2026年高三数学秋季开学学情自测卷03（全国通用）

2026年秋季高三开学学情自测卷（全国通用） 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C B C D B B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BCD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1)17.5 (2) 【详解】（1）依题意，因为， 而，（3分） 所以中位数位于内，所以中位数为；（5分） （2）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为，乙使用支付宝的概率为， 甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和的所有可能的取值为0，1，2，3，4. ， . ， ， .（10分） 所以随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 4 所以的数学期望.（13分） 16．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在矩形ABCD中，， 又平面，平面DCP，所以平面，（2分） 又因为平面，且平面平面， 所以；（5分） （2）由（1）可知，又，所以， 又因为E是PC的中点，所以F是PD的中点， 因为平面ABCD，AD，平面ABCD， 所以，， 因为，，即，故. 又在矩形ABCD中，，所以DA，DC，DP两两垂直. 如图以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（8分） 则，，，，， 所以，，， 设平面BCF的一个法向量为. 由，得， 令，得，（13分） 设直线AP与平面BCF所成角为， 则， 故直线AP与平面BCF所成角的正弦值为.（15分） 17．（15分） 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为，且为锐角，所以， 所以， 即. 由正弦定理，得，（2分） 所以， 所以， 所以. 因为是锐角，所以， 所以，.（5分） （2）因为，所以， ，得.（8分） 由正弦定理可得，， 因为，所以， 由，可知，所以，所以.（13分） 所以，所以， 即的面积的取值范围为.（15分） 18．（17分） 【答案】(1)； (2)（ⅰ）过定点，定点坐标； （ⅱ） 【详解】（1）因为离心率，所以，而，所以． 所以双曲线的方程为． 将点代入双曲线方程，得，所以．（2分） 所以的方程为．（3分） （2）（ⅰ）直线过定点． 由双曲线的方程可知，设． 由，可设，则直线即的方程为． 联立整理得. 由题设知，且． 由根与系数关系，得，所以． 所以，即． 又直线即的方程为， 联立得， 由题设知，且． 由根与系数关系，得，所以， 所以. ∴．（5分） 当时，直线的斜率． 直线的方程为． 化简整理得，直线过定点． 当时，，即， 解得，直线也过定点． 综上，直线过定点．（8分） （ⅱ）由（ⅰ）知，直线过定点， 则． 由（ⅰ）知， ∴． ，（13分） 又点在双曲线的右支上，双曲线的渐近线方程为． 所以． 令，则， 于是． 令，，则，在单调递减， 所以在单调递增，（15分） 当，即时，取得最小值． 所以的取值范围是．（17分） 19．（17分） 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，, 则，即切点坐标为, ，， 则切线方程为，（2分） 令，得轴截距为，令，得轴截距为， 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积.（3分） （2）已知，则，若存在正实数x，使， 即，即有解， 因为，两边同时除以得， 即，（5分） 令， ， 易得，，则的符号完全由决定， 所以当时，，单调递减， 当时， ，单调递增， 所以， 即.（8分） （3）证明：由两边同时取对数得， 已知是的两根，所以， 设，因为，所以， 将代入得， 则， 即， 则问题转化为证明：当时，，即证， 设，则 ，（13分） 因为，所以且， 因此在上，,单调递增， 所以,即，（15分） 由此可得，即， 两边同时取指数，则有，命题得证.（17分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高三开学学情自测卷（全国通用） 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 故的虚部为. 故选：C. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知. 又， 所以. 故选：B. 3．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，则， 由，得，即， 所以，解得． 故选：C． 4．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若的周长为12，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意及椭圆的定义可知的周长为：， 则，又，所以， 则离心率. 故选：D. 5．要安排4名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】B 【详解】若一个村1名，另一村3名志愿者，则有种选法； 若一个村2名，另一个村2名志愿者，则有种选法， 所以不同的安排方法共有8+6=14种. 故选：B. 6．须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值.某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧面积为，则该正六棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 取上、下底面中心分别为，取一个侧面等腰梯形的上、下中点分别为， 连接，由底面是正六边形性质可得：， 由上底面边长为，下底面边长为，可得， 则， 再由侧面积为，可得， 根据勾股定理得， 所以正六棱台的体积为 ， 故选：B. 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，解得或， 又，所以，则， 所以. 故选：C. 8．已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．的周期为8 C． D．当时，，则的值为 【答案】D 【详解】因为，所以的图象关于中心对称，故A正确； 因为为偶函数，所以 所以，又因为， 所以，所以， 所以，所以的一个周期为8，故B正确； ，故C正确； 由，得， 又当时，，所以，即，故D错误. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆的半径为2，则（   ） A． B．原点在圆的内部 C．圆与圆有且仅有1条公切线 D．直线与圆交于两点，的面积为 【答案】BC 【详解】的圆心和半径分别为, 故，则，A错误， 由于，故原点在圆内，B正确， 的圆心和半径分别为,由于， 故两圆内切，因此两圆只有一条公切线，C正确， 到直线的距离为，则， 故，D错误. 故选：BC. 10．设为等差数列的前项和，且，若，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C． D． 【答案】BCD 【详解】因为为等差数列的前项和，可得， 又因为，可得， 即，可得，所以数列为递增数列， 因为，且数列为递增数列，可得且， 由， 对于A，因为数列为递增数列，所以无最大值，所以A不正确； 对于B，由，可得时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，可得，所以C正确； 对于D，由，可得，所以D正确. 故选：BCD. 11．设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 【答案】BCD 【详解】 对于A，因为直线经过点，所以当且仅当轴时，最短，即，解得，A错误； 对于B，由抛物线定义知，所以， 由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值， 即，B正确； 对于C，在中，，， 所以，即点， 由，得，解得，， 即得，， 所以，C正确； 对于D，设直线：， 由，得，设，， 所以，， 设轴上存在一点， 则 ， 当时，，即存在点时，使得为定值，D正确． 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数是240，则实数的值为__________. 【答案】 【详解】由展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中的系数为，解得. 故答案为：. 13．已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由在上单调递增，且值域为， 对于， 当，则，而，此时最多有两个零点； 当时，则，此时的大致图象如下， 由在上单调递增，且，结合上图， 当，即时，，恰有三个零点， 当，即时，，恰有三个零点； 当时，在上单调递增，此时函数最多有两个零点，不符题意； 综上，. 故答案为：. 14．如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为__________. 【答案】 【详解】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为， 连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高， ∴， ∴小球的体积为：， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)估计该社区居民最近一年网购消费金额的中位数； (2)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 类别 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望． 【答案】(1)17.5 (2) 【详解】（1）依题意，因为， 而， 所以中位数位于内，所以中位数为； （2）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为，乙使用支付宝的概率为， 甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和的所有可能的取值为0，1，2，3，4. ， . ， ， . 所以随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 4 所以的数学期望. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F． (1)求证：； (2)若，求直线AP与平面BCF所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在矩形ABCD中，， 又平面，平面DCP，所以平面， 又因为平面，且平面平面，所以； （2）由（1）可知，又，所以， 又因为E是PC的中点，所以F是PD的中点， 因为平面ABCD，AD，平面ABCD， 所以，， 因为，，即，故. 又在矩形ABCD中，，所以DA，DC，DP两两垂直. 如图以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面BCF的一个法向量为. 由，得， 令，得， 设直线AP与平面BCF所成角为， 则， 故直线AP与平面BCF所成角的正弦值为. 17．（15分） 已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为，且为锐角，所以， 所以， 即. 由正弦定理，得， 所以， 所以， 所以. 因为是锐角，所以， 所以，. （2）因为，所以， ，得. 由正弦定理可得，， 因为，所以， 由，可知，所以，所以. 所以，所以， 即的面积的取值范围为. 18．（17分） 已知双曲线C：的离心率为，点在C上，A，B为C的左、右顶点． (1)求C的方程； (2)若点M，N在C的右支上（M在第一象限），直线AM，BN分别交y轴于P，Q两点，且． （ⅰ）探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； （ⅱ）设，分别为和的面积，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）过定点，定点坐标； （ⅱ） 【详解】（1）因为离心率，所以，而，所以． 所以双曲线的方程为． 将点代入双曲线方程，得，所以． 所以的方程为． （2）（ⅰ）直线过定点． 由双曲线的方程可知，设． 由，可设，则直线即的方程为． 联立整理得. 由题设知，且． 由根与系数关系，得，所以． 所以，即． 又直线即的方程为， 联立得， 由题设知，且． 由根与系数关系，得，所以， 所以. ∴． 当时，直线的斜率． 直线的方程为． 化简整理得，直线过定点． 当时，，即， 解得，直线也过定点． 综上，直线过定点． （ⅱ）由（ⅰ）知，直线过定点， 则． 由（ⅰ）知， ∴． ， 又点在双曲线的右支上，双曲线的渐近线方程为． 所以． 令，则， 于是． 令，，则，在单调递减， 所以在单调递增， 当，即时，取得最小值． 所以的取值范围是． 19．（17分） 已知函数，函数，t，a均为实数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)当时，若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，记作，，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，, 则，即切点坐标为, ，， 则切线方程为， 令，得轴截距为，令，得轴截距为， 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积. （2）已知，则，若存在正实数x，使， 即，即有解， 因为，两边同时除以得， 即， 令， ， 易得，，则的符号完全由决定， 所以当时，，单调递减， 当时， ，单调递增， 所以， 即. （3）证明：由两边同时取对数得， 已知是的两根，所以， 设，因为，所以， 将代入得， 则， 即， 则问题转化为证明：当时，，即证， 设，则 ， 因为，所以且， 因此在上，,单调递增， 所以,即， 由此可得，即， 两边同时取指数，则有，命题得证. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高三开学学情自测卷（全国通用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考全部内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若的周长为12，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．要安排4名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 6．须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值.某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧面积为，则该正六棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．的周期为8 C． D．当时，，则的值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆的半径为2，则（   ） A． B．原点在圆的内部 C．圆与圆有且仅有1条公切线 D．直线与圆交于两点，的面积为 10．设为等差数列的前项和，且，若，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C． D． 11．设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数是240，则实数的值为__________. 13．已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围为__________． 14．如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)估计该社区居民最近一年网购消费金额的中位数； (2)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 类别 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F． (1)求证：； (2)若，求直线AP与平面BCF所成角的正弦值． 17．（15分） 已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； 18．（17分） 已知双曲线C：的离心率为，点在C上，A，B为C的左、右顶点． (1)求C的方程； (2)若点M，N在C的右支上（M在第一象限），直线AM，BN分别交y轴于P，Q两点，且． （ⅰ）探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； （ⅱ）设，分别为和的面积，求的取值范围． 19．（17分） 已知函数，函数，t，a均为实数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)当时，若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，记作，，且，求证：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高三开学学情自测卷 ! 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 烘 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 选择题（每小题5分，共40分） 1 [A][B]IC][D] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C]D] 3[A][B][CD] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C]D] 8[A]B][C]D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C]D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 舒 三、填空题（每小题5分，共15分） 相 12 13 14. 剂 请在各题目磨靆！内，贝超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）2026年秋季高三开学学情自测卷（全国通用) o 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) : 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 : 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 4.考试范围：高考全部内容 : 第一部分（选择题共58分） : : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 : 1.复数z满足=3+i,则z的虚部是() A.3i B.-i C.3 D.-1 : : 2.已知集合A={xNx+2≤2}，B={-4,-2,1,2,5},则A∩B=() A.{-4,-2,1,2}B.{-2,1,2} C.{1,2] D.{-2,1} O O 3.已知向量a=(0,2),=(1,-1),若a+61万，则实数1=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 : 4.已知椭圆C:号+y=1(Q>1)的左右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线与C交于AB两点，若△AB2 : 的周长为12，则C的离心率为() A. B.号9 C. D.9 5.要安排4名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不 : 同的安排方法共有() : A.12 B.14 C.16 D.20 : 6.须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座， : : 由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值某古建筑的基座为须 郊 弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为18m,下底面边长为24m,侧面 积为756m2,则该正六棱台的体积为() : 试题第1页（共6页） 6学科网·上好课 A.1998v2m3B.19983m3 C.2004v2m3 D.1864V3m3 7.已知an0=e20<0<克则an20=（) A.- B. c.- D. 8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)为偶函数，f(4+x)=-f(4-x),则下列说法错误的是() A.f(x)的图象关于(4,0)中心对称 B.f(x)的周期为8 C.f(2025)=f(1) D.当x∈[0,2]时，f(x)=x2-2x,则f(7)的值为-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知圆C:(x-a)2+y+1)2=2a+2的半径为2，则() A.a=2 B.原点在圆C的内部 C.圆x2+y2+4x-6y-36=0与圆C有且仅有1条公切线 D.直线y=x与圆C交于A,B两点，△ABC的面积为2V2 10.设sn为等差数列a,的前n项和，且>n∈N,若<-1，则（) “n+1 a1012 A.Sn的最大值是S1013 B.Sn的最小值是S1012 C.S2023<0 D.S2024>0 11.设0为坐标原点，直线过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且与C交于A,B两点（点A在第一象限）， ABmn=2,为C的准线，AM11,垂足为M,Q(O,1),则下列说法正确的是（) A.p=2 B.AM1+1AQI的最小值为9 C.若∠MF0=则AB=号 D.x轴上存在一点N,使k4N十kBN为定值 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2x-ay)6的展开式中x4y2的系数是240，则实数a的值为 试题第2页（共6页） 可学科网·上好课 13.已知函数r闭={xa若存在实数6，使函数)=f0)-b恰有三个零点，则a的取值范 x3,X≤a 围为 14.如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相 切.若AB=12,则该模型中一个小球的体积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年网购消 费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计这100位居民的网购消费金额均在 区间[0,30]内，按[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30]分成6组，其频率分布直方图如图所 示. ◆频率/组距 0.06 0.04 0.03 0.02 0.01 051015202530消费金额/千元 ()估计该社区居民最近一年网购消费金额的中位数； (2)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近 年两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 支付宝支付次 银行卡支付次 类别 网购总次数 微信支付次数 数 数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为X,求X的数 学期望. 试题第3页（共6页） 卡 张 河 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PDL底面ABCD,且PD=AD=4,E是PC的中点， 游 平面ABE与线段PD交于点F. 玲 (1)求证：AB/FE: (2)若CF=2V5,求直线AP与平面BCF所成角的正弦值. 世 试题第4页（共6页） O 17.（15分) 己知锐角三角形△ABC的内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且满足btanBcosC+csinB=2 atan BcosA.. (1)求角A; (2)若c=1,求△ABC面积的取值范围； : : : : : 杀 : .·..… 18.(17分) 馋 : : 已知双曲线C:三-兰=1(a>0,b>0)的离心率为V5,点(V2,2)在C上，4，B为C的左、右顶点. : M O : 部 ☒ .: (1)求C的方程： : : (2)若点M,N在C的右支上(M在第一象限)，直线AM,BN分别交y轴于P,Q两点，且O0=3OP : ()探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； : 试题第5页（共6页） ●。： 6学科网·上好课 (i)设S1,S2分别为△AMN和△BMN的面积，求S1-S2的取值范围. 19.(17分) 已知函数f(x)=e3tx-x,函数g(x)=xnx-2x2+(a-3)x,t,a均为实数 (1)当a=4时，求曲线y=g(x)在点(1，g(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积： (2)当t=时，若存在正实数x,使不等式f(x)≤g()成立，求a的取值范围； (3)若函数f(x)有两个不同的零点，记作x1,x2,且x1<x2,求证：x1x3>e3. 试题第6页（共6页） 2026年秋季高三开学学情自测卷（全国通用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考全部内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若的周长为12，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．要安排4名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 6．须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值.某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧面积为，则该正六棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足为偶函数，，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于中心对称 B．的周期为8 C． D．当时，，则的值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆的半径为2，则（   ） A． B．原点在圆的内部 C．圆与圆有且仅有1条公切线 D．直线与圆交于两点，的面积为 10．设为等差数列的前项和，且，若，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C． D． 11．设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数是240，则实数的值为__________. 13．已知函数，若存在实数b，使函数恰有三个零点，则a的取值范围为__________． 14．如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)估计该社区居民最近一年网购消费金额的中位数； (2)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 类别 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F． (1)求证：； (2)若，求直线AP与平面BCF所成角的正弦值． 17．（15分） 已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； 18．（17分） 已知双曲线C：的离心率为，点在C上，A，B为C的左、右顶点． (1)求C的方程； (2)若点M，N在C的右支上（M在第一象限），直线AM，BN分别交y轴于P，Q两点，且． （ⅰ）探究：直线MN是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由； （ⅱ）设，分别为和的面积，求的取值范围． 19．（17分） 已知函数，函数，t，a均为实数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)当时，若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，记作，，且，求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $