2027届高三上学期数学开学考试仿真模拟卷（一）（全国I卷地区）

**基本信息** 2027届高三数学开学仿真卷，以飞机速度向量（数学眼光）、植物营养液统计（数学语言）等真实情境为载体，通过函数导数多问递进（数学思维）设计，适配高三开学知识诊断与能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、复数、立体几何、双曲线、函数|第6题结合飞机逆风飞行向量运算，考查数学建模能力| |填空题|3/15|切线方程、等比数列、概率|第13题通过等比数列前n项积求最值，强化逻辑推理| |解答题|5/77|统计案例、数列证明、立体几何面面垂直、抛物线切线、函数单调性|第15题植物营养液实验列联表分析，体现数据分析素养；第19题函数多问设计，层层递进考查数学思维严谨性|

2027届高三上学期数学开学考试仿真模拟卷（一） 双向细目表 一、本卷特色 本卷难度梯度合理、知识覆盖多元，契合高三开学摸底考试的诊断定位.全卷A级基础题占比约26%，集中在单选题前3题及填空题首题，可以帮助考生平稳入卷；B级中档题占比约53%，广泛覆盖高一高二核心模块，全面检验知识储备；C级压轴题占比约21%，精准锚定第8、11、14、19题，其中第19题导数压轴题难度系数低至0.20，可以拉开头部学生差距.此外，第6题飞机航速问题创设了真实的科学情境，深刻考查了学生的数学建模与应用能力. 二、双向细目表 题号 题型 分值 知识模块 具体考点 难度系数 备注 1 单选 5 集合 集合的交集运算与不等式求解 0.85 2 单选 5 复数 复数的代数运算与虚部概念 0.90 3 单选 5 平面向量 向量的线性运算与基本定理 0.80 4 单选 5 三角函数 三角函数的零点与极值点 0.70 5 单选 5 解析几何 双曲线的渐近线与离心率 0.65 6 单选 5 向量应用 速度向量的合成与模长计算 0.60 科学情境 7 单选 5 解析几何 圆与直线的位置关系及距离 0.55 8 单选 5 导数 导数与对数不等式的综合应用 0.35 压轴 9 多选 6 立体几何 正方体中的线面平行与垂直判断 0.65 10 多选 6 解析几何 抛物线的焦点弦与准线性质 0.50 11 多选 6 导数 含有指数对数的函数零点与单调性 0.30 压轴 12 填空 5 导数 导数的几何意义（求切线方程） 0.80 13 填空 5 数列 等比数列的基本量计算与性质 0.70 14 填空 5 概率统计 随机事件的概率综合计算 0.35 生活实践，压轴 15 解答 13 概率统计 独立性检验与离散型随机变量分布列 0.70 （1）0.80 （2）0.60，生活实践 16 解答 15 数列 递推数列求通项与求和 0.65 （1）0.75 （2）0.55 17 解答 15 立体几何 空间线面垂直证明与二面角计算 0.60 （1）0.70 （2）0.50 18 解答 17 解析几何 抛物线方程求解与切线定值问题 0.50 （1）0.70 （2）0.30 19 解答 17 导数 导数综合应用、单调性与不等式证明 0.42 （1）0.65 （2）0.20，压轴 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三上学期数学开学考试仿真模拟卷（一） （解析卷） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 适用地区：浙江、江苏、山东、广东、福建、湖北、湖南、河北、河南、江西. 答案速查表 1 2 3 4 5 C D A A B 6 7 8 9 10 B C D ABD ABD 11 12 13 14 15 ABD （1）见解析 （2）有95%的把握，没有99%的把握 16 17 18 19 （1）证明见解析， （2） （1）证明见解析 （2）（i）证明见解析 （ii） （1） （2）证明见解析 （3）是定值， （1） （2） （3），证明见解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】不等式 ，解得 或 ，即 . 又集合 ， ∴. 【点拨】本题考查集合的交集运算及一元二次不等式的解法，利用数轴辅助求解可以有效避免区间端点遗漏. 2.已知复数 （其中 为虚数单位），则 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，. 【点拨】本题考查复数的代数运算，熟记 可提高计算速度. 3.如图，在矩形 中， 分别为 的中点， 为线段 上的一点，且 ，则实数 的值为 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设 ，，则 ，，设 ，又 ，∴，，解得 ，. 【点拨】本题考查平面向量基本定理及三点共线的向量表示，利用三点共线定理设出参数 是解题关键. 4.已知 是函数 的一个零点，则 的最小值为 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】令 ，得 ，∴. 【点拨】本题考查正切函数的零点，熟记正切函数 的零点为 是解题基础. 5.已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 的渐近线上一点 满足 ，且 ，则 的离心率为 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知， 为直角三角形，∵ 为 的中点，∴，又 在渐近线上，∴ 或 或 或 .不妨设 ，则 ，.由 得 ，整理得 ，即 ，解得 或 （舍去），故选B. 【点拨】本题考查双曲线的渐近线与离心率，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求出点 的坐标，再结合距离公式建立 的齐次关系式是解题的核心. 6.如图，飞机飞行中的地面速度（GS）是指飞机相对于地面的实际速度，由飞机相对于周围空气的实际运动速度（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为正，逆风为负，DA 为偏流角.已知某飞机逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为 ，地面速度对应的向量为 ，则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：）为 （　　） （参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设飞机的地面速度向量为 ，实际运动速度向量和风速向量分别为 ，由已知可得 ，，，∴，. 【点拨】本题考查向量在物理情境中的应用，正确理解速度向量的合成法则（平行四边形法则或三角形法则）并注意逆风时的符号是解题关键. 7.若圆 上有四个不同的点到直线 的距离为 ，则 的取值范围是 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】圆 ，故圆心为 ，半径为 .设圆心 到直线 的距离为 ，要使圆上有四个不同的点到直线 的距离为 ，则与直线 平行且距离为 的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点，∴，得 ，即 ，解得 . 【点拨】本题考查直线与圆的位置关系，将“圆上点到直线的距离”问题转化为“圆心到直线的距离范围”是解题的核心技巧. 8.设函数 （其中 均大于 ），若 ，则 的最小值为 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】定义域为： 或 .若 ，此时 ，为使 ，则 ，则此时 ；若 ，则此时 ，为使 ，则 ，则此时 .综上可得 .则 ，当且仅当 ，即 时取等号. 【点拨】本题考查利用函数性质分析不等式恒成立问题，通过因式符号的一致性转化为参数等式，再利用基本不等式“乘1法”求最值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.如图，在正方体 中， 分别为所在棱的中点， 为下底面的中心，则 （　　） A. 平面 平面 B. C. D. 平面 【答案】ABD 【解析】即判断平面 平面 ，如图①，由正方体可得 ， 平面 ，∵ 平面 ，∴，又 ， 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，则平面 平面 ，A正确； 如图②，取 中点为 ，连接 ，易得 ， 平面 ，又 平面 ，则 ，结合 ，且 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，则 ，B正确； 如图③，连接 ，易得 ，则判断 ，即判断 ，又 ，则 是以 为直角的直角三角形，则 与 不垂直，即 与 不垂直，C错误； ∵，，得 ，又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，D正确. 【点拨】本题考查空间中线面平行与垂直的判定，灵活添加辅助线寻找平行关系或垂直关系是解决此类问题的常用方法. 10.已知抛物线 的焦点为 ，过 的一条直线 交 于 两点（ 位于第一象限），过 作直线 的垂线，垂足分别为 ，则下列结论正确的是 （　　） A. B. 若 ，则 C. 若直线 的倾斜角为 ，则 D. 记 的面积分别为 ，则 【答案】ABD 【解析】如图所示，由题意可知直线 为抛物线 的准线，直线 与抛物线必相交，设 ，，可得 ， 对于选项A：∵抛物线 的焦点为 ，则 ，解得 ，故A正确； 对于选项B：由选项A可知抛物线 ，∵，即 ，则 ，即 ，∴，故B正确； 对于选项C：若直线 的倾斜角为 ，则直线 的斜率 ，可得直线 ，联立方程 ，消去 可得 ，解得 ，结合图形可知 ，即 ，∴，故C错误； 对于选项D：设直线 ，联立方程 ，消去 可得 ，则 ，可得 ，，由题意可知：，，可得 ，且 ，∴，故D正确. 【点拨】本题考查抛物线的定义及焦点弦性质，熟练运用抛物线定义将焦半径转化为到准线的距离，并结合韦达定理处理面积问题是解题关键. 11.已知函数 () 有两个零点，设其由小到大分别为 ，则 （　　） A. 实数 的取值范围是 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】对于A：令 ，则 ，∴，令 ，则 ，且当 时， 单调递增，∴ 有两解，∴ 有两解，设 ，∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，A对； 对于B：根据图象，，故B对； 对于C：∵，故 ，∵，∴，∵，∴函数 在 上为增函数，∴，故C错； 对于D：由A得 为 的两根，故 ，由对数均值不等式得：，∴，故D对. 【点拨】本题考查导数与函数的综合应用，利用同构思想 将方程转化为 是破题的关键，后续结合极值点偏移结论可快速判断. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若直线 是曲线 的切线，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】设切点是 ，则 ，，∴切线方程是 ，即 ，∴，解得 . 【点拨】本题考查导数的几何意义，设出切点坐标，利用切线斜率和切点在直线上列出方程组是通法. 13.在正项等比数列 中，，，记数列 的前 项积为 ，，则 的最小值为 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】设正项等比数列 公比为 ，则 .根据等比数列性质：.因 ，∴，解得 ，因此 ，故 ，由 ，得 ，从而得 ，即 ，解得 或 ，而 ，故 ，又 ，则 的最小值为 . 【点拨】本题考查等比数列的通项与前 项积，利用等比中项求出 进而求出公比 是解题的突破口. 14.从 这 个数中随机抽一个数记为 ，再从 中随机抽一个数记为 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意，可得 ， 根据全概率公式知 ， ， ， …… ， ∴. 【点拨】本题考查条件概率与全期望公式，通过列出边缘分布列再求期望是常规解法，也可利用 大大简化计算过程. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.为了探究新型植物营养液对某种植物开花数量的影响，某植物园选取生长状况相近的两组该植物，每组 株开展相关实验.对其中一组使用传统营养液培育，另一组使用新型营养液培育，其他条件保持相同且适宜，在一个完整生长周期内定期记录开花情况，待生长周期结束后，得到如下统计结果： 使用营养液种类 开花数量达标 开花数量未达标 合计 使用传统营养液 100 使用新型营养液 60 合计 65 （1） 完成 列联表； （2） 能否有 的把握认为新型营养液对植物开花有促进作用？能否有 的把握认为新型营养液对植物开花有促进作用？ 附：. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）见解析 （2）有95%的把握，没有99%的把握 【解析】解：（1） 列联表补充完整如下： 使用营养液种类 开花数量达标 开花数量未达标 合计 使用传统营养液 25 75 100 使用新型营养液 40 60 100 合计 65 135 200 （2） 由表中数据可知，，又 ，故有 的把握认为新型营养液对植物开花有促进作用，没有 的把握认为新型营养液对植物开花有促进作用. 【点拨】本题考查独立性检验的基本应用，准确完善列联表并代入公式计算 的观测值是解题的关键. 16.已知数列 满足 ，. （1） 证明：数列 是等比数列，并求 的通项公式； （2） 求 的前 项和 . 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】解：（1） 证明：∵，∴，则 ，且 ，∴数列 是等比数列，其公比为 ，首项为 ，则 ，∴ 通项公式为 . （2） 由于 ，∴，则 ，即 的前 项和 . 【点拨】本题考查由递推公式求通项及分组求和法，利用待定系数法构造等比数列是处理一阶线性递推数列的通法. 17.在直三棱柱 中，，，. （1） 证明：平面 平面 ； （2） 若点 在棱 上，且 均在球 的球面上. （i） 证明：点 在平面 内； （ii） 求直线 与平面 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析 （ii） 【解析】解：（1） 由已知， 平面 ， 平面 ，故 .又 ，， 平面 ， 平面 ，故 平面 .∵ 平面 ，∴平面 平面 . （2） （i） 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 . 由已知可得 ，，.设 ，，∵，∴，解得 .故点 在平面 内. （ii） 由（i）可得 ，，，，.设 是平面 的法向量，则 ，即 ，可取 .则 .故直线 与平面 所成角的大小为 . 【点拨】本题考查空间线面垂直的证明及利用空间向量求线面角，建立空间直角坐标系将几何问题代数化是解决立体几何综合题的有效途径. 18.已知抛物线 () 的焦点为 ， 是 上第一象限内的点，且 到 的距离与 到 的距离相等.过 作 的切线 交 轴于点 . （1） 求 的标准方程； （2） 求证：； （3） 记 关于 轴的对称点为 ， 关于 轴的对称直线为 ， 为 上第四象限内的点（与 不重合），过 做 的切线 ，分别交 于 两点，若 ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，试判断 是否为定值？若为定值，求 的值；若不为定值，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）是定值， 【解析】解：（1） 由题意知抛物线的准线为 ，故 .从而抛物线的标准方程为 . （2） 设 ，由于 在第一象限，故斜率存在.设直线 的方程为 .联立 与抛物线方程 ，得 .令 得 ，即直线 的方程为 ，令 得 ，由题意知 ，故 ，，考虑到 在抛物线上，故 ，代入得 .故 . （3） 设 ，，同（2）有 ，.联立 与 ，，解得 ，同理 .故 .设直线 与 轴交于 ，则 关于点 对称，即 .类似（1），可得 垂直于 .故 .延长 交 轴于 ，则 ，故 .从而 与 重合.即 共线.进而 ，注意到 ，故 . 【点拨】本题考查抛物线的切线性质，利用切线交点坐标的规律发现 关于 轴上的点 对称是破题的关键，进而转化为等腰三角形的角关系. 19.已知函数 . （1） 若 的最大值为 ，求实数 的所有可能取值； （2） 若 ，函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围； （3） 当 时，比较 ， 和 这三个数的大小，并证明你的结论. 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】解：（1） 若 ，则 .∵，，∴.要使 的最大值为 ，必须存在实数 ，使得 且 同时成立.由 ，得 ().代入 ，得 ().化简得 .∴ (). （2） 若 ，函数 ，.由于 在 上是单调函数，则 或 恒成立.若 ，由于 ，则 恒成立，于是 .若 ，由于 ，则 恒成立，于是 .综上所述，实数 的取值范围是 . （3） 当 时，由（2）可知 ，于是 在 上单调递增，则 .故当 时，.令 可知 .将这 个式子相加可得 ，于是 .令 ，则 在 上单调递减，且 ，则存在 ，使得 .于是 在 上单调递增，在 上单调递减，而 ，∴，即当 时，.于是 .综上所述，. 【点拨】本题考查导数与三角函数的综合，第（3）问利用第（2）问的临界条件构造裂项相消不等式求上界，利用三角函数的基础放缩求下界，是极具选拔性的压轴好题. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三上学期数学开学考试仿真模拟卷（一） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 适用地区：浙江、江苏、山东、广东、福建、湖北、湖南、河北、河南、江西. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （　　） A. B. C. D. 2.已知复数 （其中 为虚数单位），则 （　　） A. B. C. D. 3.如图，在矩形 中， 分别为 的中点， 为线段 上的一点，且 ，则实数 的值为 （　　） A. B. C. D. 4.已知 是函数 的一个零点，则 的最小值为 （　　） A. B. C. D. 5.已知 分别为双曲线 的左、右焦点， 的渐近线上一点 满足 ，且 ，则 的离心率为 （　　） A. B. C. D. 6.如图，飞机飞行中的地面速度（GS）是指飞机相对于地面的实际速度，由飞机相对于周围空气的实际运动速度（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为正，逆风为负，DA 为偏流角.已知某飞机逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为 ，地面速度对应的向量为 ，则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：）为 （　　） （参考数据：，，） A. B. C. D. 7.若圆 上有四个不同的点到直线 的距离为 ，则 的取值范围是 （　　） A. B. C. D. 8.设函数 （其中 均大于 ），若 ，则 的最小值为 （　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.如图，在正方体 中， 分别为所在棱的中点， 为下底面的中心，则 （　　） A. 平面 平面 B. C. D. 平面 10.已知抛物线 的焦点为 ，过 的一条直线 交 于 两点（ 位于第一象限），过 作直线 的垂线，垂足分别为 ，则下列结论正确的是 （　　） A. B. 若 ，则 C. 若直线 的倾斜角为 ，则 D. 记 的面积分别为 ，则 11.已知函数 () 有两个零点，设其由小到大分别为 ，则 （　　） A. 实数 的取值范围是 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若直线 是曲线 的切线，则 ＿＿＿＿＿＿. 13.在正项等比数列 中，，，记数列 的前 项积为 ，，则 的最小值为 ＿＿＿＿＿＿. 14.从 这 个数中随机抽一个数记为 ，再从 中随机抽一个数记为 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.为了探究新型植物营养液对某种植物开花数量的影响，某植物园选取生长状况相近的两组该植物，每组 株开展相关实验.对其中一组使用传统营养液培育，另一组使用新型营养液培育，其他条件保持相同且适宜，在一个完整生长周期内定期记录开花情况，待生长周期结束后，得到如下统计结果： 使用营养液种类 开花数量达标 开花数量未达标 合计 使用传统营养液 100 使用新型营养液 60 合计 65 （1） 完成 列联表； （2） 能否有 的把握认为新型营养液对植物开花有促进作用？能否有 的把握认为新型营养液对植物开花有促进作用？ 附：. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 16.已知数列 满足 ，. （1） 证明：数列 是等比数列，并求 的通项公式； （2） 求 的前 项和 . 17.在直三棱柱 中，，，. （1） 证明：平面 平面 ； （2） 若点 在棱 上，且 均在球 的球面上. （i） 证明：点 在平面 内； （ii） 求直线 与平面 所成角的大小. 18.已知抛物线 () 的焦点为 ， 是 上第一象限内的点，且 到 的距离与 到 的距离相等.过 作 的切线 交 轴于点 . （1） 求 的标准方程； （2） 求证：； （3） 记 关于 轴的对称点为 ， 关于 轴的对称直线为 ， 为 上第四象限内的点（与 不重合），过 做 的切线 ，分别交 于 两点，若 ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，试判断 是否为定值？若为定值，求 的值；若不为定值，请说明理由. 19.已知函数 . （1） 若 的最大值为 ，求实数 的所有可能取值； （2） 若 ，函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围； （3） 当 时，比较 ， 和 这三个数的大小，并证明你的结论. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $