3.2.2　第2课时　函数奇偶性的应用 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的应用，涵盖利用奇偶性求解析式、比较大小及解不等式三大核心知识点，通过典型例题承接奇偶性定义，搭建从概念到应用的学习支架，梳理前后知识逻辑脉络。 其亮点在于题型分类清晰，每个题型配有通性通法总结，如求解析式的“求谁设谁”步骤，结合跟踪训练与分层巩固题。通过数学思维中的推理能力和逻辑联系，培养学生抽象能力，教师可利用系统例题提升教学效率，学生能通过分层训练逐步提升解决问题的能力。

第2课时　 函数奇偶性的应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 利用函数的奇偶性求解析式 角度1　定义法求函数解析式 【例1】　函数 f （ x ）是定义域为R的奇函数，当 x ＞0时， f （ x ）＝ － x ＋1，求 f （ x ）的解析式. 目录 数学·必修第一册 解：设 x ＜0，则－ x ＞0，∴ f （－ x ）＝－（－ x ）＋1＝ x ＋1， 又∵函数 f （ x ）是定义域为R的奇函数， ∴ f （－ x ）＝－ f （ x ）＝ x ＋1， ∴当 x ＜0时， f （ x ）＝－ x －1. 又 x ＝0时， f （0）＝0， ∴ f （ x ）＝ 目录 数学·必修第一册 通性通法 　　如果已知函数的奇偶性和一个区间[ a ， b ]上的解析式，求关于 原点的对称区间[－ b ，－ a ]上的解析式，其解决思路为： （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式， x 就应在哪个区 间上设； （2）利用已知区间上的解析式进行代入； （3）利用 f （ x ）的奇偶性写出－ f （ x ）或 f （－ x ），从而解出 f （ x ）. 提醒　若函数 f （ x ）的定义域内含0且为奇函数，则必有 f （0） ＝0，但若为偶函数，未必有 f （0）＝0. 目录 数学·必修第一册 角度2　方程组法求函数解析式 【例2】　设 f （ x ）是偶函数， g （ x ）是奇函数，且 f （ x ）＋ g （ x ）＝ ，求函数 f （ x ）， g （ x ）的解析式. 解：∵ f （ x ）是偶函数， g （ x ）是奇函数，∴ f （－ x ）＝ f （ x ）， g （－ x ）＝－ g （ x ）， 由 f （ x ）＋ g （ x ）＝ ， ① 用－ x 代替 x ， 得 f （－ x ）＋ g （－ x ）＝ ， 目录 数学·必修第一册 ∴ f （ x ）－ g （ x ）＝ ， ② （①＋②）÷2，得 f （ x ）＝ ； （①－②）÷2，得 g （ x ）＝ . 目录 数学·必修第一册 通性通法 　　已知函数 f （ x ）， g （ x ）的组合运算与奇偶性，把 x 换为－ x ， 构造方程组求解. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 已知函数 f （ x ）为R上的偶函数，且当 x ＜0时， f （ x ）＝ x （ x － 1），则当 x ＞0时， f （ x ）＝ ⁠. 解析：当 x ＞0时，－ x ＜0，则 f （－ x ）＝－ x （－ x －1）＝ x （ x ＋1），因为函数 f （ x ）为R上的偶函数，故当 x ＞0时， f （ x ）＝ f （－ x ）＝ x （ x ＋1）. 2. 已知函数 f （ x ）＝为奇函数，则 g （ x ） ＝ ⁠. x （ x ＋1）　 　 目录 数学·必修第一册 解析：因为函数 f （ x ）＝为奇函数，所以 f （0） ＝ g （0）＝0.设 x ＜0，则－ x ＞0， f （－ x ）＝（－ x ）2＋1＝ x2 ＋1，所以 f （ x ）＝ g （ x ）＝－ f （－ x ）＝－ x2－1.综上可得 g （ x ）＝ 目录 数学·必修第一册 题型二 利用函数的单调性和奇偶性比较大小 【例3】　若对于任意实数 x 总有 f （－ x ）＝ f （ x ），且 f （ x ）在区 间（－∞，－1]上单调递增，则（　　） 目录 数学·必修第一册 解析： 　由题意得， f （ x ）为偶函数，∴ f （2）＝ f （－2）.又 f （ x ）在区间（－∞，－1]上单调递增，且－2＜－ ＜－1，∴ f （2）＝ f （－2）＜ f ＜ f （－1），故选B. 目录 数学·必修第一册 通性通法 利用函数的奇偶性与单调性比较大小的方法 （1）自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； （2）自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转 化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 已知 f （ x ）是奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增，则 f （－ 0.5）， f （－1）， f （0）的大小关系是（　　） A. f （－0.5）＜ f （0）＜ f （－1） B. f （－1）＜ f （－0.5）＜ f （0） C. f （0）＜ f （－0.5）＜ f （－1） D. f （－1）＜ f （0）＜ f （－0.5） 解析： 　∵函数 f （ x ）为奇函数，且 f （ x ）在区间[0，＋∞） 上单调递增，∴ f （ x ）在R上是增函数，∴ f （－1）＜ f （－0.5） ＜ f （0）. 目录 数学·必修第一册 2. 已知函数 f （ x ）在[－5，5]上是偶函数，在[0，5]上是单调函 数，且 f （－4）＜ f （－2），则下列不等式一定成立的是 （　　） A. f （－1）＜ f （3） B. f （2）＜ f （3） C. f （－3）＜ f （5） D. f （0）＞ f （1） 解析： 　因为函数 f （ x ）在[－5，5]上是偶函数，且 f （－ 4）＜ f （－2），所以 f （4）＜ f （2）.又 f （ x ）在[0，5]上 是单调函数.所以 f （ x ）在[0，5]上单调递减，从而 f （0）＞ f （1），故选D. 目录 数学·必修第一册 题型三 利用函数的单调性和奇偶性解不等式 【例4】　已知定义在[－2，2]上的奇函数 f （ x ）在区间[0，2]上单 调递减，若 f （1－ m ）＜ f （ m ），求实数 m 的取值范围. 目录 数学·必修第一册 解：因为 f （ x ）在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上单调 递减，所以 f （ x ）在区间[－2，2]上是减函数. 又 f （1－ m ）＜ f （ m ），所以 即解得－1≤ m ＜ . 故实数 m 的取值范围是 . 目录 数学·必修第一册 【母题探究】 （变条件）若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0， 2]”改为“[－2，0]”，其他条件不变，求实数 m 的取值范围. 解：因为函数为[－2，2]上的偶函数，又函数在区间[－2，0]上单调 递减，所以函数在区间[0，2]上单调递增， 原不等式可化为 f （｜1－ m ｜）＜ f （｜ m ｜）， 故可得即 解得 ＜ m ≤2.故实数 m 的取值范围为 . 目录 数学·必修第一册 （2）由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱 去”函数的对应法则“ f ”，转化为解不等式（组）的问题. 提醒　在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当 不等式一边没有写成“ f （ x ）”的形式时，需转化为“ f （ x ）”的形式，如0＝ f （1）， f （ x －1）＜0，则 f （ x － 1）＜ f （1）.注意偶函数 f （ x ）中结论 f （ x ）＝ f （｜ x ｜）的灵活运用. 通性通法 利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤 （1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　已知函数 f （ x ）是定义在（－2，2）上的奇函数，又是增函数.解 关于 t 的不等式 f （ t －1）＋ f （2 t －3）＜0. 解：因为 f （ x ）为（－2，2）上的奇函数，所以 f （ t －1）＋ f （2 t －3）＜0可化为 f （ t －1）＜ f （3－2 t ）， 又因为函数 f （ x ）在（－2，2）上是增函数，所以－2＜ t －1＜3－2 t ＜2，解得 ＜ t ＜ ， 所以关于 t 的不等式 f （ t －1）＋ f （2 t －3）＜0的解集为 . 目录 数学·必修第一册 1. 已知函数 f （ x ）＝为奇函数，则 a ＋ b ＝（　　） A. －1 B. 1 C. 0 D. 2 解析： 　当 x ＜0时，－ x ＞0，∵ f （ x ）为奇函数，∴ f （－ x ）＝－ f （ x ）.即 ax2－ bx ＝－ x2－ x ，∴ a ＝－1， b ＝1.故 a ＋ b ＝0. 目录 数学·必修第一册 2. 已知函数 y ＝ f （ x ）是定义在R上的偶函数，且在[2，6]上单调递 减，则 f （－5）与 f （3）的大小关系是 ⁠. 解析：因为 f （ x ）是偶函数，所以 f （－5）＝ f （5），因为 f （ x ）在[2，6]上单调递减，所以 f （5）＜ f （3），即 f （－5）＜ f （3）. 3. 已知定义在R上的偶函数 f （ x ）在（－∞，0]上单调递增，若 f （ a ）＞ f （3），则实数 a 的取值范围是 ⁠. 解析：由题意可知｜ a ｜＜3，解得－3＜ a ＜3. f （－5）＜ f （3）　 （－3，3）　 目录 数学·必修第一册 4. 已知 f （ x ）是定义在R上的奇函数，且当 x ≥0时， f （ x ）＝2 x － x2.求当 x ＜0时， f （ x ）的解析式. 解：当 x ＜0时，－ x ＞0， 于是 f （－ x ）＝2（－ x ）－（－ x ）2＝－2 x － x2. 因为 f （ x ）是定义在R上的奇函数， 所以 f （ x ）＝－ f （－ x ）＝－（－2 x － x2）＝2 x ＋ x2， 即 f （ x ）＝2 x ＋ x2（ x ＜0）. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　） A. y ＝ x2 B. y ＝ x5＋1 D. y ＝ x3 解析： 　A选项， y ＝ x2是偶函数，故A错误；B选项， y ＝ x5＋1 是非奇非偶函数，故B错误；C选项， y ＝ 在（－∞，0），（0， ＋∞）上单调递减，故C错误；D选项， y ＝ x3既是奇函数又是增函 数，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 若奇函数 f （ x ）在区间[3，6]上单调递增，且在区间[3，6]上的 最大值为7，最小值为－1，则 f （－3）＋2 f （－6）＝（　　） A. 13 B. －13 C. 5 D. －5 解析： 　由 f （ x ）在区间[3，6]上单调递增，在区间[3，6]上的 最大值为7，最小值为－1，得 f （3）＝－1， f （6）＝7.∵ f （ x ） 是奇函数，∴ f （－3）＝－ f （3）＝1， f （－6）＝－ f （6）＝－ 7，∴ f （－3）＋2 f （－6）＝1＋2×（－7）＝－13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. 已知 f （ x ）为奇函数， g （ x ）＝ f （ x ）＋9， g （－2）＝3，则 f （2）＝ ⁠. 解析：∵ f （ x ）为奇函数，∴ f （－ x ）＝－ f （ x ）.∵ g （ x ）＝ f （ x ）＋9，∴ g （－ x ）＝ f （－ x ）＋9＝－ f （ x ）＋9，∴ f （ x ）＝9－ g （－ x ）.∵ g （－2）＝3，∴ f （2）＝9－ g （－2） ＝9－3＝6. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 已知偶函数 f （ x ）在[0，＋∞）上单调递增，且 f （－2）＝3， 则满足 f （2 x －3）＜3的 x 的取值范围是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　因为偶函数 f （ x ）在[0，＋∞）上单调递增，且 f （－2）＝3，所以 f （ x ）在（－∞，0）上单调递减，且 f （2）＝3.因为 f （2 x －3）＜3，所以－2＜2 x －3＜2，所以 ＜ x ＜ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 若函数 f （ x ）＝（ x ＋ a ）（ bx ＋2 a ）（常数 a ， b ∈R）是偶函 数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式 f （ x ）＝ ⁠ ⁠. － 2 x2＋4　 解析：∵ f （ x ）＝（ x ＋ a ）（ bx ＋2 a ）＝ bx2＋（2 a ＋ ab ） x ＋2 a2是偶函数，∴图象关于 y 轴对称，∴2 a ＋ ab ＝0，∴ a ＝0或 b ＝－2.若 a ＝0，则函数为 f （ x ）＝ bx2，当 b 为正数时，值域为 [0，＋∞），不符合题意；当 b 为负数时，值域为（－∞，0]， 不符合题意；当 b ＝0时，值域为{0}，不符合题意.若 b ＝－2，则 函数为 f （ x ）＝－2 x2＋2 a2.又∵值域为（－∞，4]，∴2 a2＝4， ∴ f （ x ）＝－2 x2＋4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. （多选）关于定义在R上的偶函数 f （ x ），当 x ≥0时， f （ x ）＝ x2＋2 x ，则下列说法正确的是（　　） A. 当 x ＜0时， f （ x ）＝ x2－2 x B. 函数 f （ x ）在定义域R上为增函数 D. 不等式 f （ x ）－ x2－ x －1＜0恒成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　对于A，设 x ＜0，则－ x ＞0，所以 f （－ x ）＝ x2－2 x ，又 f （ x ）是偶函数，所以 f （ x ）＝ f （－ x ）＝ x2－2 x ，即当 x ＜0时， f （ x ）＝ x2－2 x ，故A中说法正确；对于B，当 x ≥0 时， f （ x ）＝ x2＋2 x 函数 f （ x ）的图象的对称轴为直线 x ＝－1. 所以当 x ≥0时， f （ x ）单调递增，由偶函数的图象关于 y 轴对称 得， f （ x ）在（－∞，0）上为减函数，故B中说法错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 对于C，当 x ∈[0，＋∞）时，令 f （ x ）＝ x2＋2 x ＝8，解得 x1＝2， x2＝－4（舍去），即 f （2）＝8，所以不等式 f （3 x －2）＜8即 f （3 x －2）＜ f （2），又 f （ x ）在R上为偶函数，则｜3 x －2｜＜2⇒0＜ x ＜ ，所以不等式的解集为 ，故C中说法正确；对于D， 当 x ＜0时， f （ x ）＝ x2－2 x ， f （ x ）－ x2－ x －1＝ x2－2 x － x2－ x －1＝－3 x －1不恒小于0.当 x ≥0时， f （ x ）＝ x2＋2 x ， f （ x ）－ x2 － x －1＝ x2＋2 x － x2－ x －1＝ x －1不恒小于0，故D中说法错误.故选 A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $