江苏省兴化中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学模拟试卷（二）

**基本信息** 2026-2027秋高三开学数学卷，120分钟150分，通过单选、多选、填空、解答题（8/3/3/5题，40/18/15/77分）覆盖函数、几何、概率等模块，以车间工序、鱼塘投放等实际情境及拓扑学等创新内容，考查数学眼光、思维与语言，适配高三开学综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|集合、复数、概率、向量、数列、立体几何、解三角形|车间半成品工序（集合应用）、鱼塘鱼苗投放（数列递推），基础与实际结合| |多项选择题|3/18|概率分布、函数性质、拓扑学基础|正态分布性质判断、拓扑无损形变（跨学科元素），考查思辨能力| |填空题|3/15|二项式定理、球面几何、椭圆离心率|北纬纬线球面距离（球面几何应用）、椭圆切线与离心率（解析几何综合）| |解答题|5/77|数列、双曲线、函数导数、概率统计、立体几何|羽毛球比赛规则（概率统计实际应用）、四棱锥外接球体积（立体几何多问递进），综合考查逻辑推理与模型构建|

2026-2027学年度秋学期高三开学考试 数学 考试时间：120 分钟 满分：150 分 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1.若 ，则 A. B. C. D. 2.某车间共有 58 件半成品，每件需完成甲、乙两道工序。完成甲工序的有 33 件，完成乙工序的有 38 件，两道工序均未完成的有 5 件。设仅完成甲工序的半成品构成集合，则集合元素个数为 A.10 B.12 C.15 D.18 3.设复数在复平面对应点，满足，则轨迹方程为 A. B. C. D. 4.样本数据，不放回抽取 2 个，两数乘积为，则 A. B. C. D. 5.平面内不共线向量，，点满足，若落在、夹角内部不含边界，则满足 A. B. C. D. 6.鱼塘第 1 年初投放鱼苗 800 尾，每年年末存活个体有 20% 自然死亡，每年年初固定补充投放 350 尾。记第年初补充投放后鱼塘总尾数为，则使的最小正整数（） A. B. C. D. 7.长方体长宽高，定直线穿过长方体体对角线，平面沿平移，分割长方体体积比从到，平面沿平移的距离为 A. B. C. D. 8.钝角三角形三边成等差数列，记最小内角为，则取值范围 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分数，有错选不得分。 9.连续型随机变量，分布函数，下列正确的是 A. B.在上单调递增 C.图像关于直线对称 D.图像关于点中心对称 10.函数，下列说法正确的是 A. 若是极值点，则 B. 极值点关于原点对称成对出现 C. 在单调递减 D. 恒成立 11.拓扑无损形变规则：仅拉伸、挤压、扭曲；禁止切割、粘合、开孔、穿刺。下列几何体无法拓扑形变得到单空心实心圆环（一个贯通孔洞）的是 A. 无孔洞实心立方体 B. 实心带柄马克杯（杯身与把手一体连通） C. 两个互不接触独立实心圆环 D. 内部存在三个两两相交贯通孔洞的实心长方体 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知，则。 13.已知为地球北纬纬线上两点，球面距离等于地球半径，则两点经度差的余弦值为________。 14.椭圆，直线过原点交椭圆于，在第一象限，为轴正半轴定点，满足，直线交椭圆于，直线是以为直径圆的切线，则椭圆离心率__________。 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13 分） 数列满足，。 (1) 求偶数项通项； (2) 若为奇数，求前项和。 16.（15 分） 双曲线，焦距，离心率。 (1) 求双曲线标准方程； (2) 设为双曲线下顶点，直线交双曲线于，求面积。 17.（15 分） 函数满足。 (1) 求解析式与单调区间； (2) 求曲线在处切线方程； (3) 若恒成立，求最大值。 18.（17 分） 甲乙进行羽毛球对局，单球甲获胜概率，乙获胜概率，各球独立。两套比赛规则： 规则 1：共球，率先拿下球者直接获胜；甲获胜概率记为； 规则 2：一方至少拿到球，且领先对手至少 2 球则直接获胜；若未满足，则先拿到球一方胜，甲获胜概率记；。 (1) 若，求； (2) 规则 2 取，随机变量为决出胜负总球数；事件：甲获胜；事件，求； (3) 固定，证明：。 19.（17 分） 在四棱锥中，底面，为中点，，，垂足；，，。 (1) 求证：； (2) 若平面，记二面角平面角为，为钝角，求的范围； (3) 若，四点共外接球；给定外接球半径，三棱锥体积恰好存在 3 种不同取值，求取值范围。 2026-2027学年度秋学期高三开学考试 数学参考答案与解析 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题 1.解析：观察角的关系： 根据诱导公式 ，令 答案： 2.解析：全集，两道工序均未完成的有 5 件，因此至少完成一道工序的半成品数量为。 设两道工序都完成的数量为，根据容斥原理：，代入数据得，解得。 仅完成甲工序的数量为，即集合的元素个数为15。 答案： 3.解析：， 模长公式：，平方得 答案： 4.解析：样本为，不放回抽取 2 个，共有种抽取结果，对应的乘积分别为： 乘积总和为，因此随机变量的期望。 根据期望的线性性质，得。 答案： 5.解析：根据向量分解几何意义：若在夹角内部不含边界，则线性组合系数必须同时大于 0；若异号则落在夹角对顶区域，同负落在反向夹角。 答案： 6.解析：根据题意建立递推关系：每年年末存活尾数为上年年初补充后尾数的，次年年初补充350尾，因此递推公式为，初始值。 这是一阶线性非齐次递推数列，采用“构造等比数列法”求解通项： 设，展开得，对比递推公式得，解得。 因此数列是首项为，公比为0.8的等比数列。 通项公式为，即。 解不等式，代入通项得： 由于，不等号方向改变，得： 因此，最小正整数。 答案： 7.解析：长方体体对角线长，长方体总体积。 体积比对应小体积；体积比对应平分体积。 过体对角线且垂直对角线的平面切割几何体为相似棱锥，棱锥体积与沿对角线距离立方成正比。设距距离时体积 0.2，距距离体积 3，则，平移距离。 答案： 8.解析：设三角形三边成等差数列，记为，其中最小边对应最小内角，最大边对应钝角（三角形为钝角三角形）。 根据三角形三边关系,两边之和大于第三边， 得，化简得，令。 根据余弦定理，钝角对应的边满足：， 展开化简得，代入得， 解得，结合，得。 计算最小角的余弦值： 将代入，得。 根据的范围求的范围：由， 得，。 化简，得。 答案： 二、多项选择题 9.解析：正态分布中，，，则，正态密度曲线关于直线对称。 A：由正态分布的对称性，，取，则，，因此，正确。 B：分布函数的定义为“累积概率”，随着增大，累积概率单调递增，且正态分布的分布函数严格单调递增，正确。 C：分布函数是单调递增的 S 型曲线，无对称轴（对称轴是密度曲线的性质，而非分布函数），错误。 D：由正态分布对称性，，即，变形得，因此分布函数图像关于点中心对称，正确。 答案： 10.解析：函数，定义域为，且，故为偶函数。 A：当时，，求导得；极值点满足，即，变形得。当时，，求导得，极值点满足，故 A 错误。 B：偶函数的图像关于原点对称，若是极值点，则也必为极值点，且成对出现，正确。 C：区间，则。当时，，此时，，故，函数单调递减；当时，取，则，，函数单调递增，因此在该区间内函数不单调，C 错误。 D：对任意，，且，因此恒成立，正确。 答案： 11.解析：拓扑学中，亏格 = 贯通孔洞数，无损形变不改变亏格。目标几何体亏格。 A：实心立方体无孔洞，，无法变圆环； B：带柄实心杯，杯身 + 把手形成 1 个贯通孔洞，，可形变圆环； C：两个独立圆环，亏格，无法变单环； D：三个贯通孔洞，，无法变。 答案： 三、填空题 12.解析：二项展开 构造代数式求： 设，两边乘：， 求导： 令：左边 所以，， 左边 答案：第一空；第二空 13.解析：设地球球心为，北纬纬圆的圆心为，则纬圆所在平面，纬圆半径。 球面距离公式为（为球心角，单位：弧度），已知球面距离等于地球半径，故球心角弧度。 在中，由余弦定理得。 在纬圆中，设的经度差为（即纬圆上的圆心角），由余弦定理得。 联立两式得，化简得。 答案： 14.解析：设，，设，条件，，化简，即。 直线过，斜率，方程。 联立椭圆，代入，求出交点； 是以为直径圆切线，故，斜率乘积， 代入化简得到，，离心率。 答案： 四、解答题 15（13 分） (1) 由递推关系可知，数列的奇数项和偶数项分别构成公差为的等差数列。 对于偶数项，下标为，首项为，公差。 根据等差数列通项公式，代入得： 。 综上，偶数项通项为。 (2) 当为奇数时，设，此时数列前项中，奇数项有项，偶数项有项。 ① 奇数项求和：奇数项首项，公差，根据等差数列前项和公式，得：。 ② 偶数项求和：偶数项首项，公差，项数为， 同理得：。 ③ 前项总和：。 展开化简：。 将代回， 得。 16（15 分） (1) 由双曲线标准形式可知，双曲线焦点在轴上，满足（其中为半焦距）。 已知焦距，则；离心率，代入 得：。 再由，得。 因此，双曲线的标准方程为。 （2）由双曲线方程可知，下顶点的坐标为。 联立直线与双曲线方程， 将代入双曲线方程得：， 化简得：，通分后：，即。 设，由韦达定理得：，。 ① 求弦长：根据弦长公式（其中为直线斜率），代入得：。 ② 求点到直线的距离：直线的一般式为，根据点到直线距离公式，代入得：。 ③ 求的面积：根据三角形面积公式，代入得：。 综上，的面积为。 17（15 分） (1)已知，对其求导得：（复合函数求导法则：，，）。 ① 求：令，代入得： ，化简得。 ② 求：令，代入得：， 将代入得： 。 ③ 求解析式及单调区间：将、代入原函数，得：。 再求导得。 分析的单调性：对再次求导，，由于恒成立，故恒成立，即在上单调递增。 令，即，易知时，；时，，故存在唯一，使得。 因此，当时，，单调递减；当时，，单调递增。 综上，的解析式为，单调递减区间为，单调递增区间为（其中满足）。 (2) 求曲线在处的切线方程： ① 求切点坐标：将代入得： ，故切点为。 ② 求切线斜率：切线斜率为，由(1)知。 ③ 求切线方程：根据点斜式，代入切点和斜率得： ，整理为整式形式：。 综上，切线方程为（或点斜式）。 (3) 由恒成立，代入解析式得： ，化简得恒成立。 设，则。 对求导得， 由(1)知在上单调递增，且当时，；当时，，故存在唯一，使得，即（①式）。 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故。 将代入,得， 将①式代入得：（②式）。 由①式得， 代入,得。 结合②式，要使最大，需取（等号成立时取得最大值）， 代入得：， 再将代入得：。 设，则， 令，则， 代入得：。 设， 对其求导分析单调性：当时，， 此时； 结合恒成立条件，当时，，，此时为最大值。 综上，的最大值为。 18（17 分） (1)① 求：规则1为7局4胜制，甲获胜需在7局中率先赢4局，即甲获胜的情况为：4胜0负、4胜1负、4胜2负、4胜3负（最后一局必为甲胜）。 根据二项分布概率公式， 其中，得。 ② 求：规则2中，即一方至少拿到2球且领先对手至少2球获胜；若未满足，则先拿到4球者获胜。 甲获胜的情况分为两类： 第一类：甲以2:0、3:1获胜（满足至少2球且领先2球）； 第二类：比分2:2后，甲以4:2获胜（未满足领先2球，先到4球）。 计算； 故。 综上，，。 (2)已知，规则2为：一方至少3球且领先至少2球获胜；未满足则先到8球者获胜。随机变量为总球数，事件，即；事件为甲获胜，求。 ① 计算（甲获胜且总球数在5~11之间）： ：甲3:2获胜（不满足领先2球，舍去）； ：甲4:2获胜（满足至少3球且领先2球）， 概率； ：甲5:2、4:3（5:2满足，4:3不满足）， 概率； ：甲5:3、6:2（均满足）， 概率； ：甲6:3、7:2（均满足）， 概率； ：甲7:3、8:2（均满足）， 概率； ：甲8:3、9:2（均满足）， 概率。 将上述概率求和： 通分得。 ② 计算（乙获胜且总球数在5~11之间）： 同理，乙获胜概率为，计算得。 ③ 计算比值：。 综上，所求比值为。 (3) 证明：固定，需证。 ① 证： 为局胜制甲胜率，甲获胜需在局中赢局； 为规则2中门槛的胜率，甲获胜需至少球且领先至少2球，或先到球获胜。 由于，甲胜率随获胜门槛升高而递增，且的获胜条件比更宽松（允许更多局数），故。 ② 证： 为局胜制甲胜率，获胜门槛更高； 的获胜条件中，先到球即可获胜，而需至少球且在局内获胜，门槛更严格，故。 综上，得证。 19（17 分） (1) 证明： 以为原点，分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系。 由底面，得，设（）。 为中点，故。 向量，，，。 由，得；由，得。 又，可求得坐标满足 （具体推导过程：设， 代入垂直条件化简可得，与点积为，结合已知条件可证得点积为0）， 故。 (2) 由平面，得向量平面的法向量。 平面的向量，， 设平面的法向量为，则，，解得。 ， 由平面，得， 即（恒成立）， 结合，得。 下面求二面角的平面角（钝角）： 平面的向量，， 法向量； 平面的向量，， 法向量。 二面角的余弦值（钝角取负）， 代入得：，。 由，得， 代入化简，得。 令，则，当时，取得最小值；当时，，故的范围为。 (3) 由，得向量与共线，结合(1)中垂直条件，可推得。 S,A,B,C 四点共外接球，设外接球半径为，由四点坐标可求得外接球方程， 进而得（）。 三棱锥的体积。 由题意，体积恰好存在3种不同取值，即有3种不同取值，结合外接球半径的表达式，得，即。 要使有3种不同取值，需方程有3个不同正解，结合几何条件，最终得的取值范围为。 学科网（北京）股份有限公司 $