5.3二次函数的应用暑假预习练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，通过基础巩固、情境进阶、综合建模三层设计，培养数学抽象与模型意识，适配暑假分层复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数性质与简单应用|以表格数据（如足球飞行高度）、增长率问题（单选7、填空13）巩固概念理解| |进阶层|复杂情境与动态问题|结合拱桥（单选2、3）、运动轨迹（单选5）考查几何直观与推理能力| |综合层|实际问题建模与求解|通过隧道设计（解答18）、投篮训练（解答19）完整经历“抽象-建模-验证”过程，发展应用意识|

5.3二次函数的应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表：下列结论不正确的是（   ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h 0 8 14 18 20 20 18 14 … A．足球距离地面的最大高度超过20m B．足球飞行路线的对称轴是直线 C．点（10，0）在该抛物线上 D．足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降． 2．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m．那么水位下降1m时，水面的宽度为（    ） A． B． C． D． 3．如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　） A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m 4．某生态农业示范园实施精准灌溉，在灌溉主管道沿线安装移动喷头．如图，点为固定水位监测点，喷头从处沿直线管道移动．设为（单位：m）（），为（单位：），关于的函数图象如图所示，图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（    ） A． B． C．图象与轴交点的纵坐标为221 D．点在该函数图象上 5．水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 6．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线的一部分，则杯口的口径AC为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 8．某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 9．《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题．今有一商贩售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售价每降低一文钱，每日的销售量就会增加一匹．已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，则y与x之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 10．某商品进价9元，售价10元时可售100件，每涨价1元销量减少10件，设涨价x元，利润y元，函数关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在四边形DEFG中，∠E＝∠F＝90°，∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，Rt△ABC的直角顶点C与点G重合，另一个顶点B（在点C左侧）在射线FG上，且BC＝1，AC＝2，将△ABC沿GF方向平移，点C与点F重合时停止．设CG的长为x，△ABC在平移过程中与四边形DEFG重叠部分的面积为y，则下列图象能正确反映y与x函数关系的是（    ） A． B． C． D． 12．如图①，赵州桥的桥拱可近似看成是一条不完整的抛物线，建立如图②所示的平面直角坐标系，其函数表达式为．当水面离桥拱拱顶的高度为时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 _____． 14．如图1，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动，当点到达点时停止运动，过点作交于点．设点运动路程为，如图2所表示的是与的函数关系的大致图象，当点在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是________．    15．某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现1-8月份这种药材售价（元）与月份之间存在如下表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价（元）与月份之间近似满足如图所示的抛物线，观察两幅图表，试判断_____ 月份出售这种药材获利最大． 月份 ... 3 6 ... 每千克售价 ... 8 6 ... 16．如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一直线上．点从点出发，以的速度向左运动，运动到点时停止运动，则重叠部分（阴影）的面积与时间之间的函数关系式为___________________． 17．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长30厘米，宽20厘米．相框边（阴影部分）的宽为厘米，相框内的空白部分面积是平方厘米，则与之间的函数关系式为_______． 三、解答题 18．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．轴是抛物线的对称轴，最高点到地面距离为4米． (1)求出抛物线的解析式． (2)在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 19．如图，一位运动员进行投篮训练，设篮球运行过程中的距离地面的高度为，篮球水平运动的距离为，已知与成正比例， （1）当时，根据已知条件，求与的函数解析式； （2）直接写出篮球在空中运行的最大高度． （3）若运动员的身高为1.8米，篮球投出后在离运动员水平距离2.5米处到达最高点，球框在与运动员水平距离4米处，且球框中心到地面的距离为3.05米，问计算说明此次投篮是否成功？ 20．【问题背景】 自动紧急刹车系统（）是车辆安全的核心配置．为检测某车企研制的刹车系统在雨天对行人的保护能力，搭载该型号刹车系统的试验车辆在雨天以的速度匀速行驶．试验车辆刹车时间t（单位：秒）与刹车距离s（单位：米）的数据如下表： 刹车时间t（秒） 0 1 2 … 刹车距离s（米） 0 … 【模型构建】 (1)如图，在平面直角坐标系中，以刹车时间：t为横坐标，刹车距离s为纵坐标，描出了表中数据所对应的部分点，请你描出其它的点，并用光滑的曲线连接．估计该函数的类型是____________（填写“一次函数”，“二次函数”或“反比例函数”），并求出函数表达式（不必写自变量t的取值范围）； 【模型应用】 (2)求出试验车辆的刹停时间（开始刹车到车辆停止）和刹停距离（精确到0.01米）； (3)试验车辆以速度匀速行驶，突然有行人横穿马路，距离行驶中的车辆14米，系统瞬间触发紧急刹车．这款系统安全吗？请你说明理由．（安全评测标准：车辆停止时与前方行人距离不小于2米则判定为“安全”．） 21．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 22．如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，边与边在同一条直线上．沿方向以的速度匀速运动，开始时点A与点M重合，运动到点A与点N重合时停止．设运动的时间为，运动过程中与正方形重叠部分的面积为．试写出关于t的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围． 《5.3二次函数的应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C C C C A C C 题号 11 12 答案 B D 1．C 【分析】由题意，可得对称轴为，则可得抛物线经过（0，0），（9，0），所以可以假设抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，可得，由此即可一一判断． 【详解】解：由题意，可得对称轴为，则可得抛物线经过（0，0），（9，0） 设抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1， ， ∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，A选项正确，不符合题意； ∴抛物线的对称轴，故B正确，不符合题意； 由二次函数的性质可得，当时，h随t的增大而减小， ∴足球被踢出时，距离地面的高度逐渐下降，D选项正确，不符合题意， 抛物线经过点（9，0），不经过（10，0）， ∴点（10，0）不在该抛物线上，C选项错误，符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． 2．B 【分析】结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将代入解析式求得相应的x的值，进而求得答案． 【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图： ∴设抛物线解析式为：， ∵观察图形可知抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴当水位下降米后，即当时，有， ∴，， ∴水面的宽度为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键． 3．C 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键． 4．C 【分析】根据垂线段最短，得到当垂直时，最小，结合，即当时，，构造直角三角形，勾股定理求出的长，进而求出和的值，待定系数法求出函数解析式，进行判断即可. 【详解】解：由题意，当垂直时，最小，此时； ∵图象过点， ∴当时，， 如图，构造直角三角形，其中，，，则， ∴， ∴，即； ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵图象经过和两点， ∴关于对称轴对称， ∴， 设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， ∴当时，，当时，， 故图象与轴交点的纵坐标为221，点不在该函数图象上； 综上：只有C选项正确. 5．C 【分析】先求出抛物线的解析式为：，然后把代入抛物线解析式，求出结果即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴． 6．C 【分析】利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案． 【详解】解：当y=14时，， 解得，， ∴A（，14），C（，14）， ∴AC=． 故选：C． 【点睛】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，熟练掌握用待定系数法求点的坐标是解题的关键 7．C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是掌握增长率的公式． 已知初始值、年均增长率和增长年数、最终量，利用增长率模型公式即可求解． 【详解】解：由题意，年的市场规模为亿美元，年均增长率为，经过2024年和2025年共两年的增长． 第一年（年）：市场规模增长到． 第二年（年）：在第一年的基础上再增长，即． 因此，年的市场规模与年均增长率的函数关系为， 对应选项C． 其他选项中，A未包含初始值，B和D的表达式不符合增长率模型公式，故排除． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：∵水面宽为， ∴的横坐标为 把代入 得： ∴ ∴此时拱顶到水面的距离为 故选：A． 9．C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，找出等量关系是解题的关键．根据题意，每日利润等于每匹利润乘以日销售量，每匹利润为售价减成本，即文；日销售量为基础销售量30匹加上因降价增加的销售量，降价额为文，因此日销售量为匹，从而求得答案． 【详解】解：设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，根据题意可知， ， 即， 故选：C． 10．C 【分析】本题考查实际问题与二次函数的应用，解题的关键是明确“利润每件利润销售量”的数量关系． 先确定涨价后的每件售价、每件利润，再确定涨价后的销售量，最后根据“利润每件利润销售量”列出函数式． 【详解】解：商品原售价为10元，涨价元后，新售价为元， 商品进价为9元，因此每件利润为“售价进价”，即元， 原销售量为100件，每涨价1元销量减少10件，因此涨价元后，销售量为件， 利润每件利润销售量，代入得： 故选：C． 11．B 【分析】根据移动过程分三个阶段讨论，第一个是点B到达点G之前，即0＜x＜1时，求出y和x的关系式，确定图象，第二个是点C到达点H之前，即1＜x＜2时，求出y和x的关系式，确定图象，第三个是点C到达点F之前，即2＜x＜3时，求出y和x的关系式，确定图象，即可确定选项． 【详解】解：过点D作DH⊥EF， ∵∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3， ∴EH＝2，DH＝EF＝2， 当0＜x＜1时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为x， ∴y＝， ∵， ∴该部分图象开口向上， 当1＜x＜2时，如图， 设A'B'与DG交与点N，A'C'与DG交与点M， 则S重叠＝S△GMC'﹣S△GNB'， 设B'K＝a，则NK＝2a， ∵GC'＝x，B'C'＝1， ∴GB'＝x﹣1， ∵△GKN是等腰直角三角形， ∴GK＝NK， ∴x﹣1＋a＝2a， ∴a＝x﹣1， ∴NK＝2x﹣2， ∴， ∵， ∴S重叠＝﹣（x2﹣2x＋1）＝， ∵， ∴该部分图象开口向下， 当2＜x＜3时，重叠部分的面积为S△ABC，是固定值， ∴该部分图象是平行x轴的线段， 故选：B． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要把移动过程分成几个阶段，然后根据每个阶段的情况单独讨论，确定y和x之间的函数关系式，从而确定图象． 12．D 【分析】本题考查二次函数实际应用，已知函数值求自变量值等．根据题意可得点得纵坐标为，将其代入中即可求出的长，继而得到本题答案． 【详解】解：∵水面离桥拱拱顶的高度为时， ∴点得纵坐标为， ∵函数表达式为， ∴将点得纵坐标为代入中得：， ∴， ∴， 故选：D． 13．20% 【分析】利用该实验基地现在拥有的种子种数＝该实验基地两年前拥有的种子种数×(1+培育的种子平均每年的增长率)2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)， ∴x的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．20 【分析】由题意可知，易证，可得，根据二次函数图像对称性可得在中点时，有最大值，列出二次函数解析式即可解题． 【详解】解：若点在上时，如图   ，， ， 在和中，，， ∽， 由二次函数图像对称性可得在中点时，有最大值，此时， ， 即， ， 当时，代入得到 解得：，（不合题意舍去）， ， ， ∵， 矩形的面积为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图像得出为中点是解题的关键． 15．5 【分析】分别求出售价与月份之间的函数关系式、成本与月份之间的函数关系式以及利润与售价、成本之间的关系，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：设每千克的售价是y元，月份为x，则可设 把（3，8），（6，6）代入得， 解得， ∴ 设每千克成本是z元，根据图象可设 把（3，4）代入，得 ∴ ∴ ∴设利润为w，则有： ∵ ∴有最大值， ∴当x=5时，w有最大值， ∴5月份出售这种药材获利最大． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象与性质是解题的关键． 16． 【分析】根据△ABC是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 17． 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得出相框内的空白部分的长为，宽为，再根据长方形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：由题意得：相框内的空白部分的长为，宽为， 则， ∴与之间的函数关系式为， 故答案为：． 18．(1) (2)米 (3) 这辆货运卡车能通过该隧道； 当x=1.2时，， ， 这辆货运卡车能通过该隧道． 【分析】(1)根据题意可以设出抛物线的顶点式，然后根据题目中的信息可以求得抛物线的解析式； (2)把代入解析式，即可求得； (3)根据题意可以求得当x=1.2时的y的值然后与3.6比较，即可解答本题． 【详解】（1）解：最高点到地面距离为4米， 米，点E为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为y轴， 设抛物线的解析式为， 四边形ABCD是矩形， ， 又， 四边形BCOF是矩形， 米， (米)， 点E的纵坐标为1， ， ， 又米， 点C的坐标为(2,0)， 把点C的坐标代入解析式，得， 解得， 故抛物线的解析式为； （2）解：把代入解析式， 得， 解得，， 故在距离地面米高处，隧道的宽度是(米)； （3）略 【点睛】本题考查二次函数的应用，利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是明确题，找出所求问题需要的条件． 19．（1）；（2）3.5米；（3）投篮成功，计算见解析 【分析】（1）设，将，代入求出k，即可求解； （2）求出函数的最值即可； （3）把代入刚好成立，即可得出结论． 【详解】解：（1）由题意可设． 时，． 解得：， ∴； （2）篮球篮球在空中运行的最大高度为3．5米． （3）把代入得到， 点恰好在抛物线上， ∴此次投篮成功． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，将实际问题抽象成函数是解题的关键． 20．(1)；二次函数； (2)该试验车辆的刹停时间是秒，刹停距离约为米 (3)安全，理由如下： ， 这款系统安全． 【分析】（1）根据表中数据描点，连线即可；根据图象即可判断函数的类型；用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求最值即可； （3）计算车辆停止时与前方行人距离，即可判断． 【详解】（1）解：如图所示； 由图可估计该函数的类型是二次函数； 设该函数的解析式为， 由表格可知，图象过，，， ， 解得， 该函数的解析式为； （2）解：， ，开口向下， 当时，s有最大值，最大值为（米）， 即该试验车辆的刹停时间是秒，刹停距离约为米． （3）略 21．(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 22． 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据题意列出函数关系式．设与交于点R，三角形是等腰直角三角形，且正方形的边长等于三角形的直角边长，所以当三角形移动时，它与正方形的重叠部分始终是一个等腰直角三角形，设三角形移动的距离为，那么重叠部分的等腰直角三角形的两条直角边的长度都是，因此，重叠部分的面积就是这个等腰直角三角形的面积． 【详解】解：如图，设与交于点R． 是等腰直角三角形，四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ． 学科网（北京）股份有限公司 $