第08讲 平面直角坐标系（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材北师大版

第08讲 平面直角坐标系（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+2个知识归纳+12个题型+课后作业】 模块二 平面直角坐标系 右图呈现了北京市部分景点的大致位置， 小亮和来访的朋友位于卢沟桥，小亮如何向 来访的朋友介绍图中各个景点的位置呢？ 【知识点1 平面直角坐标系】 1．定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系． 2．坐标轴：通常，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴称为轴或横轴，竖直的数轴称为轴或纵轴，轴和轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为平面直角坐标系的原点． 【知识点2 坐标平面内点的坐标特征】 1．点的坐标: 如下图，对于平面内任意一点P，过点P分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、y轴上对应的数，b分别称为点P的横坐标、纵坐标，有序实数对（，b）称为点P的坐标． 2．坐标平面内点的坐标特征：如下图． ①坐标原点O的坐标为（0，0）； ②第一象限内的点，、同号，均为正； ③第二象限内的点，、异号，为负，为正； ④第三象限内的点，、同号，均为负； ⑤第四象限内的点，、异号，为正，为负； ⑥横轴（轴）上的点，纵坐标为0，即（，0）； ⑦纵轴（轴）上的点，横坐标为0，即（0，）． 【题型1 用坐标表示位置】 【例1】如图，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为．请写出体育场的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据火车站的坐标为，文化馆的坐标为，可得医院坐标为，进而以医院为原点建立平面直角坐标系，即可求解． 【详解】解：∵火车站的坐标为，文化馆的坐标为， ∴医院坐标为， ∴如图所示，以医院为原点建立平面直角坐标系， ∴体育场的坐标． 故选：C． 【变式1-1】如图，在中国象棋棋盘上，若“帅”位于点处，两个“炮”位于点处和点处，则两个“马”位于点_______处． 【答案】和 【分析】根据“帅”和两个“炮”的坐标，建立直角坐标系，根据直角坐标系即可写出两个“马”的坐标． 【详解】解：根据“帅”和两个“炮”的坐标，建立直角坐标系， 根据坐标可知：两个“马”位于点和． 【变式1-2】平面直角坐标系中，叶片两点坐标为，，则底部点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将向下平移5个单位即可找到坐标原点的位置，建立直角坐标系，即可求出点坐标． 【详解】解：如图所示，将向下平移5个单位即可找到坐标原点的位置，建立直角坐标系， ∴点坐标为． 故选：A． 【变式1-3】从《贵阳府志》中的“贵阳内城总图”上看，历史上的“九门四阁”如同一串珍珠项链将老贵阳城环绕．若将“六广门”的位置设为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，“红边门”的坐标为，则“文昌阁”的坐标可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“文昌阁”在第二象限，且在“红边门”的左上方，结合“红边门”的坐标为，进一步求解即可. 【详解】解：∵“文昌阁”在第二象限，且在“红边门”的左上方，“红边门”的坐标为， ∴“文昌阁”的横坐标比“红边门”的横坐标小，“文昌阁”的纵坐标比“红边门”的纵坐标大， ∴A，B，C,不符合题意；D符合题意. 故选：D． 【题型2 求点到坐标轴的距离】 【例2】如果点的坐标为，则点到轴的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵点坐标为，纵坐标为， ∴点到轴的距离为． 故选：B． 【变式2-1】已知点，则点到轴的距离是______． 【答案】 【分析】根据点到轴的距离等于该点横坐标的绝对值，代入点的横坐标计算即可得到结果． 【详解】解：∵点，其横坐标为， ∴点到轴的距离为． 故答案为：． 【变式2-2】点在轴上，且到原点的距离是2，则点的坐标为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的横坐标为， ∵点到原点的距离是， ∴点纵坐标的绝对值为，即， ∴或， ∴点的坐标为或． 故选：D． 【变式2-3】若轴上的点到轴的距离是7，则点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据点P在x轴上确定纵坐标，再根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，得到横坐标的所有可能，即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为，可排除A， D选项； ∵点到轴的距离是，平面直角坐标系中，点到轴的距离等于横坐标的绝对值， ∴，可得或． ∴点的坐标是或． 故选：C． 【题型3 判断点所在象限】 【例3】点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中象限与点坐标的关系，只需根据各象限点的坐标符号特征判断即可． 【详解】解：∵ 点的横坐标，纵坐标，且第二象限内点的坐标特征为横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴ 点在第二象限． 故选：B． 【变式3-1】若点P位于第三象限，则它的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】只需根据第三象限点的坐标符号特征判断选项即可． 【详解】解：第三象限内点的横坐标小于，纵坐标也小于， 选项A：横纵坐标都为正，是第一象限的点，不符合要求； 选项B：横坐标为负纵坐标为正，是第二象限的点，不符合要求； 选项C：横纵坐标都为负，是第三象限的点，符合要求； 选项D：横坐标为正纵坐标为负，是第四象限的点，不符合要求． 故选：C． 【变式3-2】如图，将一把直尺斜放在平面直角坐标系中，下列四点中，一定不会被直尺盖住的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直尺不经过第三象限，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意得，直尺经过一、二、四象限，不经过第三象限， ．为第一象限的点，故该选项不符合题意； ．为第二象限的点，故该选项不符合题意； ．为第三象限的点，故该选项符合题意； ．为第四象限的点，故该选项不符合题意. 故选：C． 【变式3-3】如图，小手盖住的点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各象限内点的坐标特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，结合小手所在位置，即可得出答案． 【详解】解：观察图形可知，小手盖住的点位于第二象限 第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， 该点的坐标符号为 对比各选项，只有B选项符合第二象限的坐标特征． 故选：B． 【题型4 已知点所在位置，求参数】 【例4】点在轴上，则的值为______． 【答案】2 【分析】根据y轴上点的坐标特征，y轴上所有点的横坐标为，据此列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：点在轴上， 点的横坐标为，即， 移项，得， 系数化为，得． 故答案为：． 【变式4-1】若点在x轴上，则点P的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据轴上点的坐标特征，轴上的点纵坐标为，据此列方程求出的值，再代入计算得到点的横坐标，即可得到点的坐标. 【详解】 点在轴上， 点的纵坐标为， 即 ， 解得 ， 将代入横坐标，得 ， 点的坐标为． 故答案为：． 【变式4-2】点在第一象限，且到轴的距离是到轴距离的3倍，则的值是____________． 【答案】 【分析】先根据第一象限点的坐标特点判断横纵坐标的符号，再结合点到坐标轴距离的定义和题目给出的倍数关系列方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：点在第一象限， ，， ∵点到轴的距离是到轴距离的3倍， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)若点在轴上，求点的坐标． (2)若点在第二象限，到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【分析】（1）根据轴上的点的纵坐标为列式求解即可； （2）根据点在第二象限，到轴、轴的距离相等，得出点的横纵坐标互为相反数，再根据互为相反数的两数和为列式计算即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ， ； （2）解：点在第二象限，到轴、轴的距离相等， 点的横纵坐标互为相反数， ， 解得， ，． ． 【题型5 根据平行的坐标特征，求参数】 【例5】已知点，点，且轴，则m的值为_____． 【答案】 【分析】根据平行于轴的直线上的点的横坐标相等，列出关于的方程求解，验证后即可得到结果. 【详解】解：点，点，且轴， 点与点的横坐标相等，即， 解得， 验证：当时，，点，两点横坐标相等，纵坐标不相等，即两点不重合，符合题意. 故答案为：． 【变式5-1】若点M的坐标为，点N的坐标为，轴，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】平行于轴的直线上所有点的横坐标相等，根据该性质列方程即可求解． 【详解】解：轴， 点和点的横坐标相等， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， 解得． 故选：A． 【变式5-2】已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标； (2)点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； 【分析】（1）在y轴上的点的横坐标为0，据此求出a的值即可得到答案； （2）平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，据此求出a的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点，点的坐标为，且直线轴， ∴点P的横坐标为2， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 【变式5-3】已知点，解答下列各题∶ (1)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限且点P到轴、轴的距离相等，求出点P的坐标． 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点P的横坐标即可得出答案； （2）根据平行于y轴的直线的横坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得其纵坐标即可得出答案； （3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可． 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点Q的坐标为，直线轴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴， ∴， ∴，． 点P的坐标为． 【题型6 平面直角坐标系中，角平分线上的坐标特征】 【例6】平面直角坐标系中，点和点分别在（    ） A．第一、三象限的角平分线上 B．第二、四象限的角平分线上 C．第三、四象限的角平分线上 D．第二、三象限的角平分线上 【答案】C 【分析】根据点的坐标得到两点分别在第三、四象限的角平分线上． 【详解】解：在第三象限的角平分线上；点在四象限的角平分线上． 故选：C． 【变式6-1】已知点在第一、三象限的角平分线上，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了象限角平分线上点的特点．根据第一、三象限的角平分线上点的特点即可得到关于a的方程进行求解． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， ∴． 故选：B． 【变式6-2】已知点在第一、三象限的角平分线上，点在二、四象限的角平分线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位于第一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相等求得a值，再根据位于第二、四象限的角平分线上的点的横纵坐标互为相反数求解b值即可解答． 【详解】解：由已知条件知，点A位于第一、三象限的角平分线上，所以有，解得：； ∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴， 解得：． 故选：A． 【变式6-3】若点的坐标满足，则点的位置是（    ） A．在坐标轴上 B．在第一、三象限的角平分线上 C．在坐标轴夹角的平分线上 D．在第二、四象限的角平分线上 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，理解并掌握平面直角坐标系中点的特点是解题的关键． 根据题意可得，结合平面直角坐标系的特点即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或或或， ∴点在坐标轴夹角的平分线上， 故选：C ． 【题型7 坐标系中描点】 【例7】按要求解答下列各题： (1)如图，写出平面直角坐标系内点，，的坐标； (2)在平面直角坐标系内描出点，，． 【分析】（1）根据平面直角坐标系作答即可； （2）直接根据点的坐标描点即可． 【详解】（1）解：根据平面直角坐标系可知，，，； （2）解：如图： 【变式7-1】在图中画出适当的平面直角坐标系，使A、B两点的坐标分别为和，并直接写出点C、D的坐标． 【分析】首先根据点A、B的坐标确定坐标原点和x、y轴的正方向，进而建立平面直角坐标系，再结合图形得出C、D两点的坐标，进而判断这两个点所在的象限. 【详解】解：建立平面直角坐标系如图： 得、． 【变式7-2】如图，小伙伴们玩藏宝游戏，藏宝图上有几句话：一号宝藏在坐标为的点处，二号宝藏在坐标为的点处，三号宝藏在坐标为处，则三号宝藏在（  ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】C 【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系，进而得出藏宝位置． 【详解】解：∵一号宝藏在坐标为的点处，二号宝藏在坐标为的点处， ∴建立平面直角坐标系，如图所示： ∵三号宝藏在坐标为处， ∴三号宝藏在点处． 故选：C． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，按下列要求完成任务． (1)在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，； (2)写出平面直角坐标系中点E，F，G，H的坐标． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： ； （2）解：由图形得：，，，． 【题型8 已知两点坐标，求两点间的距离】 【例8】在平面直角坐标系中，已知两点、，那么、两点间的距离为________． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中两点间距离公式计算即可 【详解】解：已知，， 【变式8-1】在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式的应用，解题关键是掌握并正确运用该公式．将点与原点的坐标代入公式，即可求出点到原点的距离． 【详解】解：原点坐标为，根据两点间距离公式，点到原点的距离为． 【变式8-2】在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】可利用平面直角坐标系中纵坐标相同的两点的位置特点计算线段长，纵坐标相同的两点连线平行于x轴，线段长度等于横坐标差的绝对值． 【详解】解：∵点，点的纵坐标相等， ∴线段平行于轴， ∴． 【变式8-3】已知平面上两点和，那么______． 【答案】 【分析】若两点坐标为，，则两点间距离为． 【详解】解：∵， ∴ ． 【题型9 点的坐标规律问题】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断地移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，． （1）第12次移动到点的坐标为__________； （2）第次移动到点的坐标为__________．（用含自然数的代数式表示） 【分析】根据前几个坐标分别得到移动次数和坐标之间的关系，然后求解即可． 【详解】解：（1）第2次移动到点，即， 第4次移动到点，即， 第6次移动到点，即， … ∴第次移动到点的坐标为， ∴第12次移动到点的坐标为，即； （2）第1次移动到点，即， 第3次移动到点，即， 第5次移动到点的坐标为，即， … ∴第次移动到点的坐标为． 【变式9-1】在平面直角坐标系中，一个电子蚂蚁从出发，按“向右→向下→向右→向上”的方向依次循环不断移动，每次移动1个单位长度．其移动路线为：第一次向右移动1个单位到达，第二次向下移动1个单位到达，第三次向右移动1个单位到达，第四次向上移动1个单位到达，……，则第2026次移动后所在位置的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到每4次移动为一个循环周期，每个周期向右移动2个单位长度，纵坐标按循环变化，计算得到余数后即可确定对应坐标． 【详解】解：根据题意可得前几次移动后点的坐标： 可知移动4次为一个循环，每个循环横坐标增加2，纵坐标依次为． 第2026次移动是第507个循环的第2次移动， 横坐标为，纵坐标为0， 即第2026次移动后点的坐标为． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，……按照此规律，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察点的坐标变化，归纳出偶数项的坐标规律为 ，再根据与的位置关系求解． 【详解】解：由题意得： ， ，，……， 的坐标为 ． ， 的坐标为． 又，， ， ， 与横坐标相同，且的纵坐标比大． 的横坐标为，纵坐标为． 的坐标为． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系上有一个质点，质点第一次跳动至点，第二次跳动至点，第三次跳动至点，第四次跳动至点，依此规律跳动下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】仔细观察角码为偶数时，横坐标，纵坐标的变化规律，解答即可； 【详解】解：根据题意，得 ，右下角的角码为偶数0，横坐标为，纵坐标为， ，右下角的角码为偶数2，横坐标为，纵坐标为， ，右下角的角码为偶数4，横坐标为，纵坐标为， ………… 由此得到，右下角的角码为偶数，横坐标为，纵坐标为， 故，右下角的角码为偶数，横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为； 【题型10 中点坐标】 【例10】在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的中点的坐标为__________． 【答案】 【分析】若已知点，，则线段的中点坐标为，将已知点坐标代入公式即可求解． 【详解】解：，， 线段的中点坐标为，即． 【变式10-1】已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角坐标系的中点坐标，利用中点坐标公式直接计算点的坐标． 【详解】解：设点， 点是线段的中点，点， ，， 解得，， 点的坐标为， 故选：A． 【变式10-2】点和点的中点坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查中点坐标公式．若，，则中点坐标为，熟练掌握公式是解题的关键． 根据中点坐标公式运算即可． 【详解】解：∵点和点 ∴，， ∴点和点的中点坐标为． 故答案为：． 【变式10-3】在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 【答案】或 【分析】线段轴，是的中点，点的横坐标、点的横坐标与点的横坐标相同，都等于，点的纵坐标加上或者减去，即为点的纵坐标． 【详解】解：因为点的坐标为，若线段轴，是的中点， 所以点的横坐标、点的横坐标与点的坐标相同，等于， ，， 若点在点的上方，此时点的坐标为，即 ， 若点在点的下方，此时点的坐标为，即 ． 【题型11 平移中的坐标变化】 【例11】已知平面直角坐标系中一点，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移方向判断平移后点的横纵坐标范围，即可筛选出正确选项． 【详解】解：点向下平移，再向右平移， 平移后所得点的横坐标大于，纵坐标小于2， 只有符合要求． 【变式11-1】点向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标的平移问题，熟悉坐标平移左减右加，上加下减是解题的关键． 由点向上平移4个单位，再向左平移3个单位，得到即可求解． 【详解】根据点向上平移4个单位，再向左平移3个单位，得到， 所以点． 故选：D． 【变式11-2】将向右平移3个单位后得到，若点A的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，平移的性质，结合将向右平移3个单位后得到，点A的坐标是，得，即点的坐标是． 【详解】解：∵将向右平移3个单位后得到，点A的坐标是， ∴， ∴点的坐标是， 故选：A． 【变式11-3】的三个顶点的坐标分别是，，，如果将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到，则的顶点坐标为______，______，______． 【答案】 【分析】考查坐标的平移变换问题；左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．把各点的横坐标都减，纵坐标都加即可得到所求的坐标． 【详解】解： ，，， ，，， 即，，， 故答案为：，，． 【题型12 平面直角坐标系中的面积问题】 【例12】如图，已知点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使的面积等于四边形面积的三分之一，求点的坐标． 【分析】（1）过点C和点D分别作y轴的垂线，垂足分别为点E，点F，根据并结合各点的坐标求解即可； （2）根据的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵点，，， ∴点， ∴，，，，， ∴ ； （2）∵， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴ ∴点坐标为或． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求出的面积． (2)在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【分析】（1）过点M作轴于点N，根据列式求解即可； （2）设点P的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点M作轴于点N， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 【变式12-2】已知：在平面直角坐标系中，，，， (1)求的面积； (2)设点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）过点C作轴于D，根据列式求解即可； （2）根据（1）所求可得的面积，则根据三角形面积计算公式可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作轴于D， ∵，，， ∴， ∴； ∴ ； （2）解：∵的面积是的面积的2倍，的面积为4， ∴的面积为8， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 【变式12-3】四边形各个顶点的坐标分别是，，，． (1)在所给的平面直角坐标系中画出四边形； (2)求出四边形的面积； (3)点是轴上一点，使得的面积等于四边形面积的一半，请直接写出点坐标． 【分析】本题考查了坐标与图形，利用网格求面积，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据点的坐标作图即可； （2）作于，于，则，，，，，再由四边形的面积计算即可得解； （3）设，则，根据的面积等于四边形面积的一半，得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：四边形如图所示： ； （2）解：如图，作于，于， 则，，，，， ∴四边形的面积 ； （3）解：∵点是轴上一点， ∴设，则， ∵的面积等于四边形面积的一半， ∴， 解得：或， ∴或． 模块三 课后作业 1．在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据平方的非负性判断点的横纵坐标的正负，结合平面直角坐标系各象限点的坐标特征即可判断点所在象限． 【详解】解：∵对于任意实数，都有， ∴， 又∵该点的横坐标为， ∴该点横坐标为负，纵坐标为正， ∵平面直角坐标系中第二象限点的坐标符号为（负，正）， ∴点一定在第二象限． 故选：B． 2．线段是由线段平移得到， 的对应点为，则点 的对应点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移与坐标．熟练掌握点平移坐标变化规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 先根据点A与点C的坐标判断出平移方式 ，再根据平移方式 ，结合点平移坐标变化规律，求出点D坐标即可． 【详解】解：因为线段是由线段平移得到， 的对应点为 ， 所以线段向右平移4个单位，向上平移2个单位，得到线段， 所以点的横坐标加4，纵坐标加2， 所以点 的对应点D的坐标为，即， 故选：C． 3．平面直角坐标系中，已知，，且，如果是轴正半轴上的点，那么的值是（     ） A． B． C．5 D．11 【答案】C 【分析】A、B两点都在x轴上，x轴上两点的距离等于两点横坐标差的绝对值，结合A在x轴正半轴的条件，即可求出m的值． 【详解】解：∵，都在轴上， ∴的长度为， 又∵， ∴， ∴或，即或， ∵是轴正半轴上的点， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，，，，，…按此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形中各点的坐标变化规律，发现点的下标 与 的余数决定了点所在的象限及坐标数值规律，根据 的余数确定 的坐标特征即可求解． 【详解】解：，，，， ，，，， ，…… 观察各个点的坐标，发现每4个点一组呈现规律性变化． ∵， ∴观察点，，，……的坐标规律发现： 当下标时， ，坐标， 又， ． 故选：B． 5．已知点与点B在同一条平行于坐标轴的直线上，并且点B在一、三象限的角平分线上，则B点坐标为________ 【答案】或 【分析】根据点A的坐标，结合平行于坐标轴分两种情况讨论，得到点B的一个坐标，再利用一、三象限角平分线上点横纵坐标相等的性质，求解点B的另一个坐标，即可得到结果. 【详解】解： 点与点在同一条平行于坐标轴的直线上， 分以下两种情况讨论： （1）当平行于轴时，点的纵坐标为， 点在一、三象限的角平分线上，一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等， 点的横坐标为，即. （2）当平行于轴时，点的横坐标为. 点在一、三象限的角平分线上，一、三象限角平分线上的点横纵坐标相等， 点的纵坐标为，即. 综上，点坐标为或. 6．在平面直角坐标系中，若，，点为平面内一点，且的中点在轴上，的中点在轴上，则的长度为______． 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据坐标轴上点的坐标特征，结合中点坐标公式求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算的长度. 【详解】解：设点的坐标为， ，的中点在轴上，轴上点的横坐标为， ∴由中点坐标公式得， 解得：， ，的中点在轴上，轴上点的纵坐标为， ∴由中点坐标公式得， 解得：， 点的坐标为， 由两点间距离公式得 . 故答案为：. 7．某公园有6个景点．如图所示是景点在平面直角坐标系中的分布示意图，景点A的坐标是，景点B的坐标是． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标； (2)若景点D的坐标为，景点E的坐标为，景点F的坐标为，请在图中的平面直角坐标系中描出点D，E，F． 【分析】（1）根据A和B的坐标建立适当的平面直角坐标系，根据直角坐标系即可得出点的坐标； （2）根据D的坐标为，E点的坐标为，F点的坐标为，在坐标系中标注的位置． 【详解】（1）解：如图所示， ， 景点C的坐标为： （2）解：点D，E，F的位置如图所示 8．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知在平面内两点，，这两点间的距离；当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)若点，则线段的长为________． (2)已知，，试求，两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，，，你能判断此三角形的形状吗？说明理由． 【分析】（1）根据两点间距离公式计算； （2）根据两点间距离公式计算； （3）根据两点间距离公式分别求出，，，根据勾股定理的逆定理解答． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：为等腰直角三角形， 理由如下：，，， ∵， ∴为等腰直角三角形． 9．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)点，且轴时，求点的坐标； (3)若点到轴的距离为时，求点的坐标． 【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征进行计算即可； （2）根据平行于轴的直线上点的坐标特征进行计算即可； （3）根据题意，得出关于的方程，据此进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴，解得， 则， ∴点的坐标为． （2）解：∵点且轴， ∴，解得， 则， ∴点的坐标为． （3）解：∵点到轴的距离为， ∴， ∴或， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 10．如图：在平面直角坐标系中，已知，，三点，若、、满足关系式：． (1)求三角形的面积． (2)存在一点，使三角形的面积与三角形的面积相等，求点的坐标． 【分析】（1）根据非负数的性质求出、、的值，于是得出轴，轴，再根据三角形面积公式计算即可； （2）根据三角形的面积与三角形的面积相等计算即可． 【详解】（1）∵ ， 又∵，， ， ，，． ，，． ∴点的坐标是，点的坐标是． 轴，轴． ． 如图，过点作于点， ． ． （2）解：∵点的坐标是，轴，点的坐标是， ． ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ， 解得． ∴点的坐标是或． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 平面直角坐标系（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+2个知识归纳+12个题型+课后作业】 模块二 平面直角坐标系 右图呈现了北京市部分景点的大致位置， 小亮和来访的朋友位于卢沟桥，小亮如何向 来访的朋友介绍图中各个景点的位置呢？ 【知识点1 平面直角坐标系】 1．定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系． 2．坐标轴：通常，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴称为轴或横轴，竖直的数轴称为轴或纵轴，轴和轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为平面直角坐标系的原点． 【知识点2 坐标平面内点的坐标特征】 1．点的坐标: 如下图，对于平面内任意一点P，过点P分别向轴、轴作垂线，垂足在轴、y轴上对应的数，b分别称为点P的横坐标、纵坐标，有序实数对（，b）称为点P的坐标． 2．坐标平面内点的坐标特征：如下图． ①坐标原点O的坐标为（0，0）； ②第一象限内的点，、同号，均为正； ③第二象限内的点，、异号，为负，为正； ④第三象限内的点，、同号，均为负； ⑤第四象限内的点，、异号，为正，为负； ⑥横轴（轴）上的点，纵坐标为0，即（，0）； ⑦纵轴（轴）上的点，横坐标为0，即（0，）． 【题型1 用坐标表示位置】 【例1】如图，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为．请写出体育场的坐标（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中国象棋棋盘上，若“帅”位于点处，两个“炮”位于点处和点处，则两个“马”位于点_______处． 【变式1-2】平面直角坐标系中，叶片两点坐标为，，则底部点坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】从《贵阳府志》中的“贵阳内城总图”上看，历史上的“九门四阁”如同一串珍珠项链将老贵阳城环绕．若将“六广门”的位置设为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，“红边门”的坐标为，则“文昌阁”的坐标可以表示为（     ） A． B． C． D． 【题型2 求点到坐标轴的距离】 【例2】如果点的坐标为，则点到轴的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-1】已知点，则点到轴的距离是______． 【变式2-2】点在轴上，且到原点的距离是2，则点的坐标为（     ） A． B．或 C． D．或 【变式2-3】若轴上的点到轴的距离是7，则点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 【题型3 判断点所在象限】 【例3】点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-1】若点P位于第三象限，则它的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，将一把直尺斜放在平面直角坐标系中，下列四点中，一定不会被直尺盖住的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，小手盖住的点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【题型4 已知点所在位置，求参数】 【例4】点在轴上，则的值为______． 【变式4-1】若点在x轴上，则点P的坐标是_______． 【变式4-2】点在第一象限，且到轴的距离是到轴距离的3倍，则的值是____________． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)若点在轴上，求点的坐标． (2)若点在第二象限，到轴、轴的距离相等，求点的坐标． 【题型5 根据平行的坐标特征，求参数】 【例5】已知点，点，且轴，则m的值为_____． 【变式5-1】若点M的坐标为，点N的坐标为，轴，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【变式5-2】已知点，解答下列各题． (1)点在轴上，求出点的坐标； (2)点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； 【变式5-3】已知点，解答下列各题∶ (1)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限且点P到轴、轴的距离相等，求出点P的坐标． 【题型6 平面直角坐标系中，角平分线上的坐标特征】 【例6】平面直角坐标系中，点和点分别在（    ） A．第一、三象限的角平分线上 B．第二、四象限的角平分线上 C．第三、四象限的角平分线上 D．第二、三象限的角平分线上 【变式6-1】已知点在第一、三象限的角平分线上，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知点在第一、三象限的角平分线上，点在二、四象限的角平分线上，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】若点的坐标满足，则点的位置是（    ） A．在坐标轴上 B．在第一、三象限的角平分线上 C．在坐标轴夹角的平分线上 D．在第二、四象限的角平分线上 【题型7 坐标系中描点】 【例7】按要求解答下列各题： (1)如图，写出平面直角坐标系内点，，的坐标； (2)在平面直角坐标系内描出点，，． 【变式7-1】在图中画出适当的平面直角坐标系，使A、B两点的坐标分别为和，并直接写出点C、D的坐标． 【变式7-2】如图，小伙伴们玩藏宝游戏，藏宝图上有几句话：一号宝藏在坐标为的点处，二号宝藏在坐标为的点处，三号宝藏在坐标为处，则三号宝藏在（  ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，按下列要求完成任务． (1)在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，； (2)写出平面直角坐标系中点E，F，G，H的坐标． 【题型8 已知两点坐标，求两点间的距离】 【例8】在平面直角坐标系中，已知两点、，那么、两点间的距离为________． 【变式8-1】在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______． 【变式8-2】在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型9 点的坐标规律问题】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断地移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，． （1）第12次移动到点的坐标为__________； （2）第次移动到点的坐标为__________．（用含自然数的代数式表示） 【变式9-1】在平面直角坐标系中，一个电子蚂蚁从出发，按“向右→向下→向右→向上”的方向依次循环不断移动，每次移动1个单位长度．其移动路线为：第一次向右移动1个单位到达，第二次向下移动1个单位到达，第三次向右移动1个单位到达，第四次向上移动1个单位到达，……，则第2026次移动后所在位置的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，……按照此规律，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系上有一个质点，质点第一次跳动至点，第二次跳动至点，第三次跳动至点，第四次跳动至点，依此规律跳动下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【题型10 中点坐标】 【例10】在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的中点的坐标为__________． 【变式10-1】已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】点和点的中点坐标为__________． 【变式10-3】在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 【题型11 平移中的坐标变化】 【例11】已知平面直角坐标系中一点，若将点A向下平移，再向右平移，则可能移动到下列哪一点（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】点向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】将向右平移3个单位后得到，若点A的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】的三个顶点的坐标分别是，，，如果将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到，则的顶点坐标为______，______，______． 【题型12 平面直角坐标系中的面积问题】 【例12】如图，已知点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使的面积等于四边形面积的三分之一，求点的坐标． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)求出的面积． (2)在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【变式12-2】已知：在平面直角坐标系中，，，， (1)求的面积； (2)设点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【变式12-3】四边形各个顶点的坐标分别是，，，． (1)在所给的平面直角坐标系中画出四边形； (2)求出四边形的面积； (3)点是轴上一点，使得的面积等于四边形面积的一半，请直接写出点坐标． 模块三 课后作业 1．在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．线段是由线段平移得到， 的对应点为，则点 的对应点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．平面直角坐标系中，已知，，且，如果是轴正半轴上的点，那么的值是（     ） A． B． C．5 D．11 4．如图，，，，，…按此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．已知点与点B在同一条平行于坐标轴的直线上，并且点B在一、三象限的角平分线上，则B点坐标为________ 6．在平面直角坐标系中，若，，点为平面内一点，且的中点在轴上，的中点在轴上，则的长度为______． 7．某公园有6个景点．如图所示是景点在平面直角坐标系中的分布示意图，景点A的坐标是，景点B的坐标是． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标； (2)若景点D的坐标为，景点E的坐标为，景点F的坐标为，请在图中的平面直角坐标系中描出点D，E，F． 8．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知在平面内两点，，这两点间的距离；当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)若点，则线段的长为________． (2)已知，，试求，两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，，，你能判断此三角形的形状吗？说明理由． 9．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)点，且轴时，求点的坐标； (3)若点到轴的距离为时，求点的坐标． 10．如图：在平面直角坐标系中，已知，，三点，若、、满足关系式：． (1)求三角形的面积． (2)存在一点，使三角形的面积与三角形的面积相等，求点的坐标． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $