5.4.3 正切函数的性质与图象 课件+学案+教学设计等-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

《5.4.3 正切函数的性质与图象》学案 1、 学习目标 1．知识与技能：理解正切函数的几何意义（坡度）；能利用单位圆或几何画板绘制正切函数图象；掌握正切函数的基本性质（定义域、值域、周期性、奇偶性）。 2．过程与方法：经历“实际问题→数学建模→数据探究→图象生成→性质归纳”的完整过程，体验数形结合与函数思想；完成一个关于汽车爬坡能力的数学分析报告或模型作为项目成果展示，使目标表述更具探究性和成果导向。 3．情感、态度与价值观：感受数学在解决实际问题中的应用价值；通过了解国产汽车技术进步，激发民族自豪感和科学精神。 教学重点 1.正切函数的图象特征； 2.正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性等性质。 教学难点 1.正切函数定义域的理解，以及正切曲线与直线无限接近的性质。 2.正切函数在每一个开区间上单调递增，但在定义域上不具有单调性。 2、 新知探究 【任务一】从数据到概念 提问：100%的坡度对应多大角度？这需要什么数学知识？ 【任务二】从模型到关系 提问：你能设计一个数学模型（作图）表示并对比25%，30%，50%，60%的角度吗？（纸、直尺） 【任务三】从数到形，绘制图象 提问：以（轴）为自变量，（轴）为因变量，如何绘制函数的图象？ 小组讨论并记录： 1. 在之前三角函数的学习内容中有哪些与正切函数相关的知识？对正切函数的图象有什么影响？ 2. 请你根据讨论结果，完成整个定义域上的正切函数图象。 3.对比正余弦函数的研究路径，你能总结正切函数的研究路径吗？ 【任务四】观察图象，归纳性质 小组讨论：观察标准图象及延伸图象，小组讨论并总结正切函数的性质。 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 对称性 …… 3、 巩固练习 【练习1】与函数的图象不相交的一条直线是（    ） A． B． C． D． 【练习2】“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【练习3】在道路工程检测中，为了评估一段山区公路的平整度与行车安全性，工程师需要分析路面纵剖面的坡度变化情况。假设某段路面的坡度角 （单位：弧度）随水平距离（单位：米）的变化。该情况可以用函数模型来进行模拟分析。其中，值代表该点的瞬时坡度值。 根据上述模型，请作为“工程数据分析员”解决以下问题： 1. 确定安全通行区间：该函数模型在哪个水平距离区间内是有意义的？ 2. 分析变化规律：该路面的坡度变化具有怎样的周期性？ 3. 标识陡峭路段：在单个变化周期内，路面坡度在哪个区间上是持续变陡的？ 4、 随堂笔记 1.知识清单： 2.方法归纳： 3.常见误区： 5、 作业布置 基础作业：课本第213页，练习第1，2，3题；习题5.4 第2，3，4题 实践作业（选做）：选取2-3个国产品牌，搜集其不同年代代表车型的官方最大爬坡度数据，制作对比图表或海报，并撰写简短数学分析报告。 学科网（北京）股份有限公司 $ “解码汽车爬坡能力” ——正切函数性质与图象的探究之旅 人教A版2019必修第一册 5.4.3 正切函数的性质与图象 问题：如何科学量化并比较不同汽车的爬坡能力？ 这个指标背后是怎样的数学函数模型？ 导 生活中的“坡度” 天门山 汽车 爬坡挑战 任务解码 [项目启动： ] [提出问题： ] [建立模型： ] [求解分析： ] [应用迁移： ] [项目总结： ] 导 （1）如何科学衡量一辆汽车的爬坡能力？ （2）观察评论弹幕，思考：100%的坡度对应多大角度？这需要什么数学知识？ 汽车最大爬坡度_百度百科 导 知识拓展：汽车的最大爬坡度，是指汽车在满载状态下，于良好路面上以1挡所能克服的最大坡度，这一指标反映了汽车的爬坡能力。 在表示爬坡度时，通常采用两种方式： 一是直接使用坡度的角度值，以度数来呈现； 二是通过计算坡度起止点的高度差与水平距离的比值（即正切值），再转化为百分数形式，也就是（ ）来表示。 导 （1）如何科学衡量一辆汽车的爬坡能力？ （2）观察评论弹幕，思考：100%的坡度对应多大角度？这需要什么数学知识？ “解码汽车爬坡能力” ——正切函数性质与图象的探究之旅 人教A版2019必修第一册 5.4.3 正切函数的性质与图象 学 【任务一】从数据到概念 提问：100%的坡度对应多大角度？这需要什么数学知识？ 对边/邻边 ——正切函数的几何定义 学、展 【任务二】从模型到关系 提问：你能设计一个数学模型（作图）表示并对比25%，30%，50%，60%的坡度吗？（可用工具：方格纸、直尺） 学、展 【任务二】从模型到关系 提问：你能设计一个数学模型（作图）表示并对比25%，30%，50%，60%的坡度吗？（可用工具：方格纸、直尺） 规定：水平长度L=1，此时 学 学、展 【任务三】从数到形，绘制图象 提问：以 （x轴）为自变量， （y轴）为因变量， 如何绘制函数 的图象？ 小组合作：阅读 课本196-197页 正弦曲线的作图过程，思考借助单位圆上的正切线完成任务三？ 提示：我们需要大量的、精确的、等间距的数据 ——单位圆上的正切线定义 议、展 x y O 渐近线 渐近线 讲 议、展 小组讨论并记录： 1.在之前三角函数的学习内容中有哪些与正切函数相关的知识？对正切函数的图象有什么影响？ 2.请你根据讨论结果，完成整个定义域上的正切函数图象。 3.对比正余弦函数的研究路径，你能总结正切函数的研究路径吗？（你是如何得到完整的正切函数图象的） 议、展、讲 1.在之前三角函数的学习内容中有哪些与正切函数相关的知识？对正切函数的图象有什么影响？ 议、展、讲 2.请你根据讨论结果，完成整个定义域上的正切函数图象。 议、展、讲 O x y 议、展、讲 定义——图象——性质——应用 定义——性质——图象——应用 3.对比正余弦函数的研究路径，你能总结正切函数的研究路径吗？ 函数的图象和性质 互为表里，互相转化 议、展 【任务四】观察图象，归纳性质 小组讨论并记录：观察标准图象及延伸图象，小组讨论并总结正切函数的性质。 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 检 正切函数图象的应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 检 既不充分也不必要条件、正切函数的定义 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 检 正切型函数的性质 5.4.3 正切函数的性质与图象 小结 检 课堂总结 检 课堂总结 [项目启动：汽车爬坡能力探究 ] [提出问题：如何量化爬坡能力？ ] [建立模型：定义正切函数 ] [求解分析：绘制图象、归纳性质 ] [应用迁移：回扣问题、拓展应用 ] [项目总结：数学建模价值升华 ] 探索路径 最大静摩擦系数 作业 基础作业：课本第213页，练习第1，2，3题；习题5.4 第2，3，4题 实践作业（选做）：选取2-3个国产品牌，搜集其不同年代代表车型的官方最大爬坡度数据，制作对比图表或海报，并撰写简短数学分析报告。 5.4.3 正切函数的性质与图象 人教A版2019必修第一册 THANKS 敬请批评指正！ 【练习1】与函数 的图象不相交的一条直线是（    ） A． B． C． D． 【练习2】“ ”是“ ”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【练习3】在道路工程检测中，为了评估一段山区公路的平整度与行车安全性，工程师需要分析路面纵剖面的坡度变化情况。假设某段路面的坡度角 （单位：弧度）随水平距离 （单位：米）的变化。该情况可以用函数模型 来进行模拟分析。其中， 值代表该点的瞬时坡度值。 根据上述模型，请作为“工程数据分析员”解决以下问题： 确定安全通行区间：该函数模型在哪个水平距离区间内是有意义的？ 分析变化规律：该路面的坡度变化具有怎样的周期性？ 标识陡峭路段：在单个变化周期内，路面坡度在哪个区间上是持续变陡的？ 1.知识清单： 2.方法归纳： 3.常见误区： 1.知识清单： (1)正切函数图象的画法． (2)正切函数的性质． 2.方法归纳：整体代换、换元法． 3.常见误区：最小正周期T＝eq \f(π,|ω|)，在定义域内不单调，对称中心为 (k∈Z)． $ 说课文稿 参赛教师 学段 高中 学科 数学 课题 《“解码汽车爬坡能力”——正切函数图象与性质的探究之旅》 文稿内容 尊敬的各位评委、老师们： 大家好！我是xxx学校的数学教师xxx。今天我说课的题目是《“解码汽车爬坡能力”——正切函数图象与性质的探究之旅》，内容选自人教A版必修一第五章第四节“正切函数的性质与图象”。 我的说课，将紧扣“四有课堂”的育人要求与高中数学核心素养的培养目标，围绕四个核心问题展开：第一，我们为何要这样设计？第二，我们的学生在哪里？第三，我们希望学生走向何方？第四，我们如何引领他们到达？ 第一个问题：为何这样设计？——源于对“四有课堂”与数学本质的思考。 正切函数，作为基本初等函数，其传统讲法是定义、作图、归纳性质、练习。但如果我们问：正切函数从何而来？它有何用？学生的学习动力何在？我们发现，一个抽象的函数，需要一个坚实的“生长点”。 因此，我设计了 “解码汽车爬坡能力” 这一项目式学习。其根本意图，就是要构建一堂 “四有”课堂： 有价值引领：从国产汽车的爬坡性能切入，让学生体会数学是解读国家科技进步、服务国家建设的工具，激发科技报国的情怀。 有思维发展：不直接告知结论，而是让学生历经“手工测量遇阻-认知冲突-寻求数学工具（单位圆）-完美解决”的完整思维过程，发展逻辑推理与批判性思维。 有情景浸润：整堂课沉浸在“汽车工程师”与“道路安全分析师”的角色中。从爬坡问题引入，到用新建模的正切函数去分析另一个真实问题——路面坡度安全，情境贯穿始终，让知识自然发生。 有任务驱动：课堂由一个核心任务驱动：“如何科学量化并比较汽车爬坡能力？”所有教学活动，都是为完成这个任务而必须进行的“子任务”：建立模型、绘制工具（图象）、总结工具特性（性质）、应用工具解决问题。 这个设计，正是为了实现数学核心素养的“四基四能”从纸面走向实践，让直观想象、数学建模、逻辑推理在解决真实问题中落地生根。 第二个问题：我们的学生在哪里？——精准的学情分析是起点。 学生并非一张白纸。他们的认知基础是扎实的：已经掌握了正弦、余弦函数的完整研究路径（定义-图象-性质-应用），这为我们提供了绝佳的方法迁移的可能。 但同时，他们的认知障碍也是清晰的：极易将正弦、余弦函数的“连续周期为2π”等认知，负迁移到正切函数上，从而产生“周期是2π”、“整个定义域都单调”等顽固误区。 此外，他们的兴趣点也是明确的：对汽车、工程等现实话题充满好奇，但将实际问题抽象为数学模型的经验相对不足。因此，本节课的关键，在于利用其兴趣，引导其迁移，并制造认知冲突以打破其定势。 第三个问题：我们希望学生走向何方？——清晰的三维目标。 基于以上，我确定了本课的目标： 知识与技能：理解正切函数几何意义，能绘制其图象，掌握其性质，并能求解复合型正切函数的相关问题。 过程与方法：经历“定义问题-建立模型-绘制图象-归纳性质-解释应用”的完整项目探究过程，体会数形结合与化归思想。 情感态度价值观：感受数学在科技工程中的巨大应用价值，通过了解国产汽车进步，激发民族自豪感与科学探索精神。 教学重难点随之明确：重点是图象与性质；难点在于理解图象的“渐近线”与“整体不单调”的特性，这正是学生认知冲突的爆发点。 第四个问题：我们如何引领他们到达？——以“导学议展讲检”六环节为抓手，实施五阶探究。 我以 “探性质、绘图象、用性质” 为逻辑主线，将课堂规划为一场环环相扣的探究之旅。这一过程，正是我校“导学议展讲检”课改思想的生动实践，具体体现在以下五个阶段： 第一阶段：【导·情境驱动，提出问题】——让学习“有根” 上课伊始，我通过播放视频与提问（导），创设“解码汽车爬坡能力”的真实情境，抛出核心驱动性问题。学生迅速被代入“工程师”角色，明确本课的核心任务。这奠定了全课探究的基调，实现了价值引领与任务驱动的有机统一。 第二阶段：【学·议·建立模型，初探性质】——让思维“有阶” 首先，学生以小组为单位，动手完成“设计模型测量坡度”的实践任务（学）。在操作中，他们自然遇到数据粗糙、绘图不准的困难。随即，我组织小组（议） 讨论：“为何不准？如何超越测量？”在思维碰撞中，学生认识到需要更精确的数学工具。此时，我顺势引导，引出“单位圆”这一强大工具，完成从感性操作到理性模型的认知飞跃。 第三阶段：【展·讲·绘制图象，归纳性质】——让难点“有解” 此阶段是突破难点的核心。我让学生（展） 示他们在单位圆上绘制正切线的过程与初步发现。针对核心难点，我进行精要的 （讲） 解与追问：1. 讲“渐近线”：结合几何画板动态演示，将角度趋近90度时函数值“爆炸式增长”的抽象趋势，讲透、可视化为“不可逾越的垂直极限”。2. 讲“单调性”：引导学生对比不同区间图象，通过辩论，自己讲出“在每个连续‘坡道’上递增，但整体道路被‘断崖’隔开”的结论。教师的“讲”点睛释难，学生的“展”深化理解。 第四阶段：【检·应用迁移，回归现实】——让知识“有用” 在掌握核心工具后，立即进入 （检） 测与应用环节。我设置进阶任务——“作为道路安全分析师，分析某公路坡度模型”。学生需独立运用性质解决问题。这既是对本节课学习效果的即时检测，更是将知识在全新情境中迁移应用，实现了从“汽车爬坡”到“路面安全”的完美闭环，让学生深刻体会数学建模的价值。 第五阶段：【检·讲·总结升华，价值内化】——让成长“有魂” 课堂尾声，我引导学生自主回顾、梳理项目探究的完整路线图与知识网络（检）。最后，我进行 （讲） 解升华，将数学的“角度”与国家科技的“突破”、个人成长的“高度”相联系，让科学精神、家国情怀与学科价值在总结中融为一体，实现立德树人的根本目标。 板书设计上，我采用三栏结构，清晰呈现“问题模型-探究发现-性质应用”的思维流变。 作业设计，则分为巩固基础的常规作业与延续项目的实践作业：搜集国产车爬坡度数据，制作分析报告，让探究从课堂延伸到生活。 各位评委，我的说课到此结束。 整堂课，我力图让“四有”落地，让素养生长，让数学在解决真实问题的光辉中，展现出它最迷人的力量。我的设计阐述完毕，恳请各位专家批评指正！谢谢大家！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 教学设计 参赛教师 学段 高中 学科 数学 课题 “解码汽车爬坡能力”——正切函数性质与图象的探究之旅 （ 5.4.3 正切函数的性质与图象） 1.教学内容分析 教学内容 本节课围绕正切函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性、值域及图象特征展开，通过单位圆中的正切线、函数性质推导与图象变换三个层次，构建学生对正切函数的系统认知，并能够运用其性质解决与正切型函数相关的定义域、周期性与单调性等问题。 内容解析 1.知识衔接：学生在已掌握正弦、余弦函数的研究路径（定义→图象→性质→应用）的基础上，可类比迁移至正切函数的研究。 2.关键突破： (1) 定义域的不连续性导致图象被渐近线分割； (2) 周期为而非，体现正切函数与正弦、余弦函数的本质差异； (3) 单调性强调“在每个连续区间内递增，但整体不具备单调性”。 3.素养渗透：通过图象与性质的互证，培养直观想象与逻辑推理能力。 设计框架 [🚗] 项目导入：汽车爬坡实际问题 ▼ [❓] 阶段一：提出问题 │ 核心问题：如何科学量化爬坡能力？ ▼ [📊] 阶段二：建立模型 │ 1. 数据收集：计算坡度对应角度 │ 2. 模型抽象：定义 │ 3. 方法升级：单位圆正切线 ▼ [📈] 阶段三：求解分析 │ 1. 绘制图象：正切线绘图法 │ 2. 归纳性质：定义域、周期性、单调性等 │ 3. 突破难点：渐近线、整体不单调 ▼ [🔧] 阶段四：应用迁移 │ 1. 回归汽车爬坡问题 │ 2. 拓展到路面坡度分析 ▼ [🎯] 阶段五：总结升华 │ 数学建模：从实际中来，到实际中去 2.学习者分析 本节是在学生学习了正弦函数、余弦函数图象及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面研究正弦函数、余弦函数图象与性质的方法类似。本节内容要求学生对所学知识能融会贯通和运用，以及对学习函数规律进行总结和探索。 正切函数在高考及综合题中常与其他三角函数结合考查，要求学生能够熟练运用各类三角函数的图象与性质。本节课核心素养聚焦于逻辑推理、直观想象与数学运算。 本节是在研究了正弦函数、余弦函数的图象与性质后，对又一具体三角函数的学习。学生已经掌握了角的正切、正切线和与正切有关的诱导公式，对三角函数性质的讨论方法已经有了一个比较清晰的认识，这为本节内容的学习提供了知识的保障。 学生PBL学习适应性的分析： 优势：具备函数研究的基本方法；对生活科技话题（如汽车）感兴趣。 挑战：从实际问题中抽象数学模型的意识可能不足；小组合作进行数据收集、处理的经验可能有限。 3.学习目标确定 教学目标 1．知识与技能：理解正切函数的几何意义（坡度）；能利用单位圆或几何画板绘制正切函数图象；掌握正切函数的基本性质（定义域、值域、周期性、奇偶性）。 2．过程与方法：经历“实际问题→数学建模→数据探究→图象生成→性质归纳”的完整过程，体验数形结合与函数思想；完成一个关于汽车爬坡能力的数学分析报告或模型作为项目成果展示，使目标表述更具探究性和成果导向。 3．情感、态度与价值观：感受数学在解决实际问题中的应用价值；通过了解国产汽车技术进步，激发民族自豪感和科学精神。 目标解析 1.能画出正切函数的图象，掌握其图象特征； 2.掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性等，会求形如的函数的周期； 3.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题。 4.经历‘定义问题-收集/处理数据-建立函数模型-绘制图象-归纳性质-解释应用’的完整项目探究过程，初步形成用数学工具解决实际工程问题的能力。 4.学习重点难点 教学重点 1.正切函数的图象特征； 2.正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性等性质。 教学难点 1.正切函数定义域的理解，以及正切曲线与直线无限接近的性质。 2.正切函数在每一个开区间上单调递增，但在定义域上不具有单调性。 5.学习评价设计 达成上述目标的标志是： 1．能独立画出正切函数在上的简图，并标注渐近线； 2．给出，能求出其周期与定义域，并能判断“正切函数在定义域内单调递增”这一命题的真伪，并说明理由。 6.学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：导 教师活动1 1． 播放一段“天门山汽车爬坡挑战”的视频。 （教师引导）开头：同学们，科技的发展，不断刷新着我们对‘极限’的认知。今天，让我们从一个震撼的挑战开始。请看——汽车，如何挑战近乎垂直的天门山奇险。 2． 提问：（统领性的驱动性问题）如何科学量化并比较不同汽车的爬坡能力？这个指标背后是怎样的数学函数模型？ （教师引导）“攀越这样的巅峰，绝非普通汽车所能做到。这背后，关乎一个核心的工程指标——汽车的爬坡能力。 那么，作为一个科学问题：我们如何量化这种能力？这个衡量标准的背后，又对应着怎样的数学模型？ 这就是我们今天要共同破解的课题。” 3.项目式学习探究过程。 [项目启动： ] │ [提出问题： ] │ [建立模型： ] │ [求解分析： ] │ [应用迁移： ] │ [项目总结： ] （1）如何科学衡量一辆汽车的爬坡能力？（引出“坡度”概念） （2）展示评论弹幕，指出“汽车爬坡度：100%”等数据。提问：100%的坡度对应多大角度？这需要什么数学知识？ 知识拓展：汽车的最大爬坡度，是指汽车在满载状态下，于良好路面上以1挡所能克服的最大坡度，这一指标反映了汽车的爬坡能力。在表示爬坡度时，通常采用两种方式：一是直接使用坡度的角度值，以度数来呈现；二是通过计算坡度起止点的高度差与水平距离的比值（即正切值），再转化为百分数形式，也就是（）来表示。 4．揭示课题：今天，我们就通过研究“爬坡能力”来认识一个新的函数——正切函数。 学生活动1 通过现实生活情境引入，感受生活中的坡度，以及人们对于克服坡度向上的需求。 活动意图说明： 通过建立教学情境可以达到以下三方面的教学效果： 1．情境真实，贴近生活：以汽车爬坡能力为切入点，能迅速吸引学生，尤其是对机械、汽车感兴趣的学生。 2．任务驱动，指向明确：通过核心驱动性问题及一系列子问题引导学生进行资料收集和模型构建，活动设计有层次。 3．自然链接核心概念：爬坡坡度（垂直高度与水平距离之比）正是正切值的几何意义，为引入正切函数图象与性质做了流畅铺垫。 环节二：学 教师活动2 【任务一】从数据到概念 提问：100%的坡度对应多大角度？这需要什么数学知识？ 【任务二】从模型到关系 提问：你能设计一个数学模型（作图）表示并对比25%，30%，50%，60%的角度吗？（纸、直尺） 总结;大家作图时水平长度的取值各不相同，为统一我们可规定底边长度为1，此时.（引入单位圆定义） 【任务三】从数到形，绘制图象 提问：以（轴）为自变量，（轴）为因变量，如何绘制函数的图象？ 教师引导：数据表中给出的数据测量时都存在误差，且数据不易在图上标注，因此利用表格中的数据描点不是一件容易的事。“为了更精确、更通用地找到每个角度对应的值，数学家找到了一个完美的工具——单位圆。” 学生活动2 【任务一】从数据到概念 学生活动：计算坡度100%（即 ）时，角度的大致范围（提示可用计算器）。 教师引导：对边/邻边，明确正切函数的几何定义。 【任务二】从模型到关系 学生活动：使用固定水平长度的模型，改变高度，表示并比较不同情况下的坡度值。 【任务三】从数到形，绘制图象 初试（有局限）：学生用直尺、量角器测量自己画的三角形，获取离散的(角度, 正切值)数据点，尝试描点画图——会发现点少、不准、趋势难画。 升华（找本质）：教师引导：“为了更精确、更通用地找到每个角度对应的值，数学家找到了一个完美的工具——单位圆。” 由此自然切换到单位圆上的正切线定义。这个对比能让学生深刻体会数学工具的力量和函数图象的精确性。 核心提问：当水平长度无限变大时（坡变陡），如何变化？当无限变大时呢？当→∞时呢？ 目的：让学生在操作中感知随增大而增大，以及当→90°时，→∞的极限思想，为理解定义域和渐近线做铺垫。 学生活动：根据教师提示，采用单位圆上角的终边与直线x=1交点的纵坐标为正切值。通过平移线段长作图。 教师利用几何画板动态演示，从单位圆中正切线的变化，标准绘制出在. 上的图象。 活动意图说明 学生通过前面的学习具备充分的作图经验（列表－描点－连线），在单位圆中寻找正切函数图象上的点是本节课的重难点，通过初次尝试引出作图问题，由此自然切换到单位圆上的正切线定义。这个对比能让学生深刻体会数学工具的力量和函数图象的精确性。通过单位圆提供正切值，使学生能够顺利完成正切函数图象的绘制。学生通过动手实践深化对正切函数图象形成过程的理解，培养数形结合能力。 环节三：议、展 教师活动3 小组讨论并记录： 1.回顾所学相关知识（正切函数定义、诱导公式），如何得到整个定义域上的图象？ 2.请你根据讨论结果，完成正切函数图象。 3.对比正余弦函数的研究路径，你能总结正切函数的研究路径吗（你是如何得到完整的正切函数图象的）？ 总结：函数的图象和性质是函数的一体两面，它们互为表里，可以互相转化。 学生活动3 1.周期性：周期为,奇偶性：奇函数。 可以先考察函数的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展。理解代数性质对图象绘制的指导作用，并建立“由局部到整体进行作图”的思想。 2.描述函数图象 学生代表作答，教师补充。根据性质补全图象，理解“由局部到整体”的绘图策略。 “根据正切函数是奇函数，只要画的图象关于原点的对称图形， 就可得到的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数的图象向左、右平移，每次平移个单位，就可得到正切函数的图象，我们把它叫做正切曲线。” 3.正余弦函数：定义→图象→性质→应用； 正切函数：定义→性质→图象→应用。 活动意图说明 三个环节构建了正切函数在定义域内作图时“思考——实践——总结”的思维过程。 1.学习本节课时，学生已经通过诱导公式简单了解了正切函数的性质。本环节基于学生已有的知识进一步提炼，体现了代数性质与函数图象互相转化的特点，为后续绘制正切函数图象做铺垫。 2.通过正切函数的奇偶性、周期性补全函数图象，体现“性质→图象”的研究路径，学生通过正切函数的图象特征体会因三角函数定义（单位圆）图象周而复始的特征，完善对正切函数图象的整体认知。 3.从大单元视角出发，结合三角函数的正余弦曲线和正切曲线作为对比，研究时总结思维路径。通过不同的研究方式：图象→性质，性质→图象，体现函数的图象与性质互相印证，培养学生数形结合的思想，强化研究方法的迁移与数学思想的渗透，体现“形与性”的互相印证。 环节四：议、展 教师活动4 【任务四】观察图象，归纳性质 小组讨论：观察标准图象及延伸图象，小组讨论并总结正切函数的性质。 学生活动4 【任务四】观察图象，归纳性质 学生活动：观察标准图象及延伸图象，分组讨论并总结正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等。 教师完善，并解释“渐近线”的由来（对应模型中的情况）。 活动意图说明 学生在前面学习正余弦函数时具备了函数性质的研究经验。学生在小组合作的过程中培养学生合作探究与自主建构知识的能力和提升数学表达能力，以及通过自主学习和实践能够在学习正切函数性质的知识时将函数性质的研究经验转化为研究路径和能力。 梳理正切函数性质的过程也是再次深入研究函数图象的过程。学生在总结性质的过程中突出图象的关键特征，强化对正切函数图象的理解。 环节五：检——基础检测·图象应用 教师活动5 通过练习1，掌握正切函数图象渐近线的求解方法，了解正切函数图象的应用。 通过练习2，掌握正切函数图象循环往复的周期特点，了解正切函数的定义。 学生活动5 完成练习，巩固对图象特征的理解。 活动意图说明 通过前面的教学与实践，学生可以了解正切函数的图象特征与关键点，环节七学生通过基础题目检验并深化对正切函数图象的认识，为后续的正切函数性质学习做铺垫。 环节六：检——综合应用·变式训练 教师活动6 例 求函数的定义域、周期及单调区间。 分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论。 变式1（多选题）下列关于函数的说法不正确的是（    ） A．定义域为 B．最小正周期是 C．图象关于成中心对称 D．在定义域上单调递增 反思总结： （1）判断函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝有意义，即. （2）与正切函数有关的函数的周期性问题的解决策略 一般地，函数的最小正周期,常常利用此公式来求周期。 变式2：情景创新题 【例题背景设定】 在道路工程检测中，为了评估一段山区公路的平整度与行车安全性，工程师需要分析路面纵剖面的坡度变化情况。假设某段路面的坡度角 （单位：弧度）随水平距离（单位：米）的变化。该情况可以用函数模型来进行模拟分析。其中，值代表该点的瞬时坡度值。 【例题题干】 根据上述模型，请作为“工程数据分析员”解决以下问题： 1. 确定安全通行区间：该函数模型在哪个水平距离区间内是有意义的？（即求函数的定义域） 2. 分析变化规律：该路面的坡度变化具有怎样的周期性？（即求函数的周期） 3. 标识陡峭路段：在单个变化周期内，路面坡度在哪个区间上是持续变陡的？（即求函数的单调递增区间） 教师升华：“同学们，今天我们从一个实际的工程问题（汽车爬坡）出发，共同‘发明’并研究了一个重要的数学函数——正切函数。最后，我们又利用它的性质，去解决了另一个工程问题（路面坡度分析）。这正体现了数学作为通用工具的威力：源于现实，高于现实，最终服务于现实。” 学生活动6 跟随教师思路完成例题，总结方法； 完成变式练习，强化整体换元与代数变形能力。 学生结合正切函数知识，将实际问题转化为数学问题。教师引导学生考虑实际问题背景思考变量取值范围，即函数定义域。 活动意图说明 通过例题讲解和变式训练，提升学生综合运用性质解决问题的能力。学生积累对正切函数性质的应用经验，对正切函数与正余弦函数的区别（例如值域不同，周期不同）有更深刻的体会，并能够通过代数变形、整体换元等方法对函数的性质进行研究。 设置情景问题回扣项目式学习的任务驱动。 1.真实性：将抽象的直接对应到“路面坡度变化模型”，使数学应用立刻落地。 2.角色代入：让学生扮演“工程数据分析员”，增强任务的责任感和职业体验。 3.问题转化：将数学概念（定义域、周期、单调区间）转化为工程问题（安全区间、变化规律、陡峭路段），实现了知识的迁移与解释，完美呼应了项目开头的“实际问题”。 4.语言专业化：使用“纵剖面”、“瞬时坡度值”、“模拟分析”等术语，提升了情境的科学性和严谨度。 环节七：检——课堂小结·体系梳理 教师活动7 学生小结本节课的知识、方法，教师补充。 1.知识总结：回顾从实际问题中抽象出函数，并研究其图象和性质的路径。 2.项目式学习探究过程。 让我们回顾整个项目探究之旅： [项目启动：汽车爬坡能力探究] │ [提出问题：如何量化爬坡能力？] │ [建立模型：定义正切函数] │ [求解分析：绘制图象、归纳性质] │ [应用迁移：回扣问题、拓展应用] │ [项目总结：数学建模价值升华] 2.教师升华：同学们，今天我们完成了一项了不起的工作：我们从一个真实的工程挑战出发，用数学的语言，成功地建立了一个描述“爬坡能力”的精确模型——正切函数。 我们不仅掌握了它的图象与性质，更关键的是，我们体验了如何将一个“现实的坡度问题”，抽象、转化并最终成为一个“可分析的函数模型”。这是数学建模的核心力量。 然而，一个伟大的模型，往往也会引领我们发现新的、更深刻的问题。 回到最初那个震撼视频，一个有趣的矛盾出现了： 从数学模型上看，只要坡度角存在，正切值就可以被计算，似乎爬坡的“理论可能”是无限的。 但从生活经验和物理直觉上看，我们都知道，任何车都有其爬坡极限。 那么，这个现实的极限究竟由什么决定？ 我们这节课的数学模型给出了一个完美的“标尺”，但它本身并未回答“为什么是这里？”。 而这与一个至关重要的物理概念——轮胎与地面间的最大静摩擦系数——有关。 下节课，我们将邀请物理老师，带领大家从“力的较量”角度，继续破解这个谜题。 今天，我们用数学定义并度量了问题；下一次，我们将用物理去追问并突破极限。科学之旅，就是这样一环扣着一环，在不断的追问中走向深远。 希望这节课，成为你们跨学科探索的一个美好起点。下课！ 学生活动7 学生小结本节课的知识、方法，教师补充。 自主梳理知识结构，总结研究方法与典型误区。 1.知识清单： （1）正切函数图象的画法。 （2）正切函数的性质。 2.方法归纳：整体代换、换元法。 3.常见误区：最小正周期，在定义域内不具单调性，对称中心为． 活动意图说明 通过对本节课堂内容小结，帮助学生形成系统认知，强化重点、辨析误区。学生梳理思路，系统认识了正切函数的图象和性质等知识，掌握了处理函数问题的思路和方法，对常见的易错问题做出了强调。教师总结升华，引出后续探索问题，实现情景贯穿始终，跨学科综合教学。 7.板书设计 板书设计如下： “解码汽车爬坡能力”——正切函数图象与性质的探究之旅 （ 5.4.3 正切函数的性质与图象） 一、问题与模型 二、探索与发现 三、性质与应用 驱动性问题 局部图象（描点、正切线） 性质表格 ⬇ ⬇ ⬇ 坡度定义对边/邻边 关键发现（渐近线、递增趋势） 核心公式 ⬇ ⬇ ⬇ 单位圆模型 完整图象（周期性、奇偶性） 应用回扣 8.作业与拓展学习设计 基础作业：课本第213页，练习第1，2，3题；习题5.4 第2，3，4题 实践作业（选做）：选取2-3个国产品牌，搜集其不同年代代表车型的官方最大爬坡度数据，制作对比图表或海报，并撰写简短数学分析报告。 9.特色学习资源分析、技术手段应用说明 课程特色： 真实项目驱动：以“汽车爬坡能力”这一真实工程问题贯穿始终，实现学用一体。 探究路径迭代：经历“手工测量→认知冲突→工具（单位圆）优化”的完整科学探究过程。 价值深度融合：在解决科技问题的过程中学习数学，在数学学习中感悟科技发展与家国情怀。 技术手段说明： 在导入课程时，结合视频、AI生成图象等素材，创设生活化情境，增强课堂感染力，AI数据计算、资料收集整理的支持； 在具体授课时，结合几何画板等多媒体工具，生成坐标系和单位圆，简化作图流程，降低难度，提升教学直观性。 10.教学反思与改进 设计反思 通过本节课程的设计与研讨，我对项目式学习有了更深入的了解： 一、任务关系及作用 主线任务——本节课程的核心驱动问题 一个“微型的、真实的困境或挑战”，这个“困境”能让学生感到“与我有关、我有责任、我知道目标但是不知道路径”。 子任务—1.了解：了解相关知识、概念等； 2.感受：通过事物的运动过程、数据变化，体会其中规律； 3.表示：直观表示，如图象或公式； 4.归纳：归纳性质、特征等规律，将经验转化为逻辑； 5.应用：检验巩固。 通过系统的任务驱动，逐步递进，明确主线，实现“从无到有，从感性到理性，从经验到方法”，数学是方法的总结。 二、环节走向：进展推动明显 任务1：从数据到概念；任务2：从模型到关系；任务3：从数到形；任务4：从图象到性质；每一个环节都能够凸显任务进展情况，确保没有偏离主线 设计时需注意各阶段是否连接顺畅：开头紧凑，中间流畅（卡住位置考虑是否存在认知冲突，寻求本质联系转化） 在“感受”与“表示”、“归纳”与“应用”等关键转换节点，主动设置认知冲突。 3、 学情分析：PBL的关键能力 学生的兴趣、经验（数据收集处理）、能力在项目中的使用情况。 4、 例题改编 例题+情境 5、 板书设计 设计观念转变：知识罗列→项目思维流，知识生成过程 三列式板书：建模→研究→总结（应用） 教学反思 姓名： 授课时间： 课题：《5.4.3 正切函数的性质与图象》教学反思 本次授课，是我以“解码汽车爬坡能力”为主题，对高中数学跨学科项目式学习（PBL）的一次深度实践与探索。我试图打破常规课时局限，构建一个以工程问题为起点、数学建模为核心、多学科追问为延伸的微项目课程。本节课作为项目第一阶段，旨在引导学生为“爬坡能力”建立精确的数学标尺——正切函数模型。课后反思，成败俱获，心得颇深。 （1） 一、 理念践行：项目式学习重塑课堂生态 与传统“定义-图象-性质-应用”的讲授路径不同，本节课始终围绕“如何科学量化爬坡能力”这一驱动性问题展开。我最大的尝试在于将知识逻辑转化为探究逻辑： · 在板书与学案设计上，直观呈现项目流程（提出问题→建立模型→求解分析→应用迁移），使学生清晰感知学习的目标与路径。 · 在课堂引导上，通过“坡度百分比与角度的换算”、“单位圆作图法的必要性”、“图象性质的自主归纳”等环节，践行启发式教学，将“教”隐于“导”，将“学”凸显于“探”。 · 在目标达成上，不仅追求学生对正切函数本身的掌握，更关注其数学建模思想的初步体验，以及从数学视角发现物理新问题（摩擦系数限制）的跨学科链接意识。 实践表明，项目式学习有效激发了学生的内在动机与探索欲。在“总结研究路径”环节，学生能生动回顾各环节情景；在性质归纳时，能发散发现图象的多个特点。这证明，当学习源于真实问题，学生的自主性与思维深度得以自然释放。 （2） 二、 核心亮点：在“建模”过程中促成知识建构 回顾课堂，自认为以下两点较好地体现了设计意图： 1. 序列化任务驱动知识生成：任务一至四（从数据到概念、从模型到关系、从数到形、从图象到性质）构成了一个逻辑闭环。学生借助单位圆，亲身经历了从具体数据感知，到几何图形表征，再到抽象函数图象的“数学化”全过程。这种“局部到整体”的探索，让函数性质（如渐近线、周期性）的得出不再是结论的记忆，而是发现的必然。 2. 真实情境贯穿与问题延续：从引入、探究到练习，“汽车爬坡”情境一以贯之。尤其在课堂结尾，通过对比数学模型（坡度角可无限趋近90°）与物理现实（存在摩擦极限），巧妙制造认知冲突，不仅巩固了数学模型的工具性认识，更自然引出了下一阶段（物理课）的驱动性问题，实现了跨学科学习的“无缝衔接”，使项目产生了持续的探究张力。 （3） 三、 不足与改进：走向更深度的项目学习 本次实践也暴露出一些有待优化之处，这正是未来教学改进的方向： 1. “建模”与“用模”的课时平衡：本节课重心偏重于模型的建立与性质归纳，在利用模型解决复杂变式问题上时间稍显仓促。这反映出在项目设计中，如何更精准地分配“探究新知”与“应用深化”的时间，需要更精细的规划。未来可考虑将部分基础练习前置为预习任务，课中腾出时间进行更高阶的模型应用与数据分析。 2. 技术工具与项目资源的深度开发：受限于比赛现场条件，未能充分展现项目式学习中“资源搜集与处理”的环节。理想的模式下，应鼓励学生课前利用网络自主搜集不同车型的爬坡度数据；课中可利用动态数学软件（如GeoGebra）实时呈现图象生成过程，并利用AI工具进行初步的数据拟合与预测。这不仅能提升课堂效率，更能培养学生在信息时代运用多维度工具解决复杂问题的能力。 （4） 四、 感悟升华：数学作为跨学科探索的通用语言 本次授课让我更加坚信，项目式学习是培养学生核心素养的有效路径。它让学生明确知道“为何而学”，并在解决问题的过程中自主建构知识，其获得感和自信心远超被动接受。通过本节课的“数学建模”，再到预设的物理“力学分析”、化学“材料探究”，学生将亲身感受到，数学绝非孤立学科，而是理解世界、连接各领域知识的通用语言与强大工具。 教育不仅是传授知识，更是点燃火种。这节课或许已在学生心中埋下了跨学科探索的种子。我将继续反思，如何在日常教学中更多地创设这样的“微项目”，让学习真正地与生活相连，与未来相通。 11.课程思政表现 1.从汽车最大爬坡度引入，体现数学与生活的紧密联系，引导学生关注现实、热爱生活；通过构建任务驱动，培养学生搜集资料、模型构建、分析和解决问题的能力。 2.在正切函数的学习过程中，通过绘制正切函数图象绘制与性质归纳，培养学生协作探究、实事求是的科学态度，培育实践出真知的科学精神。 3.借助正切函数“不断趋近却永不相交”的图象特征，引导学生理解体会积极进取、昂扬向上的人生智慧。 4.将数学知识与家国情怀相结合，培养学生的爱国情怀。 ( - 2 - ) 学科网（北京）股份有限公司 【例题背景设定】 在道路工程检测中，为了评估一段山区公路的平整度与行车安全性，工程师需要分析路面纵剖面的坡度变化情况。假设某段路面的坡度角 （单位：弧度）随水平距离 （单位：米）的变化。该情况可以用函数模型 来进行模拟分析。其中， 值代表该点的瞬时坡度值。 【例题题干】 根据上述模型，请作为“工程数据分析员”解决以下问题： 确定安全通行区间：该函数模型在哪个水平距离区间内是有意义的？（即求函数的定义域） 分析变化规律：该路面的坡度变化具有怎样的周期性？（即求函数的周期） 标识陡峭路段：在单个变化周期内，路面坡度在哪个区间上是持续变陡的？（即求函数的单调递增区间） 【练习1】与函数 的图象不相交的一条直线是（    ） A． B． C． D． 【练习2】“ ”是“ ”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 $ “解码汽车爬坡能力” ——正切函数图象与性质探究 学校|姓名 说课课件 01.为何这样设计？ —— 理念：构建“四有”课堂 03.希望学生走向何方？ —— 方向：目标与重难点 02.我们的学生在哪里？ —— 基础：学情精准分析 04.如何引领他们到达？ —— 路径：五阶教学流程 四个核心问题 说课逻辑： 一、设计理念：让数学课“四有”兼备 有价值引领：以“国产汽车爬坡性能”为切入点，链接科技强国情怀。 有思维发展：设计“手工测量→认知冲突→工具优化”的完整思维链条。 有情景浸润：贯穿“汽车工程师→道路分析师”双角色，实现“问题→工具→新问题”的闭环。 有任务驱动：以“量化爬坡能力”为核心任务，统领所有学习活动。 核心素养聚焦：直观想象、数学建模、逻辑推理。 二、学情分析与教学目标 学情分析 已有基础：熟悉函数研究路径（正余弦），具备方法迁移可能。 认知障碍：易将正余弦性质（连续、周期2π）负迁移至正切函数。 兴趣与挑战：对工程话题感兴趣，但将实际问题抽象为模型的经验不足。 教学目标 知识与技能：能绘图、掌性质、会应用。 过程与方法：经历完整“项目探究”过程，发展数学思想。 情感态度价值观：感悟数学应用价值，激发科技自信与探索精神。 教学重难点 重点：正切函数的图象与性质。 难点：理解 “渐近线” 与 “整体不单调”。 三、教学过程总览：一场五阶探究之旅 阶段1 情境驱动，提出问题 (🚗 从“汽车爬坡”开始) 阶段2 建立模型，初探性质 (📐 经历“手工→单位圆”的认知跃迁) 阶段3 绘制图象，归纳性质 (📈 突破“渐近线”与“单调性”难点) 阶段4 应用迁移，回归现实 (🛣️ 以“路面安全分析”实现闭环) 阶段5 总结升华，价值内化 (🎯 梳理知识，感悟价值) 阶一：【导】情境驱动，提出问题 情境活动：播放国产汽车挑战陡坡视频。 核心驱动问题：如何科学量化并比较汽车的爬坡能力？ 数学链接：揭示核心指标 “最大爬坡度” = tanθ。 设计意图：在真实情境与明确任务中，实现 价值引领 与 任务驱动。 阶二：【学·议】建立模型，初探性质 任务：“设计模型，测量不同坡度对应的角度。”（小组合作） 认知冲突与升华： 初试（手工测量）：数据粗糙、描点困难 → 暴露局限。 升华（数学工具）：引入 “单位圆”与“正切线” → 获得精确、普适的模型。 设计意图：制造认知冲突，实现从“具体操作”到“抽象模型”的思维飞跃，发展 数学抽象 素养。 阶三：【展·讲】绘制图象，归纳性质 关键活动1：绘制与观察 学生自主实践，绘制 (-π/2, π/2) 区间图象。 关键发现2：突破两大难点 难点一【渐近线】：类比“汽车爬坡极限”，将“无限逼近”的抽象概念 可视化。 难点二【单调性】：引导学生辩论，自主得出 “区间内增，整体不增” 的精确结论。 设计意图：通过直观演示与思辨，自主攻克难点，锤炼 逻辑推理 与 直观想象。 阶四：【检】应用迁移（情境检测） 新情境与新角色：你是一名“道路安全分析师”。 新任务：某公路坡度模型为 y = tan(2x + π/4)，请分析： 安全通行区间（求定义域） 坡度变化规律（求周期） 持续变陡路段（求单调区间） 设计意图：实现“汽车爬坡→函数工具→路面分析”的 学习闭环，体现数学建模“源于现实，服务现实”的价值，强化 数学建模 素养 阶五：【检·讲】总结升华（梳理检测与价值讲解） 知识梳理：回顾项目探究路径图，系统归纳知识与思想方法。 价值升华： “今天我们解析了爬坡的‘角度’，从中看到的是中国制造的‘突破’。数学，正是解读世界、推动进步的基石。” 设计意图：将 知识、能力、家国情怀 融为一体，完成立德树人的最终升华。 四、特色与板书：思维的可视化呈现 教学特色 真项目，全闭环： 真实问题驱动，首尾情境呼应。 重冲突，深思维： 设计认知冲突，引导思维进阶。 融思政，润无声： 知识学习与价值引领自然统一。 板书设计 驱动性问题 局部图象 描点、正切线 性质表格 ⬇ ⬇ ⬇ 坡度定义对边/邻边 关键发现（渐近线、递增趋势） 核心公式 ⬇ ⬇ ⬇ 单位圆模型 完整图象 周期性、奇偶性 应用回扣 五、延伸学习与技术赋能 分层作业 基础作业：教材习题，巩固双基。 实践作业（选做）：调研国产车爬坡度数据，撰写数学分析报告。（延续项目） 技术应用 视频、AI素材 创设情境。 几何画板 动态演示，化解抽象难点。 让数学在解决真实问题的光辉中， 展现其最迷人的力量。 学校|姓名 感谢聆听，恳请指正！ $