3.1 函数的概念及其表示 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的概念及其表示，涵盖函数三要素、区间表示、定义域求解、函数值计算及相同函数判断。通过初中函数实例（如正方形周长）和问题（y=x与x/x是否相同）衔接旧知，以问题链搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以情境问题（如列车行驶、工资计算）抽象函数本质，培养数学眼光。通过归纳共同特征、例题辨析（如判断相同函数）发展数学思维，用区间符号、表格等规范表达体现数学语言。助力学生深化理解，教师可高效引导学生掌握函数核心，提升核心素养。

3.1函数的概念及其表示 情境导入 在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数.这个函数与正比例函数l=4x相同吗？ 又如，你能用已有的函数知识判断y=x与 是否相同吗？ 要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念. 问题1 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。 这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t （单位：h）的关系可以表示为 s=350t。 这里，t和s是两个变量，而且对t的每一个确定是值，s都有唯一确定的值与之对应，所以s是t的函数. 先分析以下问题 思考：有人说：“根据对应关系s=350t，这趟列车加速到350km/h后， 运行1h就前进了350km”，这个说法正确吗？ 不正确。没有关注到t的变化范围. s=350t ①，其中 下面就用精确的语言表示问题1中说法正确的对应关系. 对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程s和它对应。 问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？ 工资w是一周工作天数d的函数，对应关系为w=350d②,其中， 对于数集A2中的任一天数d，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的 工资w和它对应。 上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？ 由此你能概括出函数概念的本质特征吗？ 事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法. 为了表示方便，我们引进符号 f 统一表示对应关系. (1)都包含两个非空数集，用A,B来表示； (2)都有一个对应关系； (3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性： 对于数集A中的任意一 个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应． 归纳 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称 ：A→B 为从集合A到集合B的一个函数.记作. 其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域； 与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合{|}叫做函数的值域. 函数的概念 函数三要素：定义域、对应关系和值域； 函数的三要素，三者缺一不可． 　 AB 【解析】A，B满足题意，C中当x＝0时不满足， D中当x＜0时不满足．故选AB． 例1 例2 一枚炮弹发射后，经过 26 s 落到地面击中目标。炮弹的射高为 845 m，且炮弹距 地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为 h=130t-5t2. ① 求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数。 1 2 3 4 5 2 2 3 5 4 例3 集合A,B与对应关系f 如下图所示： f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系 各是什么？ 研究函数时常会用到区间的概念． 设 a，b 是两个实数，而且 a<b．我们规定： （1）满足不等式a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为 [a, b]； （2）满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为 (a, b)； （3）满足不等式 a≤x<b 或 a<x≤b的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 [a,b)，(a,b]． 这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点． 这些区间的几何表示如表所示．在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点． 区间 注意： 2.区间不能表示单元素集 1.区间只能表示数集,区间是集合 3.区间不能表示不连续的数集 6.以“－∞”或“＋∞”为区间的 一端时，这一端必须是小括号. 5.区间都可以用数轴表示； 4.区间的左端点必须小于右端点； 例4 例5 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数就是同一个函数. 相同函数 例6 练习 1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则； 2.掌握判定函数和函数相等的方法； 3.学会求函数的定义域与函数值。 课堂小结 $