专题2.1.2 有理数的减法（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦有理数的减法这一核心知识点，在有理数加法基础上，通过转化思想将减法运算转化为加法运算，系统梳理减法法则及运算步骤，并延伸至加减混合运算的统一处理，构建从单一运算到综合运算的学习支架。 该资料以分层题型设计为特色，通过即学即练、典例及变式训练培养运算能力，结合数轴、绝对值综合题发展几何直观，融入实际应用题型强化应用意识。课中助力教师系统教学，课后多样化练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

专题2.1.2 有理数的减法 教学目标 1.理解有理数减法的意义，掌握有理数减法法则，能熟练进行有理数的减法运算。 2.经历有理数减法法则的探索推导过程，体会转化的数学思想，提高数学运算与归纳总结能力。 3.感受有理数加减法之间的内在联系，体会数学知识的统一性，培养严谨的运算习惯。 教学重难点 1.重点 掌握有理数减法法则，能够正确、熟练地进行有理数减法运算。 2.难点 理解有理数减法转化为加法的运算本质，准确处理减数符号的变化问题。 知识点01 有理数的减法法则 1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为： 2、有理数减法的运算方法： （1）把减号变为加号(改变运算符号) （2）把减数变为它的相反数(改变性质符号) （3）按照加法运算的步骤进行运算 【注意】 在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律.减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 【即学即练】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 知识点02 有理数的加减混合运算 引入相反数后，有理数的加减混合运算统一成加法运算.即：a+b+(﹣c) 方法 步骤 直接计算 利用有理数的加法及减法法则,按从左到右的顺序运算. 统一为加法计算 (1)利用减法运算法则,将有理数加减混合运算转化为加法运算; (2)适当运用加法运算律简化运算. 【即学即练】与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 题型01 有理数减法运算 【典例1】下列数中比小1的数是（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意列出算式，按照有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：， 即符合要求的数是． 有理数的减法法则是一个转化法则，减号转化为加号，同时要注意减数变为它的相反数，这样就可以用加法法则来解决减法问题. 【变式1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据绝对值的定义化简绝对值，再计算各选项的结果，即可判断出正确选项． 【详解】解：A、，故本选项计算错误． B、，故本选项计算错误． C、，故本选项计算错误． D、，故本选项计算正确． 【变式2】计算的结果是（     ） A．1 B．3 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解： 【变式3】计算：___________． 【答案】0 【详解】解：． 【变式4】习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 【答案】(1)开始出错的步骤是②，原习题正确过程见解析，结果为 (2)+ 【分析】（1）根据运算过程判断即可；根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）把看作是两个负数的和，可得答案． 【详解】（1）解：在上面的计算过程中，开始出错的步骤是②； ； （2）解：， 故方框内应填上“+”． 题型02 有理数的加减混合运算 【典例1】将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 【详解】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 有理数加减混合运算的步骤： （1）将减法转化为加法运算； （2）省略加号和括号； （3）运用加法交换律和结合律，将同号的数分别相加； （4）按有理数加法法则计算． 【变式1】若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求出的值，即可得到答案． 【详解】解：； ， ， ； ． 【变式2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先去括号化简原式，再按顺序计算得到结果即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3】计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式4】． 小李的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小李的计算过程，回答下列问题： (1)小李在进行第二步计算时，运用的运算律是_______； (2)请指出他从第_______步开始出现错误； (3)将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程． 【答案】(1)加法的交换律、结合律 (2)三 (3)解：原式 ． 【详解】（1）解：小李在进行第二步计算时，运用的运算律是加法的交换律、结合律． （2）解：第三步两个负数相加计算错误． （3）略 题型03 有理数加减法与数轴的综合 【典例1】如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为（   ） A． B． C．3.8 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，有理数的减法，利用数轴上两点间的距离列式计算即可． 【详解】解：刻度尺上表示对应数轴上的数为：． 故选：B． 用有理数的减法可以表示数轴上两点之间的距离，若A、B两点在数轴上分别表示a、b，则AB两点间距离公式：AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|，即在数轴上任意两点之间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值. 【变式1】如图，将刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是)，刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的点与刻度尺的位置对应关系，关键是找出刻度尺刻度与数轴上数的数量关系． 【详解】解：∵刻度尺上对应数轴上的3，对应数轴上的0，数轴的单位长度是， ∴刻度尺上的刻度值与数轴上对应的数的和为3， ∴刻度尺上对应数轴上的数为； 故选：D． 【变式2】若数轴上点表示的数是，点在数轴的负半轴上，且点到数轴原点的距离与点到数轴原点的距离相等，则数轴上与点相距个单位长度的点表示的数为（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离，有理数的加减运算，熟练掌握其性质及求法是做题的关键．根据点表示的数是，且点到原点的距离与点到原点的距离相等，可得点表示的数是，再求与点相距个单位长度的点表示的数，计算的值即可． 【详解】解：根据点表示的数是，且点到原点的距离与点到原点的距离相等， 则点表示的数是， 又∵与点相距个单位长度的点有两个， ∴该点表示的数为：， 即符合条件的点表示的数为：或． 故选：C． 【变式3】如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为________． 【答案】 【分析】根据题意，得数轴上的数与刻度尺上对应的数的和是3，列式计算即可． 本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得刻度尺上“”对应数轴上的数为， 故答案为：． 【变式4】数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示，例如：数轴上的点到表示2的点的距离用表示．设点在数轴上表示的有理数是，则的最小值是___________． 【答案】7 【分析】本题考查数轴与有理数，绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义得到表示数轴上的数到数5以及数之间的距离和，进而得到当在和5之间时，的值最小，为数到数5之间的距离． 【详解】解：由题意，表示数轴上的数到数5以及数之间的距离和， ∴当在和5之间时，的值最小，为数到数5之间的距离； ∴的最小值是； 故答案为：7． 题型04 有理数加减法与相反数、绝对值的综合 【典例1】若 是最大的负整数， 的绝对值是3，且 ，求 的值． 【答案】2 【分析】根据是最大的负整数计算即可． 【详解】最大的负整数， ，则或， 因为，即，所以必须是， 此时． 1、利用相反数的意义：互为相反数的两个数的和为0； 2、利用绝对值的非负性：几个非负数的和为0，每个非负数都要为0. 3、利用有理数的加法运算法则：异号的两个数相加，取绝对值较大的数的符号，再让较大的绝对值减去较小的绝对值 【变式1】已知 ，求 的值． 【答案】 【详解】因为 ，，且它们的和为 ， 所以 且 ， 解得 ，， 所以 ． 【变式2】已知，且，求的值． 【答案】或 【分析】先由与的大小求解出与的值，由此计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，或，， 当，， 则； 当，， 则； 故的值为或． 【变式3】化简： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中a、b满足． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查整式的加减运算，整式加减中的化简求值，非负数的性质，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）去括号，合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可； （3）去括号，合并同类项，进行化简，非负性求出的值，再代入化简后的结果，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 （3）解：原式 ∵， ∴，． 则原式． 【变式4】已知，． (1)先化简，再求值．当时，求的值； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先化简整式，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值． （2）代数式的值与a的取值无关可知a的系数为0，可求出b的值． 【详解】（1）解：， ∴ ∴ ∴ 当时， 原式 ； （2）解： 与的取值无关 ∴ 题型05 有理数加减法的程序计算题 【典例1】科技的力量离不开复杂的程序，现在请同学们体会一个小小的程序设计，按图中程序运算，如果输入2，那么输出的结果是（   ） A．4 B．1 C．8 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了程序运算中的有理数加减运算，解题的关键是按照程序给定的步骤依次对输入的数进行运算，并根据判断条件确定是否输出结果． 输入后，按程序步骤依次计算：先进行运算，再进行（即）运算，接着进行运算，得到结果后判断是否大于2，若大于则输出该结果． 【详解】解：输入，按程序运算： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 判断，满足输出条件，故输出结果为． 故选：A． 利用有理数的加减混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． 【变式1】如图是一个数字运算程序流程图，按照这个程序运算，若输入数字，则输出结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据程序流程图的运算规则，依次计算每一次循环的结果，直到结果重复出现为止． 【详解】解：①若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时； ②若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时； ③若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时； ④若输入，则组成最大的数为，最小的数为，此时，与上一次运算结果相同，即重复出现； 所以输出的结果为． 【变式2】如图，这是一个运算程序，若输入，并按如图所示的程序运算，则输出的结果为_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据程序流程图列出算式，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．输入可得：结果为，不符合输出要求，再输入计算即可得到答案． 【详解】解：输入可得： ， 输入可得： ， ∴输出的数是； 故答案为： 【变式3】如图是一个运算程序，若输入，按如图所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），则输出的结果为______．    【答案】3 【分析】本题考查程序流程图，解题的关键是根据流程图列式进行计算．根据程序流程图先代入计算，再根据结果进一步解答即可． 【详解】解：由题意可知：， 再代入1得：，输出． 故答案为：3． 【变式4】如图，这是一个运算程序． (1)输入，并按如图所示的程序运算，则输出的数字是______． (2)输入，并按如图所示的程序运算，求输出的数字． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算； （1）根据条件由输入的程序可得算式，然后根据有理数加减混合运算的法则进行解答即可得到答案； （2）根据条件由输入的程序循环计算，直到输出结果大于根据有理数加减混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：当输入1时，运算过程为：，输出数字为：； 故答案为：； （2）解：当输入时，运算过程为：，结果为， 再输入，运算过程为：，结果为， 再输入，运算过程为：，结果为， 再输入1，运算过程为：，输出数字为：． 题型06 有理数加减法的新定义运算问题 【典例1】高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的新运算，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减混合运算，新定义运算，解题关键是理解新定义运算．根据定义，先求，再计算 ． 【详解】解：表示不超过的最大整数，且， ． ． 故选：A． 有理数加减法的新定义运算问题主要是根据新定义运算的法则列出算式，然后再进行计算即可． 【变式1】对于有理数，定义运算：． (1)计算的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律． 【答案】(1) (2) (3)不满足，理由见解析 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、新定义； （1）根据，计算出所求式子的值； （2）根据，先计算可以计算出所求式子的值； （3）分别根据进行计算即可判断是否成立． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵ ∴ ； （3）解：这种新定义不满足交换律，理由如下， ∵ ∴ ， ∴ 【变式2】甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）—运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ______；______；______；______． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则．两数进行*（加乘）运算时，同号得_____、异号得_____、并把_____相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，______． (3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的结论． 【答案】(1)； (2)正；负；绝对值；等于这个数的绝对值； (3)新运算不具有结合律；见解析 【分析】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键． （1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算即可； （2）根据题意归纳可得加乘运算的运算法则即可； （3）对于加乘运算的结合律，可举例，进行运算后再判断即可． 【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得： ；；， ； 故答案为：； （2）解：两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值． 故答案为：正；负；绝对值；等于这个数的绝对值； （3）解：新运算不具有结合律， 例如：， ， ∴ 故新运算不具有结合律． 【变式3】一种新运算定义如下： (1)计算：______； (2)计算：______；（括号内的式子先进行运算） (3)我们知道有理数加法和乘法都满足交换律和结合律，请对该新运算进行关于运算律的探究： ①判断该新运算是否满足交换律：______（填“是”或“否”）； ②判断该新运算是否满足结合律：______（填“是”或“否”）；若填“是”请说明理由；若填“否”，请举出一个反例． 【答案】(1)12 (2)16 (3)①是；②否，见解析 【分析】此题考查了加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算计算即可； （2）根据新定义的运算计算即可； （3）①分别计算与，即可得到答案；②利用反例进行判断即可． 【详解】（1）解：， （2）， （3）①，， ∴， 故该新运算满足交换律； 故答案为：是 ②当时，，，两者不相等． 故该新运算不满足结合律， 故答案为：否 【变式4】定义一种新运算：，如，按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)26 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】（1）根据题意可得， ； （2） ． 题型07 有理数加减混合运算在实际生活中的应用 【典例1】北京市2026年5月1日的“日出、日中、日落时刻”如下表所示，则北京市2026年5月1日的白昼时长是（     ） 日出时刻 日中时刻 日落时刻 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】白昼时长为日落时刻减去日出时刻，根据时分秒的60进制计算即可得到结果． 【详解】解：． 用有理数的加减混合运算求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题，常见的实际问题有距离问题、高度问题、温差问题等. 【变式1】福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为，丙队与丁队的比赛结果为．若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作，则丙队的净胜球数应记作（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确净胜球数的计算方法为：净胜球数进球数失球数，结合题目给出的甲队净胜球验证计算规则，再计算丙队的净胜球数即可得到答案． 【详解】解：净胜球数的计算规则为：净胜球数进球数失球数， ∵甲队与乙队的比赛结果为，即甲队进球数为，失球数为， ∴甲队的净胜球数为，记作， ∵丙队与丁队的比赛结果为，即丙队进球数为， 失球数为， ∴丙队净胜球数为，即丙队的净胜球数应记作． 【变式2】中国是历史上最早认识和使用负数的国家．某地某天最高气温为零上6摄氏度，最低气温为零下2摄氏度，则该地这天最高气温比最低气温高________摄氏度． 【答案】 【分析】先根据正负数的意义表示出最高气温和最低气温，再利用有理数的减法法则计算最高气温与最低气温的差值即可． 【详解】解：规定零上温度为正，则该地这天最高气温为，最低气温为． ∴该地这天最高气温比最低气温高． 【变式3】王老师采用一种新的计分方法如下：以优秀成绩分为标准，小强考了分记为分，小刚考试成绩记为分，那么小刚这次考试的实际分数为______分． 【答案】 【分析】由正负数的实际意义，根据给定的标准分，结合有理数的减法运算计算即可． 【详解】解：以优秀成绩分为标准，小刚考试成绩记为分，则小刚这次考试的实际分数为（分）． 【变式4】小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)小李在集合点的南边，距集合点1千米 (2) (3)能，理由见解析 【分析】（1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案； （2）分别求出这6次行驶距离集合点的路程，比较即可； （3）分别求出这6个数的绝对值，相加求和，然后与12进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解： （千米）， 答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米； （2）第一次距离集合点（千米）， 第二次距离集合点（千米）， 第三次距离集合点（千米）， 第四次距离集合点（千米）， 第五次距离集合点（千米）， 第六次距离集合点（千米）， 因为， 所以小李距集合点最远为2千米， 故答案为：2； （3）能，理由： （千米）千米， 所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程． 1．某种疫苗保存温度为，最合适的温度范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据标注计算温度的最低值和最高值，即可得到合适温度范围． 【详解】解：表示保存温度的最低值为， 最高值为：， 最合适的温度范围是． 2．山西省内海拔最高点是被誉为“华北屋脊”的五台山叶斗峰，其海拔约为3061米，最低点是运城市垣曲县黄河口，其海拔约为180米．某兴趣小组将太原市的平均海拔800米记作0米，若五台山叶斗峰海拔记作米，则运城市垣曲县黄河口海拔可记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．180米 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际意义，以800米为基准，高于基准记为正，低于基准记为负，计算黄河口海拔与基准的差值即可得到结果． 【详解】解：∵ 题目规定将太原市平均海拔800米记作0米，即基准为800米，高于基准记正，低于基准记负， 又∵ 运城市垣曲县黄河口实际海拔为180米， ∴ 米， 因此运城市垣曲县黄河口海拔可记作米． 3．乒乓球选手赛前需挑选符合标准弹性的比赛用球，将球从高度自由下落，反弹高度在范围内为达标，则下列乒乓球反弹高度中，符合该弹性标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到反弹高度的范围为，再逐项判断即可． 【详解】解：反弹高度在范围内，即反弹高度为，则符合弹性标准，故选项B符合题意． 4．规定表示不超过的最大整数，则______． 【答案】 【详解】解： 5．数轴上三点对应数，，，相邻两点距离相等，则______． 【答案】或或 【分析】先计算数轴上与两点间的距离，再分三种情况讨论的位置，根据相邻两点距离相等求解即可． 【详解】解：和之间的距离为， 分三种情况讨论： ①当在的左侧时，与的距离为， ∴； ②当在和之间时，与的距离为， ∴； ③当在的右侧时，与的距离为， ∴； 综上所述，或或． 6．把算式改写成省略括号和加号的形式：______． 【答案】 【分析】根据有理数的减法法则进行变形，即可得到结果． 【详解】解：． 1．在综合实践课中，同学们探究得出，某地日出、日落时刻关于正午时刻对称．若该地日出时刻为，日落时刻为，则当天太阳高度达到最大值的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，太阳高度达到最大值的时刻为正午时刻，且日出与日落关于正午对称，因此正午时刻是日出和日落时刻的平均值，计算即可得到结果． 【详解】解：∵日出、日落时刻关于正午对称，太阳高度最大值出现在正午， ∴正午时刻为日出时刻与日落时刻的平均值， ∵，， ∴当天太阳高度达到最大值的时间为． 2．一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：点在线段上和点在的延长线上，根据和点B表示的数求出点表示的数，再根据折叠可得点C为的中点，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，∵，且点B表示的数为10， ∴点表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 当点在的延长线上时，∵，且点B表示的数为10， ∴点表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 综上所述，点C表示的数为或． 3．如图，数轴上的点A表示的数为有理数a，下列各数中在2，3之间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴可以得到，然后即可得到各个选项中的式子的取值范围，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴，， ∴． 4．如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 【答案】 【分析】根据已知及要求，1~10的十个数字应大小间隔相排，如10，1，9，2，8，3，7，4，6，5且相邻两个格子(具有公共边)两个数之差的绝对值之和最大． 【详解】解：如图所示： 最大值． 故此最大值为50． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．如图，数轴上的点M，N分别表示数，1． (1)求点M，N之间的距离； (2)数x对应此数轴上的点A，若点A，N之间的距离为2，求x的值． 【答案】(1)4 (2)或3 【详解】（1）解：由数轴可知：点M，N之间的距离为； （2）解：∵点A，N之间的距离为2，且点N表示的数为1， ∴点A表示的数为或， 即x的值或3． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1.2 有理数的减法 教学目标 1.理解有理数减法的意义，掌握有理数减法法则，能熟练进行有理数的减法运算。 2.经历有理数减法法则的探索推导过程，体会转化的数学思想，提高数学运算与归纳总结能力。 3.感受有理数加减法之间的内在联系，体会数学知识的统一性，培养严谨的运算习惯。 教学重难点 1.重点 掌握有理数减法法则，能够正确、熟练地进行有理数减法运算。 2.难点 理解有理数减法转化为加法的运算本质，准确处理减数符号的变化问题。 知识点01 有理数的减法法则 1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为： 2、有理数减法的运算方法： （1）把减号变为加号(改变运算符号) （2）把减数变为它的相反数(改变性质符号) （3）按照加法运算的步骤进行运算 【注意】 在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律.减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 【即学即练】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 知识点02 有理数的加减混合运算 引入相反数后，有理数的加减混合运算统一成加法运算.即：a+b+(﹣c) 方法 步骤 直接计算 利用有理数的加法及减法法则,按从左到右的顺序运算. 统一为加法计算 (1)利用减法运算法则,将有理数加减混合运算转化为加法运算; (2)适当运用加法运算律简化运算. 【即学即练】与相等的是（     ） A． B． C． D． 题型01 有理数减法运算 【典例1】下列数中比小1的数是（     ） A． B．1 C． D．3 有理数的减法法则是一个转化法则，减号转化为加号，同时要注意减数变为它的相反数，这样就可以用加法法则来解决减法问题. 【变式1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】计算的结果是（     ） A．1 B．3 C．3 D．2 【变式3】计算：___________． 【变式4】习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 题型02 有理数的加减混合运算 【典例1】将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 有理数加减混合运算的步骤： （1）将减法转化为加法运算； （2）省略加号和括号； （3）运用加法交换律和结合律，将同号的数分别相加； （4）按有理数加法法则计算． 【变式1】若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3】计算：． 【变式4】． 小李的做法如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据小李的计算过程，回答下列问题： (1)小李在进行第二步计算时，运用的运算律是_______； (2)请指出他从第_______步开始出现错误； (3)将错误的一步改正并写出之后正确的解答过程． 题型03 有理数加减法与数轴的综合 【典例1】如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为（   ） A． B． C．3.8 D． 用有理数的减法可以表示数轴上两点之间的距离，若A、B两点在数轴上分别表示a、b，则AB两点间距离公式：AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|，即在数轴上任意两点之间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值. 【变式1】如图，将刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是)，刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（  ） A． B． C． D． 【变式2】若数轴上点表示的数是，点在数轴的负半轴上，且点到数轴原点的距离与点到数轴原点的距离相等，则数轴上与点相距个单位长度的点表示的数为（　　） A． B．或 C．或 D． 【变式3】如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为________． 【变式4】数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示，例如：数轴上的点到表示2的点的距离用表示．设点在数轴上表示的有理数是，则的最小值是___________． 题型04 有理数加减法与相反数、绝对值的综合 【典例1】若 是最大的负整数， 的绝对值是3，且 ，求 的值． 1、利用相反数的意义：互为相反数的两个数的和为0； 2、利用绝对值的非负性：几个非负数的和为0，每个非负数都要为0. 3、利用有理数的加法运算法则：异号的两个数相加，取绝对值较大的数的符号，再让较大的绝对值减去较小的绝对值 【变式1】已知 ，求 的值． 【变式2】已知，且，求的值． 【变式3】化简： (1)； (2)； (3)先化简，再求值：，其中a、b满足． 【变式4】已知，． (1)先化简，再求值．当时，求的值； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 题型05 有理数加减法的程序计算题 【典例1】科技的力量离不开复杂的程序，现在请同学们体会一个小小的程序设计，按图中程序运算，如果输入2，那么输出的结果是（   ） A．4 B．1 C．8 D．2 利用有理数的加减混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． 【变式1】如图是一个数字运算程序流程图，按照这个程序运算，若输入数字，则输出结果为（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，这是一个运算程序，若输入，并按如图所示的程序运算，则输出的结果为_______． 【变式3】如图是一个运算程序，若输入，按如图所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），则输出的结果为______．    【变式4】如图，这是一个运算程序． (1)输入，并按如图所示的程序运算，则输出的数字是______． (2)输入，并按如图所示的程序运算，求输出的数字． 题型06 有理数加减法的新定义运算问题 【典例1】高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的新运算，已知表示不超过的最大整数，例如，现定义，例如，则(   ) A． B． C． D． 有理数加减法的新定义运算问题主要是根据新定义运算的法则列出算式，然后再进行计算即可． 【变式1】对于有理数，定义运算：． (1)计算的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律． 【变式2】甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）—运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ______；______；______；______． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则．两数进行*（加乘）运算时，同号得_____、异号得_____、并把_____相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，______． (3)我们知道有理数的加法有结合律，请判断这种新运算“*”是否具有结合律？并举一个例子验证你的结论． 【变式3】一种新运算定义如下： (1)计算：______； (2)计算：______；（括号内的式子先进行运算） (3)我们知道有理数加法和乘法都满足交换律和结合律，请对该新运算进行关于运算律的探究： ①判断该新运算是否满足交换律：______（填“是”或“否”）； ②判断该新运算是否满足结合律：______（填“是”或“否”）；若填“是”请说明理由；若填“否”，请举出一个反例． 【变式4】定义一种新运算：，如，按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 题型07 有理数加减混合运算在实际生活中的应用 【典例1】北京市2026年5月1日的“日出、日中、日落时刻”如下表所示，则北京市2026年5月1日的白昼时长是（     ） 日出时刻 日中时刻 日落时刻 A． B． C． D． 用有理数的加减混合运算求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题，常见的实际问题有距离问题、高度问题、温差问题等. 【变式1】福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为，丙队与丁队的比赛结果为．若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作，则丙队的净胜球数应记作（     ） A． B． C． D． 【变式2】中国是历史上最早认识和使用负数的国家．某地某天最高气温为零上6摄氏度，最低气温为零下2摄氏度，则该地这天最高气温比最低气温高________摄氏度． 【变式3】王老师采用一种新的计分方法如下：以优秀成绩分为标准，小强考了分记为分，小刚考试成绩记为分，那么小刚这次考试的实际分数为______分． 【变式4】小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 1．某种疫苗保存温度为，最合适的温度范围是（    ） A． B． C． D． 2．山西省内海拔最高点是被誉为“华北屋脊”的五台山叶斗峰，其海拔约为3061米，最低点是运城市垣曲县黄河口，其海拔约为180米．某兴趣小组将太原市的平均海拔800米记作0米，若五台山叶斗峰海拔记作米，则运城市垣曲县黄河口海拔可记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．180米 3．乒乓球选手赛前需挑选符合标准弹性的比赛用球，将球从高度自由下落，反弹高度在范围内为达标，则下列乒乓球反弹高度中，符合该弹性标准的是（    ） A． B． C． D． 4．规定表示不超过的最大整数，则______． 5．数轴上三点对应数，，，相邻两点距离相等，则______． 6．把算式改写成省略括号和加号的形式：______． 1．在综合实践课中，同学们探究得出，某地日出、日落时刻关于正午时刻对称．若该地日出时刻为，日落时刻为，则当天太阳高度达到最大值的时间为（     ） A． B． C． D． 2．一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 3．如图，数轴上的点A表示的数为有理数a，下列各数中在2，3之间的是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．如图，数轴上的点M，N分别表示数，1． (1)求点M，N之间的距离； (2)数x对应此数轴上的点A，若点A，N之间的距离为2，求x的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $