精品解析：江苏省兴化中学2025-2026学年高三上学期开学摸底考试数学试题

高三年级开学摸底考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上的指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答卡上．写在本试卷上无效． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分式不等式求解，及指数函数的值域，确定集合，再由交集运算即可求解. 【详解】由题意， ， 故选：C 2. 设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质和指数函数的单调性化简甲乙两个命题，即可结合充分和必要条件的定义求解. 【详解】由可得，由可得 ， 所以由推不出，即充分性不成立； 由也推不出，即必要性不成立. 所以甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选:D. 3. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的指数函数的性质和单调性即可比较大小. 【详解】因为，所以. 因为为单调递减函数，所以. ， 因为 为单调递增函数，所以. 因为为单调递减函数，所以. 所以. 故选：D. 4. 已知定义在上的奇函数 满足，当 时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，探讨函数 的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得. 【详解】在上的奇函数 满足，则， 于是，即函数 的周期为4， 而，则，，又当 时，， 所以. 故选：A 5. 19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用对数的运算法则可得，再由符号说明表达式即可求得. 【详解】易知， 由可得； 所以，解得. 故选：B 6. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知：，是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知：，是方程的两根，且 ， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 7. 已知定义在 上的函数，满足不等式，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，换元构造函数，分析函数的奇偶性、单调性，再解不等式即得. 【详解】令，则，原函数化为， 令，显然， 即函数 是奇函数，又函数都是 上的增函数， 因此函数 是 上的增函数，不等式， 则， 于是，解得 ， 所以的取值范围是. 故选：A 8. 已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式画出函数大致图象，数形结合有且，结合解析式有、、，最后由指数函数、对勾函数性质求目标式的范围. 【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由图知，且， 由，得，即，故， 由，则，由，则， 所以，且在上单调递增， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 设随机变量 服从正态分布，若，则 C. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现2点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件A与B互斥. D. 对于随机事件A与B，若，，则事件A与B独立. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二项分布的数学期望公式计算可判断A；利用正态分布密度曲线的对称性计算可判断B；举例法可判断C；计算可得，可判断D. 【详解】对于A，因为随机变量，所以，故，故A正确； 对于B，因为随机变量 服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称， 又因为，所以，所以，故B正确. 对于C，抛掷两次，第一次为2点，第二次出现3点，则事件A，B同时发生，故A，B不互斥，故C错误. 对于D，，又， 所以，即事件A与B相互独立，故D正确； 故选：ABD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 已知，则 的取值范围是 C. 已知，则的最小值为4 D. 已知，则最小值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】A考虑 的情况即可判断；B由题设，解不等式求得，注意等号成立条件即可判断；C由，应用“1”的代换及基本不等式求其最小值判断；D令，则，应用“1”的代换及基本不等式求其最小值判断. 【详解】A：显然当 时，，最小值不可能为2，错； B：由，当且仅当时取等号， 所以，故， 当且仅当时取等号，故 的取值范围是，对； C：由， 当且仅当时取等号，所以的最小值为5，错； D：令，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，故最小值为2，对. 故选：BD 11. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知等式关系结合函数的奇偶性与对称性即可求得函数均是周期为4的周期函数，利用周期性与对称性计算，逐项判断即可得答案. 【详解】因为，所以，又，则有； 因为是奇函数，所以， 可得，即有， 所以， 所以 是周期为4的周期函数， 故 也是周期为4的周期函数， 对于选项A，因为，所以，则， 所以 为偶函数，故A错误； 对于选项B，因为是奇函数，将代入得：， 且，将代入得，所以B选项正确； 对于选项C，由，且， 将 代入得：， 所以， 由于，即， 得， 因为 是周期为4的周期函数， 所以，所以C选项正确； 对于选项D，因为， ， 所以， 因为 是周期为4的周期函数， 所以，所以D选项不正确． 故选：BC． 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数 关于直线轴对称，则，若函数 关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数 的周期为 . 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为________． 【答案】8 【解析】 【分析】观察到题中数据共有6个，且已从小到大进行排列，直接根据百分位的计算公式确定其位置，再根据位置得出第50百分位数．或直接根据中位数的求法求解． 【详解】4，6，7，9，11，13，这组数据共有6个，． 所以这组数据的第50百分位数是第三个数和第四个数的平均数． ，所以这组数据的第50百分位数为8． 故答案为：8. 方法二：第50百分位数即为中位数，该组数据共有6个，所以中位数是第三个数和第四个数的平均数． ,所以这组数据的第50百分位数为8． 故答案为：8. 13. 若幂函数在上单调递增，则实数m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数概念及单调性即可求解. 【详解】因为是幂函数，所以， 解得或 ， 又因为幂函数在上单调递增， 所以，故 舍去，所以， 故答案为： 14. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】求导，由导数几何意义得到切线方程，对照系数得到，联立得到，故. 【详解】因为 ，，所以，， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，由得，故， 故，解得， 所以，因此． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若 ，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求出，根据集合的并集定义，即可求得答案； （2）由题意可判断出A为的真子集，列出相应不等式，即可得答案. 【小问1详解】 当时，或， 则，故； 【小问2详解】 ，且“”是“”的充分不必要条件， 故A为的真子集，， 故，结合 ，解得， 即实数a的取值范围. 16. 已知 ，函数是奇函数，. （1）求实数的值； （2）若，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，再由函数的单调性可得，由二次函数的值域可得，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为函数是奇函数，所以， 即，即，解得， 因为 ，所以 . 当 时，，此时的定义域为， 关于原点对称，满足题意. 综上， . 【小问2详解】 由题意得，， 由（1）知，， 易得在上单调递增，故. ， 当时，，所以， 所以， 解得，即实数的取值范围为. 17. 第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识闯关比赛，比赛分为初赛与复赛，初赛胜利后才能参加复赛，初赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛，他们各自闯关成功的概率分别为，假定互不相等，且每人能否闯关成功相互独立． （1）若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关，，求该小组初赛胜利的概率； （2）已知，若乙只能安排在第二个派出，要使初赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出； （3）初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛，复赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某学生进入了复赛，他在复赛中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． 【答案】（1） （2）甲先派出； （3） 【解析】 【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可； （2）分别求出甲乙丙和丙乙甲时的所有可能取值和相应概率，再用期望公式求出对应的期望，作差分解因式即可比较出结果； （3）由独立事件的乘法公式结合题意可得，进而可得，再利用导数分析单调性和最值，得到结果即可； 【小问1详解】 设事件表示该小组获胜， 则， 所以该小组初赛胜利的概率为， 【小问2详解】 若依次派出甲乙丙进行闯关，设派出的人员数目为， 则的可能取值为， 则， ， ， 此时， 若依次派出丙乙甲进行闯关，设派出的人员数目为， 则的可能取值为， 则， ， ， 此时， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 所以要使初赛派出人员数目的期望较小，先派出甲. 【小问3详解】 由题意可得，， 则， 令， 则， 令， 所以当时，，为减函数， 当 时，，为增函数， 所以， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是用代换，得到，再构造函数求导分析即可. 18. 在平面四边形中， ， ，将沿AC翻折至 . （1）设 ，三棱锥 的各个顶点都在球的球面上. （i）证明：平面 平面 ； （ii）求球的半径； （2）求二面角 的余弦值的最小值. 【答案】（1）（i）证明：在中，由 ， 得 ， 所以， 且 ，即 ， 因为 ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ，又 平面 ， 所以平面 平面 ； （ii）. （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）通过证明 平面 ，证得平面 平面 ； （ii）建立空间直角坐标系，利用向量法列方程，由此求得球的半径； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角 的余弦值，进而求得其最小值. 【小问1详解】 （i）略. （ii）以A为原点， 分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 ， 则，设球心，半径， 则 ， 所以， 解得，所以球O的半径为； 【小问2详解】 在平面 中，过P作 于G，在平面 中，过G作 ， 因 平面 ,则平面 . 则由（1）， 设，以G为原点， 分别为x轴和y轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ，则点在平面 内， 则， 所以， 设平面 一个法向量为，则， 即，取 ， 则得； 平面 的一个法向量为，则， 即，取 ，则得， 所以， 令，则由得，则， 于是 ， 当且仅当即时等号成立， 所以二面角 的余弦值的最小值为. 19. 若定义域为D的函数满足：非空集合，，若，则称是一个I上的“非负函数”；若，则称是一个I上的“非正函数”． （1）判断是否为定义域上的“非正函数”，并说明理由． （2）已知函数为上的“非负函数”，求a的取值范围． （3）设，且 ，证明：． 【答案】（1）是一个I上的“非正函数”，理由见解析； （2）； （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）求导，得到函数单调性，故在取得极大值，也是最大值，又，所以在R上恒成立，得到结论； （2）多次求导，得到，令，解得； （3）由（2）知，，即，把代入，有，放缩得到，累加证明出结论. 【小问1详解】 是一个R上的“非正函数”,理由如下： 定义域为R，， 令 得， 当时， ，当时， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故在取得极大值，也是最大值， 又，所以在R上恒成立， 故是一个R上的“非正函数”； 【小问2详解】 要使在上为“非负函数”， 则在上恒成立， 其中，令，则， 令，则， 其中，故当时，， 所以在上单调递减，且， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中，故在上恒成立， 故在上单调递减， 故， 令，解得； 【小问3详解】 由（2）知，，即， 把代入，有， 因为，所以， 当时，，当 时，，……， ，， 以上不等式相加得 ，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级开学摸底考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上的指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答卡上．写在本试卷上无效． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在上的奇函数 满足，当 时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 6. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 7. 已知定义在 上的函数，满足不等式，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 设随机变量 服从正态分布，若，则 C. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现2点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件A与B互斥. D. 对于随机事件A与B，若，，则事件A与B独立. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 已知，则 的取值范围是 C. 已知，则的最小值为4 D. 已知，则最小值为2 11. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为________． 13. 若幂函数在上单调递增，则实数m的值为________． 14. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若 ，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16. 已知 ，函数是奇函数，. （1）求实数的值； （2）若，使得，求实数的取值范围. 17. 第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识闯关比赛，比赛分为初赛与复赛，初赛胜利后才能参加复赛，初赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛，他们各自闯关成功的概率分别为，假定互不相等，且每人能否闯关成功相互独立． （1）若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关，，求该小组初赛胜利的概率； （2）已知，若乙只能安排在第二个派出，要使初赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出； （3）初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛，复赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某学生进入了复赛，他在复赛中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值． 18. 在平面四边形中， ， ，将沿AC翻折至 . （1）设 ，三棱锥 的各个顶点都在球的球面上. （i）证明：平面 平面 ； （ii）求球的半径； （2）求二面角 的余弦值的最小值. 19. 若定义域为D的函数满足：非空集合，，若，则称是一个I上的“非负函数”；若，则称是一个I上的“非正函数”． （1）判断是否为定义域上的“非正函数”，并说明理由． （2）已知函数为上的“非负函数”，求a的取值范围． （3）设，且 ，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $