21.1.1 四边形及其内角和（分层题型专练，3夯基题型+1进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以“分层题型专练”为框架，通过基础识别、变式计算到综合探究的三阶设计，系统巩固四边形不稳定性及内、外角性质，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|四边形不稳定性的识别与应用、内角和基本计算|结合生活情境（伸缩门、衣架）设计选择填空题，强化应用意识| |提升层|内角和变式计算（含图形剪拼）、外角性质应用|通过图形变换（如剪去三角形求剩余角度）培养几何直观| |综合层|内外角综合计算、证明与规律探究|设置多问探究题（如角平分线性质推理），发展推理能力|

第二十一章 四边形 21.1.1 四边形及其内角和 （分层题型专练） 题型一 四边形的不稳定性 1．下列图形中，运用四边形不稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形和四边形的特征解答即可． 【详解】解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性，不符合题意； B选项伸缩门是用到了四边形的不稳定性，符合题意． 2．下列物体应用了四边形的不稳定性的是（   ） A．木质梯子 B．学校门口的伸缩门 C．矩形门框 D．正方形地砖 【答案】B 【详解】解：四边形的不稳定性是指四边形边长固定时形状容易改变，只有需要灵活改变形状的场景才会利用该性质． A选项木质梯子需要保持固定形状保障安全，利用的是结构稳定性，不符合要求； B选项学校门口的伸缩门需要改变形状实现伸缩开合，正是利用了四边形的不稳定性，符合要求； C选项矩形门框和D选项正方形地砖都需要保持固定形状，不符合要求． 3．下列图形中不具备稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， ∴四个图形中，只有C选项中的图形不具有稳定性． 4．如图是某学校的电动伸缩门，其利用的数学原理是________________． 【答案】四边形具有不稳定性 【详解】解：电动伸缩门能伸缩的几何原理是四边形具有不稳定性． 5．如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是___________． 【答案】四边形的不稳定性 【详解】解：小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是四边形的不稳定性． 6．下列图形中哪些具有稳定性？ 【答案】①④⑥具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性这一特性，判断所给图形是否由三角形构成或可分割成三角形，从而确定哪些图形具有稳定性即可． 【详解】解：图形①：被分割成了多个三角形，具有稳定性； 图形②：是四边形内加一条线段，形成了两个四边形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； 图形③：下方是被分割的四边形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； 图形④：被分割成了多个三角形，具有稳定性； 图形⑤：是两个四边形组成的图形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； 图形⑥：被分割成了多个三角形，具有稳定性， 综上所述，具有稳定性的是①④⑥． 题型二 四边形的内角和 1．如图，在四边形中，，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了四边形的内角和是360度的实际运用．根据多边形的内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 2．如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据在中，，得出，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 则， 故选：B． 3．如图，在四边形中，，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了四边形内角和360度，根据，，以及四边形内角和360度进行列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：在四边形中，，， ∴ 则 解得， 故选：C 4．如图，在四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的全等，四边形的内角和定理解答即可． 本题考查了直角三角形的全等，四边形的内角和定理，熟练掌握判定和定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．在四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四边形的内角和建立方程即可求解． 【详解】解：设， 四边形的内角和度数为：， ∴， 解得：， 故， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，多边形的内角和公式：．掌握相关结论是解题关键． 6．在四边形中，与互补，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了四边形内角和问题，掌握四边形内角和为是解题的关键． 根据四边形内角和为，结合与互补即可求解． 【详解】解：∵在四边形中，， 而与互补，， ∴， 故选：C． 7．如图，线段、的中垂线交于点D，且，则的度数为______． 【答案】/100度 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键． 过D点作，，连接，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，然后根据四边形的内角和是求解即可． 【详解】解：连接， ∵线段、的中垂线交于点D， ∴线段分别是线段的中垂线， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 8．学校有一块四边形试验田，分割成两块，由图可知，______度． 【答案】3 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和定理是关键． 根据平角的性质得到，，根据四边形内角和为即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 9．如图，在四边形中，已知，．则_____． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理．根据四边形内角和等于，计算即可求解． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 16．一个四边形四个内角的度数之比为1：1：0.6：1，则该四边形最小内角的度数为______． 【答案】60度/60° 【分析】根据四边形内角和为360°和四个内角的度数比为1：1：0.6：1求解即可． 【详解】解：∵四边形内角和为360°，且四边形的四个内角的度数比为1：1：0.6：1， ∴最小内角的度数=， 故答案为：． 【点睛】此题考查了四边形内角和的度数，解题的关键是熟练掌握四边形内角和的度数．四边形内角和为360°． 题型三 四边形的外角问题 17．如图，在四边形中，，是四边形的一个外角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是四边形的内角和定理的应用，邻补角的性质，先证明，结合，进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：D 18．若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据任意多边形外角和为，结合四个外角的比例关系，设未知数求出各外角的度数，进而确定最大外角的度数． 【详解】解：设四个外角的度数分别为、、、． ∵任意四边形的外角和为， ∴． 解得， 即：． 最大的外角为． 逐一分析选项： A、，与计算结果一致，符合题意； B、，与计算结果不符，不符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果不符，不符合题意． 故选：A． 题型一 四边形的内、外角综合问题 1．如图，在四边形中，，，与相邻的外角是，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和与外角，根据外角的定义，求出的度数，再根据四边形的内角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：∵与相邻的外角是， ∴， ∵在四边形中，，， ∴的度数为； 故选B． 2．如图，在四边形中，，是四边形的外角，且，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和多边形内角和定理，掌握边形内角和定理是解题的关键．根据，得出，再求出，根据四边形的内角和定理解答即可． 【详解】解：，， ， ， 是四边形的外角， ， ， ， ． 故选：C 3．四边形的四个外角中最多有钝角（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和外角的关系，利用内角和定理是解题关键． 四边形的外角与内角互补，外角为钝角当且仅当内角为锐角，因此，问题转化为求四边形内角中最多有多少个锐角． 【详解】解：∵四边形的内角和为，且每个锐角小于， ∴若四个内角均为锐角，则内角和，矛盾， ∴最多有三个内角为锐角． ∵每个锐角内角对应一个钝角外角， ∴最多有三个钝角外角． 故选：B． 22．如图，，则__________． 【答案】240° 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握任意多边形的外角和都是． 根据邻补角的概念，多边形的外角和是进行解答即可． 【详解】解：如图： ∵四边形的外角和是， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：． 1．“四边形的内角和等于．”对于证明该结论添加的辅助线为： 其中能证明其内角和的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】逐个检验是否能用三角形内角和及确定的角表示出四边形内角和即可． 【详解】 解：对于，将一个四边形分成两个三角形，则四边形的内角和等于两个三角形内角和相加，为，符合要求； 对于，将一个四边形分成三个三角形，则四边形的内角和等于三个三角形内角和相加、再减去一个平角，为，符合要求； 对于，将一个四边形分成四个三角形，则四边形的内角和等于四个三角形内角和相加、再减去一个周角，为，符合要求； 对于，将一个四边形补全为三角形，，，，， ，符合要求； 综上所述，个图形中的辅助线均可证明． 2．如图，四边形中，，，，，则的度数是____________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，掌握等腰三角形的两底角相等，及三角形内角和为是解题的关键． 连接，将四边形分割为两个等腰三角形，利用的条件，结合三角形内角和定理，先求出中底角的度数，再算出中底角的度数，最终求出的度数． 【详解】解：连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ∵， ∴ 是等腰三角形， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 3．在四边形中，． (1)如图1，若，则______度； (2)如图2，作的平分线交于点，若，求的度数； (3)如图3，作和的平分线交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由四边形内角和为，代入，求解即可得到答案； （2）由平行性质得到，再由邻补角及角平分线定义得到，在中，由三角形内角和定理代值求解即可得到答案； （3）由（1）可知，再由角平分线定义得到，进而求出，在中，由三角形内角和定理代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在四边形中，，则， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 平分， ， 在中，， ； （3）解：由（1）可知， 平分，平分， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形、三角形中求角度，涉及四边形内角和为、平行性质、邻补角定义、角平分线求角度、三角形内角和定理等知识，数形结合，准确表示出相关角度的关系是解决问题的关键． 4．（1）如图①②，试探究与之间的数量关系； （2）请你用文字语言描述（1）中的关系； （3）用你发现的结论解决下列问题： 如图③，分别是四边形的外角的平分线，，求的度数． 【答案】（1） （2）四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和 （3） 【分析】本题考查了多边形的内角和，平角的定义，角平分线的定义，解题关键是利用整体思想． （1）根据四边形内角和，表示出，再根据平角定义表示出，即可求解； （2）结合（1）的结论去描述即可； （3）根据条件，先求出，再根据角平分线，求出的值，即可求解． 【详解】解：（1）关系是，理由如下： ∵、、、是四边形的四个内角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和； （3）∵， ∴， ∵、分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $第二十一章四边形 21.1.1四边形及其内角和 (分层题型专练) 题型分层思维导图 四边形的不稳定性 i组夯基达标题 四边形的内角和 ⅲ组*拓展培优题 四边形的外角问题 四边形级其内角和 iⅱ组★进阶提质题 四边形的内、外角综合问题 i组 夯基达标题 题型一四边形的不稳定性 1.下列图形中，运用四边形不稳定性的是() 太阳能热水器 伸缩门 B. 自行车三脚架 三角形支架 D 2.下列物体应用了四边形的不稳定性的是() A.木质梯子 B.学校门口的伸缩门 C.矩形门框 D.正方形地砖 3.下列图形中不具备稳定性的是() 4.如图是某学校的电动伸缩门，其利用的数学原理是 5.如图，小亮发现门后有一个四边形收缩衣架，可以根据使用需求调整外观长度，其利用的原理是 6.下列图形中哪些具有稳定性？ ① ② ④ 5 题型二四边形的内角和 1,如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC,∠A=∠C=100°，则∠D的度数是(). D A.60° B.70° C.80° D.90° 2.如图，在△ABC中，∠A=50°，将△ABC沿虚线剪去∠A,则∠1+∠2的度数为() B A.180°B.230° C.240° D.2700 3.如图，在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，设∠B=∠C=,则=(） D A B A.55 B.60° C.65o D.70° 4.如图，在四边形ABCD中，AD=AB,∠B=∠D=90°，∠BAC=55°，则∠BCD=（） B ◇D A.70o B.90o C.110° D.130° 5.在四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:1:2,则∠D=(） A.150 B.120 C.90° D.60° 6.在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B=80°，则∠D的度数() A.80o B.90 C.100° D.110° 7.如图，线段AB、AC的中垂线交于点D,且∠A=130°，则∠BDC的度数为。 D 8.学校有一块四边形试验田，分割成A,B两块，由图可知，x一y=度. A 759 人780 B 以 9.如图，在四边形ABCD中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°.则∠DCA= D A 16.一个四边形四个内角的度数之比为1：1：0.6：1，则该四边形最小内角的度数为 题型三四边形的外角问题 17.如图，在四边形ABCD中，∠A十∠C=180°，∠ADE是四边形ABCD的一个外角.若∠B=75°， 则∠ADE的度数为() E D A.125° B.105° C.90° D.75° 18.若一个四边形的四个外角之比为1：2：3：4，则这四个外角中最大的外角的度数是() A.144° B.108° C.72o D.36° ii组 进阶提质题 题型一四边形的内、外角综合问题 1.如图，在四边形ABCD中，∠A=80°，∠D=110°，与∠相邻的外角是70°，则∠的度数是() 0 70%a B B C A.50 B.600 C.70 D.80° 2.如图，在四边形ABCD中，AB‖CD,∠ABE是四边形ABCD的外角，且∠ABE=∠D,∠C=110°， 则∠A的度数是() A.110° B.50° C.70 D.35 3.四边形的四个外角中最多有钝角() A.2个 B.3个 C.4个 D.1个 22.如图，∠B=60°，则∠1十∠2十3= 4 10 2 D iii组 拓展培优题 1.“四边形的内角和等于360°."对于证明该结论添加的辅助线为： D 其中能证明其内角和的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC,∠A=40°，∠B=120°，则∠C的度数是 B 3.在四边形ABCD中，∠A=98°，∠D=140°. B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠B=∠C,则∠B=度； (2)如图2，作∠BCD的平分线CE交AB于点E,若CE‖AD,求∠B的度数； (3)如图3，作∠ABC和∠DCB的平分线交于点E,求∠BEC的度数. 4.（1)如图①②，试探究∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系： B 2 1 D 6 5 6小2 4 E 图① 图② 图③ (2)请你用文字语言描述(1)中的关系： (3)用你发现的结论解决下列问题： 如图③，AE,DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD,∠MDA的平分线，∠B十∠C=240°，求∠E的度数.