2026-2027学年人教版八年级上册数学第一次阶段性检测（南通专用）（范围：第13,14，15章）

**基本信息** 聚焦三角形核心知识，通过新定义情境（如“优美比”“友爱三角形”）和操作探究（如三角板叠放），考查几何直观、推理能力与创新意识，适配八年级上册阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|三角形三边关系、全等判定、角平分线性质|基础巩固，如第3题三角形构成判断，考查空间观念| |填空题|8/30|平移性质、全等条件添加、新定义计算|能力提升，如第15题“优美比”计算，体现抽象能力| |解答题|8/90|全等证明、角平分线作图、操作探究|创新应用，如第26题三角尺旋转探究，培养推理能力与模型意识|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年八上第一次阶段性检测（南通专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版2024八年级上册第13,14,15章 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）等腰三角形的两条边分别为和，则它的周长是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】未明确腰和底，需分类讨论并验证三边关系． 【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为和， ∴分两种情况：当腰长为，底边长为时， ∵，符合三边关系， ∴周长为； 当腰长为，底边长为时， ∵，符合三边关系， ∴周长为． 故周长为或． 2．（本题3分）已知某三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围，再对应选项判断即可． 【详解】解：三角形三边长为，，， 根据三角形三边关系得， 即， 选项中只有满足该范围， ∴答案选C． 3．（本题3分）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（  ） A．1，2，4 B．2，3，5 C．3，5，6 D．4，5，9 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边”是解题的关键．依据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），判断每组线段是否满足该条件． 【详解】解：∵三角形三边关系为任意两边之和大于第三边 ∴对于A：，不满足； 对于B：，不满足； 对于C：，，，满足； 对于D：，不满足． 故选：C． 4．（本题3分）如图，在中，E为边上一点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，解题的关键是证明．根据等腰三角形的性质求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．（本题3分）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即，．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．两点之间线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键； 已知点O分别为线段AC、BD的中点即可得到边相等，根据对顶角相等即可得到角相等，则可判定三角形全等即可得知判定全等的依据. 【详解】解：∵O为线段AC、BD的中点 ∴， ∴在和中， ∴ 故选：B. 6．（本题3分）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线．这个作图是在作（    ） A．一个角等于已知角 B．线段的垂线 C．线段垂直平分线 D．平分已知角 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的判定定理证明，则，可得射线是角平分线． 【详解】证明：由作图过程可得， 在和中， ， ， ， 射线是角平分线． 故选：D． 7．（本题3分）如图，在中，，是的平分线，于点，点在边上，连接，，若，，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，证明，得出，再由，，计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故选：D． 8．（本题3分）中，若，则中线的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，延长到E，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 【详解】解：延长到E，使，连接，如下图： ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ∴ ∴ 根据三角形的三边关系得∶ ， 即： ∴， ∵， ∴， 故选：D． 9．（本题3分）如图，，，分别是△ABC的高，角平分线，中线，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，掌握定义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线，高的定义进而判断即可． 【详解】解：，，分别是△ABC的高，角平分线，中线， ∴，，，， ∴， 由与不一定相等， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 10．（本题3分）如图，在中，（），角平分线交于点于点有下列结论： ①；②；③是等腰三角形；④． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． ①利用角平分线的性质及三角形内角和定理进行求解即可； ②根据垂直得出直角，利用直角三角形的性质以及角的和差即可求解； ③过点作于点，过点作于点，利用角平分线的性质得出相等线段，证明即可得出结论； ④结合③的结论，证明，然后再利用面积的和差即可得出结论． 【详解】解：①∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 故②正确，符合题意； ③如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故③正确，符合题意； ④由③得，，且， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①②③④，共4个， 故选：D． 二、填空题（共30分） 11．（本题3分）如图，将沿边所在的直线向右平移得到，若，，则的度数是__________． 【答案】 【分析】根据平移的性质得出对应角相等，即 ，再在 中利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】解： 将 沿边 所在的直线向右平移得到 ，， ， 在 中，，， ． 12．（本题3分）如图，在中，，平分交于点，若，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积． 过点D作，交于点E，再根据角平分线的性质定理得出，然后根据求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，交于点E， 平分，， ， ，， ， ， ． 故答案为：3． 13．（本题4分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_________．(写出一个即可) 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 首先根据已知条件，再结合全等三角形的判定方法来添加合适的条件，使得两个三角形全等即可． 【详解】解：∵点B，E，C，F在同一条直线上，，，即已知一组等边和一组等角， ∴若添加，即可满足， 故答案为：(答案不唯一)． 14．（本题4分）如图，，点E在边上，与相交于点G．，，则____． 【答案】64 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形外角性质的应用，掌握全等三角形的性质是解决本题的关键． 根据全等三角形的性质可得，再根据等边对等角可得，最后结合三角形外角的定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（本题4分）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，一边长为可能是腰或底边，但需满足三角形三边关系．通过计算，为腰时不能构成三角形，故只能为底边，从而求出腰长，再计算优美比． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为，周长为． 若一边长为， 分两种情况讨论： 当为腰长时，则，．但，不满足三角形三边关系，故舍去． 当为底边长时，则，，．此时，，满足三角形三边关系，则优美比． 故答案为：． 16．（本题4分）如图，是的角平分线，是的高线，于点，于点，若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形高的计算，根据角平分线的性质得到，根据面积的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∵是的高线，， ∴， 故答案为： ． 17．（本题4分）如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 【答案】或4 【分析】先得出t的取值范围，然后分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含t的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 分情况讨论： ①如图，当点在延长线上时，． ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， 当时，有． ，， ， 解得； ②如图，当点在线段上时，．    同①得， 又， 当时，有． ，， ， 解得； 综上，当与全等时，t的值为秒或4秒． 18．（本题4分）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若是等腰三角形，则______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则 ∴，， 由折叠可知：， 当，即时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意）； 当，即时， ∵， ∴， 解得， 即； 当，即时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或． 三、解答题（共90分） 19．（本题10分）如图， (1)是的中线（即点是的中点）， 有①________，②________． (2)如图是的角平分线， ③________． (3)是的高（） ④________ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据中线的性质，作答即可； （2）根据角平分线的定义作答即可； （3）根据高线的定义作答即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 20．（本题10分）如图，在中，，垂足为，是的平分线，与交于点．若，，求和的度数． 【答案】．． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角性质．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：在中，，， ． ， ， ． 是的平分线， ， ． 21．（本题10分）如图，在中，，，D为延长线上的一点，点E在边上，连接，其中． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质： （1）利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再由三角形外角的性质解答即可． 【详解】（1）证明：由题意，得， 在和中， ∵ ． （2）解：∵在中，，， ， 由（1）知， ． ， ． 22．（本题10分）如图所示在中，． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的角平分线，交于D； (2)在（1）中作出的图形中，计算的度数． 【答案】(1) 解：如图，射线即为所求； (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）根据角平分线的定义，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ， ， 在中，， ， ． 23．（本题10分）如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：， 即， 在和中， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，再结合，，证明，即可作答． （2）由（1）得，故，又结合，则，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ， 又， ． 24．（本题12分）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放一起． (1)如图，若恰好是的角平分线，请你猜想此时是不是的角平分线？并简述理由． (2)如图，若始终在的内部，请猜想与是否相等？并简述理由． (3)如图，若始终在的内部，设，试用含的代数式表示的度数，并说明当的值增大时，的大小会发生怎样的变化？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 (3)，当的值增大，减小 【分析】本题考查角的和差运算与角平分线的性质，利用直角三角板的直角条件是解题关键． （1）利用角平分线的定义与角的和差运算，通过直角条件推导角相等； （2）依据同角的余角相等，证明两个角相等； （3）通过角的和差运算表示，再对和进行求和，得出含变量的式子，进而分析变化对角度的影响． 【详解】（1）解：是的角平分线． 理由如下： 平分， ， ， ， ， 故是的角平分线． （2）解：与相等． 理由如下： 由，得， 由，得， 根据“同角的余角相等”，可得． （3）解： ， ， ， 当增大时，减小，即的度数变小． 答：，当的值增大，减小． 25．（本题14分）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ， 在中，， ， 为“友爱三角形”； 在中，， 为“友爱三角形”； (2)或 【分析】本题考查了直角三角形的性质和新定义，正确理解“友爱三角形”的定义是关键． （1）①根据与互余和“友爱三角形”的定义进行求解即可； ②根据直角三角形的性质及“友爱三角形”的定义进行判断即可； （2）直接根据“友爱三角形”定义求解即可． 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ② 略 （2）解：是“友爱三角形”，是边上一点（不与点重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 26．（本题14分）【问题背景】如图1，现有一副直角三角尺，在等腰直角三角尺中，，另一直角三角尺的直角顶点落在的中点上，绕点转动直角三角尺，两直角边与始终有交点，分别交于点，连接． 【操作发现】 （1）求证：是等腰直角三角形． （2）猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图2，现有三角形纸片和，在中，，．在中，，三角形纸片的顶点落在的中点上，边分别与交于点，连接，则的形状是___________；之间的数量关系是___________． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）等边三角形， 【分析】（1）连接，根据等边对等角，三线合一推出，证明，得到，即可得证； （2）根据，得到，根据线段的和差关系结合等量代换，即可得出结论； （3）连接，作，，垂足分别为，证明，得到，进而得到为等边三角形，取的中点，连接，证明为等边三角形，再证明，得到，进而得到，根据，即可得出结果． 【详解】解：（1）证明：连接， ∵为等腰直角三角形，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形； （2），理由如下： 由①可知：， ∴， ∵， ∴； （3）连接，作，，垂足分别为，如图，则， ∵，为的中点， ∴，平分，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形； 取的中点，连接，则：， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年八上第一次阶段性检测（南通专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版2024八年级上册第13,14,15章 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）等腰三角形的两条边分别为和，则它的周长是（     ） A． B． C． D．或 2．（本题3分）已知某三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（  ） A．1，2，4 B．2，3，5 C．3，5，6 D．4，5，9 4．（本题3分）如图，在中，E为边上一点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即，．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．两点之间线段最短 6．（本题3分）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线．这个作图是在作（    ） A．一个角等于已知角 B．线段的垂线 C．线段垂直平分线 D．平分已知角 7．（本题3分）如图，在中，，是的平分线，于点，点在边上，连接，，若，，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 8．（本题3分）中，若，则中线的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，，，分别是△ABC的高，角平分线，中线，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在中，（），角平分线交于点于点有下列结论： ①；②；③是等腰三角形；④． 其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共30分） 11．（本题3分）如图，将沿边所在的直线向右平移得到，若，，则的度数是__________． 12．（本题3分）如图，在中，，平分交于点，若，，则的长为__________． 13．（本题4分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_________．(写出一个即可) 14．（本题4分）如图，，点E在边上，与相交于点G．，，则____． 15．（本题4分）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”的值为______． 16．（本题4分）如图，是的角平分线，是的高线，于点，于点，若，，，则的长为______． 17．（本题4分）如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 18．（本题4分）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若是等腰三角形，则______． 三、解答题（共90分） 19．（本题10分）如图， (1)是的中线（即点是的中点）， 有①________，②________． (2)如图是的角平分线， ③________． (3)是的高（） ④________ 20．（本题10分）如图，在中，，垂足为，是的平分线，与交于点．若，，求和的度数． 21．（本题10分）如图，在中，，，D为延长线上的一点，点E在边上，连接，其中． (1)求证：． (2)若，求的度数． 22．（本题10分）如图所示在中，． (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的角平分线，交于D； (2)在（1）中作出的图形中，计算的度数． 23．（本题10分）如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 24．（本题12分）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放一起． (1)如图，若恰好是的角平分线，请你猜想此时是不是的角平分线？并简述理由． (2)如图，若始终在的内部，请猜想与是否相等？并简述理由． (3)如图，若始终在的内部，设，试用含的代数式表示的度数，并说明当的值增大时，的大小会发生怎样的变化？ 25．（本题14分）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 26．（本题14分）【问题背景】如图1，现有一副直角三角尺，在等腰直角三角尺中，，另一直角三角尺的直角顶点落在的中点上，绕点转动直角三角尺，两直角边与始终有交点，分别交于点，连接． 【操作发现】 （1）求证：是等腰直角三角形． （2）猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图2，现有三角形纸片和，在中，，．在中，，三角形纸片的顶点落在的中点上，边分别与交于点，连接，则的形状是___________；之间的数量关系是___________． 学科网（北京）股份有限公司 $