精品解析：四川省南充市高坪中学2026年春季第一次质量监测八年级数学

2026年春季初2024级（初二）第二次素质测评 数 学 试 卷 （满分150分，时间120分钟） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 如果二次根式有意义，那么实数满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为 和，则的长为（ ）． A. B. C. D. 3. 下列曲线中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一根30厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中（不计厚度），则细木棒露在盒外的部分最短为（ ） A. 13厘米 B. 17厘米 C. 18厘米 D. 26厘米 5. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，网格线的交点称为格点．线段的顶点、均在格点上，若点也在图中的格点上，且是以为腰的等腰三角形，则点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 清明节期间，某校学生代表前往烈士陵园祭扫．队伍乘大巴匀速行驶20分钟到达陵园，活动历时40分钟；活动结束后原路匀速返校，因车流量较大，返程用时比去程多20分钟．设学生离学校的距离为米，离校时间为分钟，下列图象能大致反映与关系的是（ ） A. B. C. D. 7. ，是一次函数图象上的不同的两点，则（ ） A. B. C. D. 的符号无法判断 8. 如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 9. 为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费y（单位：元）与当月用水量x（单位：）之间的函数图象；则下列说法正确的是（ ） A. 若小王家某月用水，则当月水费为20元 B. 若小王家某月水费为45元，则当月用水量为 C. 若当月用水，则当月水费45元 D. 若当月用水超过，则每多用水，当月水费就多4元 10. 如图，已知正方形的边长为是对角线上一点，于点于点，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为；③的最小值为；④．其中正确结论的序号为（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 请写出一个图象经过点的函数的解析式_____________． 12. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是___． 13. 已知一次函数（，是常数），且，此函数图像一定经过第________象限． 14. 如图所示的一块菜地，，，，，，这块菜地的面积为________． 15. 如图，在长方形中，，，点N在边上，沿着折叠长方形，使点C落在点F处，连接．当线段的值最小时，_______． 16. 已知关于，的二元一次方程．当时，的负整数值恰好有2个，则的取值范围为___． 三、解答题（共86分） 17. 计算 （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 20. 如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，且，，求四边形的面积． 21. 如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处． （1）求小凳子顶点与墙面的距离； （2）在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度． 22. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，过点作，且，连接与交于点，已知． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知的周长与的周长相差2，四边形的周长为40，求四边形的面积． 23. 如图①，在矩形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止，点P的速度为每秒，a秒时点P改变速度，变为每秒，图②是点P出发x秒后的面积与x（秒）的关系图象． （1）参照图②，求a、b及图②中的c值； （2）设点P离开点A的路程为，请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达中点时x的值； （3）当点P出发多少秒后，的面积是矩形面积的． 24. 如图1，四边形为菱形，，，，，且． （1）求的长； （2）点在上运动，为等边三角形． ①如图2，求证：，并直接写出的最小值； ②如图3，当点在的上方时，求点的横坐标． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，，直线交直线于点． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）如图1，为直线上一动点且在第一象限内，、为轴上动点，在右侧且，当时，求的最小值； （3）如图2，将沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，在直线上是否存在点，使得以、、三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季初2024级（初二）第二次素质测评 数 学 试 卷 （满分150分，时间120分钟） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 如果二次根式有意义，那么实数满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ 解不等式得 2. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为 和，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等，可得，先由刻度尺求出线段的长度，即可得到的长． 【详解】解： 四边形是矩形， ， 由题意，顶点对应刻度，顶点对应刻度， ， ． 3. 下列曲线中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：、给定一个的值，有唯一一个值和它对应，是的函数，该选项符合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意． 4. 将一根30厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中（不计厚度），则细木棒露在盒外的部分最短为（ ） A. 13厘米 B. 17厘米 C. 18厘米 D. 26厘米 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理求出盒子的对角线长，从而即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：盒子底面对角线长为（厘米）， 盒子的对角线长：（厘米）， ∴细木棒露在盒外的部分最短为（厘米）． 5. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，网格线的交点称为格点．线段的顶点、均在格点上，若点也在图中的格点上，且是以为腰的等腰三角形，则点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理计算的长，分和两种情况，结合网格特点寻找满足条件的格点C的个数． 【详解】解：由图可知，网格小正方形边长为1， 根据勾股定理得：， 是以为腰的等腰三角形， 分两种情况讨论： 若，在网格中，满足的格点C需满足为长为3、宽为1的矩形的对角线， 观察图形，点A左侧3格，上方1格处有一点， 则满足的格点C有1个； 若，在网格中，满足的格点C需满足为长为3、宽为1的矩形的对角线， 观察图形，点B右侧1格、上方3格处有一点，点B左侧1格、上方3格处有一点， 则满足的格点C有2个， 综上所述，满足条件的点C共有个． 6. 清明节期间，某校学生代表前往烈士陵园祭扫．队伍乘大巴匀速行驶20分钟到达陵园，活动历时40分钟；活动结束后原路匀速返校，因车流量较大，返程用时比去程多20分钟．设学生离学校的距离为米，离校时间为分钟，下列图象能大致反映与关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意得，去程是匀速行驶20分钟，此阶段y随x的增大而增大，图象是从原点出发的上升线段； 活动历时40分钟，学生位置不变，此阶段y随x的增大保持不变，图象为水平线段； 返程用时比去程多20分钟，即返程用时40分钟，且原路返回，所以返程下降段在x轴上的水平长度更长，线段比去程上升段更平缓， 只有A选项符合题意． 7. ，是一次函数图象上的不同的两点，则（ ） A. B. C. D. 的符号无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的性质，函数中，随的增大而减小 ，通过分类讨论进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小 ， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 综上所述，． 8. 如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由所给条件可证明四边形是平行四边形，再由可推得，，在中，，，推得． 【详解】解：，点，分别为，的中点，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在中，． 9. 为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费y（单位：元）与当月用水量x（单位：）之间的函数图象；则下列说法正确的是（ ） A. 若小王家某月用水，则当月水费为20元 B. 若小王家某月水费为45元，则当月用水量为 C. 若当月用水，则当月水费45元 D. 若当月用水超过，则每多用水，当月水费就多4元 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再逐项判断，即可． 【详解】解：当时，设当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 把点代入得，解得：， ∴当时，当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，同理当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为， 当时，，即小王家某月用水，则当月水费为24元，故A选项错误； 当时，，解得：， 即小王家某月水费为45元，则当月用水量为，故B选项正确；C选项错误； ∵， ∴当月用水超过，则每多用水，当月水费就多5元，故D选项错误． 10. 如图，已知正方形的边长为是对角线上一点，于点于点，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为；③的最小值为；④．其中正确结论的序号为（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①证明是等腰直角三角形，则，即可判断； ②先证明是等腰直角三角形，再根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，则四边形的周长，即可判断； ③证明，则，根据矩形对角线相等得，当时，垂线段最短，即可判断； ④证明，得到，进而求解． 【详解】解：连接，如图所示： ①∵正方形的边长为是对角线上一点， ， 又， ， 为等腰直角三角形， ∴，故①正确； ②由①证明过程，同理得是等腰直角三角形， ， ， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长，故②正确； ③∵四边形为矩形， ， ∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ， ， ，即当最小时，最小， ∴当时，垂线段最短，即时，的最小值等于，故③错误； ④延长交于，延长交于，如图所示： ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，①②④正确． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 请写出一个图象经过点的函数的解析式_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据给定的函数经过的点，利用待定系数法，选取合适的函数形式，代入点的坐标求解参数，即可得到符合要求的函数解析式． 【详解】解：设正比例函数的解析式为． 函数图象经过点． ， 解得． 符合要求的函数解析式可以是(答案不唯一)． 12. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图象可知：方程组的解是． 13. 已知一次函数（，是常数），且，此函数图像一定经过第________象限． 【答案】 二、三 【解析】 【分析】根据得出与同号，分两种情况讨论一次函数图像经过的象限，找出两种情况公共经过的象限即可． 【详解】解：， 与同号． 分两种情况讨论： ①当，时，一次函数的图像经过第一、二、三象限； ②当，时，一次函数的图像经过第二、三、四象限． 综上，此函数图像一定经过第二、三象限． 14. 如图所示的一块菜地，，，，，，这块菜地的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理判断出，最后再由计算即可得解． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ， 在中，， ， ∴这块菜地的面积为 15. 如图，在长方形中，，，点N在边上，沿着折叠长方形，使点C落在点F处，连接．当线段的值最小时，_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知当时，，即三点共线时，线段的值最小，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在长方形中，，，， 根据折叠可得， 当时，，即三点共线时，线段的值最小，此时， ， ∴， ， ， 解得． 16. 已知关于，的二元一次方程．当时，的负整数值恰好有2个，则的取值范围为___． 【答案】或 【解析】 【分析】先将原方程整理为关于的一次函数，分和两种情况，结合一次函数增减性，根据负整数值恰好为个列不等式组求解即可. 【详解】解：∵， ∴①， 当时，随的增大而增大， 由得：， 解不等式得， 的负整数值恰好有个，可知负整数值为， ， 解得， ②当时，随的增大而减小， 由得， 解不等式得， 的负整数值恰好有个，可知负整数值为， ， 解得， 综上，的取值范围是或. 三、解答题（共86分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为（或） 【解析】 【详解】解： ； 当时， 原式． 19. 如图，一个正比例函数图象与一个一次函数（为常数，）的图象交于点，一次函数图象与轴、轴分别交于、两点，且． （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先根据直线的解析式求出点A的坐标，再根据三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：令， 解得， ， ， ， ． 20. 如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，且，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴，即， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得其对角线互相平分（，）；又因为，所以；由对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求证． （2）由（1）中四边形是平行四边形可得，四边形的对角线互相平分，再由，可得四边形为菱形，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解： 由（1）可得：四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴四边形的面积为：． 21. 如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处． （1）求小凳子顶点与墙面的距离； （2）在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度． 【答案】（1）小凳子顶点与墙面的距离为 （2）小凳子宽的长度为，木杆的长度为 【解析】 【分析】（1）过作垂直于墙面，垂足为点，则，勾股定理即可求解． （2）延长交墙面于点，则，设，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，则， 由题意可知，， 由勾股定理得：， 答：小凳子顶点与墙面的距离为； 【小问2详解】 如图②，延长交墙面于点，则， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 答：小凳子宽的长度为，木杆的长度为． 22. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，过点作，且，连接与交于点，已知． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知的周长与的周长相差2，四边形的周长为40，求四边形的面积． 【答案】（1）见详解 （2）48 【解析】 【分析】（1）由题意易得四边形是矩形，则有，然后问题可求证； （2）由（1）易得，则有，然后可得，则有，进而可得，则问题可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）可知：四边形是矩形，四边形是菱形， ∴， ∵四边形的周长为40， ∴， ∵的周长与的周长相差2， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴． 23. 如图①，在矩形中，，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止，点P的速度为每秒，a秒时点P改变速度，变为每秒，图②是点P出发x秒后的面积与x（秒）的关系图象． （1）参照图②，求a、b及图②中的c值； （2）设点P离开点A的路程为，请写出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式，并求出点P到达中点时x的值； （3）当点P出发多少秒后，的面积是矩形面积的． 【答案】（1），， （2）， （3）当点P出发秒或秒后，的面积是矩形面积的 【解析】 【分析】本题主要考查了动点及相关的函数图象分析，运用函数图象解决动点问题． （1）根据，结合图象，得出当时，，由图象可知，8秒时，点P在B处，结合a的值求得b值，最后根据c表示的是运动总时间，求出c值； （2）由点P在6秒后开始变速，变速后速度为每秒，可求得动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的关系式；当点P运动到中点时，可知点P离开点A的路程为，将代入y与x的关系式，即可求得x的值； （3）先求出矩形的面积以及的面积，再按照点P不同的运动阶段分类讨论，求出符合条件的值，具体分为三个阶段进行讨论，分别是：点P在上运动，点P在上运动，点P在上运动，其中：点P在上运动需要再分变速前和变速后两个阶段分别讨论． 【小问1详解】 解：当P在边上时，由图得知：， 当时， ， ∴； 当，即动点P运动时间为6秒时，， ， ∴，； 【小问2详解】 解：由题意得：， P到达中点时，， 又∵， ∴， 即； 【小问3详解】 解：∵在矩形中，，， ∴， ∵的面积是矩形面积的， ∴． ①P在段（）， 当时，P从A向B匀速运动，速度为1单位/秒， 此时， 若， 则，即，不符合题意，舍去； 当时，P的速度为2单位/秒， ， 若， 则，即，符合题意； ②P在段， 此时，不符合题意． ③P在CD段， 此时， 即， 若， 则，即，符合题意； 综上： 或． 当点P出发秒或秒后，的面积是矩形面积的． 24. 如图1，四边形为菱形，，，，，且． （1）求的长； （2）点在上运动，为等边三角形． ①如图2，求证：，并直接写出的最小值； ②如图3，当点在的上方时，求点的横坐标． 【答案】（1） （2）①证明见解析，的最小值为2；②点的横坐标为2 【解析】 【分析】（1）由平方和算术平方根的非负性可得出，，从而可求出．再利用菱形的性质结合，可求出，结合含的直角三角形即可求解； （2）①连接，交于，根据菱形的性质及等边三角形的性质可证，得，由点到直线垂线段最短，可知，，再结合菱形的性质及含的直角三角形的性质即可求得，进而即可求解； ②连接，根据等边三角形的性质证，得，，则，可知点的运动轨迹为过点且垂直于轴的直线，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，，则，即： ∵四边形为菱形，， ∴，则， ∴，则， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：连接，交于， ∵四边形为菱形，， ∴，，则是等边三角形， ∴，，则， ∵是等边三角形， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴， 由点到直线垂线段最短，可知，， ∵四边形为菱形， ∴， 则， 即的最小值为2； ②连接， 由①可知，是等边三角形，是等边三角形， 则，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即点的运动轨迹为过点且垂直于轴的直线， ∵ ∴点的横坐标为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，，直线交直线于点． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）如图1，为直线上一动点且在第一象限内，、为轴上动点，在右侧且，当时，求的最小值； （3）如图2，将沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，在直线上是否存在点，使得以、、三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解直线的解析式，再联立直线、的解析式，即可得到答案； （2）由，可解得点到轴的距离，将点向左平移个长度单位至点，过点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，在轴上截取，的最小值为，即可求解； （3）将沿着射线方向平移，即将向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，分类讨论：，，，求解点的坐标即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式， 因为直线与轴交于点，与轴交于点，，， 所以，， 将、的坐标代入直线的解析式中，则有， ， 解得， 所以直线的解析式； 联立直线、的解析式得， ， 解方程组得， 所以； 【小问2详解】 解：因为，，所以， 所以， 所以，， 所以， 点在点上方， 设点的坐标， 点到轴的距离为， 因为， 所以， 解得， 所以， 所以， 如图，将点向左平移个长度单位至点，则， 过点关于轴的对称点，， 连接交轴于点，连接， 在轴上截取， 连接，则有， 所以的最小值为， 作于点，则， 则，， 所以的最小值为， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：将沿着射线方向平移，即将向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， 所以，，， 由（2）可知，， 分情况讨论： ①当或时，如图， 因为以、、三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形， 所以， 即与之间的距离为2， 向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到， ， 所以， 因为沿着射线方向平移，所以（舍去）， 所以，此时， ②当时，如图， ， 过作， 因为是等腰直角三角形， 所以 所以即与之间的距离为2， 向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到， ， 所以， 因为沿着射线方向平移，所以（舍去）， 所以，此时 综上所述，的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $