培优专练 1 三角形三边关系的应用（知识点&模板&限时练）2026-2027学年数学人教版八年级上册

**基本信息** 以核心定理为基础，通过通用解题三步法构建系统框架，四大题型模板实现从原理到应用的逻辑迁移，易错点精准规避常见错误，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心定理|2条|三角形两边和大于第三边、差小于第三边；较短两边和＞最长边判定法|从基本原理出发，构建三边关系认知基础| |解题三步法|通用流程|定范围-做筛选-必验证|形成标准化解题路径，提升推理严谨性| |四大模板|覆盖选择/填空/解答（含等腰、最值、整数计数等）|分类讨论（等腰）、有序枚举（整数）、三点共线（最值）|按应用场景细分题型，实现模型化解题| |易错点|5类常见错误|验证三边关系、分类讨论腰底等|针对认知薄弱点，强化批判性思维|

第十三章 三角形 培优专练1 三角形三边关系的应用 1. 核心定理（2条） ① 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ② 判定三边能否构成三角形，只需验证：较短两边之和＞最长边即可。 2. 通用解题三步法 ① 定范围：根据三边关系列出第三边取值区间； ② 做筛选：结合整数、周长、奇偶、等腰条件缩范围； ③ 必验证：回代检验，舍去不满足三边关系的解。 3.四大模板 模板1：三边关系判定/取值题型 任意三角形三边a、b、c，核心不等式：；解题步骤：①确定已知两边，列出第三边取值范围；②结合整数、周长、奇偶性等条件筛选；③最终回代验证，确保任意两边和大于第三边。 模板2：等腰三角形边长题型 分类讨论：①已知两边不明确腰底，分两种情况假设；②分别计算周长；③利用三边关系舍去无法构成三角形的情况，避免多解、漏解。 模板3：线段最值/距离差题型 利用三角形三边关系：三角形两边之差小于第三边，当三点共线时，线段差值取得最大值，结合动点位置求解最值。 模板4：整数三角形计数题型 固定最长边，分类枚举最短边和第三边的可取数值，遵循“最长边≥第三边≥最短边”原则，有序计数，避免重复遗漏。 易错1：求出边长范围后不验证三边关系，直接取值作答； 易错2：等腰三角形边长问题漏分类讨论腰、底，答案不完整； 易错3：整数三角形计数无序枚举，出现重复、漏数； 易错4：动点差值最值，混淆“三点共线”最大、最小条件； 易错5：新定义题型按常规思路解题，忽略自定义规则。 满分：90分｜建议用时：40分钟｜ 一、单选题（本大题共12小题，每题3分） 1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 第2题图 第5题图 第7题图 3．中，，，，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．在△ABC中，AB=1，BC=，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 5．将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（  ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 7．如图，将四根长度分别为，，，的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点和点之间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 8．今有三木，其二长分别为三寸、四寸，欲构为三角形．试问下列何者可为第三木？翻译成现代文：现有三根木棍，其中两根长度分别为3寸和4寸，想要与第三根木棍拼成一个三角形．请问下列哪个长度可以作为第三根木棍的长度？（   ） A．1寸 B．6寸 C．7寸 D．8寸 9．如图，在四边形草坪内选取一点修建凉亭，并用小路将其与，，，四个顶点相连接，要使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则凉亭修建地点一定在（    ） A．线段与的交点 B．线段的中点 C．线段的中点 D．四边形草坪内任意一点 10．把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 11．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（  ） A． B． C． 或 D．或 12．以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是和．如图1，甲的游览路线是：，其折线段的路程总长记为，如图2，景点C和D分别在线段上，乙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为，如图3，景点E和G分别在线段上，景点F在线段上，丙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．下列，，的大小关系正确的是（   ） A． B．且 C． D．且 二、填空题（本大题共6小题，每题3分） 13．已知的三边长，，满足且为奇数．则____. 14．已知的周长是12，，则边的取值范围是________． 15．为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆、、，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆、可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为 （写一个即可）． 第15题图 第17题图 16．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为______． 17．如图,,两点都在直线的上方，，到直线的距离，到直线的距离，在直线上运动，则的最大值等于____. 18．已知三边长分别为，，，（，，为正整数），且． （1）若则______． （2）若从，，，，，，，这个数中取个不同的数，且这个数中，总存在三个不同的数作为，，的值，则的最小值＝______． 三、解答题（本大题共6小题，每题6分） 19．某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表： 长度规格(m) 1 2 3 4 5 6 价格(元/根) 10 15 20 25 30 35 学校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经购买两根长度分别为2 m和5 m的钢管，还需要购买一根． (1)有哪几种规格的钢管可供选择？ (2)若要求做成的三角形支架的周长为偶数，则做成该三角形支架一共需要花多少钱购买钢管？ 20．已知一个等腰三角形的两边长x，y满足方程组，求这个等腰三角形的周长． 21．已知的三边长分别为a，b，c． （1）若，，且c为整数，求周长的最大值． （2）化简：． 22．已知四条线段的长度为a，b，c，p（它们是从小到大的连续正整数），且． （1）求p的值； （2）已知a，b，x为三角形的三条边长，若x为整数，求三角形周长的最大值． 23．若一个三角形三边的长互不相等，且其边长，，满足（为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边的长分别为7，5，4．，这个三角形为“不均衡三角形”． （1）下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的一组是（   ） A．，，   B．，，    C．，， （2）若一个“不均衡三角形”三边的长分别为，16，． ①若，它是否为“不均衡三角形”，请说明理由． ②请写出符合条件的一个的整数值：______． 24．问题提出： 最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．） 问题探究： 为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． （1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表① 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 1 1 1 1个1 （2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表② 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 2 1 1 2个1 2 1 （3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况： 表③ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 3 1 1 2个2 2 ， 2 3 1 （4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况： 表④ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 4 1 1 3个2 2 ， 2 3 ， 2 4 1 （5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空： 表⑤ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 1 1 ___ ___ 2 ， 2 3 4 ， 2 5 1 问题解决： （1）最长边长为6的整数边三角形有 个． （2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数． （3）最长边长为128的整数边三角形有 个． 拓展延伸： 在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有 个． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 培优专练1 三角形三边关系的应用 1. 核心定理（2条） ① 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ② 判定三边能否构成三角形，只需验证：较短两边之和＞最长边即可。 2. 通用解题三步法 ① 定范围：根据三边关系列出第三边取值区间； ② 做筛选：结合整数、周长、奇偶、等腰条件缩范围； ③ 必验证：回代检验，舍去不满足三边关系的解。 3.四大模板 模板1：三边关系判定/取值题型 任意三角形三边a、b、c，核心不等式：；解题步骤：①确定已知两边，列出第三边取值范围；②结合整数、周长、奇偶性等条件筛选；③最终回代验证，确保任意两边和大于第三边。 模板2：等腰三角形边长题型 分类讨论：①已知两边不明确腰底，分两种情况假设；②分别计算周长；③利用三边关系舍去无法构成三角形的情况，避免多解、漏解。 模板3：线段最值/距离差题型 利用三角形三边关系：三角形两边之差小于第三边，当三点共线时，线段差值取得最大值，结合动点位置求解最值。 模板4：整数三角形计数题型 固定最长边，分类枚举最短边和第三边的可取数值，遵循“最长边≥第三边≥最短边”原则，有序计数，避免重复遗漏。 易错1：求出边长范围后不验证三边关系，直接取值作答； 易错2：等腰三角形边长问题漏分类讨论腰、底，答案不完整； 易错3：整数三角形计数无序枚举，出现重复、漏数； 易错4：动点差值最值，混淆“三点共线”最大、最小条件； 易错5：新定义题型按常规思路解题，忽略自定义规则。 满分：90分｜建议用时：40分钟｜ 一、单选题（本大题共12小题，每题3分） 1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能组成三角形的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，根据三角形三边关系逐项分析即可得解，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形； B、∵，∴能组成三角形； C、∵，∴不能组成三角形； D、∵，∴不能组成三角形； 故选B． 2．如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系求出的范围，判断即可． 【详解】解：在中，，，， 则， A，B间的距离不可能是， 故此题答案为D． 3．中，，，，下列数轴中表示的a的取值范围，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形三边关系求出的取值范围，即可得出答案． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∴． 在数轴上表示为： ． 4．在△ABC中，AB=1，BC=，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】∵在△ABC中，AB=1，BC=， ∴﹣1＜AC＜+1， ∵﹣1＜2＜+1，4＞+1，5＞+1，6＞+1， ∴AC的长度可以是2， 故选项A正确，选项B、C、D不正确； 故选A． 5．将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3，利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，得折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3， 由三角形的三边关系，得，解得， 观察四个选项可知，m的值不可能为6． 6．若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的解法、等腰三角形的性质及三角形三边关系.先解不等式，找出正整数解，再结合等腰三角形“两边相等”及“底边≠腰”的条件，确定三边长，最后验证能否构成三角形. 【详解】解：解不等式 ，，. 正整数解为 . 等腰三角形两边长为 1 和 2，且底边 ≠ 腰. 情况①：腰为 1，底为 2，则三边为 1, 1, 2. 但 ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形. 情况②：腰为 2，底为 1，则三边为 2, 2, 1.，，满足三边关系.周长 = . 【技巧点拨】等腰三角形问题注意分类讨论，但必须验证三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）.底边≠腰说明不是等边三角形. 7．如图，将四根长度分别为，，，的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点和点之间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】连接.在中，，即;在中，，即，所以．故选. 8．今有三木，其二长分别为三寸、四寸，欲构为三角形．试问下列何者可为第三木？翻译成现代文：现有三根木棍，其中两根长度分别为3寸和4寸，想要与第三根木棍拼成一个三角形．请问下列哪个长度可以作为第三根木棍的长度？（   ） A．1寸 B．6寸 C．7寸 D．8寸 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，通过这个关系确定第三边的取值范围，再对照选项选出符合条件的长度. 【详解】解：设第三根木棍的长度为寸， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， 即， 对照选项，只有6寸在的范围内， 故选B． 9．如图，在四边形草坪内选取一点修建凉亭，并用小路将其与，，，四个顶点相连接，要使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则凉亭修建地点一定在（    ） A．线段与的交点 B．线段的中点 C．线段的中点 D．四边形草坪内任意一点 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间线段最短和三角形三边关系，解题的关键是将四条线段分成两组，分别利用共线取等号求最小值．先分析最小时的位置，再分析最小时的位置，取两者公共点． 【详解】解：(当在线段上时取等号)， 当在线段上时，取最小值， 同理(当在线段上时取等号)， 当在线段上时，取最小值， 要使取最小值，需同时满足上述两个条件， 必须在线段上，且同时在线段上， 是线段与的交点， 故选A． 10．把一根8厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围成一个三角形，第一剪不符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形三边之间的关系：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边；据此解答． 【详解】解：B选项中，左边部分等于右边部分，不管是右边部分分成2段，还是左边部分分成2段，都等于另一部分，不符合三角形三边关系，不能围成三角形； A，C，D选项符合要求， 故选B． 11．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（    ） A． B． C． 或 D．或 【答案】D 【分析】分已知边长为腰长和底边长两种情况讨论，计算对应底边长与腰长后求出“优美比”，同时验证三边能否构成三角形． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当3为腰长时， ∵等腰的周长为10， ∴底边长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”是； ②当3为底边长时， ∵等腰的周长为10， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”是； 综上，“优美比”是或． 12．以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是和．如图1，甲的游览路线是：，其折线段的路程总长记为，如图2，景点C和D分别在线段上，乙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为，如图3，景点E和G分别在线段上，景点F在线段上，丙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为．下列，，的大小关系正确的是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系，平移的性质，题目新颖，灵活运用所学知识是解题的关键．根据三角形三边的关系即可证明，根据平移的性质可证明． 【详解】解：根据题意可得，， ∴； 将线段平移，可得到线段，线段移可得到线段， ∴，， ， ∴， 故选D． 二、填空题（本大题共6小题） 13．已知的三边长，，满足且为奇数．则___________ 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，有理数的乘方，三角形的三边关系；根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，结合c为奇数确定c的值. 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，． ∴，即， 又∵为奇数， ∴． 14．已知的周长是12，，则边的取值范围是________． 【答案】 【分析】设，根据的周长用表示出和的长度，再根据三角形三边关系列出不等式组，解不等式组得到的取值范围． 【详解】解：设，由可得， 又∵的周长为， ∴． 则，解得：， 根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可列不等式组：， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 解第三个不等式得， 综上得，， 即． 15．为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆、、，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆、可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为 （写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形三边关系，能够利用三角形三边关系确定第三边的取值范围是解答本题的关键． 设在篱笆上接上新的篱笆长度为，由，求出的取值范围，即可解答． 【详解】解：设在篱笆上接上新的篱笆长度为， 根据题意得：，，， ， 即， ， 在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为. 16．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为______． 【答案】3或8 【分析】本题考查三角形三边关系． 分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到， ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； ∵， ∴三角形第三边的长是3或8． 17．如图,,两点都在直线的上方，，到直线的距离，到直线的距离，在直线上运动，则的最大值等于____. 【答案】5 【详解】如图， 延长交于点.因为，，所以当点运动到点的位置时，的值最大.因为，所以的最大值为5.故答案为5. 【关键点拨】 延长交于点，此时.因为，所以当点运动到点时，的值最大，即为的长． 【大招解读】 线段差最值问题 1.在直线上找一点，使最小. 同侧： 因为绝对值的最小值为0，所以当 时， 最小，所以作线段 的垂直平分线交 于点 ，此时 异侧： 2.在直线上找一点，使最大. 同侧： 因为 （三点不共线时，三角形两边之差小于第三边），所以当 , , 三点共线时， 最大 异侧： 作点 关于 的对称点 ，连接 并延长交 于点 .此时， 最大，为 的长 18．已知三边长分别为，，，（，，为正整数），且． （1）若则______． （2）若从，，，，，，，这个数中取个不同的数，且这个数中，总存在三个不同的数作为，，的值，则的最小值＝______． 【答案】； 【分析】（1） 根据三角形三边关系，结合，，是正整数的条件推导的值； （2） 先构造出最大的不存在三个数可构成三角形的集合，再根据题意得到的最小值． 【详解】（1）解： ，，，，为正整数， ， 将代入，得， 又， ， 且是整数， ； （2）解：若个数中不存在三个能作为三角形三边长， 则其中任意从小到大排列的三个数 ，且都满足， 要得到满足该条件的数的个数，构造从小到大的序列： 取第一个数为，第二个数为， 第三个数满足，取， 第四个数满足，取， 第五个数满足，取， 第六个数需要满足， ，超出到的范围， 不存在三个可构成三角形的集合最多有个元素， 当取个不同数时，任意个数中一定存在三个不同数可作为三角形三边长． 三、解答题（本大题共6小题） 19．某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表： 长度规格(m) 1 2 3 4 5 6 价格(元/根) 10 15 20 25 30 35 学校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经购买两根长度分别为2 m和5 m的钢管，还需要购买一根． (1)有哪几种规格的钢管可供选择？ (2)若要求做成的三角形支架的周长为偶数，则做成该三角形支架一共需要花多少钱购买钢管？ 【答案】(1)设第三根钢管的长度为x cm，则5－2＜x＜5＋2，即3＜x＜7，∴有长度为4 cm，5 cm，6 cm的钢管可供选择. (4分) (2)∵要使三角形支架的周长为偶数，∴三边长分别为2 cm，5 cm，5 cm， (7分) 则需要花15×1＋30×2＝75(元)购买钢管. 答：做成该三角形支架一共需要花75元购买钢管. (8分) 【关键点拨】熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边之差小于第三边是解题的关键. 20．已知一个等腰三角形的两边长x，y满足方程组，求这个等腰三角形的周长． 【答案】7或8 【分析】解二元一次方程组求得x，y的值，然后根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系即可求得答案． 【详解】解：， 解得：， ∵一个等腰三角形的两边长x，y, ∴当其三边长为3，3，2时，，则其周长为； 当其三边长为3，2，2时，，则其周长为； 即这个等腰三角形的周长为7或8． 21．已知的三边长分别为a，b，c． （1）若，，且c为整数，求周长的最大值． （2）化简：． 【答案】（1）27 （2） 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 22．已知四条线段的长度为a，b，c，p（它们是从小到大的连续正整数），且． （1）求p的值； （2）已知a，b，x为三角形的三条边长，若x为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）易得，，，代入，求解即可； （2）根据三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 则，解得． （2）解：由（1）可知：，， 根据三边关系可知：，即， ∵x为整数， ∴x的最大值为6， ∴三角形周长的最大值为． 23．若一个三角形三边的长互不相等，且其边长，，满足（为最长边，为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边的长分别为7，5，4．，这个三角形为“不均衡三角形”． （1）下列长度的小木棍中，能组成“不均衡三角形”的一组是（   ） A．，，   B．，，    C．，， （2）若一个“不均衡三角形”三边的长分别为，16，． ①若，它是否为“不均衡三角形”，请说明理由． ②请写出符合条件的一个的整数值：______． 【答案】（1）B （2）①它不能成为“不均衡三角形”，理由见详解；② 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨论思想的应用是解题的关键． （1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）①根据“不均衡三角形”的定义即可求解； ②分三种情况对进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：A、，不能组成“不均衡三角形”； B、，能组成“不均衡三角形”； C、，不能组成“不均衡三角形”； 故选B； （2）解：①若，则三边为，16，， ∵，∴它不能成为“不均衡三角形”； ②当最长边长为，最短边长为时， 且， 解得． 由得， ∴该情况不符合题意，舍去； 当最长边长为，最短边长为时， 且， 解得． 取整数， ． 当时， 三边的长分别为22，16，14，可以构成三角形； 当最长边长为，最短边长为时， ，且， 解得． 取整数， 或或，且都可以构成三角形． 综上所述，的整数值为或或或． 24．问题提出： 最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．） 问题探究： 为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． （1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表① 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 1 1 1 1个1 （2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表② 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 2 1 1 2个1 2 1 （3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况： 表③ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 3 1 1 2个2 2 ， 2 3 1 （4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况： 表④ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 4 1 1 3个2 2 ， 2 3 ， 2 4 1 （5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空： 表⑤ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 1 1 ___ ___ 2 ， 2 3 4 ， 2 5 1 问题解决： （1）最长边长为6的整数边三角形有 个． （2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数． （3）最长边长为128的整数边三角形有 个． 拓展延伸： 在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有 个． 【答案】问题探究：见解析；问题解决：（1）12；（2）当为奇数时，整数边三角形个数为；当为偶数时，整数边三角形个数为；（3）4160；拓展延伸：295 【分析】 问题探究： 根据（1）（2）（3）（4）的具体推算，总结出相同的规律，按规律填好表格即可； 问题解决： （1）由最长边长分别为1，2，3，4，5总结出能反应规律的算式，再根据规律直接写出最长边长为6时的三角形的个数； （2）分两种情况讨论：当为奇数，当为偶数，再从具体到一般进行推导即可； （3）当最长边长时，为偶数，再代入进行计算，即可得到答案； 拓展延伸： 分两种情况讨论：当9是底边的棱长时，由最长边长为9的三角形个数有：个，当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8，底边三角形共有：个，从而可得答案. 【详解】 解：问题探究： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 3 ，， 3 3个3 问题解决： （1）最长边长为1的三角形有：个， 最长边长为2的三角形有：个， 最长边长为3的三角形有：个， 最长边长为4的三角形有：个， 最长边长为5的三角形有：个， 所以最长边长为6的三角形有：个， 故答案为： （2）由（1）得： 最长边长为1的三角形有：个， 最长边长为3的三角形有：个， 最长边长为5的三角形有：个， 所以当为奇数时，整数边三角形个数为； 最长边长为2的三角形有：个， 最长边长为4的三角形有：个， 最长边长为6的三角形有：个， 所以当为偶数时，整数边三角形个数为. （3）当最长边长时，为偶数， 可得此时的三角形个数为： 故答案为： 拓展延伸： 当9是底边的棱长时， 最长边长为9的三角形个数有：个， 而直三棱柱的高分别为：1，2，3，4，5，6，7，8，9， 所以这样的直三棱柱共有：个， 当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8， 底边三角形共有：个， 所以这样的直三棱柱共有：个， 综上，满足条件的直三棱柱共有个. 故答案为： 【点睛】 本题考查的是学生的阅读理解能力，探究规律的方法，并运用规律解决问题，同时考查了立体图形的含义，三角形的三边关系，弄懂题意，掌握探究方法，运用规律的能力都是解题的关键. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $