2.1.2 有理数的减法讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦有理数的减法这一核心知识点，系统梳理减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）、代数和形式（省略加号与括号）及加减混合运算的统一方法，构建从基础法则到与绝对值、数轴距离、实际应用结合的递进学习支架。 资料通过知识梳理的重点标注与易错提示培养抽象能力，分题型典例（如绝对值综合、数轴距离计算）提升运算能力和推理意识，结合出租车计费、新能源汽车续航等实际问题渗透模型意识。课中助力教师分层教学，课后学生可通过即学即练与分层训练查漏补缺，强化知识应用。

初中数学（RJ）七年级上册 2.1.2 有理数的减法 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解有理数减法法则，能运用法则进行有理数减法运算；会将有理数加减混合运算统一为加法运算并进行简便计算。 二、知识梳理 知识点 1 　有理数的减法 减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法变成加法计算。即。 ★ 重点　减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a−b＝a＋(−b)。把减法化为加法是核心。 ⚠ 易错　变减法为加法时，只改变减号后面的数（取相反数），减号前面的数不变；常见错误是"两数都变号"或"只减不变号"。 ◆ 方法　口诀：减变加，减数变其相反数，其余照搬。 知识点 2 　省略式子中的加号和括号 在学习相反数后，根据有理数的减法运算法则，有理数的加减混合运算可以统一成加法运算，为了简化书写形式，通常把式子中的加号和括号省略。 ★ 重点　有理数加减混合运算可统一成加法，省略加号和括号后写成"代数和"形式，如 3−7＋2 读作"正3、负7、正2的和"。 ⚠ 易错　省略括号后，负号必须紧跟在它所属的数前面，不能把符号和数割裂理解导致后续误算。 ◆ 方法　统一成加法后再省略括号：把每个数连同符号看作一个整体（项），按项依次相加。 知识点 3 　有理数的加减混合运算 有理数的加减混合运算先将混合运算统一成加法运算，然后运用加法交换律，结合律等进行简便运算。 ★ 重点　混合运算统一为加法后，可灵活运用交换律、结合律分组计算，优先处理互为相反数、凑整、同分母的项。 ⚠ 易错　连续运算中符号处理混乱是主因：务必"先定符号、再算绝对值"，每一步都确认当前项的符号。 三、即学即练 1.　计算： （1）7.21﹣（﹣9.35）； （2）(+5)−(+7)； （3）（﹣19）﹣（+9.5）； （4）（﹣4）﹣（﹣4）． 【答案】解：（1）7.21﹣（﹣9.35）＝7.21+9.35＝16.56； （2）(+5)−(+7)=5−7=−2； （3）（﹣19）﹣（+9.5）＝﹣19﹣9.5＝﹣28.5； （4）（﹣4）﹣（﹣4）＝﹣4+4=． 2.　将式子（﹣10）﹣（+20）﹣（﹣30）+（﹣40）改写成省略括号的形式得（　　） A．﹣10﹣20﹣30+40 B．﹣10﹣20+30﹣40 C．10+20﹣30+40 D．10﹣20﹣30﹣40 【答案】解：原式＝﹣10﹣20+30﹣40， 3.　计算： （1）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6）； （2）3+(−2）+5+（﹣8）； （3）2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）； （4）﹣0.6﹣0.08+−2−0.92+2． 【答案】解：（1）原式＝4.7+8.9﹣7.5﹣6＝13.6﹣13.5＝0.1； （2）原式＝3−2+5−8＝3+5−2−8＝8.5﹣11＝﹣2.5； （3）原式＝2.7﹣8.5﹣3.4+1.2＝3.9﹣11.9＝﹣8； （4）原式＝﹣0.6+0.4﹣0.08﹣0.92﹣2+2＝﹣0.2﹣1＝﹣1.2． 4.　已知|a|＝9，|b|＝6，且a+b＜0，求a﹣b的值． 【答案】解：∵|a|＝9，|b|＝6，∴a＝±9，b＝±6，∵a+b＜0，∴a＝﹣9，b＝±6， 当a＝﹣9，b＝6时，a﹣b＝﹣9﹣6＝﹣15， 当a＝﹣9，b＝﹣6时，a﹣b＝﹣9﹣（﹣6）＝﹣9+6＝﹣3， 综上所述，a﹣b的值为﹣15或﹣3． 5.　数轴上表示数8与﹣2两个点之间的距离是（　　） A．6　　B．10　　C．﹣10　　D．﹣6 【答案】B解：8﹣（﹣2）＝8+2＝10． 6.　在数轴上与表示﹣2的点距离3个单位长度的点表示的数是 ． 【答案】解：在数轴上与表示﹣2的点距离3个单位长度的点表示的数是﹣2+3＝1或﹣2﹣3＝﹣5． 7.　点A在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点右侧，若将A点向左移动4个单位长度，再向右移动1个单位长度，此时点A所表示的数是 ． 【答案】解：因为点A在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点右侧， 所以，点A表示的数为3， 移动后点A所表示的数是：3﹣4+1＝0． 8.　如图所示，a、b是有理数，则式子|a|﹣|b|+|b﹣a|化简的结果为（　　） A．﹣2a　　B．﹣2b　　C．0　　D．2a﹣2b 【答案】A解：由图可知﹣1＜a＜0＜1＜b，∴|a|﹣|b|+|b﹣a|＝﹣a﹣b+b﹣a＝﹣2a， 9.　出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的．如果向东记作“+”，向西记作“﹣”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客）﹣2，+10，+1，﹣3，+2，﹣12，请回答： （1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在出发地的什么方向？距出发地多远？ （2）若小王的出租车每千米需油费0.4元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需要多少油费？ （3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米另收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？ 【答案】解：（1）﹣2+10+1﹣3+2﹣12＝﹣4（千米）． 所以小王在下午出车的出发地的正西方向，距下午出车的出发地4千米． （2）（2+10+1+3+2+12）×0.4＝12（元）， 答：小王这天下午共需要12元油费． （3）10×4+10+2（10﹣3）+10+2（12﹣3）＝92（元）． 所以小王这天下午收到乘客所给车费共92元． 四、典例精析（分题型突破） 题型 1 　有理数的减法及其加减混合运算　 例1　计算： （1）（﹣12）﹣（﹣15）； （2）0﹣2020； （3）（﹣7.5）﹣5.6； （4）（−）﹣（−）； （5）（﹣2）﹣（﹣3）； （6）（﹣5）﹣（﹣7）﹣（﹣6）﹣10． ⚠ 易错　减法化加法：减变加、减数变为其相反数，减号前的数不变——常见错误是两数都变号或只减不变号。 【答案】解：（1）原式＝（﹣12）+15＝+（15﹣12）＝3． （2）原式＝0+（﹣2 020）＝﹣2 020． （3）原式＝（﹣7.5）+（﹣5.6）＝﹣13.1． （4）原式＝（−）+（+）＝﹣（−）=−． （5）原式＝（﹣2）+3=． （6）原式＝（﹣5）+7+6+（﹣10）＝﹣2． 变式1　计算： （1）﹣2﹣（+10）； （2）0﹣（﹣3.6）； （3）（﹣30）﹣（﹣6）﹣（+6）﹣（﹣15）； （4）（﹣3）﹣（﹣2）﹣（+1）﹣（+1.75）． ⚠ 易错　减法化加法：减变加、减数变为其相反数，减号前的数不变——常见错误是两数都变号或只减不变号。 【答案】解：原式＝﹣2+（﹣10）＝﹣（10+2）＝﹣12； （2）原式＝0+3.6＝3.6； （3）原式＝﹣30+6﹣6+15＝﹣15； （4）原式=−(3+1)+(2−1)=−5+1=−4． 变式2　计算： （1）（﹣36）﹣（﹣25）﹣（+36）+（+72）； （2）（﹣8）﹣（﹣3）+（+5）﹣（+9）； （3）−+(−)−(−)−(+)； （4）﹣9+（﹣3）+3． 【答案】解：（1）原式＝﹣36+25﹣36+72＝25； （2）原式＝﹣8+3+5﹣9＝﹣9； （3）原式=−−+−=−+−=−； （4）原式=−9−+=−9； 变式3　计算： （1）﹣21+（﹣11）； （2）（﹣5.8）+5； （3）(−)+(−)； （4）（﹣23）+72+（﹣31）+（+47）； （5）−+(+)+(−)+2； （6）（﹣2）+（﹣1）﹣（﹣2）﹣（﹣4）． 【答案】解：（1）原式＝﹣21﹣11＝﹣32； （2）原式＝﹣0.8； （3）原式=−1； （4）原式＝﹣23﹣31+72+47＝119﹣54＝65； （5）原式=−1+3=2； （6）原式＝﹣2+4−1+2=2+=2． 题型 2 　有理数的减法与绝对值　 例2　若|a|＝4，b＝﹣2，则a﹣b的值为（　　） A．2或6　　B．﹣2或6　　C．4或﹣6　　D．﹣4或﹣6 【答案】B解：∵|a|＝4，∴a＝±4， 当a＝4时，a﹣b＝4﹣（﹣2）＝6； 当a＝﹣4时，a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2， 变式1　若|a|＝5，|b|＝3，且a+b的绝对值与相反数相等，则a﹣b的值是 ． 【答案】﹣2或﹣8．解：根据题意可知，a＝±5，b＝±3， ∵a+b的绝对值与相反数相等，∴a+b＜0， 当a＝﹣5，b＝﹣3时，a+b＝﹣8＜0，此时a﹣b＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣2； 当a＝﹣5，b＝3时，a+b＝﹣2＜0，此时a﹣b＝﹣5﹣3＝﹣8； 当a＝5，b＝﹣3时，a+b＝2＞0，不符合题意，舍去； 当a＝5，b＝3时，a+b＝8＞0，不符合题意，舍去； 综上可知，a﹣b的值是﹣2或﹣8． 变式2　若|x|＝3，|y|＝2，|x﹣y|＝y﹣x，则x+y的值是（　　） A．﹣5或﹣1　　B．5或1　　C．±1　　D．±5 【答案】A解：根据题意可知，|x|＝3，|y|＝2，∴x＝±3，y＝±2， ∵|x﹣y|＝y﹣x，∴x﹣y≤0，∴当x＝﹣3，y＝2时，当x＝﹣3，y＝﹣2时， 即x+y＝﹣3+2＝﹣1或x+y＝﹣3﹣2＝﹣5． 变式3　已知|a﹣1|＝9，|b+2|＝6，且a+b＜0，求a﹣b的值为（　　） A．﹣15　　B．﹣3　　C．0　　D．﹣12或0 【答案】D解：∵|a﹣1|＝9，|b+2|＝6，∴a﹣1＝9或a﹣1＝﹣9，b+2＝6或b+2＝﹣6， 解得a＝10或a＝﹣8，b＝4或b＝﹣8， ∵a+b＜0，∴a＝﹣8，b＝4或b＝﹣8， ∴a﹣b＝（﹣8）﹣4＝﹣12，或a﹣b＝（﹣8）﹣（﹣8）＝﹣8+8＝0， 综上所述，a﹣b的值为﹣12或0． 题型 3 　利用有理数的减法计算两点之间的距离 例3　若数轴上A、B两点表示的数分别为﹣4、6，那么A、B两点间的距离为 ． ⚠ 易错　数轴上两点间距离 = 大数−小数 = |a−b|，结果恒非负，切勿写成负值。 【答案】10．解：根据数轴上两点距离可得：AB＝|﹣4﹣6|＝10， 变式1　数轴上有A、B两点，它们表示的数分别是5和﹣1，那么A、B两点之间的距离是 个单位长度． 【答案】6．解：根据数轴上两点距离为较大的数减去较小的数列式计算得：|5﹣（﹣1）|＝6． 变式2　若A、B是数轴上两点，点A到原点的距离是6个单位长度，点B到点A的距离也是6个单位长度，则点B表示的数是 ． ⚠ 易错　数轴上两点间距离 = 大数−小数 = |a−b|，结果恒非负，切勿写成负值。 【答案】﹣12或0或12．解：根据题意可知， ①点A在原点的左边时，点A为：﹣6． 当点B在点A的左边时，点B为：﹣6﹣6＝﹣12， 当点B在点A的右边时，点B为：﹣6+6＝0， ②点A在原点的右边时，点A为：6， 当点B在点A的左边时，点B为：6﹣6＝0， 当点B在点A的右边时，点B为：6+6＝12； 综上所述，点B表示的数是﹣12或0或12． 题型 4 　有理数的加减法与数轴上的点的移动　 例4　把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动7个单位长度，再向右移动2个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　） A．7+2＝9　　B．﹣7﹣2＝﹣9　　C．﹣7+2＝﹣5　　D．7﹣2＝5 【答案】C解：﹣7+2＝﹣5． 变式1　数轴上点A表示的数是﹣3，将点A向左移动8个单位长度后得到点B，点B表示的数是 ． 【答案】﹣11．解：﹣3﹣8＝﹣11，即点B表示的数是﹣11， 变式2　如果数轴上的点M表示﹣1，将M向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，最后M表示的数是 ． 【答案】解：规定向左为负，向右为正，根据正负数的意义列算式：﹣1﹣2+7＝4； 即最后M表示的数是4． 题型 5 　结合数轴、有理数的加减运算化简绝对值　 例5　如图，a，b是有理数，则式子|a|﹣|b|+|a+b|化简的结果为（　　） A．0　　B．2a　　C．b+a　　D．2b﹣a 【答案】A解：由数轴可知，b＜0＜a且|b|＞|a|，故原式＝a﹣（﹣b）﹣（a+b）＝a+b﹣a﹣b＝0， 变式1　有理数a、b、c的位置如图所示，化简式子：|b|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|＝　﹣b+2c　 ． 【答案】﹣b+2c．解：由数轴可得：b＞0，a＜0，c＞0，|c|＞|a|＞|b|， ∴a﹣c＜0，b﹣c＜0，a﹣b＜0， ∴|b|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|＝b+（c﹣a）+（c﹣b）﹣（b﹣a）＝b+c﹣a+c﹣b﹣b+a＝﹣b+2c 变式2　如图所示，a、b是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|a﹣b|化简的结果为（　　） A．3a+b　　B．3a﹣b　　C．3b+a　　D．3b﹣a 【答案】D解：由数轴可得﹣1＜a＜0＜1＜b， ∴a+b＞0，a﹣b＜0， ∴|a|+|b|+|a+b|+|a﹣b|＝﹣a+b+（a+b）﹣（a﹣b）＝﹣a+b+a+b﹣a+b＝3b﹣a， 变式3　已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|π+2a|﹣|3﹣b+a|，得（　　） A．π﹣3　　B．2b﹣4a﹣π﹣3　　C．π+3　　D．3﹣π﹣2a 【答案】D解：由数轴知：a﹣b＜0，π+2a＜0，b﹣a＞1﹣（﹣2）＝3， 所以3﹣b+a＝3﹣（b﹣a）＜0， 所以|a﹣b|+|π+2a|﹣|3﹣b+a|＝﹣a+b﹣π﹣2a+3﹣b+a＝﹣2a﹣π+3 题型 6 　有理数的混合运算的应用　 例6　某中学积极倡导阳光体育运动，开展了排球垫球比赛，下表为七年级某班45人参加排球垫球比赛的情况，标准为每人垫球25个． 垫球个数与标准数量的差值 ﹣10 ﹣6 0 8 10 12 人数 5 10 10 5 10 5 （1）求这个班45人平均每人垫球多少个； （2）规定垫球达到标准数量记0分，超过标准数量，每多垫1个加2分；未达到标准数量，每少垫1个扣1分，求这个班垫球总共获得多少分． 【答案】解：（1）﹣10×5+（﹣6）×10+0×10+8×5+10×10+12×5＝﹣50﹣60+0+40+100+60＝90（个）， （25×45+90）÷45＝1215÷45＝27（个）， 答：这个班45人平均每人垫球27个； （2）2×（8×5+10×10+12×5）﹣1×（|﹣10|×5+|﹣6|×10）＝290（分）， 答：这个班垫球总共获得290分． 变式1　近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师购置了一辆续航为350km（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：km，以40km为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“﹣”）．已知该汽车第三天行驶了45km，第六天行驶了34km． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ﹣6 +2 ■ ﹣3 +8 ● +7 （1）“■”处的数为 ，“●”处的数为 ； （2）若该新能源汽车每行驶1km耗电量为0.2度，每度电约为0.5元，求王老师这一星期开新能源汽车的电费． （3）已知王老师这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的20%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】解：（1）由题意可得第三天行驶了45km，第六天行驶了34km， ∴第三天处的数为+5，第六天处记录的数为﹣6， （2）﹣6+2+5﹣3+8﹣6+7＝7（km），40×7+7＝287（km），287×0.2×0.5＝28.7（元）， 即王老师这一星期开新能源汽车的电费为28.7元； （3）350﹣350×20%＝350﹣70＝280（km）， ∵280＜287， ∴行车电脑会发出充电提示． 变式2　最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家购置了一辆续航为550km（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km ﹣8 ﹣12 ﹣17 +21 +19 +27 +33 （1）这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶　50　 km； （2）小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了多少km？ （3）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的15%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】解：（1）由表格可知最多的一天为第七天，最少的一天为第三天， 最多的一天比最少的一天多行驶33﹣（﹣17）＝50km； （2）（﹣8﹣12﹣17+21+19+27+33）+50×7＝413km， 答：小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了413km； （3）剩余续航里程所占百分比与15%比较可得： ×100%≈25%＞15%， 所以行车电脑不会发出充电提示． 五、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　某日天气预报显示，哈尔滨白天平均气温﹣3℃，海南白天平均气温12℃，两地当日白天的平均气温相差（　　）℃． A．15　　B．12　　C．9　　D．6 【答案】A解：由题意得：12﹣（﹣3）＝12+3＝15（℃）， ∴两地当日白天的平均气温相差15℃， 2.　把﹣7+（﹣5）﹣（﹣2）写成省略加号的和的形式，正确的是（　　） A．﹣7+5+2　　B．﹣7﹣5+2　　C．﹣7+5﹣2　　D．﹣7﹣5﹣2 【答案】B解：原式＝﹣7+（﹣5）+（+2）＝﹣7﹣5+2， 3.　若数轴上点A，B分别表示数为﹣1，2，则A，B两点之间的距离可表示为（　　） A．（﹣1）+2　　B．2+（﹣1）　　C．2﹣（﹣1）　　D．（﹣1）﹣2 【答案】C解：数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的差的绝对值或用右边的点表示的数减去左边的点表示的数可得： ∵数轴上点A，B分别表示数为﹣1，2，∴A，B两点之间的距离可表示为2﹣（﹣1）． 4.　若|x|＝9，|y|＝4，且x+y＜0，那么x﹣y的值是（　　） A．5或13　　B．5或﹣13　　C．﹣5或13　　D．﹣5或﹣13 【答案】D解：∵|x|＝9，|y|＝4， ∴x＝±9，y＝±4，∵x+y＜0， ∴x＝﹣9，y＝﹣4或x＝﹣9，y＝4， 当x＝﹣9，y＝﹣4时，x﹣y＝﹣9+4＝﹣5， 当x＝﹣9，y＝4时，x﹣y＝﹣9﹣4＝﹣13． ∴x﹣y的值是﹣5或﹣13． 5.　计算：|﹣5|﹣（﹣1）＝ ． 【答案】6．解：原式＝5+1＝6， B 档 　巩固提升　 1.　如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A．π　　B．﹣1+π　　C．﹣π　　D．﹣1﹣π 【答案】B解：由题意可得圆的周长为π×1＝π， ∵将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，∴点B表示的数是﹣1+π， 2.　已知a＜0＜b＜c，化简|a﹣b|﹣|c﹣a|的结果是（　　） A．c﹣a　　B．c﹣b　　C．a﹣c　　D．b﹣c 【答案】D解：∵a＜0＜b＜c，∴a﹣b＜0，c﹣a＞0， ∴|a﹣b|﹣|c﹣a|＝（b﹣a）﹣（c﹣a）＝b﹣a﹣c+a＝b﹣c， 3.　如图，a，b，c，d，e，f均为有理数，图中各行，各列及两条对角线上三个数的和都相等，则a﹣b+c﹣d+e﹣f的值为（　　） A．1　　B．﹣3　　C．7　　D．8 【答案】C解：由题意得：4﹣1+a＝d+3+a，解得d＝0． ∵4+b+0＝b+3+c，∴c＝1． ∵4﹣1+a＝a+1+f，∴f＝2． ∴a﹣1+4＝4+3+2，b+3+c＝4+3+2，﹣1+3+e＝4+3+2， ∴a＝6，b＝5，e＝7． ∴a﹣b+c﹣d+e﹣f＝6﹣5+1﹣0+7﹣2＝7． 4.　我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又把x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}，则有x＝[x]+{x}．如：[1.3]＝1，{1.3}＝0.3，则有1.3＝[1.3]+{1.3}．下列说法中正确的有（　　）个． ①[2.8]＝2；②[﹣5.3]＝﹣5；③{﹣1.3}＝0.3； ④若1＜|x|＜2，且{x}＝0.4，则x＝1.4或x＝﹣1.4． A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【答案】A解：由题可知：[2.8]＝2，故①正确，符合题意； [﹣5.3]＝﹣6，{﹣1.3}＝﹣1.3﹣[﹣1.3]＝﹣1.3﹣（﹣2）＝0.7，故②③错误，不符合题意； 由1＜|x|＜2，则1＜x＜2或﹣2＜x＜﹣1， 当x＝1.4时，[1.4]＝1，{1.4}＝1.4﹣[1.4]＝0.4； 当x＝﹣1.4时，[﹣1.4]＝﹣2，{﹣1.4}＝﹣1.4﹣|﹣1.4|＝﹣1.4﹣（﹣2）＝0.6≠0.4； 故④错误，不符合题意． 5.　已知|a|＝3，|b|＝5，则a﹣b＝ ． 【答案】解：∵|a|＝3，|b|＝5，∴a＝±3，b＝±5．∴a﹣b=(3−5=−2−3−5=−83−(−5)=8−3−(−5)=2 故答案为：±2，±8． C 档 　提高拓展 1.　一个点，从直线上的0处出发，先向右移动4个单位，再向左移动7个单位，这时这个点所对的数是（　　） A．+3　　B．﹣2　　C．﹣3　　D．+2 【答案】C解：根据题意得：这时这个点所对的数是0+4﹣7＝﹣3． D 档 　压轴挑战 1.　信息一：|x﹣y|的几何意义是x与y两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如|3﹣1|的几何意义是3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 信息二：对于有理数a，b，n，d，若|a﹣2n|+|b﹣2n|＝d，则称a和b关于n的“双倍关系值”为d．例如，|6﹣2|+|3﹣2|＝5，则6和3关于1的“双倍关系值”为5． 根据以上信息得到4个结论： ①数轴上表示﹣5与﹣2两点之间的距离是7；②﹣3和5关于2的“双倍关系值”为8； ③若a和3关于1的“双倍关系值”为4，则a的值为5； 以上结论正确的个数是（　　） A．3个　　B．2个　　C．1个　　D．0个 【答案】C解：①|﹣5﹣（﹣2）|＝|﹣3|＝3，数轴上表示﹣5与﹣2两点之间的距离是3， ∴结论①错误，不符合题意； ②|﹣3﹣4|+|5﹣4|＝8，则﹣3和5关于2的“双倍关系值”为8，∴结论②正确，符合题意； ③∵a和3关于1的“双倍关系值”为4， ∴|a﹣2|+|3﹣2|＝4，|a﹣2|＝3， a﹣2＝3或﹣3，a＝5或﹣1， ∴结论③错误，不符合题意； 综上所述，正确有结论有1个， 2.　计算：|−|+|−|+|−|+…+|−|＝ ． 【答案】．解：∵|−|=−， ∴原式=−+−+−+⋯+−=−=−=． 3.　我们定义一种新运算，规定：图表示a﹣b+c，图形表示﹣x+y﹣z，则+的值为 ． ⚠ 易错　新定义题：先逐字读懂新规定的符号或运算含义，严格按定义代入计算（注意符号与括号），切勿套用旧有的运算习惯。 【答案】解：+＝2﹣3+4+（﹣5+6﹣7）＝2﹣3+4﹣5+6﹣7＝﹣3， 4.　在数轴上有一个动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动．若点P的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第30秒时，点P在数轴上所对应的数是 ． 【答案】解：∵1+2+3+4+5+6+7+2＝30，由题意得：第30秒对应的数为：1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣2＝2． 故答案为：2． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）七年级上册 2.1.2 有理数的减法 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解有理数减法法则，能运用法则进行有理数减法运算；会将有理数加减混合运算统一为加法运算并进行简便计算。 二、知识梳理 知识点 1 　有理数的减法 减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法变成加法计算。即。 ★ 重点　减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a−b＝a＋(−b)。把减法化为加法是核心。 ⚠ 易错　变减法为加法时，只改变减号后面的数（取相反数），减号前面的数不变；常见错误是"两数都变号"或"只减不变号"。 ◆ 方法　口诀：减变加，减数变其相反数，其余照搬。 知识点 2 　省略式子中的加号和括号 在学习相反数后，根据有理数的减法运算法则，有理数的加减混合运算可以统一成加法运算，为了简化书写形式，通常把式子中的加号和括号省略。 ★ 重点　有理数加减混合运算可统一成加法，省略加号和括号后写成"代数和"形式，如 3−7＋2 读作"正3、负7、正2的和"。 ⚠ 易错　省略括号后，负号必须紧跟在它所属的数前面，不能把符号和数割裂理解导致后续误算。 ◆ 方法　统一成加法后再省略括号：把每个数连同符号看作一个整体（项），按项依次相加。 知识点 3 　有理数的加减混合运算 有理数的加减混合运算先将混合运算统一成加法运算，然后运用加法交换律，结合律等进行简便运算。 ★ 重点　混合运算统一为加法后，可灵活运用交换律、结合律分组计算，优先处理互为相反数、凑整、同分母的项。 ⚠ 易错　连续运算中符号处理混乱是主因：务必"先定符号、再算绝对值"，每一步都确认当前项的符号。 三、即学即练 1.　计算： （1）7.21﹣（﹣9.35）； （2）(+5)−(+7)； （3）（﹣19）﹣（+9.5）； （4）（﹣4）﹣（﹣4）． 2.　将式子（﹣10）﹣（+20）﹣（﹣30）+（﹣40）改写成省略括号的形式得（　　） A．﹣10﹣20﹣30+40 B．﹣10﹣20+30﹣40 C．10+20﹣30+40 D．10﹣20﹣30﹣40 3.　计算： （1）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6）； （2）3+(−2）+5+（﹣8）； （3）2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）； （4）﹣0.6﹣0.08+−2−0.92+2． 4.　已知|a|＝9，|b|＝6，且a+b＜0，求a﹣b的值． 5.　数轴上表示数8与﹣2两个点之间的距离是（　　） A．6　　B．10　　C．﹣10　　D．﹣6 6.　在数轴上与表示﹣2的点距离3个单位长度的点表示的数是 ． 7.　点A在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点右侧，若将A点向左移动4个单位长度，再向右移动1个单位长度，此时点A所表示的数是 ． 8.　如图所示，a、b是有理数，则式子|a|﹣|b|+|b﹣a|化简的结果为（　　） A．﹣2a　　B．﹣2b　　C．0　　D．2a﹣2b 9.　出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的．如果向东记作“+”，向西记作“﹣”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客）﹣2，+10，+1，﹣3，+2，﹣12，请回答： （1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在出发地的什么方向？距出发地多远？ （2）若小王的出租车每千米需油费0.4元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需要多少油费？ （3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米另收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？ 四、典例精析（分题型突破） 题型 1 　有理数的减法及其加减混合运算　 例1　计算： （1）（﹣12）﹣（﹣15）； （2）0﹣2020； （3）（﹣7.5）﹣5.6； （4）（−）﹣（−）； （5）（﹣2）﹣（﹣3）； （6）（﹣5）﹣（﹣7）﹣（﹣6）﹣10． ⚠ 易错　减法化加法：减变加、减数变为其相反数，减号前的数不变——常见错误是两数都变号或只减不变号。 【答案】解：（1）原式＝（﹣12）+15＝+（15﹣12）＝3． （2）原式＝0+（﹣2 020）＝﹣2 020． （3）原式＝（﹣7.5）+（﹣5.6）＝﹣13.1． （4）原式＝（−）+（+）＝﹣（−）=−． （5）原式＝（﹣2）+3=． （6）原式＝（﹣5）+7+6+（﹣10）＝﹣2． 变式1　计算： （1）﹣2﹣（+10）； （2）0﹣（﹣3.6）； （3）（﹣30）﹣（﹣6）﹣（+6）﹣（﹣15）； （4）（﹣3）﹣（﹣2）﹣（+1）﹣（+1.75）． ⚠ 易错　减法化加法：减变加、减数变为其相反数，减号前的数不变——常见错误是两数都变号或只减不变号。 【答案】解：原式＝﹣2+（﹣10）＝﹣（10+2）＝﹣12； （2）原式＝0+3.6＝3.6； （3）原式＝﹣30+6﹣6+15＝﹣15； （4）原式=−(3+1)+(2−1)=−5+1=−4． 变式2　计算： （1）（﹣36）﹣（﹣25）﹣（+36）+（+72）； （2）（﹣8）﹣（﹣3）+（+5）﹣（+9）； （3）−+(−)−(−)−(+)； （4）﹣9+（﹣3）+3． 【答案】解：（1）原式＝﹣36+25﹣36+72＝25； （2）原式＝﹣8+3+5﹣9＝﹣9； （3）原式=−−+−=−+−=−； （4）原式=−9−+=−9； 变式3　计算： （1）﹣21+（﹣11）； （2）（﹣5.8）+5； （3）(−)+(−)； （4）（﹣23）+72+（﹣31）+（+47）； （5）−+(+)+(−)+2； （6）（﹣2）+（﹣1）﹣（﹣2）﹣（﹣4）． 【答案】解：（1）原式＝﹣21﹣11＝﹣32； （2）原式＝﹣0.8； （3）原式=−1； （4）原式＝﹣23﹣31+72+47＝119﹣54＝65； （5）原式=−1+3=2； （6）原式＝﹣2+4−1+2=2+=2． 题型 2 　有理数的减法与绝对值　 例2　若|a|＝4，b＝﹣2，则a﹣b的值为（　　） A．2或6　　B．﹣2或6　　C．4或﹣6　　D．﹣4或﹣6 【答案】B解：∵|a|＝4，∴a＝±4， 当a＝4时，a﹣b＝4﹣（﹣2）＝6； 当a＝﹣4时，a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2， 变式1　若|a|＝5，|b|＝3，且a+b的绝对值与相反数相等，则a﹣b的值是 ． 【答案】﹣2或﹣8．解：根据题意可知，a＝±5，b＝±3， ∵a+b的绝对值与相反数相等，∴a+b＜0， 当a＝﹣5，b＝﹣3时，a+b＝﹣8＜0，此时a﹣b＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣2； 当a＝﹣5，b＝3时，a+b＝﹣2＜0，此时a﹣b＝﹣5﹣3＝﹣8； 当a＝5，b＝﹣3时，a+b＝2＞0，不符合题意，舍去； 当a＝5，b＝3时，a+b＝8＞0，不符合题意，舍去； 综上可知，a﹣b的值是﹣2或﹣8． 变式2　若|x|＝3，|y|＝2，|x﹣y|＝y﹣x，则x+y的值是（　　） A．﹣5或﹣1　　B．5或1　　C．±1　　D．±5 【答案】A解：根据题意可知，|x|＝3，|y|＝2，∴x＝±3，y＝±2， ∵|x﹣y|＝y﹣x，∴x﹣y≤0，∴当x＝﹣3，y＝2时，当x＝﹣3，y＝﹣2时， 即x+y＝﹣3+2＝﹣1或x+y＝﹣3﹣2＝﹣5． 变式3　已知|a﹣1|＝9，|b+2|＝6，且a+b＜0，求a﹣b的值为（　　） A．﹣15　　B．﹣3　　C．0　　D．﹣12或0 【答案】D解：∵|a﹣1|＝9，|b+2|＝6，∴a﹣1＝9或a﹣1＝﹣9，b+2＝6或b+2＝﹣6， 解得a＝10或a＝﹣8，b＝4或b＝﹣8， ∵a+b＜0，∴a＝﹣8，b＝4或b＝﹣8， ∴a﹣b＝（﹣8）﹣4＝﹣12，或a﹣b＝（﹣8）﹣（﹣8）＝﹣8+8＝0， 综上所述，a﹣b的值为﹣12或0． 题型 3 　利用有理数的减法计算两点之间的距离 例3　若数轴上A、B两点表示的数分别为﹣4、6，那么A、B两点间的距离为 ． ⚠ 易错　数轴上两点间距离 = 大数−小数 = |a−b|，结果恒非负，切勿写成负值。 【答案】10．解：根据数轴上两点距离可得：AB＝|﹣4﹣6|＝10， 变式1　数轴上有A、B两点，它们表示的数分别是5和﹣1，那么A、B两点之间的距离是 个单位长度． 【答案】6．解：根据数轴上两点距离为较大的数减去较小的数列式计算得：|5﹣（﹣1）|＝6． 变式2　若A、B是数轴上两点，点A到原点的距离是6个单位长度，点B到点A的距离也是6个单位长度，则点B表示的数是 ． ⚠ 易错　数轴上两点间距离 = 大数−小数 = |a−b|，结果恒非负，切勿写成负值。 【答案】﹣12或0或12．解：根据题意可知， ①点A在原点的左边时，点A为：﹣6． 当点B在点A的左边时，点B为：﹣6﹣6＝﹣12， 当点B在点A的右边时，点B为：﹣6+6＝0， ②点A在原点的右边时，点A为：6， 当点B在点A的左边时，点B为：6﹣6＝0， 当点B在点A的右边时，点B为：6+6＝12； 综上所述，点B表示的数是﹣12或0或12． 题型 4 　有理数的加减法与数轴上的点的移动　 例4　把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左（负方向）移动7个单位长度，再向右移动2个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（　　） A．7+2＝9　　B．﹣7﹣2＝﹣9　　C．﹣7+2＝﹣5　　D．7﹣2＝5 【答案】C解：﹣7+2＝﹣5． 变式1　数轴上点A表示的数是﹣3，将点A向左移动8个单位长度后得到点B，点B表示的数是 ． 【答案】﹣11．解：﹣3﹣8＝﹣11，即点B表示的数是﹣11， 变式2　如果数轴上的点M表示﹣1，将M向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，最后M表示的数是 ． 【答案】解：规定向左为负，向右为正，根据正负数的意义列算式：﹣1﹣2+7＝4； 即最后M表示的数是4． 题型 5 　结合数轴、有理数的加减运算化简绝对值　 例5　如图，a，b是有理数，则式子|a|﹣|b|+|a+b|化简的结果为（　　） A．0　　B．2a　　C．b+a　　D．2b﹣a 【答案】A解：由数轴可知，b＜0＜a且|b|＞|a|，故原式＝a﹣（﹣b）﹣（a+b）＝a+b﹣a﹣b＝0， 变式1　有理数a、b、c的位置如图所示，化简式子：|b|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|＝　﹣b+2c　 ． 【答案】﹣b+2c．解：由数轴可得：b＞0，a＜0，c＞0，|c|＞|a|＞|b|， ∴a﹣c＜0，b﹣c＜0，a﹣b＜0， ∴|b|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|a﹣b|＝b+（c﹣a）+（c﹣b）﹣（b﹣a）＝b+c﹣a+c﹣b﹣b+a＝﹣b+2c 变式2　如图所示，a、b是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|a﹣b|化简的结果为（　　） A．3a+b　　B．3a﹣b　　C．3b+a　　D．3b﹣a 【答案】D解：由数轴可得﹣1＜a＜0＜1＜b， ∴a+b＞0，a﹣b＜0， ∴|a|+|b|+|a+b|+|a﹣b|＝﹣a+b+（a+b）﹣（a﹣b）＝﹣a+b+a+b﹣a+b＝3b﹣a， 变式3　已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|+|π+2a|﹣|3﹣b+a|，得（　　） A．π﹣3　　B．2b﹣4a﹣π﹣3　　C．π+3　　D．3﹣π﹣2a 【答案】D解：由数轴知：a﹣b＜0，π+2a＜0，b﹣a＞1﹣（﹣2）＝3， 所以3﹣b+a＝3﹣（b﹣a）＜0， 所以|a﹣b|+|π+2a|﹣|3﹣b+a|＝﹣a+b﹣π﹣2a+3﹣b+a＝﹣2a﹣π+3 题型 6 　有理数的混合运算的应用　 例6　某中学积极倡导阳光体育运动，开展了排球垫球比赛，下表为七年级某班45人参加排球垫球比赛的情况，标准为每人垫球25个． 垫球个数与标准数量的差值 ﹣10 ﹣6 0 8 10 12 人数 5 10 10 5 10 5 （1）求这个班45人平均每人垫球多少个； （2）规定垫球达到标准数量记0分，超过标准数量，每多垫1个加2分；未达到标准数量，每少垫1个扣1分，求这个班垫球总共获得多少分． 【答案】解：（1）﹣10×5+（﹣6）×10+0×10+8×5+10×10+12×5＝﹣50﹣60+0+40+100+60＝90（个）， （25×45+90）÷45＝1215÷45＝27（个）， 答：这个班45人平均每人垫球27个； （2）2×（8×5+10×10+12×5）﹣1×（|﹣10|×5+|﹣6|×10）＝290（分）， 答：这个班垫球总共获得290分． 变式1　近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师购置了一辆续航为350km（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：km，以40km为标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“﹣”）．已知该汽车第三天行驶了45km，第六天行驶了34km． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ﹣6 +2 ■ ﹣3 +8 ● +7 （1）“■”处的数为 ，“●”处的数为 ； （2）若该新能源汽车每行驶1km耗电量为0.2度，每度电约为0.5元，求王老师这一星期开新能源汽车的电费． （3）已知王老师这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的20%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】解：（1）由题意可得第三天行驶了45km，第六天行驶了34km， ∴第三天处的数为+5，第六天处记录的数为﹣6， （2）﹣6+2+5﹣3+8﹣6+7＝7（km），40×7+7＝287（km），287×0.2×0.5＝28.7（元）， 即王老师这一星期开新能源汽车的电费为28.7元； （3）350﹣350×20%＝350﹣70＝280（km）， ∵280＜287， ∴行车电脑会发出充电提示． 变式2　最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家购置了一辆续航为550km（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如下表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程/km ﹣8 ﹣12 ﹣17 +21 +19 +27 +33 （1）这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶　50　 km； （2）小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了多少km？ （3）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的15%，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】解：（1）由表格可知最多的一天为第七天，最少的一天为第三天， 最多的一天比最少的一天多行驶33﹣（﹣17）＝50km； （2）（﹣8﹣12﹣17+21+19+27+33）+50×7＝413km， 答：小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶了413km； （3）剩余续航里程所占百分比与15%比较可得： ×100%≈25%＞15%， 所以行车电脑不会发出充电提示． 五、分层训练 A 档 　基础巩固　 1.　某日天气预报显示，哈尔滨白天平均气温﹣3℃，海南白天平均气温12℃，两地当日白天的平均气温相差（　　）℃． A．15　　B．12　　C．9　　D．6 2.　把﹣7+（﹣5）﹣（﹣2）写成省略加号的和的形式，正确的是（　　） A．﹣7+5+2　　B．﹣7﹣5+2　　C．﹣7+5﹣2　　D．﹣7﹣5﹣2 3.　若数轴上点A，B分别表示数为﹣1，2，则A，B两点之间的距离可表示为（　　） A．（﹣1）+2　　B．2+（﹣1）　　C．2﹣（﹣1）　　D．（﹣1）﹣2 4.　若|x|＝9，|y|＝4，且x+y＜0，那么x﹣y的值是（　　） A．5或13　　B．5或﹣13　　C．﹣5或13　　D．﹣5或﹣13 5.　计算：|﹣5|﹣（﹣1）＝ ． B 档 　巩固提升　 1.　如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A．π　　B．﹣1+π　　C．﹣π　　D．﹣1﹣π 2.　已知a＜0＜b＜c，化简|a﹣b|﹣|c﹣a|的结果是（　　） A．c﹣a　　B．c﹣b　　C．a﹣c　　D．b﹣c 3.　如图，a，b，c，d，e，f均为有理数，图中各行，各列及两条对角线上三个数的和都相等，则a﹣b+c﹣d+e﹣f的值为（　　） A．1　　B．﹣3　　C．7　　D．8 4.　我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又把x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}，则有x＝[x]+{x}．如：[1.3]＝1，{1.3}＝0.3，则有1.3＝[1.3]+{1.3}．下列说法中正确的有（　　）个． ①[2.8]＝2；②[﹣5.3]＝﹣5；③{﹣1.3}＝0.3； ④若1＜|x|＜2，且{x}＝0.4，则x＝1.4或x＝﹣1.4． A．1　　B．2　　C．3　　D．4 5.　已知|a|＝3，|b|＝5，则a﹣b＝ ． C 档 　提高拓展 1.　一个点，从直线上的0处出发，先向右移动4个单位，再向左移动7个单位，这时这个点所对的数是（　　） A．+3　　B．﹣2　　C．﹣3　　D．+2 D 档 　压轴挑战 1.　信息一：|x﹣y|的几何意义是x与y两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如|3﹣1|的几何意义是3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 信息二：对于有理数a，b，n，d，若|a﹣2n|+|b﹣2n|＝d，则称a和b关于n的“双倍关系值”为d．例如，|6﹣2|+|3﹣2|＝5，则6和3关于1的“双倍关系值”为5． 根据以上信息得到4个结论： ①数轴上表示﹣5与﹣2两点之间的距离是7；②﹣3和5关于2的“双倍关系值”为8； ③若a和3关于1的“双倍关系值”为4，则a的值为5； 以上结论正确的个数是（　　） A．3个　　B．2个　　C．1个　　D．0个 2.　计算：|−|+|−|+|−|+…+|−|＝ ． 3.　我们定义一种新运算，规定：图表示a﹣b+c，图形表示﹣x+y﹣z，则+的值为 ． ⚠ 易错　新定义题：先逐字读懂新规定的符号或运算含义，严格按定义代入计算（注意符号与括号），切勿套用旧有的运算习惯。 4.　在数轴上有一个动点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动．若点P的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第30秒时，点P在数轴上所对应的数是 ． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $