上海市卢湾高级中学2025-2026学年第二学期高三期中考试数学试卷

卢湾高级中学2025学年高三期中数学试卷 (时间120分钟，满分150分) 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5 分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.已知复数z=(3-4i)i(i为虚数单位)，则z= 2.不等式x-2<1的解集为 3.抛物线y2=4x上一点到点(1,0)的距离最小值为 4.已知架合A-a<明，B-2s0则AnB 5.已知随机变量X~B(50,p),且E[X]=20,则D[X]= 6.3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为 7.已知集合A={2,a+1,a+3},且1∈A,则实数a的值为 8.在数列a}中，4=2，且a,=a1+1g”(n≥2)，则am= n-1 9.某公司为了了解某商品的月销售量y(单位：万件)与月销售单价x(单位：元/件)之 间的关系，随机统计了5个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表： 月销售单价x(元/件) 10 15 20 25 30 月销售量y(万件) 11 10 8 6 5 由表中数据可得回归方程y=x+b中=-0.32，试预测当月销售单价为40元/件时，月 销售量为 万件 10.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图所示.该模型为长方体 ABCD-AB,CD中挖去一个四棱锥O-EFGH,其中O为长方体的中心，E,F, G,H分别为所在棱的中点，AB=BC=4c,A4=2c,3D打印所用原料密度 为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g 第10题图 第11题图 第12题图 11.点P是棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,棱上一点，则满足PA+PC1=2的点P 的个数为 12.函数y=sin(wx+p)1 >0网牙的图像记为曲线P,如图所示4，B,C 曲线F与坐标轴相交的三个点，直线BC与曲线F的图像交于点M,若直线M的 斜率为k,直线BM的斜率为k,k,≠2k,则直线AB的斜率为 .(用k,飞 表示) 二、 填空题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第1516题每题5 分)考生应在答题纸的相应位置直接涂写结果 l3.欧拉公式ei=cos6+isin6把自然对数的底数e,虚数单位i,三角函数cos0和sin0联 3π 系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数二满足(e+e)-i=2-i,则日= A.2 B.2√2 C.5 D.V10 1已随机支量X限从正态分布N0.。以若K≤a=,则P叫到sa小（) A c D. 15.己知直线人、、n与平面必、B,则下列命题中正确的是 A.若o∥B,1ca,ncB,则1∥n B.若a⊥B,1ca,则1⊥B C.若1⊥a,l∥B,则a⊥B D.若1⊥n,m⊥n,则1I∥m 16.数列{a}中，Sn是其前n项的和，若对任意正整数n,总存在正整数m,使得Smam, 则称数列{a}为“某数列”.现有如下两个命题： ①等比数列2}为“某数列”： ②对任意的等差数列{a},总存在两个“某数列”色}和{c},使得a=b.+cn 则下列选项中正确的是 A.①为真命题，②为真命题 B.①为真命题，②为假命题 C.①为假命题，②为真命题 D.①为假命题，②为假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题 18分)需要写出相应的过程. 17.已知{a,}是公差为2的等差数列，其前5项和为15，{b}是公比为实数的等比数列， b=1,b4-b2=6 (1)求{a}和{bn}的通项公式： ②)设c=25+b(m2lneN,计算29 18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的 人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 [0,200] 200,4001 400,6001 空气质量等级 1(优) 3 18 25 2(良) 6 x 14 3(轻度污染) 5 5 6 4(中度污染) 6 3 0 (1)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点 值为代表)； (2)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量 等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2×2列联表，请根 据表中的数据判断：一天中到该公园锻炼的人次是否与该市当天的空气质量有关？（规定显 著性水平=0.05) 附：X2= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' Px2≥3.841)≈0.05. 人次≤400 人次>400 总计 空气质量好 空气质量不好 总计 19.某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测 得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：mg) 54 57 60 63 66 件 数（单位：件） 5 21 46 25 3 (1)求样本质量差的平均数x;假设零件的质量差X~N(,σ2)，其中σ2=16，用x 作为4的近似值，求P(56<X<68)的值： (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的二来自第1条生产线. 若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的， 现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. (i)求抽取的零件为废品的概率； (ⅱ)若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率 参考数据：若随机变量X~N(4,o),则P(u-σ<X≤u+o)≈0.6827， Pu-2o<X≤u+2o)≈0.9545， P(u-3σ<X≤+3o)≈0.9973 20.已知双曲线x-上=1的左、有顶点分别为4、B,设点P在第一象限且在双 2 曲线上，O为坐标原点. (1)求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值： (2)若PA·PB≤9，求OP的取值范围； (3)椭圆C的长轴长为2V2,且短轴的端点恰好是A、B两点，直线AP与椭圆的另一 个交点为Q.记△POA、△QAB的面积分别为S,、S,.求S1-S,的最小值，并写出取 最小值时点P的坐标 21.函数y=g(x)的表达式为g(x)=sin(ox)(o>0) (1)若0=1，直线1与曲线y=g()相切于点（号，），求直线1的方程： (2)函数y=g(x)的最小正周期是2元，令h(x)=x·g(x)-lnx,将函数y=h(x)的零 点由小到大依次记为x,x2,,x,…(n≥1，n∈N),证明：数列{sx}是严格减数列： (3)己知定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(x+2d)=-f(x)(a>0) 对任意x∈[0,2]，当x≠a时，都有f(x)<f(且f(a=1. i记F()=f9)+g(),G()=f()+gx+ 当=元时，是否存在x、x2∈R,使得F(x)=G(x)+4成立？若存在，求出符合 题意的x、x2；若不存在，请说明理由， 参考答案 一、填空题 1、4+3i 2、(-1,3) 3、1 4. 5.12 6.144 7.0 8.4 9.1.6 9、1 10、132 5 kik2 11、6 12 2k1-k3 二、选择题 13、A 14、D 15、C 16、A 三、解答题 17、(1) 因为d=2,且S:50+×2,所以4=-1，所以a,=2m-3. 分 因为b=1,且q-q=6,所以q=2,所以bn=2m-1 8分 (2)由题可知，6，=22-3+221_5×4， 10分 8 c,为等比数列求和，首吸为G写公比9 5x1-4） 2 14分 1-4 18、(1)由 题可知， 人次≤400 人次>400 总计 空气质量好 36 39 75 空气质量不好 19 6 25 总计 55 45 100 100×200+300×35+500×45 =350,所以一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 100 350 6分 (2) 10分 计算出x=9 11分 假设一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关. x2-100(36×6-19×39 -≈5.9393 12分 55×45×25×75 因为X2>3.841,所以拒绝原假设， 所以一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 14分 解：(1)由条件得：样本平均数为=54×5+57×21+60×46+63×25+66×3=60…2 100 分 由X~N(4,σ2)，u≈x=60,σ2=16，得： P(56<X<68)=P(60-4<X<60+2×4) …4 分 _P0u-a<X≤u+o+Pu-2o<X≤L+2o≈0.6827+0.9545=0.8186. …6 2 2 2 2 分 (2)()设A=“随机抽取该企业生产的一个零件，该零件为废品”，B,=“随机抽取的一 个零件为第1条生产线生产”，B,=“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”. 则白题意可知P(8)子()-子P(4B)=0016.P(4B,)=0012.8 分 于是由全概率公式，得P叫4=P(8)P(ala,）+Pa,)r(4B,)x0016+京×012=0.015， 即从该企业抽取的零件为废品的概率为0.015. …11分 (i)由条件概率公式，抽取的零件为废品，其来自第1生产线的概率为： 3 P(B,A)=P(B4-P(B,)P(AB,_×0.0164 ……14 P(A) P(A) 0.015=5 分 20.解：（1)两条渐近线方程为√2x士y=01分 n=W21n=W2,-1 6 设两条直线夹角为0，则c0s0= 2-11 √5√53 2分 所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为} 3分 (2)设P,y,(x>1,片>0)，由已知得A(-1,0人B1,0)4分 PA=（1-x,y),PB=(1-x,-y,则2A·PB=x2-1+y2≤9 得X2+%2≤106分 又点P在双曲线上，有52-=1即片2-22-1) 从而x2+2x2-1s10得x2≤4. 又点P是双曲线在第一象限的点，所以x∈(1,4] 0=x2+为2=x2+24x2-1=3x2-2e1,10] 所以PE(/1o] 9分 (3)椭圆C中a=V2,b=1,焦点在y轴上，标准方程为 -+x2=110分 设(x,y),(x>0,y2>0),直线AP的斜率为k,(k>0) y 则直线AP的方程为y=(x+1) [y=(x+1) 联立方程组y xs每 0 (2+k22+2k2x+k2-2=0 该方程的两根分别为-1和x= 2-k2 2+k2 同理可得x= 2+k2 2-k3 > 所以XX2=112分 记=以1有=兰品=ae方2x为=为13分 期s---2-2-+2- + ≥2M-- 2-2 当且仅当专-2即2=2时取等号，15分 2 x 所以S2-S,2的最小值为-】，此时点P的坐标为人2，)16分 21.解(1)0=1时，g(x)=sinx,则g'()=C0sx.1分 从而k=g'5=co8T=0.…3分 2 所以直线1的方程是y=14分 2T=2m,可知0=l,则h()=xinx-lnx(x>0)，5分 (2)由 当h()=0时sinr=nx 6分 ①当0<x<1时，sinx>0 血x<0,此时函数y=()没有零点：7分 ②当x≥1时， 为h=1nx,可知y=n'在L,e上严格增，在e,+∞)严格 又y=m在L上格增，在号严格成， 所以x∈[l,e]时，y=sinx在x=e时有最小值sine, y=血x在x=e时有最大值血e- 因为sine>上所以sinx=血x在L,e上没有交点， 即h(=xsinx--hx在[L,e上没有零点9分 所以函数y=h(x)的零点xm满足e<x<x2<<xn<…,· 因为y= 在e,网）严格减，所以血>5>> Inxa... x x x2 又因为sinx= 血，所以数列(simx,}是严格减数列10分 (3)因为f()=-f(x+2o=-[-f(x+4]=f(x+4), 所以y=f(x)是以4a为周期的周期函数11分 因为任意x∈[0,2a],当x≠a时，都有f(x)<f(ad且f(ad=1, 所以当x=a时，y=f(x)在[0,2a上有唯一的最大值1.12分 由o=元得g(x)=sinT,F(x)=f(x)+sin x,.G(x)=f(x)+cOS TLx13分 假设存在x、x∈R，使得F(x)=G(x)+4成立， 即f(:)+sinx-[f(:)+cosπx,]=4成立 故，当x=a+4ka(k∈Z)时，f(x)取得最大值1； 当x=2 1 +2（∈Z)时，sin元x,取得最大值1 由a+4k=+2m,可知a=中号0时，(g)+nx）m=2.15分 2 8k+2 又因为y=f(x)是奇函数，所以当x=-a时，f(x)在[-2a,0]上有唯一的最小值-1 故，当x=-a+4a(keZ)时，f(x)取得最小值-1； 当x=1+2t(t∈Z)时，cos元x,取得最小值-1 白-a+4a=1+2,Wa-a时)tame-之分 若f(x)+sin元x-[f(:)+cos元x,]=4成立， 则由①②得 8十号即4m+D4n-)=2+8k+2 因为m,n,k,t∈Z,此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立18分 9