3.2.2 奇偶性 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性，通过y=x²、y=x等具体函数的表格与图像观察导入，结合问题探讨衔接函数概念与性质，搭建从具体实例到抽象定义的学习支架。 其亮点在于以实例观察培养数学眼光，通过定义辨析和推理（如例1用定义判断奇偶性）发展数学思维，用规范符号表达（如分段函数解析式）强化数学语言。采用问题驱动和例题示范，帮助学生深化概念理解，教师可直接使用系统素材提升教学效果。

人教A版必修一数学教学同步课件 第三章 函数的概念与性质 3 . 2 . 2 奇 偶 性 学习目标 1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2. 掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象的特征； 3. 会证明函数奇偶性简单问题； 4. 利用所学知识解决实际问题。 在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数 x y o 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 -1 -2 -3 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)=x2 … … 9 4 1 0 1 4 9 图象关于y轴对称 f(-1) f(1) f(-2) f(2) f(-3) f(3) = = = -x x (x.f (x)) (-x,f (-x)) f(-x) f(x) = 偶函数 任意x值都有与他对应的值 可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)相等. ∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)=f (x)，则函数f(x)叫做偶函数 奇函数 观察函数 和 的图象，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？ 图象关于原点对称 奇、偶函数 奇偶性 定义 图象特点 等价条件 前提 设f(x)的定义域为I 偶函数 ∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)=f (x) 则函数f(x)叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 ∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)= - f (x) 则函数f(x)叫做奇函数 关于原点对称 特征 f(x)－f(-x)=0 f(x)＋f(-x)=0 ①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称 ②不能用特殊值判断奇偶性. 如: f(2)=f(-2),但f(x)不一定是偶函数 ③已知奇偶性可代特殊值求参数. ④若f(x)为奇函数且在x=0有定义，则必有f(0)=0. 问题探讨 1. 若一个函数具有奇偶性,其定义域有何特点?    2. 对于定义域内的任意x,若f(-x)+f(x)=0,则函数f(x)是否具有奇偶性?若f(-x)-f(x)=0呢? 定义域关于原点对称. 由f(-x)+f(x)=0得f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数. 由f(-x)-f(x)=0得f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数. 问题探讨 3. (1) 如果f(x)的图象关于原点对称,且函数在x=0处有定义,那么f(0)为何值?       (2) 是否存在既是奇函数又是偶函数的函数?   f(x)的图象关于原点对称,即f(x)为奇函数,故满足f(-x)=-f(x).因为f(x)在x=0处有定义,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0. 存在,如f(x)=0. 判断函数奇偶性的两种方法 (2)图象法: 函数奇偶性 (1)定义法: 函数奇偶性 【例1】判断下列函数的奇偶性,并说明理由. 解(1)由题意得f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 因为任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有-x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 函数奇偶性 判断下列函数的奇偶性,并说明理由. (2) f(x)=|x|,x∈[-4,5]. (2)f(x)的定义域为[-4,5],当x=5时,-x=-5∉[-4,5],所以f(x)=|x|,x∈[-4,5]既不是奇函数也不是偶函数. 函数奇偶性 判断下列函数的奇偶性,并说明理由. (3)当x∈(1,+∞)时,-x∈(-∞,-1), 则f(-x)=(-x)2+3(-x)=x2-3x=f(x), 当x∈(-∞,-1)时,-x∈(1,+∞), 则f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x=f(x), 由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,因此根据奇、偶函数图象的对称性可以解决如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题. 奇偶函数图像问题 【例2】已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示. (1) 请补出完整函数y=f(x)的图象; (2) 根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 奇偶函数图像问题 解(1)由题意作出函数图象如图, (2)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(0,2). 【解】(1)利用函数奇偶性定义来判断，函数 的定义域为R，且有 所以此函数是奇函数. (2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数 在 y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的 图像如图所示. 【例3】（1）如何判断函数 的奇偶性？ （2）已知函数 图像的一部分，如何画出剩余部分？ 奇偶函数单调性 ① 奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果 奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就 是单调增函数. ② 偶函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相反的.如果 偶函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就 是单调减函数. 奇偶函数单调性 奇偶性求参数 利用奇偶性求参数的方法: (1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数. (2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,系数对应相等即可求解. 【例4】若函数是偶函数，定义域为 ,的值. 解：∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴=0，= . 又∵为偶函数 ∴. ∴= ，即=0. 奇偶性求参数 利用函数奇偶性求解析式的方法 (1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设. (2) 要利用已知区间的解析式进行代入. (3) 利用f(x)的奇偶性写出f(x)与f(-x)的关系式,如奇函数有f(x)=-f(-x),从而解出f(x). 注意:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,偶函数则未必. 奇偶性求解析式 【例5】已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1. (1)求f(-1); (2)求f(x)的解析式. 奇偶性求解析式 解(1)因为函数f(x)为奇函数, 所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2. (2)当x<0时,-x>0,由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x)=-[-2(-x)2+3(-x)+1]=2x2+3x-1,所以f(x)=2x2+3x-1(x<0). 当x=0时,f(0)=0. 奇偶性求参数 利用奇偶性求参数的方法: (1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数. (2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,系数对应相等即可求解. 【例6】若函数f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函数,定义域为[3a,a+2] 则a+b=　　　　　.  奇偶性求参数 21 1.判断抽象函数的奇偶性,应利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,构造f(-x),变形找出f(-x)与f(x)的关系,从而判断或证明抽象函数的奇偶性. 2.有时需要整体上研究f(-x)+f(x)的和的情况.比如本例中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函数. 抽象函数奇偶性 【例7】若定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),则(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)是非奇非偶函数 D.f(x)是既奇又偶函数 B 解析 令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0. 令x1=x,x2=-x,则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0 所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数. 抽象函数奇偶性 复合函数奇偶性 f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)－g(x) f(x)·g(x) 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 不确定 奇 奇 偶 不确定 不确定 奇 奇 奇 奇 奇 偶 课堂习题 1.下列函数是奇函数的是(　　) D 解析 先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C中函数的定义域均是R,且函数均是偶函数;选项D中函数的定义域是R,且f(-x)=-f(x),则此函数是奇函数. 课堂习题 2.函数 的图象关于(　　) A.x轴对称 B.y轴对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 B 课堂习题 3.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(　　) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 C 解析 ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).f(-x)g(-x)= -f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C. 课堂习题 4.已知函数f(x)=x3+ax2-3x+b是定义在R上的奇函数,则a+b=　　　　　.  0 解析 由题意得f(-x)+f(x)=(-x)3+a(-x)2-3(-x)+b+x3+ax2-3x+b=0,即2ax2+2b=0恒成立,则a=b=0,即a+b=0. 课堂习题 5. 已知函数 为奇函数. 求f(2)和实数a的值; 解 设x>0,则-x<0. 因为x≤0时,f(x)=-x2-4x, 则f(-x)=-(-x)2-4(-x)=-x2+4x, 因为f(-x)=-f(x)=-x2+4x, 所以f(x)=x2-4x=x2+ax, 所以a=-4,则f(2)=-4. 课后作业 1. 完成课本第85页练习题; 2. 预习课本 3.3 幂函数的内容. 且f(-x)=(-x)3-=-x3+=-(x3-)=-f(x),所以f(x)=x3-是奇函数. (1) f(x)=x3-. 所以f(x)=是偶函数. (3) f(x)= 所以f(x)的解析式为f(x)= - 解析 因为函数是偶函数,所以定义域关于原点对称,则3a+a+2=0,解得a=- . 所以f(x)=ax2+2bx+4a+b=- x2+2bx-2+b. 因为偶函数关于y轴对称,则- =2b=0, 解得b=0,所以a+b=-+0=- . A.y= B.y=-3x2 C.y=-|x| D.y=πx3-x 解析 ∵函数f(x)=,定义域为{x|x≠±},定义域关于原点对称,且f(-x) ==f(x),∴函数f(x)=为偶函数,图象关于y轴对称,故选B. f(x)= f(x)= $