2.4一元二次方程的应用暑假预习练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 练习聚焦一元二次方程应用，通过基础应用、情境转化、综合探究三层设计，覆盖销售、增长率、面积等核心题型，实现从概念理解到问题解决的能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|增长率、销售利润等直接应用|单选1-6、填空14，题型简单，直接套用公式，培养模型意识| |中档层|图形转化、运动问题情境|单选7-12、填空13/15/17，需分析实际情境列方程，发展抽象能力| |提升层|几何综合与动态问题|填空16、解答18-20，涉及分类讨论与跨知识综合，提升推理能力与创新意识|

2.4一元二次方程的应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（    ） A．20% B．25% C．30% D．36% 3．为推进制造业绿色转型，我国实施了《制造业绿色低碳发展行动方案（2025-2027年）》．某企业2024年的碳排放量为21.6千吨，计划到2026年底将年碳排放量降至15千吨．设该企业碳排放量年均下降率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．某商场销售某种水果，第一次降价60%，第二次又降价10%，则这两次平均降价的百分比是（    ） A．35% B．30% C．40% D．50% 5．某商品原价为100元，第一次打x折，第二次又在第一次的基础上打x折出售，此时价格为81元，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 6．2024年，21岁的网球运动员郑钦文连续三天三场鏖战，夺得中国网球史上首枚奥运会单打项目金牌，并荣获《感动中国2024年度人物》，关于她的视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，英德市滨江公园某个矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下面所列方程错误的是 （  ） A． B． C． D． 8．如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 9．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为．当时，t的值为（    ）    A． B． C． D． 10．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问：阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长、宽各多少步？”设宽为步，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 11．我市某校九（1）班学生准备在元旦节那天用发微信的方式表示祝贺，班长说：每位同学都要发微信给其他同学，结果全班学生共发微信870条．问：该班共有多少个学生？如设该班共有x个学生，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 12．疫情期间，育才中学为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低元，但最低价格不能低于每瓶5元．若学校购买洗手液共花费1200元，则购买洗手液的瓶数是（    ） A．200 B．150 C．150或200 D．200或300 二、填空题 13．如下图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为________． 14．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 15．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，如果点，分别从，两点同时出发，那么经过___后，，两点间的距离为．    16．如图，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在BC，CD上，使得△CMN的周长为2，则△MAN的面积最小值为____． 17．某超市经销的洗衣液中，甲、乙两个品牌比较畅销，其中甲品牌洗衣液的进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液的进价每瓶比甲品牌高10元．在销售中，该超市发现，若将甲品牌的洗衣液以每瓶45元出售，则每天固定售出100瓶，而乙品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，且当乙品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，每天就会少售出2瓶．当乙品牌洗衣液每瓶的售价为________元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元． 三、解答题 18．卫生部疾病控制专家经过调研提出，如果人传播人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为“超级传播者”如果某镇有人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有人成为新冠肺炎病毒的携带者． （1）经过计算，判断最初的这名病毒携带者是“超级传播者”吗？请先写出结论，再说明理由； （2）若不加以控制传染渠道，经过轮传染，共有多少人成为新冠肺炎病毒的携带者？ 19．某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品，经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0．1元，其销售量将减少10件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的倍． (1)当每个纪念品定价为元时，每天可卖出___________件，日销售利润为___________元： (2)若每个纪念品售价上涨m元，商店每天能卖出___________件；（用含m的代数式表示） (3)如果商店要实现每天800元的销售利润，求每件纪念品的售价． 20．如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为． (1)求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 《2.4一元二次方程的应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B C D D A A D D 题号 11 12 答案 B A 1．A 【分析】本题利用总盈利=每箱盈利×每天销售量的关系，分别表示出降价后每箱的盈利和每天的销售量，即可列出方程． 【详解】设每箱降价元， 原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元， 原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱， ∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 2．A 【分析】可设降价的百分率为，第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意可列方程为：， 解得：，（舍）， ∴每次降价得百分率为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的在销售问题中的应用，正确理解题意，找出题中等量关系是解题的关键． 3．B 【分析】根据年均下降率，推导两年后的碳排放量表达式，结合目标排放量列出方程即可． 【详解】解：∵该企业碳排放量年均下降率为，2024年碳排放量为千吨， ∴2025年碳排放量为千吨，则2026年碳排放量为千吨， 又∵计划2026年底将碳排放量降至千吨， ∴可列方程为 4．C 【分析】设这两次平均降价的百分比为x，根据题意列一元二次方程，解此方程即可解答． 【详解】解：设原价为单位1，这两次平均降价的百分比为x， 由题意得 （舍去） 即这两次平均降价的百分比为40%， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 5．D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，掌握打折的含义是解题关键，打x折即售价为原价的，依次表示出两次打折后的价格，即可列出方程． 【详解】解：∵商品原价为100元，第一次打x折， ∴第一次降价后的价格为， ∵第二次在第一次的基础上再打x折， ∴第二次降价后的价格为， ∵此时的价格为81元， ∴可列方程为， 故选：D． 6．D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用；根据“增长率问题”及题意可直接列出方程，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可得方程为； 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了根据实际问题列一元二次方程，关键是正确表示出扩建后的面积，理清面积之间的等量关系，判断方程的正确性． 【详解】解：若将该草坪的长和宽各增加，则扩建后矩形草坪的长为，宽为， 根据题意得：， 即． 故选：A． 8．A 【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ． 9．D 【分析】过点作于点，则，当运动时间为秒时，，，，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，则，如图所示 当运动时间为秒时，，，， 依题意得：， 即， 解得：，． ∴当时，t的值为秒或秒， 故选D．    【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．D 【分析】设宽为步，先表示出长，再利用长方形面积公式列方程，即可选出正确选项． 【详解】解：设宽为步，则长为步， ∵长方形田地的面积为864平方步， ∴可得方程． 11．B 【分析】设全班有x名同学，根据每位同学都要发微信给其他同学，结果全班学生共发微信870条可列出方程． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要发微信条， 又∵是互发微信， ∴共发微信条． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要发微信条，有x个人是解决问题的关键． 12．A 【分析】设购买洗手液x瓶，列出一元二次方程计算即可； 【详解】设购买洗手液x瓶， ∵＜， ∴＞， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键． 13．或 【分析】分两种情况讨论，当时和当时，分别求解即可； 【详解】解：如图所示，当时，点在线段上，在上， 由条件可知， 依题意，，，则；， ， ， ， 解得：， ∴，， ∴； 如图所示，当时，点在线段上，在上， 依题意，，，则，， ， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴． 综上所述，或． 14． 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 15．/0.4 【分析】如图，设t秒后，，则，，在中，运用勾股定理构建方程求解． 【详解】如图，设t秒后，，则， 中， ∴，解得或， ∵点Q在上运动， ∴舍去 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理，一元二次方程的应用；用代数式表示线段长，利用勾股定理构建方程是解题的关键． 16． 【分析】如图，延长CB至L，使BL＝DN，则Rt△ABL≌Rt△AND，故AL＝AN，进而求证△AMN≌△AML，即可求得∠MAN＝∠MAL＝45°设CM＝x，CN＝y，MN＝z，根据x2+y2＝z2，和x+y+z＝2，整理根据△＝4（z﹣2）2﹣32（1﹣z）≥0可以解题． 【详解】解：延长CB至L，使BL＝DN， 则Rt△ABL≌Rt△ADN， 故AL＝AN， ∵CM+CN+MN＝2，CN+DN+CM+BM＝1+1＝2， ∴MN＝DN+BM＝BL+BM＝ML， ∴△AMN≌△AML（SSS）， 设CM＝x，CN＝y，MN＝z x2+y2＝z2， ∵x+y+z＝2， 则x＝2﹣y﹣z ∴（2﹣y﹣z）2+y2＝z2， 整理得2y2+（2z﹣4）y+（4﹣4z）＝0， ∴△＝4（z﹣2）2﹣32（1﹣z）≥0， 即（z+2﹣2）（z+2+2）≥0， 又∵z＞0， ∴z≥2﹣2 此时S△AMN＝S△AML＝ML•AB＝z 因此，当z＝2﹣2，S△AMN取到最小值为 ﹣1． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了正方形各边相等，各内角是直角的性质，本题求证三角形全等是解题的关键． 17．80 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，设设乙品牌洗衣液每瓶的售价为y元，则该洗衣液每瓶的销售利润为元，再列式，即可作答． 【详解】解：依题意，设乙品牌洗衣液每瓶的售价为y元，则该洗衣液每瓶的销售利润为元， 每天的销售量为瓶， 由题意，得， 整理，得， 解得， ∴当乙品牌洗衣液每瓶的售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的销售利润之和为4700元． 故答案为：80． 18．（1）最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，见解析；（2）若不加以控制传染渠道，经过轮传染，共有人成为新冠肺炎病毒的携带者 【分析】最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，设每人每轮传染的人数为人，则第一轮传染了人，第二轮传染了人，根据经过两轮传染后共有人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于的一元二次方程，解之将其正值与比较后即可得出结论； 利用经过轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数经过两轮传染后成为新冠肺炎病毒的携带者的人数每人每轮传染的人数，即可求出结论． 【详解】解：最初的这名病毒携带者是“超级传播者”，理由如下： 设每人每轮传染的人数为人，则第一轮传染了人，第二轮传染了人， 依题意得：， 解得：不合题意，舍去． ， 最初的这名病毒携带者是“超级传播者”． 人． 答：若不加以控制传染渠道，经过轮传染，共有人成为新冠肺炎病毒的携带者． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19．(1)440，704 (2) (3)每件纪念品的售价为4元 【分析】（1）（2）根据所给的数量与售价的关系进行列式计算即可； （3）根据利润（售价进价）数量列出方程求出m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：件， ∴当每个纪念品定价为元时，每天可卖出440件， 元， ∴日销售利润为704元， 故答案为：440，704； （2）解：由题意得，每个纪念品售价上涨m元，商店每天能卖出件， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 整理得：， 解得或， ∵纪念品售价不能超过批发价的倍， ∴，即， ∴， 元， ∴每件纪念品的售价为4元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用，列代数式等等，正确理解题意列出对应的式子和方程是解题的关键． 20．(1) (2)8 【分析】（1）设花圃的宽为，面积为，则的长为米，然后根据长方形的面积公式，即可求解； （2）根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设花圃的宽为，面积为，则的长为， ∴， ∵， ∴． ∴S与x的函数关系式为． （2）解：根据题意得：， 即， 解得：． ∵， ∴． 答：要围成面积的花圃，的长是8米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列函数关系式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $