1.4.2 充要条件 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习以“夯基础-提能力-迎挑战”三层次设计，构建“概念辨析-综合应用-创新拓展”的知识巩固路径，培养数学推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|单一充要条件判断（选择、填空、证明）|结合教材例题与阶段检测题，强化概念辨析| |提能力|综合应用（多选、含参数问题）|设置开放性选择条件问题，提升迁移能力| |迎挑战|跨情境与复杂问题（电路情境、集合结合）|融入生活情境与多知识点综合题，拓展创新思维|

人教A版必修第一册同步练习 216个知识点 · 312道经典例题 ·216个题型集训 第一章　集合与常用逻辑用语 §1.4.2 充要条件 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1. （25-26高一上·浙江·阶段检测）设分别是的三条边，则“为直角三角形”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据勾股定理与反例，，结合必要不充分的概念，可得答案. 【详解】当时，易知是直角三角形，但，所以充分性不满足； 根据勾股定理，由，则是直角三角形，所以必要性可证. 故选：B. 2. （25-26高二下·广东深圳·期末）设，则“”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系. 【详解】不等式可化为， 所以，若成立， 一定满足，因此充分性成立， 若满足，不一定满足（例如）， 因此，必要性不成立. 3. （24-25高一上·山东·阶段检测）使不等式或成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】解不等式，再利用充分不必要条件判断得解. 【详解】对于A，不能推出或，A不是； 对于B，不能推出或，B不是； 对于C，能推出或，反之，或不能推出，C是； 对于D，或是不等式成立的充要条件，D不是. 故选：C 4. （25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）等式成立的充要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别在和的情况下讨论即可得到结果. 【详解】当时，；当时，； 则成立的充要条件为：. 故选：C. 5. （25-26高一上·福建厦门·阶段检测）“函数的图象在轴的上方”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】由二次函数的性质求出二次函数图象在轴的上方时的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由二次函数的性质可知： 若函数的图象在轴的上方， 则，解得： 因为由可得出， 但由得不出， 所以是的充分不必要条件， 即“函数的图象在轴的上方”是“”的充分不必要条件， 故选：A 6. （25-26高二下·河北保定·期末）（多选）p是q的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件，r是s的充要条件，p是r的既不充分也不必要条件，则（    ） A．s是q的必要不充分条件 B．r是q的充分不必要条件 C．q是s的充要条件 D．p是s的既不充分也不必要条件 【答案】BD 【分析】根据题意得出，即可由该条件判断各选项的正误. 【详解】由题意知， 所以是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的既不充分也不必要条件． 故BD正确. 故选：BD 7. （25-26高一上·山东烟台·阶段检测）（多选）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件 C．若集合是的真子集，则“”是“”的必要不充分条件 D．“关于x的不等式在上恒成立”的充要条件是“” 【答案】BC 【分析】A选项，根据 ，但 得到A错误； B选项，等边三角形是特殊的等腰三角形，从而得到“三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件； C选项，由是的真子集得到 ，但 ，从而C正确； D选项，关于x的不等式在上恒成立，分为，两种情况进行求解. 【详解】因为 ，但 ，故“”是“”的必要不充分条件，A错误； 三角形是等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形， 故“三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件，B正确； 若集合是的真子集，则 ，但 ， 所以“”是“”的必要不充分条件，C正确； 关于x的不等式在上恒成立，当，时，满足要求， 若，则需要满足，故D错误. 故选：BC 8. （25-26高一上·甘肃定西·开学考试）：两个三角形的三条边对应相等，：两个三角形全等，则是的_________条件． 【答案】充要条件 【分析】利用全等三角形的判定和性质定理即可作出判断. 【详解】根据边边边全等三角形的判定定理可知，如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等， 又根据全等三角形的性质定理可知，如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应边相等， 由此可推断是的充要条件. 故答案为：充要条件. 9. “x=3或x=4”是“x-3=”的　　　　条件.  【答案】充要 【详解】　由x-3=,得x=3或x=4. 显然x=3或x=4时,x-3=, 故“x=3或x=4”是“x-3=”的充要条件. 10. （24-25高一上·北京·阶段检测）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是_____． 【答案】 【分析】设或，，由题意可得是的真子集，即可得实数的取值范围，可得的最大值. 【详解】设或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，则， 即实数的最大值是. 故答案为：. 11. （教材例题）已知：的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：是直线1与相切的充要条件. 【答案】证明：设，q：直线与相切. （1）充分性（）：如图，作于点，则. 若，则点在上. 在直线l上任取一点（异于点），连接. 在中，. 所以，除点P外直线l上的点都在的外部， 即直线1与仅有一个公共点P， 所以直线l与相切. （2）必要性（）： 若直线l与相切，不妨设切点为P， 则.因此，. 由（1）（2）可得， 是直线l与相切的充要条件. 【分析】设 ，直线l与相切.通过证明，得到充分性，通过证明得到必要性，从而证明是的充要条件. 【详解】略. 提能力 综合用 · 善迁移 12. （25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选）对任意实数，，，给出下列命题，其中真命题是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件 【答案】CD 【分析】利用充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】对于A，因为当时成立，当且时，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故A错； 对于B，当时，，当时，或，所以“”是“”的必要不充分条件，故B错； 对于C，因为“”时一定有“”成立，所以“”是“”的必要条件，C正确； 对于D，“是无理数”是“是无理数”的充要条件，D正确. 故选：CD. 13. （24-25高一上·四川绵阳·期中）若关于的方程有四个不同的实数根的充要条件为______． 【答案】或 【分析】把原方程的解转化为在上有两个不同的正数解，利用判别式及韦达定理可求参数的范围. 【详解】令，则，则原方程可化为， 因为关于的方程有四个不同的实数根， 故在上有两个不同的正数解， 故，解得或. 故答案为：或. 14. 在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中,若问题中的a存在,求a的取值集合M,若问题中的a不存在,说明理由. 问题:已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|1-a≤x≤1+a}(a>0),是否存在实数a,使得x∈A是x∈B成立的　　　　?  【详解】由题意知A={x|0≤x≤4}, 若选①,则A是B的真子集, 所以1-a≤0且1+a≥4(两等号不能同时取得), 又a>0,解得a≥3, 所以存在a,a的取值集合M={a|a≥3}. 若选②,则B是A的真子集, 所以1-a≥0且1+a≤4(两等号不能同时取得), 又a>0,解得0<a≤1, 所以存在a,a的取值集合M={a|0<a≤1}. 若选③,则A=B, 所以1-a=0且1+a=4, 又a>0,方程组无解, 所以不存在满足条件的a. 迎挑战 拓思维 · 求突破 15. （25-26高一上·北京·阶段检测）设计如图所示的四个电路图，条件“灯泡亮”；条件“开关闭合”，则是的必要不充分条件的电路图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各电路的特点，判断两个命题之间的逻辑关系，即可判断出答案. 【详解】对于A，灯泡L亮，可能是闭合，不一定是S闭合， 当S闭合时，必有灯泡L亮，故p是q的必要不充分条件，A正确； 对于B，由于S和L是串联关系，故灯泡L亮，必有S闭合， S闭合，灯泡L亮，即p是q的充要条件，B错误； 对于C，灯泡L亮，则开关和S必都闭合， 当开关S闭合打开时，灯泡L不亮，故p是q的充分不必要条件，C错误； 对于D，灯泡L亮，开关S未必闭合，故p不是q的充分条件，D错误. 故选：A. 16. （25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）先求出，根据交集的概念得到答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案； （3）先得到为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，，故或， ， 故或 ； （2）， ，当时，，解得， 当时，需满足或，解得， 综上，实数m的取值范围为或； （3）命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足或， 解得， 综上，实数m的取值范围为 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版必修第一册同步练习 216个知识点 · 312道经典例题 ·216个题型集训 第一章　集合与常用逻辑用语 §1.4.2 充要条件 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1. （25-26高一上·浙江·阶段检测）设分别是的三条边，则“为直角三角形”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. （25-26高二下·广东深圳·期末）设，则“”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. （24-25高一上·山东·阶段检测）使不等式或成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D．或 4. （25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）等式成立的充要条件是（     ） A． B． C． D． 5. （25-26高一上·福建厦门·阶段检测）“函数的图象在轴的上方”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6. （25-26高二下·河北保定·期末）（多选）p是q的充分不必要条件，q是r的必要不充分条件，r是s的充要条件，p是r的既不充分也不必要条件，则（    ） A．s是q的必要不充分条件 B．r是q的充分不必要条件 C．q是s的充要条件 D．p是s的既不充分也不必要条件 7. （25-26高一上·山东烟台·阶段检测）（多选）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件 C．若集合是的真子集，则“”是“”的必要不充分条件 D．“关于x的不等式在上恒成立”的充要条件是“” 8. （25-26高一上·甘肃定西·开学考试）：两个三角形的三条边对应相等，：两个三角形全等，则是的_________条件． 9. “x=3或x=4”是“x-3=”的　　　　条件.  10. （24-25高一上·北京·阶段检测）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是_____． 11. （教材例题）已知：的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：是直线1与相切的充要条件. 提能力 综合用 · 善迁移 12. （25-26高一上·山东枣庄·期中）（多选）对任意实数，，，给出下列命题，其中真命题是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件 13. （24-25高一上·四川绵阳·期中）若关于的方程有四个不同的实数根的充要条件为______． 14. 在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中,若问题中的a存在,求a的取值集合M,若问题中的a不存在,说明理由. 问题:已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|1-a≤x≤1+a}(a>0),是否存在实数a,使得x∈A是x∈B成立的　　　　?  迎挑战 拓思维 · 求突破 15. （25-26高一上·北京·阶段检测）设计如图所示的四个电路图，条件“灯泡亮”；条件“开关闭合”，则是的必要不充分条件的电路图是（   ） A． B． C． D． 16. （25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $