3.2.2　第1课时　函数奇偶性的概念 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的概念、几何意义及应用，通过生活对称图形情境导入，结合二次函数y=x²、反比例函数y=1/x的图象对称性，引出奇偶性性质，衔接函数图象知识，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点是以数学抽象、直观想象、逻辑推理为核心，通过表格对比奇偶函数特征、通性通法总结（如定义法判断步骤）和分层例题（如分段函数奇偶性判断），帮助学生构建知识体系。学生能提升抽象思维和推理能力，教师可依托系统结构提高教学效率。

3.2.2　奇偶性 第1课时　函数奇偶性的概念 新课程标准解读 核心素养 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义 数学抽象 2.了解奇、偶函数图象的对称性，掌握函数奇偶 性的简单应用 直观想象、 逻辑推理 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　生活因对称而美丽，下面的图形一定会给你美的感受吧.数学上 也有一些函数的图象有着类似美妙的对称性，如二次函数 y ＝ x2的图 象关于 y 轴对称，反比例函数 y ＝ 的图象关于原点对称. 目录 数学·必修第一册 【问题】　我们知道函数的图象能够反映函数的性质，那么函数图象 的对称性反映了函数的什么性质呢？ ⁠ 目录 数学·必修第一册 知识点　函数的奇偶性 偶函数 奇函数 前提 函数 f （ x ）的定义域为 D ，∀ x ∈ D ，都有 ⁠ 条件 f （－ x ）＝ ⁠ f （－ x ）＝ ⁠ 定义域特 征 关于 ⁠对称 图象特征 关于 ⁠对称 关于 ⁠对称 － x ∈ D 　 f （ x ） － f （ x ）　 原点　 y 轴　 原点　 目录 数学·必修第一册 提醒　（1）函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）若奇函数在原点 处有定义，则必有 f （0）＝0；（3）若 f （－ x ）＝－ f （ x ），且 f （－ x ）＝ f （ x ），则 f （ x ）既是奇函数又是偶函数. 目录 数学·必修第一册 【想一想】 　奇、偶函数的定义域有什么特点？ 提示：由于 f （ x ）和 f （－ x ）须同时有意义，所以奇、偶函数的定 义域关于原点对称. 目录 数学·必修第一册 1. 下列函数为奇函数的是（　　） A. y ＝｜ x ｜ B. y ＝3－ x D. y ＝－ x2＋14 解析： 　A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函 数，而C项中函数为奇函数.故选C. 目录 数学·必修第一册 2. 若函数 y ＝ f （ x ）， x ∈[－2， a ]是偶函数，则 a 的值为（　　） A. －2 B. 2 C. 0 D. 不能确定 解析： 　因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋ a ＝0， 所以 a ＝2. 目录 数学·必修第一册 3. 若 f （ x ）是定义在R上的奇函数， f （3）＝2，则 f （－3）＝ ⁠ ， f （0）＝ ⁠. 解析：因为 f （ x ）是定义在R上的奇函数，所以 f （－3）＝－ f （3）＝－2， f （0）＝0. － 2　 0　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 判断函数的奇偶性 【例1】　判断下列函数的奇偶性： （1） f （ x ）＝ ； 解： f （ x ）的定义域为[－1，0）∪（0，1]，关于原点对 称.∵ f （－ x ）＝ ＝－ f （ x ），∴ f （ x ）为奇函数. 目录 数学·必修第一册 （2） f （ x ）＝ ＋ ； 解： ∵函数 f （ x ）的定义域为{－1，1}，关于原点对称， 且 f （ x ）＝0，又∵ f （－ x ）＝－ f （ x ）， f （－ x ）＝ f （ x ），∴ f （ x ）既是奇函数又是偶函数. （3） f （ x ）＝ ； 解： ∵函数 f （ x ）的定义域为{ x ｜ x ≠1}，不关于原 点对称，∴ f （ x ）是非奇非偶函数. 目录 数学·必修第一册 （4） f （ x ）＝ 解： f （ x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于 原点对称.当 x ＞0时，－ x ＜0， f （－ x ）＝1－（－ x ）＝1＋ x ＝ f （ x ）； 当 x ＜0时，－ x ＞0， f （－ x ）＝1＋（－ x ）＝1－ x ＝ f （ x ）. 综上可知，对于 x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有 f （－ x ）＝ f （ x ）， f （ x ）为偶函数. 目录 数学·必修第一册 通性通法 判断函数奇偶性的两种方法 （1）定义法 目录 数学·必修第一册 （2）图象法 提醒　对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据 x 的范围取相应的函数解析式. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　判断下列函数的奇偶性： （1） f （ x ）＝ x2（ x2＋2）； 解： ∵ x ∈R，关于原点对称， 又∵ f （－ x ）＝（－ x ）2[（－ x ）2＋2]＝ x2（ x2＋2）＝ f（ x ）， ∴ f （ x ）为偶函数. 目录 数学·必修第一册 （2） f （ x ）＝ 解： 因函数 f （ x ）＝ 画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函 数 f （ x ）是奇函数. 目录 数学·必修第一册 题型二 奇、偶函数的图象问题 【例2】　已知函数 y ＝ f （ x ）是定义在R上的偶函数，且当 x ≤0时， f （ x ）＝ x2＋2 x .现已画出函数 f （ x ）在 y 轴及其左侧的图象，如图所示. （1）请补出函数 y ＝ f （ x ）的完整图象； 解： 由题意完整函数图象如图： 目录 数学·必修第一册 （2）根据图象写出函数 y ＝ f （ x ）的单调递增区间. 解： 由图可知，函数的单调递增区间为（－1，0），（1，＋∞）. 目录 数学·必修第一册 【母题探究】 （变条件）若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不 变，如何解答本题？ 解：（1）由题意作出函数图象如图所示. （2）由图可知，单调递增区间为（－1，1）. 目录 数学·必修第一册 通性通法 巧用奇、偶函数的图象求解问题 （1）依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于 y 轴 对称； （2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较 大小及解不等式等问题. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 已知奇函数 f （ x ）的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示. （1）画出在区间[－5，0]上的图象； 解： 因为函数 f （ x ）是奇函数，所以 y ＝ f （ x ）在[－5，5]上的图象关于原点对称.由 y ＝ f （ x ）在[0，5]上的图象，可知它在[－5， 0]上的图象，如图所示. 目录 数学·必修第一册 （2）写出使 f （ x ）＜0的 x 的取值范围. 解： 由图象知，使 f （ x ）＜0的 x 的取值范围为（－2，0）∪（2，5）. 目录 数学·必修第一册 题型三 利用函数奇偶性求值 【例3】　（1）若函数 f （ x ）＝ ax2＋ bx ＋3 a ＋ b 是偶函数，定义域 为[ a －1，2 a ]，则 a ＝ ， b ＝ ⁠； 解析： 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a －1＝－2 a ，解得 a ＝ .又函数 f （ x ）＝ x2＋ bx ＋ b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得 b ＝0. 　 0　 目录 数学·必修第一册 （2）已知函数 f （ x ）＝ ax2＋2 x 是奇函数，则实数 a ＝ .　 解析： 由奇函数定义有 f （－ x ）＋ f （ x ）＝0，得 a （－ x ）2＋2（－ x ）＋ ax2＋2 x ＝2 ax2＝0，故 a ＝0. 0　 目录 数学·必修第一册 通性通法 利用奇偶性求值的常见类型 （1）求参数值：若解析式含参数，则根据 f （－ x ）＝－ f （ x ）或 f （－ x ）＝ f （ x ）列式，比较系数利用待定系数法求解；若定 义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和 为0求参数； （2）求函数值：利用 f （－ x ）＝－ f （ x ）或 f （－ x ）＝ f （ x ）求 解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 已知 f （ x ）是定义域为R的奇函数，当 x ≥0时， f （ x ）＝2 x2－ x ，则 f （－1）＝ ⁠. 解析：因为 f （ x ）是定义域为R的奇函数，所以 f （－1）＝－ f （1）＝－（2×12－1）＝－1. 2. 已知函数 f （ x ）＝是奇函数，则 a ＝ ⁠. 解析：因为 f （ x ）为奇函数，所以 f （－1）＋ f （1）＝0，即（ a －1）＋（－1＋1）＝0，故 a ＝1. －1　 1　 目录 数学·必修第一册 1. 下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（　　） 解析： 　选项A中的图象关于原点或 y 轴均不对称，故排除；选 项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇 偶性，故排除；选项B中的图象关于 y 轴对称，其表示的函数是偶 函数. 目录 数学·必修第一册 2. 如图，给出奇函数 y ＝ f （ x ）的部分图象，则 f （－2）＋ f （－1） ＝（　　） A. －2 B. 2 C. 1 D. 0 解析： 　 f （－2）＋ f （－1）＝－ f （2）－ f （1）＝－ － ＝ －2. 目录 数学·必修第一册 3. （多选）下列函数是奇函数的是（　　） A. y ＝ x （ x ∈[0，1]） B. y ＝3 x2 D. y ＝ x ｜ x ｜ 解析： 　利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除 选项A；又奇函数需满足 f （－ x ）＝－ f （ x ），排除选项B；选项 C、D符合奇函数的定义. 目录 数学·必修第一册 4. 已知函数 y ＝ f （ x ）为偶函数，其图象与 x 轴有四个交点，则方程 f （ x ）＝0的所有实根之和是 ⁠. 解析：由于偶函数的图象关于 y 轴对称，所以偶函数的图象与 x 轴 的交点也关于 y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在 x 轴的负半 轴上，另两个在 x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0. 0　 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知一个奇函数的定义域为{－1，2， a ， b }，则 a ＋ b ＝（　　） A. －1 B. 1 C. 0 D. 2 解析： 　因为该奇函数的定义域为{－1，2， a ， b }，且奇函数 的定义域关于原点对称，所以 a 与 b 中一个等于1，一个等于－2， 所以 a ＋ b ＝1＋（－2）＝－1，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 若函数 f （ x ）＝则 f （ x ）（　　） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 解析： 　作出函数 f （ x ）的图象，如图所示，可 以看出该图象关于原点对称，故 f （ x ）为奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. 若函数 y ＝（ x －1）（ x ＋ a ）为偶函数，则 a ＝ ⁠. 解析：∵函数 y ＝（ x －1）（ x ＋ a ）＝ x2＋（ a －1） x － a 为偶函 数，∴ x2－（ a －1） x － a ＝ x2＋（ a －1） x － a 恒成立，∴ a －1 ＝0，∴ a ＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 判断下列函数的奇偶性： （1） f （ x ）＝ x3＋ x5； 解： 函数的定义域为R. ∵ f （－ x ）＝（－ x ）3＋ （－ x ）5＝－（ x3＋ x5）＝－ f （ x ），∴ f （ x ）是奇函数. （2） f （ x ）＝｜ x ＋1｜＋｜ x －1｜； 解： f （ x ）的定义域是R. ∵ f （－ x ）＝｜－ x ＋1｜ ＋｜－ x －1｜＝｜ x －1｜＋｜ x ＋1｜＝ f （ x ），∴ f （ x ） 是偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 （3） f （ x ）＝ . 解： 函数 f （ x ）的定义域是（－∞，－1）∪（－1， ＋∞），不关于原点对称，∴ f （ x ）是非奇非偶函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 已知函数 f （ x ）＝为奇函数，则 a ＝（　　） A. －1 B. 1 C. 0 D. ±1 解析： 　∵函数 f （ x ）是奇函数，∴ f （－ x ）＝－ f （ x ），则 有 f （－1）＝－ f （1），即1＋ a ＝－ a －1，即2 a ＝－2，得 a ＝ －1（符合题意），故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. 已知函数 f （ x ）＝ x7－ ax5＋ bx3＋ cx ＋2，若 f （－3）＝－3，则 f （3）＝ ⁠. 解析：令 g （ x ）＝ f （ x ）－2＝ x7－ ax5＋ bx3＋ cx ，则 g （ x ）是 奇函数，∴ f （－3）＝ g （－3）＋2＝－ g （3）＋2，又 f （－ 3）＝－3，∴ g （3）＝5.又 f （3）＝ g （3）＋2，∴ f （3）＝5 ＋2＝7. 7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. 已知函数 f （ x ）＝ ，若 f （ a ）＝ ，则 f （－ a ） ＝ ⁠. 解析：根据题意， f （ x ）＝ ＝1＋ ，而 h （ x ）＝ 是奇函数，故 f （ a ）＝1＋ h （ a ）＝ ，所以 h （ a ）＝－ ，所以 f （－ a ）＝1＋ h （－ a ）＝1－ h （ a ）＝1－（ － ）＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $