3.2.2 第2课时 奇偶性的应用 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的应用，涵盖求解析式、单调性影响、比较大小、解不等式等核心内容。课堂通过“奇函数与偶函数在对称区间单调性”的问题导入，衔接奇偶性定义，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合“奇同偶异”规律培养数学思维，通过多方法例题（如例2构造奇函数、对称中心法）发展数学眼光。解题通法归纳助力学生系统认知，教师可提升教学针对性，学生能深化函数性质理解与应用能力。

第2课时 奇偶性的应用 第三章　3.2.2 <<< 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.(重点) 2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式.(难点) 学习目标 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(-2，-1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(-2，-1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性又如何？ 问题 提示　奇函数在(1，2)上单调递减，偶函数在(1，2)上单调递增. 1.若f(x)为奇函数且在区间［a，b］上单调递增，则f(x)在［-b，-a］上__________，即在对称区间上单调性 . 2.若f(x)为偶函数且在区间［a，b］上单调递增，则f(x)在［-b，-a］上__________，即在对称区间上单调性 . 3.若f(x)为奇函数且在区间［a，b］上有最大值为M，则f(x)在［-b，-a］上有最小值为 . 4.若f(x)为偶函数且在区间［a，b］上有最大值为N，则f(x)在［-b，-a］上有最大值为 . 单调递增 一致(相同) 单调递减 相反 -M N 例1 已知奇函数在区间上单调递增，则在区间 上( ) A A.单调递增，且最大值为 B.单调递增，且最大值为 C.单调递减，且最大值为 D.单调递减，且最大值为 【解析】任取 ， ， 又函数在区间上单调递增， . 函数 为奇函数， , ， 因此，函数在区间上单调递增，最大值为，最小值为 . （事实上，根据“奇同偶异”，可知在区间 上单调递增） 6 定义在上的奇函数，若函数在 上单调递增（减），则 在上单调递增（减）；而若函数在上单调递增（减），则在 上未必单调递增（减），如图3.2.2-1所示. 7 例2 [2026湖南长沙月考]若且 在其定义域上有 最大值，最小值,则 ( ) B A.4 B.6 C.8 D.10 【解析】 令，因为的定义域为 ,且 ,所以为奇函数，又由题意得 在定义域 内有最大值与最小值，所以 ，所以 ，故选B. 8 由,可得 的图象关于 点对称，故 . （特殊值法）令，则当 时， 由基本不等式得（当且仅当 时取等号），所以 .同理可得当时，的最小值为.故当 时， 的最大值，最小值，故 ，故选B. 例3 已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则 , , 的大小关系为( ) A A. B. C. D. 【解析】函数为偶函数，则 , 函数的图象关于直线对称，则,， 在上单调递减， , （【关键点】把所求函数值的自变量都转化到同一单调区 间上），即 . 10 例4已知定义在上的奇函数满足，且在区间 上 单调递增，则( ) D A. B. C. D. 11 【解析】 因为是 上的奇函数，所以.又满足 ， 所以.因为 且 ，所以.又 在 由题意，得 ，所以 ，所以函数的图象关于直线 对称 区间上单调递增，所以，即 ，所以 ，，所以 . . . 12 （ ,的 图象关于直线 对称.）. 结合函数在区间 上单调递增， 以及奇函数图象的特征，画出函数在 区间 上的大致图象，如图 所示，得 . 函数奇偶性的应用 类型1 利用奇偶性求参数的值 例5（1）若为偶函数，则实数 ___. 4 【解析】方法1： ， ,因为 为偶函数，所以 ， 则，即 . 方法2：，由 为二次函数且为偶 函数，得,则.（当二次函数为偶函数时， ） 15 （2）已知函数为奇函数，则 ____. 【解析】方法1：因为是奇函数，,所以 ，即 ，解得.经检验， 符 合题意. （利用特殊值判断后要注意验证） 方法2：注意到解析式中分母 为奇函数，因此要使整个函数为奇函数，只需分 子为偶函数即可， 由（1）中的方法2，不难得到 . 16 例6 (2026·广东省深圳市盐田高级中学模拟)已知函数 为 奇函数，则 ____. 【解析】当时，， . 因为为奇函数，所以，所以当时， ，即 ，所以， ， 所以 . 17 例7 若函数,是常数 是偶函数，且它的值域为 ，则 ____. 【解析】，由于函数 为偶函 数，则的系数,的系数，所以或 ． 当时，函数，其值域不为，因此不满足题意，即 ，从 而，此时 ， 要使值域为，只需即可，则 , 故 ． 18 解题通法 由函数的奇偶性求参数值的思路 1.一般化策略：对取定义域内的任一个值，利用与 的关系式恒成立来确 定参数的值. 2.特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列 方程求解，对于奇函数,若在处有定义，则由 求参数值.利用这种 方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去. 3.若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程. 19 类型2 利用奇偶性求函数的值 例8 已知,且,则 等于( ) A A. B. C. D.10 【解析】方法1：令,易知是 上的奇函数，从而 ,又 , , , ， . 方法2： , .（ 该式都成立） 令得 . 又, . 20 例9 已知为奇函数，,,则 ( ) A A. B.0 C.1 D.2 【解析】因为为奇函数（其图象的对称中心为），所以 图 象的对称中心为，所以，则，于是 . 例10 (2026·吉林省长春市第五中学月考)设函数的最大值为 ，最小值 为，则 ___． 2 【解析】，其中 为奇函数，则函数 图象的对称中心为，所以 的最大值与最小值的和 . 21 例11 已知,均为上的奇函数，且在 上 的最大值为5，则在 上的最小值为____. 【解析】方法1：因为,均为上的奇函数，所以 也是奇函 数，则的图象关于中心对称.若设在上的最小值为 ,则 ,解得 . 方法2：在上的最大值为5，且, 均为奇函 数，则为奇函数，且其在 上的最大值为3. 根据奇函数的性质可知在上的最小值为 ，故 在上的最小值为 . 22 类型3 利用奇偶性求分段函数的解析式 例12 为上的奇函数，当时，，则 _ _____________________. 已知时的解析式，因此根据为奇函数求得 及 时函数 的解析式即可. 23 【解析】当时，，则 . 由于是上的奇函数，故 ， 所以当时， . 因为为上的奇函数，所以 （这是容易遗漏的点）. 综上， 24 例13 已知是定义在上的偶函数，当时， ． （1）当时，求 的解析式； 【答案】因为是定义在上的偶函数，所以 ． 当时， ， 则 ． （2）求 的单调递减区间． 【答案】当时， ， 则在 上单调递减. 当时， ， 则在 上单调递减. 即的单调递减区间为， （注意不能用并集符号连接）． 25 函数奇偶性的综合应用 类型1 函数奇偶性与单调性的综合 例14 已知定义在上的奇函数满足，且在区间 上单调递 增，则( ) D A. B. C. D. 利用条件将,,化归到 上的函数值，然后利用单调 性比大小. 27 【解析】因为满足,所以 , 又在上是奇函数，所以,所以 . ,又在区间 上单调递增, 所以,即,所以， ,于是 . 28 例15 已知奇函数是定义在 上的减函数，则不等式 的解集为_ _____________. } 【解析】 ， 即 ， 因为是奇函数，所以 （利用奇偶性将不等式转化为函数值 的大小比较）. 又函数是定义在 上的减函数， 所以解得 . 故所求不等式的解集为 }. 29 例16 (2026·湖南省长沙市长郡中学开学考试)已知函数是定义在 上的偶函数， 且在上单调递减，则,, 的大小关系是( ) D A. B. C. D. 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以，则 . 又在上单调递减，所以 ， 即 . 30 例17 (2026·江苏省常州市期中)定义在上的偶函数在区间 上单调 递减，若,则实数 的取值范围为( ) C A. , B., C., D., 【解析】 函数是偶函数，偶函数 具有性质： .这是因为：当时，必有;当 时， . ,，即 . 又在 上单调递减， 原不等式等价于解得 . 故实数的取值范围是 . 31 类型2 函数奇偶性与对称性的综合 例18 ［多选题］(2026·江苏省启东中学周练)定义在上的函数在 上单调 递增，且 为偶函数，则( ) BCD A.图象的对称中心为 B.图象的对称轴为直线 C. D.不等式的解集为 32 【解析】因为为偶函数，所以 ， 所以的图象关于直线 对称，故A错误，B正确； 又在上单调递增，所以在 上单调递减，所以 ，故C正确； 由不等式结合的对称性及单调性，得 （函数值越小，离对称轴越远），即 ， 即，解得或 ， 所以不等式的解集为，故D正确.故选 ． 33 例19 定义在上的函数和的图象关于 轴对称，且函数 是奇函数，则函数 图象的对称中心为( ) D A. B. C. D. 【解析】因为函数 是奇函数，函数图象关于原点对称，所以 的图象关于 对称. 的图象可由 的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移2 个单位长度得到，因此对称中心由平移至 因为和的图象关于 轴对称， 所以的图象关于 对称．故选D． 34 解题通法 解决奇偶性与对称性综合问题的策略 1.解决奇偶性与对称性的综合问题时要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再利 用适合的式子判断函数图象的对称轴或对称中心. 2.偶函数的图象关于 轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称，这一结论可以推广 如下： （1）是偶函数的图象关于直线 对称； （2）是奇函数的图象关于点 中 心对称. 35 随堂演练 题型一 函数奇偶性的应用 题组一 利用奇偶性求参 1.（2026安徽黄山期末）若函数是 上单调递增的奇函数，则 ( ) C A. B.0 C.1 D.2 37 【解析】 因为函数是上单调递增的奇函数，所以 （由单调递增可得）. 若，则, ， 根据奇函数的性质可得 , 所以解得所以 . 38 2.（2025陕西西安长安一中质量检测）若函数 是定义在 上的偶函数,则 ( ) B A. B. C.3 D.1 【解析】 由题意可得,解得,又 ,所以 , 则,所以，则,所以 . 39 题组二 利用奇偶性求函数值或解析式 3.（2025浙江温州十校联合体期中）函数是定义在上的偶函数,当 时, ,则在 上的表达式为( ) A A. B. C. D. 【解析】 方法一 因为函数是定义在上的偶函数,所以 , 当时, , 令,则,则 , 所以当时,,因此，在 上的表达式为 . 方法二:特殊值法.由是定义在上的偶函数得,排除B,D；当 时, ,排除C. 40 4.（2026福建宁德期中）已知,分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，则 ( ) C A.1 B.5 C.6 D.4 【解析】 因为 ①，所以 ②， 又,分别是定义在 上的偶函数和奇函数，所以②式可化为 ③， 联立①③得，所以 . 特殊值法.因为，所以 又,分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以解得 . 41 5.已知函数,若,则 _____. 【解析】 因为,所以 ,则 . ①,②, 相加可得 (奇函数+常函数,则常数),又 ,所 以 . 42 6.（2025山东济南一中期中）已知函数在上的最小值为2，则 在 上的( ) D A.最小值为2 B.最大值为 C.最小值为6 D.最大值为 43 【解析】 ， 令 ， 因为，所以 为奇函数， 当时，，所以，所以当 时， ， 所以，即在上的最大值为 . 函数，即是“奇函数常函数”的结构， 与 关于原点对称，则函数在上的最小值4与在 上的最大值的和为0，即函数在上的最大值为.设在 上 的最大值为，则，解得，即在上的最大值为 . 44 7. （2025湖北省云学名校联盟联考）已知为定义在 上的奇函数,且满足当 时, . （1） 求 的解析式； 【答案】 因为为定义在上的奇函数,所以（ 易忽略 处 的情况）, 又当时, , 设,则,所以 , 所以 . . 45 （2） 判断函数在区间 上的单调性,并用定义证明. 【答案】 在上单调递增.证明如下:,，且 , 则 , 因为,，且,所以,,, , 则,故,即 , 所以在 上单调递增. 46 题型二 奇偶性与单调性的综合应用 题组一 8.（2026广东汕尾期末）已知连续的奇函数的定义域为,在 上单 调递减，在上单调递增，且 ，则下列判断正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】 连续的奇函数的定义域为，所以.因为在 上单 调递减，在上单调递增，所以在 上单调递减， 因为，， 所以,,所以 . 47 9.（2026广东广州期中）已知函数是偶函数,,,当 时,都有 恒成立,设,,,则,, 的大小关 系为( ) A A. B. C. D. 【解析】 ,,当时,都有 （函数单调 性判断的等价形式）恒成立,则在上单调递增,有 ,又函数 是偶函数,所以,,,所以 . 48 题组二 10.（2026浙江杭州期末）已知是定义在上的偶函数，且在 上单调递减， 若，则不等式 的解集是( ) A A. B. C. D. 49 【解析】 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则函数 在 上单调递增， 又，所以 (根据条件可以联想到二次函数 ，根据其图象快速求解)， 即当时， ， 当或时，，又不等式(等价于与 异号)可转化为 或 即或，即不等式的解集为 . 50 11.（2026河北沧州期末）已知是定义在上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为__________. 【解析】 是定义在上的奇函数，且当时， , ，解得 ， 当时，，图象开口向上，对称轴为直线 ， 在 上单调递增， 由奇函数的性质可知，关于原点对称的区间上单调性相同，在 上单调递增， ，，解得， 不等式的解集为 . 51 12.（2025江苏南京期末）已知函数是定义在上的奇函数，且 . （1） 求， 的值； 【答案】 因为是定义在 上的奇函数，所以 ， 所以 ， 又，所以，解得，所以 ，经检验满足题意. 52 （2） 判断在区间 上的单调性，并用定义证明； 【答案】 在区间 上单调递增. 证明如下: ,，且 ， 则 . 因为,，且 ， 所以，，， ，故 ， 所以 . 所以在区间 上单调递增. 53 （3） 已知，若 成立的一个充分不必要条件是 ，求 的最大值. 有问有答 问：为什么分和 两种情况讨论？ 答：当时，，，由（2）所求，只知道在区间 及 其对称区间上的单调性,1所在区间的函数单调性未知，不能直接利用脱“ ”解 不等式，所以需要单独讨论. 问：成立的一个充分不必要条件是 是什么意思？ 答：是 的解集的真子集. 54 【答案】 等价于 ， 因为是定义在上的奇函数，所以原不等式转化为 . 因为，所以 ， 当时，,原不等式为,即 ，不成立， 当时，， , 又在区间 上单调递增， 所以原不等式等价于，即，解得或 ， 又，所以或 . 55 由，得 . 又，所以 . 因为成立的一个充分不必要条件是 ， 所以或，所以 ，解得 ， 所以的最大值为 . 【解析】 函数, ，定义域关于原点对称， 且 ，则原函数是偶函数； 函数，定义域为，关于原点对称，而 与 不恒等，则原函数不是偶函数； 函数定义域为，关于原点对称，而与 不恒等，则原函数不是偶函数； 函数, （ 对于给定定义域的函数，判断奇偶性的第一 步是先确定定义域是否关于原点对称）的定义域不关于原点对称，则原函数不是偶函数. 57 能力提升 1.（2026云南楚雄期末）已知函数 的图象如图所示， 则 的解析式可能为( ) A A. B. C. D. 【解析】 由题图可得函数 为偶函数，而函数 和函数 为奇函数，排除C，D； 当时，可得， ，所以 ， ，排除B. 58 2.（2025江西景德镇统考） 已知是定义在 上的奇函数,设函数 的最大值为,最小值为,则 ( ) A A.2 B.4 C.8 D.16 【解析】 由题意，( 的奇偶性不易 判断,考虑分离常数),令,因为 是奇函数,所以 , 所以,所以函数 是奇函数, 所以函数的最大值为,最小值为,由奇函数的性质可得 , 故 . 59 3.已知函数在其定义域内为偶函数,且 ,则 ( ) A A. B. C.2 024 D.0 【解析】 因为为偶函数,所以,所以 , 所以,且不恒为0,则,.又,所以,所以 ,则 ,又 （不容易求出每一项的函数值,可先观察互为倒数项的函数 值的关系） ,所以 . 60 4.（2026福建泉州期中）已知函数的定义域为， ， ，且在上单调.若，， ，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 （横坐标的和为0,纵坐标相等,故函数图象关于直线 对称）且函数定义域为 ， 函数是偶函数， ， 又在 上单调， 在 上单调递减， ，，即 ， . 61 5.（2026天津四校期末联考） 设奇函数的定义域为，对任意的 , ，且，都有不等式，且 ，则不等式 的解集是( ) D A. B. C. D. 62 【解析】 因为为奇函数，且定义域为 ， 所以,，有 . 令( 由确定的是函数 的单调性，而不是 的单调性)，则的定义域为 ， 又,， ， 所以函数为偶函数，且 . 因为对任意的,，且，都有不等式 ，即 恒成立， 所以当，即时，，即 ， 所以函数在 上单调递减， 63 所以函数在 上单调递增. 不等式等价于或 即或 因为，所以 , 所以 或 所以或 . 故不等式的解集是 . 6.（2026北京顺义区期末）已知函数 ，给出下列四个结论: ①函数是偶函数；②函数在区间上单调递增；③函数 没有最小值； ④不等式的解集为 . 其中正确的结论的个数是( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 65 【解析】 ①函数 （判断函数奇偶性前要先确定函数的定义域是否关于原 点对称）的定义域为，且，故函数 是偶函数； ②当时， ， 又函数,在区间上均单调递增，所以函数在区间 上单调 递增； ③因为函数在区间上单调递增，当时， ，当 时， ， 又函数是偶函数，所以函数的值域为，故函数 没有最小值； 66 ④当时，由可得，解得 , 当时，由可得，解得 , 则不等式的解集为或 . 故正确的结论的个数是3. 7.（多选/2026甘肃兰州部分学校期末联考）已知是定义在 上的不恒为零的函数,且 ,则下列说法正确的是( ) ACD A.若对任意,,总有,则 是奇函数 B.若对任意,,总有,则 是偶函数 C.若对任意,,总有,则 D.若对任意,,总有,则 【解析】 对任意,,总有,令得 ；令 得,所以 ； 68 令得,所以；令 得 ,又的定义域为，所以 是奇函数. 对任意,,总有,令得 ,所以 ； 令得，又的定义域为,所以 是奇函数. 对任意,,总有,由A选项分析知 , 令,得,又,所以 . 对任意,,总有,由B选项分析知且 为奇函数, 令得 ; 令,得,所以 ； 令,得 ； 令,得,所以 , 所以 . 8.（2025北京首师大附中月考，17分）已知函数 . （1） 证明:函数 是奇函数. 【答案】 由函数,可得其定义域为 ,关于原点对称,（1分） 又 ,（4分） 所以函数为定义在 上的奇函数.（5分） 71 （2） 用定义证明:函数在 上单调递增. 【答案】 当时, , 任取,,且 ,（6分） 可得 .（8分） 因为,,且,可得, , 所以,即 ,（10分） 所以函数在 上单调递增.（11分） 72 （3） 若关于的不等式对于任意实数恒成立,求实数 的取值范围. 【答案】 因为函数为定义在上的奇函数,且在 上单调递增, 所以函数在 上单调递增, 又,所以函数在 上是增函数,（12分） 由,可得 ,（13分） 因为不等式对于任意实数 恒成立, 所以不等式对于任意实数 恒成立, 可得不等式对于任意实数 恒成立, 即不等式对于任意实数 恒成立,（14分） 当时,不等式 恒成立,符合题意；（15分） 当时,则满足解得 .（16分） 综上,实数的取值范围为 .（17分） 73 $