5.4二次函数与一元二次方程暑假预习练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 该同步练习围绕二次函数与一元二次方程关系，通过选择、填空、解答题分层设计，覆盖基础概念到综合应用，梯度合理，强化数学思维与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|交点个数、方程的根、图像基本性质|直接应用概念，如选择1-3题考查二次函数与直线交点、方程根的求解| |提升层|图像综合判断、动态问题、面积计算|结合图像分析，如选择4-8题涉及对称轴、最值的综合推理| |拓展层|新定义、不等式恒成立、探究性问题|融入跨知识点应用，如填空17题不等式恒成立培养模型意识，解答21题探究面积最值发展创新思维|

5.4二次函数与一元二次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．关于函数．下列说法正确的是（    ） A．无论m取何值，函数图像总经过点和 B．当时，函数图像与x轴总有2个交点 C．若，则当时，y随x的增大而减小 D．当时，函数有最小值 3．抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点A（a，b）是抛物线y＝x2上位于第二象限的一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②ac＝﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图所示，抛物线的顶点为，若方程有两个相等实数根，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如果抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点的坐标是，那么它与x轴的一个交点的坐标是（   ） A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0） 7．二次函数的图象如图所示，当时自变量的取值范围是（   ）    A． B． C．或 D． 8．如图，已知二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 9．抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线，其部分图象如图所示，当时，的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6 10．如图，直线与两坐标轴交于A，B两点，点P是线段AB上一动点（不与A，B两端点重合），过点P作PC⊥x轴于点C，作PD⊥y轴于点D，小明认为矩形PCOD的周长不变且始终为6；小红认为矩形PCOD的面积有最大值，最大值为3．关于小明与小红的判断，下面说法正确的是（    ） A．小明与小红都是正确的 B．小明与小红都是错误的 C．小明是正确的，小红是错误的 D．小明是错误的，小红是正确的 11．如表是部分二次函数的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个根在（　　）范围之间． A． B． C． D． 12．如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③；④．⑤b＝4a 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．如图，已知抛物线与直线交于点，，点，的横坐标分别是，，则不等式的解为___________． 14．如图，抛物线的对称轴是，与x轴的一个交点为，则不等式的解集为___________． 15．已知关于x的一元二次方程的两个根为、（）则实数，，，的大小关系为：________________． 16．我们用符号表示不大于的最大整数．例如：，．那么： （1）当时，的取值范围是______； （2）当时，函数的图象始终在函数的图象上方或图象上．则实数的范围是______． 17．若不等式对恒成立则x的取值范围是______． 三、解答题 18．已知：在平面直角坐标系中，抛物线过点、、． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)点在抛物线对称轴上，，求点的坐标； (3)抛物线的对称轴和轴相交于点，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点，，的延长线交原抛物线为，，求新抛物线的表达式． 19．二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． 20．用描点法画出的图象并回答下列问题． (1)列表：（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．） x … … … … (2)描点，并连线； (3)①顶点坐标是 ，当x＝ 时，y有最 值是 ． ②当x 时，y随x的增大而增大． ③该抛物线与y轴交于点 ． (4)该抛物线与x轴交于点A、B，则AB＝ ． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C的坐标为． (1)求经过A，B，C三点的抛物线的表达式； (2)如果M为抛物线的顶点，连接，求的面积． 《5.4二次函数与一元二次方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B B C D D C C 题号 11 12 答案 B B 1．B 【分析】根据二次函数的图象与直线有且只有一个公共点可得到的值，然后即可得到函数的解析式，再根据二次函数的性质和题意，即可得到的取值范围． 【详解】解：令，即， 二次函数的图象与直线有且只有一个公共点， ， 解得：， 函数， 该函数图象的对称轴为直线，顶点为， 当时，函数的最小值为，最大值为， 当时，， 解得：或， 根据对称性得， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、二次函数与一次函数的关系，解答本题的关键是求出的值，利用二次函数的性质解答． 2．D 【分析】根据函数的性质逐个求解即可． 【详解】解：A．∵ 当x＝1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝0， 当x＝﹣1时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝2， ∴图像过（1，0）和（﹣1，2）， 故选项错误，不符合题意； B．∵当m＝0时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝1﹣x， ∴该函数与x轴只有一个交点， 故选项错误，不符合题意； C．∵ 当m＞时，函数为开口向上的抛物线，则y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝m（x+）（x﹣1）， ∴该函数的对称轴为直线x＝（1+）＝＜1， ∴当x＜1时，y随x的增大而可能减小也可能增大， 故选项错误，不符合题意； D．∵若m＞0时，二次函数在顶点处取得最小值， ∴当x＝时，y＝（mx+m﹣1）（x﹣1）＝﹣m+1， 故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，二次函数的增减性，熟悉二次函数与坐标轴的交点坐标、对称轴，顶点坐标等求法，是解题的关键． 3．A 【分析】抛物线与轴交点的横坐标，就是当时，一元二次方程的根，所以只需找出抛物线与轴交点横坐标即可．本题考查二次函数与一元二次方程的关系这一知识点．解题关键在于理解抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，通过已知抛物线与轴交点坐标，直接得出方程的根． 【详解】解：∵当时，抛物线对应的方程为， ∴方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标． ∴点和点的横坐标分别为和， ∴关于的一元二次方程的根是，， 答案选A． 4．B 【分析】由点的坐标，根据勾股定理可得②正确，进而可以判断①，由A（a，b），B（c，d）在抛物线y＝x2上，得到，结合直线解析式可得，进而判断④，根据三角形的面积公式即可判断③ 【详解】解： OB⊥OA 即 即 故②正确 ，， 故①正确 A（a，b），B（c，d）在抛物线y＝x2上 设直线的解析式为 将A（a，），B（c，）代入得 直线AB必过一定点故④正确 ，不为定值 故③不正确． 故选B 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，勾股定理，正确的计算是解题的关键． 5．B 【分析】方程有两个相等实数根，即与只有一个交点，即经过顶点，代入即可求解． 【详解】解：∵方程有两个相等实数根， ∴与只有一个交点， ∴ 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，数形结合是解题的关键． 6．C 【分析】根据抛物线的对称性解答即可． 【详解】解： 抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 抛物线与x轴另一交点的横坐标为 ， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ， 故选：C 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，正确理解抛物线的对称性是解题的关键． 7．D 【分析】根据图象，写出函数图象在x轴下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，时，. 故选：D. 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合的思想求解 是解题关键． 8．D 【分析】根据二次函数与轴的交点的横坐标，结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点的横坐标分别为和4， 根据图象可知，当时，的取值范围是或， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 9．C 【分析】根据二次函数的性质，对称轴为，求出抛物线的另一个交点，根据二次函数图象的性质，即可 【详解】∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为（﹣2，0） ∴ ∴ ∴ ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0） ∵抛物线开口向下 ∴当，． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，对称轴． 10．C 【分析】设P(x，)()．根据周长公式求出周长，即可判定小明的正误；根据面积公式求出面积，结合二次函数的性质，即可判断小红的正误． 【详解】设P(x，)()， ∵， ∴周长不变，且始终为6，即小明正确； ∵， ∴当时，最大，最大为，即小红是错误的． 故选C 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合．掌握二次函数的性质是解题关键． 11．B 【分析】利用二次函数和一元二次方程的关系． 【详解】解：观察表格可知：当时；当时，， ∴方程的一个根在范围是． 故选：B． 【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可． 12．B 【分析】把点A（-1，0），B（3，0）代入二次函数y=ax2+bx+c，可得二次函数的解析式为：y=ax2-2ax-3a，由图象可知，函数图象开口向下，所以a＜0，可得b和c的符号，及a和c的数量关系；由函数解析式可得抛物线对称轴为直线：x=1，根据函数的增减性和最值，可判断②和④的正确性． 【详解】解：把点A（-1，0），B（3，0）代入二次函数y=ax2+bx+c， 可得二次函数的解析式为：y=ax2-2ax-3a， ∵该函数图象开口方向向下， ∴a＜0， ∴b=-2a＞0，c=-3a＞0， ∴ac＜0，3a+c=0，①错误，③正确； ∵对称轴为直线：x=-=1， ∴x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小；②错误； ∴当x=1时，函数取得最大值，即对于任意的m，有a+b+c≥am2+bm+c， ∴a+b≥am2+bm，故④正确． ∵对称轴为直线：x=-=1， ∴b=-2a，⑤错误， 综上，正确的个数有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）． 13． 【分析】由图像可知的解即为直线在抛物线上方时，即可得出答案． 【详解】由图像可知的解即为直线在抛物线上方时， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数与不等式之间的关系，数形结合是解题的关键． 14．﹣3＜x＜5 【分析】先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标（5，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集． 【详解】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0）， 根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝1对称，即 抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣3，0）关于直线x＝1对称， ∴另一个交点的坐标为（5，0）， ∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0， ∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方， ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜5． 故答案为﹣3＜x＜5． 【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法． 15．/ 【分析】根据二次函数的图象和性质即可求出答案 【详解】解：设函数， 当时， ，或， 当时， 由题意可知：的两个根为、（），由于抛物线开口向上，由抛物线的图象可知：， 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系 16． 【分析】（1）首先利用的整数定义根据不等式确定其整数取值范围，继而利用取整函数定义精确求解x取值范围． （2）根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数． 【详解】解：（1）表示不大于x的最大整数， 当时，的可能取值为0,1,2， ①当取0时，， ②当取1时，， ③当=2时，, 综上所述，当时，x的取值范围为； （2）令，，， 由题意可知：， ①当时，， ，即， ， ， ， 由题意得，即， 解得， ②当时，， ，恒成立， ③当时，， ，即， ， ， 由题意得，即， 解得， 综上所述：． 【点睛】本题考查函数的新定义取整函数，需要有较强的题意理解能力，分类讨论方法在此类型题目极为常见，根据不同区间函数单调性求解参数为常规题型，需要利用转化思想将非常规题型转化为常见题型． 17． 【分析】将不等式整理得，当x=0时，-6＜0，不等式不成立，得出x≠0，令y=，y是关于a的一次函数，即，根据一次函数的性质得出x2＞0，关于a的函数y随a的增大而增大，当a=-1时，当时y＞0恒成立，解不等式即可 【详解】解：不等式整理得 当x=0时，-6＜0，不等式不成立， ∴x≠0， 令y=, ∴y是关于a的一次函数，即， ∵x2＞0，关于a的函数y随a的增大而增大， 当a=1时，， 当a=-1时，， 当时y＞0恒成立， ∴＞0， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质，二次不等式，掌握一次函数的性质，二次不等式解法是解题关键， 18．(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法解得该抛物线解析式，并将其转化为顶点式，即可确定点的坐标； （2）设点，根据勾股定理可得，，，在中，由勾股定理可得，然后代入求值，即可获得答案； （3）首先过点作于点，根据等腰三角形“三线合一”的性质确定点为中点，易得；过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质可得，，易知点的横坐标为，进而确定点，点，然后根据平移的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点、、代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线的表达式为， 又∵， ∴顶点的坐标为； （2）如下图， 根据题意，点在抛物线对称轴上，， 设点， ∵，， ∴，，， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴点的坐标为； （3）如下图， ∵原抛物线， ∴其对称轴为， ∴， ∵新抛物线的顶点为点，， 过点作于点，则，即点为中点， ∵，， ∴， ∴， 过点作轴于点， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵把原抛物线平移，得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决几何问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 19．(1)，顶点D的坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式，并配方找到顶点坐标即可； （2）求出直线的解析式，过点D作轴交于点E，得到点E的坐标，根据计算即可． 【详解】（1）解：把、、代入得： ，解得， ∴函数关系式为：， ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：当时，， ∴点P的坐标为， 设直线的解析式为，把点和代入得： ，解得：， ∴解析式为， 过点D作轴交于点E， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 20．(1)见解析 (2)见解析 (3)①（1，3），1，大，3；②＜1；③（0，2） (4)2 【分析】（1）分别取x＝﹣1，0，1，2，3时y的值． （2）通过描点，连线作图． （3）将二次函数化为顶点式，根据抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标求解． （4）令＝0，根据A，B的横坐标求解． 【详解】（1）解：列表如下： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣1 2 3 2 ﹣1 … （2）画函数图象如下： （3）①∵， ∴抛物线顶点坐标为（1，3），即x＝1时，y取最大值3， 故答案为：（1，3），1，大，3． ②∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x增大而增大， 故答案为：＜1． ③将x＝0代入y＝﹣＋2x＋2得y＝2， ∴抛物线与y轴交点坐标为（0，2）， 故答案为：（0，2）． （4）令﹣＋2x＋2＝0， 解得＝1﹣，＝1＋， ∴AB＝1＋﹣（1﹣）＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 21．(1) (2)15 【分析】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识． （1）先求出点A、B的坐标分别为，再利用待定系数法即可求解； （2）先求出顶点M的坐标为，过点M作轴于点D，交AB于点E，再求出，利用割补法即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，得， ∴点A、B的坐标分别为． 设经过A，B，C三点的抛物线解析式为， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴过A，B，C三点的抛物线解析式为； （2）解：， ∴顶点M的坐标为． 如图，过点M作轴于点D，交AB于点E， 则， 把代入直线得， ∴点E坐标为， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $