2026年高三数学秋季开学学情自测卷01（江苏专用，测试范围：高中全部内容）

**基本信息** 2026年高三开学数学学情自测卷，覆盖苏教版必修及选必核心内容，以科技展览、新能源汽车等真实情境为载体，通过基础题与探究题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及数据处理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、概率、函数奇偶性、立体几何动点|第7题科技展览概率计算体现数学眼光，第8题正方体动点问题考查空间观念| |填空题|3题15分|向量平行、线性回归残差、涂色计数|第13题色差与色度残差计算培养数据意识，第14题挂件涂色考查逻辑推理| |解答题|5题77分|概率统计、二项式定理、线性回归预测、函数单调性证明、立体几何夹角与最值|第17题新能源汽车数据建模体现数学语言表达，第19题立体几何动态问题发展创新意识|

2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D A A A B A A B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分． 12． 13．21.6 14．264 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】（1）(1) (2)； 【详解】（1）解：由题意知，袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球， 因为第一个取出的球是红球，第二个取出的球是白球的概率为， 可得，解得． （2）解：由题意，随机变量可能为， 则，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 则期望为， 方差为. 16．（15分） 【答案】(1)，， (2) (3)或 【详解】（1）的通项公式. 令，解得，对应有理项为，，. （2）的通项公式. 第4项系数为，第6项系数为. 因为系数比，所以，化简得，解得（舍去）. 令，则各项系数和为. （3）只有第5项二项式系数最大，所以为偶数，中间项为第5项，故. 设第项系数绝对值最大，则， 解得，即或. 当，系数绝对值最大的项； 当，系数绝对值最大的项. 17．（15分） 【答案】(1)； (2)，2.9万辆． 【详解】（1）由题意，， 则，， 则． 故与的相关系数为． （2）由（1）， 则， 故关于的线性回归方程为， 令，则， 故可预测该地区2026年新能源汽车购买数量为万辆. 18．（17分） 【答案】（1）(1)①当时，在上单调递增，②当时，在上单调递增，在上单调递减.；（2）证明见解析. 【详解】（1）∵，定义域为， 则， ①当时，，在上单调递增； ②当时，当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减， 综上，①当时，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）可得，当时， . 要证， 只需证， 即证恒成立. 令，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ∴的最大值为，即：. ∴恒成立， ∴原命题得证.即：当时，. 19．（17分） 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）因为，底面， 如图，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 当时，、、、、、、 ， 则，，， 设平面MDN的法向量为，则， 取，可得， 设平面DNC的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面MDN与平面DNC的夹角为，所以，所以， 故平面MDN与平面DNC的夹角为. （2），，设平面PBC的法向量为， 则，取，可得， 因为，，所以，， 则，因为平面PBC， 所以，即， 所以，即， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 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(3)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数绝对值最大的项. 17．（15分） 近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量． 参考公式：． 参考数值：． 18．（17分） 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当，证明：. 19．（17分） 如图，在四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，是的中点，点，分别在线段与上，且，． (1)当时，求平面与平面的夹角大小； (2)若平面，求的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版必修一+必修二+选必一第5章选必二 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．复数满足（为虚数单位，则对应的点所在象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．命题“事件与事件对立”是命题“事件与事件互斥”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．的展开式中项的系数是（   ） A． B． C．12 D．44 5．在某项测量中，测量结果，且，若在内取值的概率为,则在内取值的概率为 A． B． C． D． 6．已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图象关于轴对称，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．关于点对称 D．关于直线对称 7．某城市举办了一场科技展览，展览分为上午场、下午场．已知在上午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为；在下午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为．若当天参观展览的人群中，上午场人数占60%，现从当天参观展览的人群中随机抽取一人，发现其购买了纪念品的概率为（   ） A． B． C． D． 8．正方体棱长为，为的中点，为线段上动点，为线段上动点，则 （    ） A．存在无数条直线使得 B．存在唯一直线使得 C．点到平面距离最大值为 D．直线与夹角取值范围 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（    ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人从1～10中各选一个整数，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 10．已知函数，直线与函数的图像有3个不同的交点，3个交点的横坐标分别为，则下列说法正确的有（    ） A． B．过点作函数的切线，有且只有一条 C．若，则有 D．的值与无关 11．函数部分图象如图所示，是等边三角形，其中两点为函数图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．在上单调递减 D．关于对称 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量平行于向量，则__________． 13．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得的数据列于表中．已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则______． 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 14．如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件.现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为． (1)求白球的个数m； (2)若有放回的取出两个求，记取出的红球个数为X，求，． 16．（15分） 在二项式的展开式中， (1)若，求展开式中的有理项； (2)若第4项的系数与第6项的系数比为，求二项展开式中的各项的系数之和. (3)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数绝对值最大的项. 17．（15分） 近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量． 参考公式：． 参考数值：． 18．（17分） 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当，证明：. 19．（17分） 如图，在四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，是的中点，点，分别在线段与上，且，． (1)当时，求平面与平面的夹角大小； (2)若平面，求的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】，， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题考查补集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．复数满足（为虚数单位，则对应的点所在象限为 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】先利用复数的除法，化简复数，计算得，得到复平面中对应得点，即得解. 【详解】由于， 在复平面中对应的点为：，在第一象限 故选：A 3．命题“事件与事件对立”是命题“事件与事件互斥”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据对立事件与互斥事件的概念判断即可. 【详解】解：若事件与事件是对立事件，则事件与事件一定是互斥事件； 若事件与事件是互斥事件，不一定得到事件与事件对立， 故命题“事件与事件对立”是命题“事件与事件互斥”的充分不必要条件； 故选：A 4．的展开式中项的系数是（   ） A． B． C．12 D．44 【答案】A 【分析】求出展开式的通项，分别令的指数等于和，即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，则， 令，则， 所以的展开式中x的系数是. 故选：A. 5．在某项测量中，测量结果，且，若在内取值的概率为,则在内取值的概率为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到正态分布图象的对称轴为，根据在内取值的概率为0.3，利用在对称轴为右侧的概率为0.5，即可得出答案． 【详解】∵测量结果，∴正态分布图象的对称轴为， ∵在内取值的概率为0.3， ∴随机变量在上取值的概率为，故选B． 【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、概率的基本性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 6．已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图象关于轴对称，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．关于点对称 D．关于直线对称 【答案】A 【分析】根据函数，的奇偶性可推出以及的对称性，结合与的图象关于轴对称，推出的奇偶性以及对称性，判断A,C;同理推得的奇偶性以及对称性，判断B,D. 【详解】由于是定义域为的奇函数，则的图象关于成中心对称， 是定义域为的偶函数，则的图象关于对称， 因为与的图象关于轴对称，则的图象关于对称， 又的图象关于成中心对称，则的图象关于成中心对称， 故为奇函数，A正确； 因为为奇函数，故， 由与的图象关于轴对称，可得， 故 ，故为奇函数，B错误； 由A的分析可知的图象关于对称，故C错误； 由A的分析可知的图象关于成中心对称，为奇函数， 则的图象也关于成中心对称， 而与的图象关于轴对称， 则的图象关于成中心对称，故D错误， 故选：A 7．某城市举办了一场科技展览，展览分为上午场、下午场．已知在上午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为；在下午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为．若当天参观展览的人群中，上午场人数占60%，现从当天参观展览的人群中随机抽取一人，发现其购买了纪念品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全概率公式进行计算. 【详解】设事件表示“抽取人购买了纪念品”，事件表示“抽取人来自上午场”，事件表示“抽取人来自下午场”. 已知上午场人数占比为60%，即,则下午场人数占比为. 上午场每人购买纪念品概率为，即;下午场每人购买纪念品概率为，即. 根据全概率公式：， 代入上述概率值得：. 故选：A. 8．正方体棱长为，为的中点，为线段上动点，为线段上动点，则 （    ） A．存在无数条直线使得 B．存在唯一直线使得 C．点到平面距离最大值为 D．直线与夹角取值范围 【答案】B 【分析】以点为坐标原点、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，设，其中，求出点、的坐标，利用空间向量法逐项判断即可. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系： 则、、、、、、，， 由题意，是中点，故. 设，其中， 则，即点， 设，其中， ，即， 对于A选项，因为，. 若，则，， 化简得：，但、，只有时成立，并非无数条，故A错误； 对于B选项，若，则，即， 由③得：；由②得：； 代入①得：，，. 此时、，存在唯一解，故B正确； 对于C选项，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， ，其中， 所以点到平面的距离为， 令，其中， 所以， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，故， 所以，当且仅当时，等号成立， 故点到平面距离的最大值为，故C错误； 对于D选项，设直线、所成角为，则， ，. 所以， 当，时，，则， 因为，故直线与夹角取值范围不是，故D错误. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（    ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人从1～10中各选一个整数，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 【答案】ACD 【分析】对A、C、D：可得甲或乙胜的概率都为，故公平；对B：可得甲胜的概率小，故其不公平. 【详解】对A：抛一枚骰子，向上的点数为奇数与偶数的概率都是，游戏是公平的，故A正确； 对B：同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等， 但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平，故B错误； 对C：扑克牌是红色与黑色的概率都是，游戏是公平的，故C正确； 对D：甲、乙两人从1～10中各选一个整数，同奇或同偶的概率都是， 游戏是公平的，故D正确； 故选：ACD. 10．已知函数，直线与函数的图像有3个不同的交点，3个交点的横坐标分别为，则下列说法正确的有（    ） A． B．过点作函数的切线，有且只有一条 C．若，则有 D．的值与无关 【答案】ACD 【分析】A研究求单调性，结合图象；B设切点，求切线方程，将点代入，求其方程根的个数；C计算即可；D化简 即可 【详解】，则， 则得或；得， 故在和上单调递增，在上单调递减， ，，因为直线与函数的图像有3个不同的交点， 故，故A正确； 设切点为，斜率， 则切线方程为， 将点代入得，得或， 则过点作函数的切线有两条，故B错误； ， 则C正确； ，则，故D正确. 故选：ACD 11．函数部分图象如图所示，是等边三角形，其中两点为函数图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．在上单调递减 D．关于对称 【答案】BCD 【分析】对于A，由三角函数图象求得即可判断；对于BCD，由三角函数性质验算即可. 【详解】对于A，因为，所以， 又因为是等边三角形，所以，则， 又因为，所以，则，解得， 因为，所以， 故，所以A错误； 对于B，因为，故B正确； 对于C，当时，，故单调递减，C正确； 对于D，因为，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：关键在于求得，结合三角函数性质即可顺利得解. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量平行于向量，则__________． 【答案】 【详解】已知向量平行于向量， 则，解得， ． 13．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得的数据列于表中．已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则______． 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 【答案】21.6 【分析】先根据题目数据求出样本中心点，代入回归直线方程得，然后求出的预报值，根据残差列式求解即可. 【详解】由题意可知，，， 将代入，即，解得，所以， 当时，，则． 故答案为：21.6. 14．如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件.现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为______. 【答案】 【分析】按中心主挂件、第一层分挂件、第二层分挂件的顺序分步涂色，中心 4 选 1，第一层用剩余 3 色全排列，第二层用容斥原理解决错位排列问题，最后用分步乘法计数原理得到总方法数. 【详解】按分步计数原理，依次涂色： 涂中心主挂件：共4种颜色可选，因此有种涂色方法； 涂第一层分挂件（共3个）： 要求：每个第一层都与中心相邻，故不能与中心同色； 且同一层分挂件颜色不同.中心已经用掉1种颜色，剩余3种颜色，给3个不同的第一层分挂件涂色， 是全排列问题，方法数为 ； 涂第二层分挂件（共3个）： 要求：每个第二层只和同方向第一层相邻，故不能等于对应第一层的颜色； 且同一层分挂件颜色不同.此时已有4种不同颜色：中心颜色，三个第一层颜色（互不相同，且都不等于）， 需要选3个不同颜色分配给3个第二层，满足位置不选，用容斥原理计算： 总排列数， 减去至少一个位置选自身对应颜色的情况，得总方法数： ； 总方法数：根据分步乘法计数原理，总涂色方法数为： . 【点睛】分步涂色，中心定色，第一层全排列，第二层用容斥解决错位排列，最后乘得总数. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为． (1)求白球的个数m； (2)若有放回的取出两个求，记取出的红球个数为X，求，． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据题意，得到，即可求解； （2）根据得到随机变量可能为，求得相应的概率，列出分布列，利用期望和方差的公式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意知，袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球， 因为第一个取出的球是红球，第二个取出的球是白球的概率为， 可得，解得． （2）解：由题意，随机变量可能为， 则，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 则期望为， 方差为. 16．（15分） 在二项式的展开式中， (1)若，求展开式中的有理项； (2)若第4项的系数与第6项的系数比为，求二项展开式中的各项的系数之和. (3)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）先求出通项公式，让的指数为整数，可得有理项； （2）先利用通项公式求出第4项与第6项的系数，根据条件求出，然后利用赋值法可得答案. （3）利用二项式系数的性质及系数的最大项求出，再列不等式求出即可. 【详解】（1）的通项公式. 令，解得，对应有理项为，，. （2）的通项公式. 第4项系数为，第6项系数为. 因为系数比，所以，化简得，解得（舍去）. 令，则各项系数和为. （3）只有第5项二项式系数最大，所以为偶数，中间项为第5项，故. 设第项系数绝对值最大，则， 解得，即或. 当，系数绝对值最大的项； 当，系数绝对值最大的项. 17．（15分） 近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量． 参考公式：． 参考数值：． 【答案】(1)； (2)，2.9万辆． 【详解】（1）由题意，， 则，， 则． 故与的相关系数为． （2）由（1）， 则， 故关于的线性回归方程为， 令，则， 故可预测该地区2026年新能源汽车购买数量为万辆. 18．（17分） 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当，证明：. 【答案】(1)①当时，在上单调递增，②当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) 由（1）可得，当时， . 要证， 只需证， 即证恒成立. 令，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ∴的最大值为，即：. ∴恒成立， ∴原命题得证.即：当时，. 【分析】（1）求导后对其导函数进行通分再对其分子因式分解，分类讨论与时的单调性即可. （2）求出，将所证转化为，进而转化为证明恒成立，构造函数求其最大值即可证明. 【详解】（1）∵，定义域为， 则， ①当时，，在上单调递增； ②当时，当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减， 综上，①当时，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）略 19．（17分） 如图，在四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，是的中点，点，分别在线段与上，且，． (1)当时，求平面与平面的夹角大小； (2)若平面，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面MDN与平面DNC的夹角； （2）利用空间向量法把线面平行转化为得向量垂直，从而利用数量积的运算化简即可得与的关系，再结合基本不等式可得的最小值； 【详解】（1）因为，底面， 如图，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 当时，、、、、、、 ， 则，，， 设平面MDN的法向量为，则， 取，可得， 设平面DNC的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面MDN与平面DNC的夹角为，所以，所以， 故平面MDN与平面DNC的夹角为. （2），，设平面PBC的法向量为， 则，取，可得， 因为，，所以，， 则，因为平面PBC， 所以，即， 所以，即， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 目 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 典 3.1 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂☐ 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][DI 4[A][B][C[D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][CI][D] 10[A][B][C][D] 11[AJ[B][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 12 的日 13 14 剂 请在各题目懒警梯4萸内供笔，页超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） (道9并)道S熊点谁 :必壬耄品，海习马的到狂鲜毋盖用避‘易锡海习璐品阴目酷号平巢 (女LI)·8I :￥差号阴海习马的到狂毋黉吊避‘号卦4海习踞品阳目酷号安 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年秋季高三开学学情自测卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：苏教版必修一+必修二+选必一第5章选必二 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A={-11,2,3,4,5},B={x∈N(x-1)(x-5)<0},则δB=() A.3} B.{2,3} C.{2,3,5} D.{-1,1,5} 2.复数z满足(2+)z3+4i训(i为虚数单位，则z对应的点所在象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.命题“事件A与事件B对立”是命题“事件A与事件B互斥”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.（2-1(x-1的展开式中x项的系数是() A.-44 B.-12 C.12 D.44 5.在某项测量中，测量结果X~N(0,。2),且σ>0，若X在(0,1)内取值的概率为0.3，则X在1，+∞)内取值 的概率为 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 6.已知y=f(x+4)是定义域为R的奇函数，y=8(x-2)是定义域为R的偶函数，且y=f(x)与y=g(x)的 图象关于y轴对称，则() A.y=f(x)是奇函数 B.y=g(x)是偶函数 C.y=f(x)关于点(2,0)对称 D.y=g(x)关于直线x=4对称 7.某城市举办了一场科技展览，展览分为上午场、下午场.已知在上午场参观的人群中，每人购买纪念品 1/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的概率为 0:在下午场参观的人群中，每人购买纪念品的概率为 5 若当天参观展览的人群中，上午场人 数占60%，现从当天参观展览的人群中随机抽取一人，发现其购买了纪念品的概率为() 17 7 A. B. C.20 7 50 25 D.10 8.正方体ABCD-AB,CD棱长为2，E为B,C1的中点，P为线段AD上动点，2为线段AC上动点，则() D A B 、0 P D A.存在无数条直线PQ使得PO⊥DE B.存在唯一直线PO使得POIlD E C.点P到平面DQE距离最大值为2 ππ D.直线AD与PQ夹角取值范围 4'2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是() A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D.甲、乙两人从1~10中各选一个整数，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 10.已知函数f(x)=x3-3x2+4,直线y=a与函数f(x)的图像有3个不同的交点，3个交点的横坐标分别 为x,x2,,则下列说法正确的有() A.a∈(0,4) B.过点(0,4)作函数f(x)的切线，有且只有一条 C.若m+n=2,则有f(m)+f(n)=4 D.x1+x2+x3的值与a无关 11.函数(x)=3W3sin(wx+p)(o>0,0<p<D)部分图象如图所示，口ABC是等边三角形，其中A,B两点为 函数f(x)图象与x轴的交点，C为图象的最高点，且OB=2OA,则下列说法正确的是() 2/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.f(2024)=-9 C.f(x)在(1,6)上单调递减 D.f(x)关于(4,0)对称 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知向量ā=（-，1,2)平行于向量b=(2,n,1),则mn= 13.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得的数据列于表中，己知该产品 的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且)=0.5x+à，现有一对测量数据为(30，m),若该数据的残差 为0.6，则m= 色差x 21 23 25 27 色度y 15 18 19 20 14.如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个 分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件现用四种不同的颜色给所有的挂件 涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是 5 红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为。 38 (1)求白球的个数： (2)若有放回的取出两个求，记取出的红球个数为X,求E(X),D(X). 3/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(15分) 在项式- 的展开式中， (1)若n=6,求展开式中的有理项； (2)若第4项的系数与第6项的系数比为5：6，求二项展开式中的各项的系数之和. (3)若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数绝对值最大的项. 17.(15分) 近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不 可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向.某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份x 2019 2020 2021 2022 2023 购买量y(万 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 辆) (1)计算y与x的相关系数”（保留三位小数）： (2)求y关于x的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量. w司 2-0g- 参考公式： ,a=- ②4-可区w-或 -对 参考数值： 13≈3.6056，∑（线-x)4-)=3.6. 4/5 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(17分) 己知函数f(x)=lnx+m2+(a+2)x. (1)讨论f(x)的单调性： (2当a<0,证明：fm≤2-2 Q 19.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=2,底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AB=2, CD=AD=1,N是PB的中点，点M,Q分别在线段PD与AP上，且DM=MP,AQ=LQP. M B D (1)当2=1时，求平面MDN与平面DNC的夹角大小； (②若M0∥平面PBC,求匹的最小值. 5/5