b+c值最大． ∴a+b+c≥am2+bm+c， 故a+b≥am2+bm，即a+b≥m（am+b）， 故⑤正确． 综上，④⑤正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解： = = 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键． 12. 如图，四边形内接于，为延长线上一点．若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据邻补角的定义求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 13. 如图1，中，D是边上的点，先将沿看翻折，使点A落在点处，且交于点E（如图2），又将沿着翻折，使点C落在点处，若点恰好落在上（如图3），且，则___________° 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，折叠性质，三角形内角和定理，先由平行线性质得：，再由折叠可得：，，，则，由三角形内角和定理知，而，可求得，然后由，则，即可求出度数． 【详解】解：∵， ， 由折叠可得：，，， ， ，， ， ①， ， ②， 由①②解得，， 故答案为：． 14. 若不等式组无解，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到及不等式组的解集可得答案． 【详解】解：由得：， 又且不等式组无解， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 15. 如图，△ABC的面积为6，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出S△PBC=S△ABC，代入求出即可． 【详解】解：延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP=∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB=∠EPB=90°， 在△ABP和△EBP中， ， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP=PE， ∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP， ∴S△PBC=S△ABC=×6=3 cm2. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 16. 如图，若双曲线与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点，且OC＝3BD，则实数k的值为_______. 【答案】. 【解析】 【详解】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F， 设BF＝x，则，BD＝2x． 因为OC＝3BD＝6x， 所以OE＝3x，， 所以C（3x，），D（5－x，）． 因为点C、D都在双曲线上， 所以， 解得，x2＝0（舍去）， 所以C（，）， 故． 三、解答题（17--25题共计86分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值．先乘方，零次幂，代入特殊角的三角函数值，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，运用完全平方公式展开，先算除法，再算加减法，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：点是的中点， ， 在和中， ， ； （2） 解：点，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形判定，平行四边形的判定的综合，掌握全等三角形判定，平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）根据点是的中点，可得，由“边角边”即可求证； （2）由推出，得到，根据中位线定理，结合四边形的判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 2024年4月24日，是第九个“中国航天日”，某校为普及航天知识，共筑航天梦想，在七年级举行了航天知识竞赛活动．为了解七年级500名学生此次航天知识竞赛成绩（百分制），随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下的统计表和统计图． 航天知识竞赛成绩分组统计表 组别 成绩 频数 9 16 15 航天知识竞赛成绩扇形统计图 请根据图表信息解答以下问题： （1）本次随机抽取的参赛学生成绩的样本容量为___________，统计表中的值为___________； （2）若90分及以上评为“优秀”，请你估计七年级本次航天知识竞赛成绩获得优秀等级的学生约有多少人？ （3）此次航天知识竞赛中有小颖和小伟等5位同学获得满分，学校决定从这5名同学中随机选取2名同学作为航天知识宣传员，用列表法或画树状图法求小颖和小伟两人中只有1人被选中的概率。 【答案】（1）50，10 （2）七年级本次航天知识竞赛成绩获得优秀等级的学生约有150人 （3） 【解析】 【分析】（1）用统计表中组的频数除以扇形统计图中的百分比可得本次随机抽取的参赛学生成绩的样本容量；用本次随机抽取的参赛学生成绩的样本容量分别减去统计表中，，组的频数，可得的值． （2）根据用样本估计总体，用500乘以扇形统计图中的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及小颖和小伟两人中只有1人被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次随机抽取的参赛学生成绩的样本容量为． ． 故答案为：50；10． 【小问2详解】 解：（人． 估计七年级本次航天知识竞赛成绩获得优秀等级的学生约有150人． 【小问3详解】 解：将另外3位同学分别记为，，， 列表如下： 小颖 小伟 ，小颖） ，小伟） ，小颖） ，小伟） ，小颖） ，小伟） 小颖 （小颖， （小颖， （小颖， （小颖，小伟） 小伟 （小伟， （小伟， （小伟， （小伟，小颖） 共有20种等可能的结果，其中小颖和小伟两人中只有1人被选中的结果有：，小颖），，小伟），，小颖），，小伟），，小颖），，小伟），（小颖，，（小颖，，（小颖，，（小伟，，（小伟，，（小伟，，共12种， 小颖和小伟两人中只有1人被选中的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、频数（率分布表、扇形统计图、用样本估计总体、样本容量，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、样本容量的定义是解答本题的关键． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个矩形的两邻边的长，当这个矩形的对角线长为5时，求m的值． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∵不论实数m取何值，， ∴不论实数m取何值，即方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系．掌握根的判别式与根的个数之间的关系以及根与系数之间的关系，是解题的关键． （1）求出判别式的符号即可得出结论； （2）根据根与系数的关系，以及矩形的性质和勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设方程的两个根为， 则：，， ∵该方程的两根是一个矩形的两邻边的长，且矩形的对角线长为5， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）． ∴． 22. 某茶叶销售商计划将120罐茶叶按甲、乙两种礼品盒包装出售，其中甲种礼品盒每盒装4罐，每盒售价240元；乙种礼品盒每盒装6罐，每盒售价300元，恰好全部装完．已知每罐茶叶的成本价为30元，设甲种礼品盒的数量为盒，乙种礼品盒的数量为盒． （1）求关于的函数关系式； （2）若120罐茶叶全部售出后的总利润不低于3000元，则甲种礼品盒的数量至少要多少盒？ 【答案】（1） （2）甲种礼品盒的数量至少要15盒 【解析】 【分析】本题考查列函数关系式，一元一次不等式的实际应用： （1）根据甲种礼品盒中茶叶的罐数加上乙种礼品盒中茶叶的罐数之和为120罐，列出函数关系式即可； （2）根据120罐茶叶全部售出后的总利润不低于3000元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴； 【小问2详解】 由题意，得：， 由（1）知：， ∴， 解得：； 答：甲种礼品盒的数量至少要15盒． 23. 如图，是的直径，点D在射线上，点C是上一点，过点B作于点E，平分． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵于点E， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）12 【解析】 【分析】本题考查的是切线的判定、勾股定理、平行线的性质和判定等知识点，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据题意可得，根据等腰三角形的性质和角平分线得出，证明，得出，即可证明． （2）在中根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，且，，， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为12． 24. 如图，在四边形中，，相交于点E，点F在上，且，． （1）求证：； （2）若，，的面积为4，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴； （2）25 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质． （1）由， ，即可得出； （2）证明，得，从而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 25. 如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象． （1）求a的值及反比例函数的表达式； （2）点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标． （3）在x轴存在点Q，使得，请求出点Q的坐标． 【答案】（1）， （2）点P坐标为 （3）存在，点Q的坐标为或 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题． （1）先求出，再利用待定系数法进行解答即可； （2）先求出，根据，又，解得：，则，即可求出答案； （3）分两种情况：①当点Q在x轴正半轴上时，②当点Q在x轴负半轴上时，分别进行解答即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ， ， 把代入， 得， 反比例函数的函数表达式为 【小问2详解】 解：当时， ， ， ， ， ， 又， 解得：， ， 点P坐标为； 【小问3详解】 解：①当点Q在x轴正半轴上时， 如图，过点A作轴交x轴于， 则， 点； ②当点Q在x轴负半轴上时， 如图，设与y轴交于点， ∵， ∴， 则， 解得：， ∴， 设直线表达式为，则有 ， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 即点的坐标为， 综上所述，点Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季初2022级（初三）入学质量监测 数 学 试 卷 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 用科学记数法表示805.5亿，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表，则关于这10户家庭的月用电量，说法正确的是（ ） 月用电量（度 20 30 40 50 60 户数 1 2 2 4 1 A. 平均数是40 B. 众数是35 C. 中位数是45 D. 方差是40 4. 如图，在两个同心圆中，三条直径把大、小圆都分成相等的六个部分，若随意向圆中投球，球落在阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与相交于点，且，，，则的长为（ ） A. 16 B. 24 C. 2 D. 36 6. 如图所示，在中，是的平分线，且，过点作交于，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于A、B两点，若，则的值是（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 12 8. 如图所示，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是(　　) A. (2，－3) B. (2，3) C. (3，2) D. (3，－2) 9. 抛物线与轴交于，两点，和也是抛物线上的点，且，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 分解因式：__________． 12. 如图，四边形内接于，为延长线上一点．若，则的度数为_________． 13. 如图1，中，D是边上的点，先将沿看翻折，使点A落在点处，且交于点E（如图2），又将沿着翻折，使点C落在点处，若点恰好落在上（如图3），且，则___________° 14. 若不等式组无解，则实数a的取值范围是________． 15. 如图，△ABC的面积为6，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为____________． 16. 如图，若双曲线与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点，且OC＝3BD，则实数k的值为_______. 三、解答题（17--25题共计86分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 20. 2024年4月24日，是第九个“中国航天日”，某校为普及航天知识，共筑航天梦想，在七年级举行了航天知识竞赛活动．为了解七年级500名学生此次航天知识竞赛成绩（百分制），随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下的统计表和统计图． 航天知识竞赛成绩分组统计表 组别 成绩 频数 9 16 15 航天知识竞赛成绩扇形统计图 请根据图表信息解答以下问题： （1）本次随机抽取的参赛学生成绩的样本容量为___________，统计表中的值为___________； （2）若90分及以上评为“优秀”，请你估计七年级本次航天知识竞赛成绩获得优秀等级的学生约有多少人？ （3）此次航天知识竞赛中有小颖和小伟等5位同学获得满分，学校决定从这5名同学中随机选取2名同学作为航天知识宣传员，用列表法或画树状图法求小颖和小伟两人中只有1人被选中的概率。 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根是一个矩形的两邻边的长，当这个矩形的对角线长为5时，求m的值． 22. 某茶叶销售商计划将120罐茶叶按甲、乙两种礼品盒包装出售，其中甲种礼品盒每盒装4罐，每盒售价240元；乙种礼品盒每盒装6罐，每盒售价300元，恰好全部装完．已知每罐茶叶的成本价为30元，设甲种礼品盒的数量为盒，乙种礼品盒的数量为盒． （1）求关于的函数关系式； （2）若120罐茶叶全部售出后的总利润不低于3000元，则甲种礼品盒的数量至少要多少盒？ 23. 如图，是的直径，点D在射线上，点C是上一点，过点B作于点E，平分． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 24. 如图，在四边形中，，相交于点E，点F在上，且，． （1）求证：； （2）若，，的面积为4，求的面积． 25. 如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象． （1）求a的值及反比例函数的表达式； （2）点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标． （3）在x轴存在点Q，使得，请求出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $