上海市卢湾高级中学2025-2026学年第二学期高三期中考试数学试卷

参考答案 一、填空题 1． 2． 3． 4． 5．12 6．144 7．0 8．4 9．1.6 10． 11． 12． 二．选择题 13．A 14．D 15．C 16．A 三、解答题 17．（1）因为，且，所以，所以． 4分 因为，且，所以，所以． 8分 （2）由题可知，， 10分 为等比数列求和，首项为，公比， ． 14分 18．（1）由题可知，，所以一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为350． 6分 （2）根据所给数据，计算出， 10分 则完成列联表为： 人次 人次 总计 空气质量好 36 39 75 空气质量不好 19 6 25 总计 55 45 100 11分 假设一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关． 12分 因为，所以拒绝原假设， 所以一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 14分 19．解：（1）由条件得：样本平均数为 2分 由，，，得： 4分 ． 6分 （2）（i）设“随机抽取该企业生产的一个零件，该零件为废品”，“随机抽取的一个零件为第1条生产线生产”，“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”． 则由题意可知，，，． 8分 于是由全概率公式，得． 即从该企业抽取的零件为废品的概率为． 11分 （ii）由条件概率公式，抽取的零件为废品，其来自第1生产线的概率为： ． 14分 20．解：（1）两条渐近线方程为 1分 ， 设两条直线夹角为，则 2分 所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为 3分 （2）设，，由已知得、 4分 ，，则 得 6分 又点在双曲线上，有即 从而得． 又点是双曲线在第一象限的点，所以． 所以 9分 （3）椭圆中，，焦点在轴上，标准方程为 10 设，直线的斜率为， 则直线的方程为 联立方程组得 该方程的两根分别为和同理可得 所以 12分 记  13分 则 当且仅当即时取等号， 15分 所以的最小值为，此时点的坐标为 16分 21．解（1）时，，则 1分 从而 3分 所以直线的方程是 4分 （2）由，可知，则， 5分 当时 6分 ①当时，，，此时函数没有零点； 7分 ②当时， 因为，可知在上严格增，在严格减 又在上严格增，在严格减， 所以时，在时有最小值， 在时有最大值 因为，所以在上没有交点， 即在上没有零点 9分 所以函数的零点满足，． 因为在严格减，所以． 又因为，所以数列是严格减数列 10分 （3）因为， 所以是以为周期的周期函数 11分 因为任意，当时，都有且， 所以当时，在上有唯一的最大值1 12分 由得，， 13分 假设存在，，使得成立， 即成立 故，当时，取得最大值； 当时，取得最大值 由，可知①时， 15分 又因为是奇函数，所以当时，在上有唯一的最小值 故，当时，取得最小值； 当时，取得最小值 由，可知②时 17分 若成立， 则由①②得，即 因为，，，，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立 18分 学科网（北京）股份有限公司 $ 卢湾高级中学2025学年高三期中数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知复数（为虚数单位），则________． 2．不等式的解集为________． 3．抛物线上一点到点的距离最小值为________． 4．已知集合，，则________． 5．已知随机变量，且，则________． 6．3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为________． 7．已知集合，且，则实数的值为________． 8．在数列中，，，则________． 9．某公司为了了解某商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，随机统计了5个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表： 月销售单价（元/件） 10 15 20 25 30 月销售量（万件） 11 10 8 6 5 由表中数据可得回归方程中，试预测当月销售单价为40元/件时，月销售量为________万件． 10．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图所示．该模型为长方体中挖去一个四棱锥，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，3D打印所用原料密度为．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________． 11．点是棱长为1的正方体棱上一点，则满足的点的个数为________． 12．函数的图像记为曲线，如图所示．，，是曲线与坐标轴相交的三个点，直线与曲线的图像交于点，若直线的斜率为，直线的斜率为，，则直线的斜率为________．（用，表示） 二、填空题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接涂写结果． 13．欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 14．已知随机变量服从正态分布．若，则（ ）． A． B． C． D． 15．已知直线、、与平面、，则下列命题中正确的是（ ）． A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 16．数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”．现有如下两个命题： ①等比数列为“某数列”； ②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得． 则下列选项中正确的是（ ）． A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分）需要写出相应的过程． 17．已知是公差为2的等差数列，其前5项和为15，是公比为实数的等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）设，计算． 18．某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级 1（优） 3 18 25 2（良） 6 14 3（轻度污染） 5 5 6 4（中度污染） 6 3 0 （1）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的列联表，请根据表中的数据判断：一天中到该公园锻炼的人次是否与该市当天的空气质量有关？(规定显著性水平) 附：，． 人次 人次 总计 空气质量好 空气质量不好 总计 19．某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件） 5 21 46 25 3 （1）求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； （2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线．若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的．现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件． （i）求抽取的零件为废品的概率； （ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率． 参考数据：若随机变量，则， ，． 20．已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点． （1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值； （2）若，求的取值范围； （3）椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是、两点，直线与椭圆的另一个交点为．记、的面积分别为、．求的最小值，并写出取最小值时点的坐标． 21．函数的表达式为． （1）若，直线与曲线相切于点，求直线的方程； （2）函数的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为，，…，，…，证明：数列是严格减数列； （3）已知定义在上的奇函数满足， 对任意，当时，都有且． 记，． 当时，是否存在、，使得成立？若存在，求出符合题意的、；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $