精品解析：2026年山东济南市历城区第二中学自主招生数学试卷

2026年山东省济南市历城区第二中学自主招生数学试卷 一、选择题 1. 已知在中，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数m，n满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，，，D为的中点，E为上一点，F为的中点，若，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 幻方是我国古代的一种谜题，又称九宫图，要求在的方格表中填入9个整数，使每行、每列、两条对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则x的值为（ ） 15 x 23 47 A. 9 B. 39 C. 55 D. 79 6. 某科技公司研发了两款机器人甲和乙．已知甲机器人需要A零件5个，B零件4个；乙机器人需要A零件6个，B零件3个．现生产两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则的值可能为（ ） A. 359 B. 360 C. 361 D. 362 二、填空题 7. 已知扇形弧长为，半径为，则扇形面积为________． 8. 如表是40位同学参加公益活动的时长统计．这40位同学时长的中位数与众数是________． 时长 3 4 5 6 人数 9 15 12 4 9. 若方程组的两组解为，，则________． 10. 所有数位上的数字之和为的数被称为“整十数”，所有整十数从小到大排列，是第________个整十数． 11. 已知的中线将分为两段，若，，，则的长度为________． 12. 如图，矩形中，，将绕点A旋转，使点C落到延长线上的点F处，点B对应点E，连接交于点G，若，则矩形的周长为________． 13. 设实数a、b、c满足，则函数的图象一定经过一个定点，那么这个定点的坐标是__________． 14. 若，，，四个式子中有三个式子相等，则称数组具有性质P，写出所有具有性质P的数组________． 15. 如图，以为圆心的圆，四边形为平行四边形，点，在圆上，且，点也在圆上，满足，则________． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 已知，，． （1）P为，的交点，求点P的坐标； （2）若x 满足，求x的取值范围； （3）若正整数m 使得满足，，的x 取值均为整数，求m 的最小值． 18. 若实数a，b，c满足：，． （1）若，求m的最小值； （2）若，且a为整数，求； （3）若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 19. 现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． （1）若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； （2）若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省济南市历城区第二中学自主招生数学试卷 一、选择题 1. 已知在中，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意解得、、的度数，进而根据余弦定理判断、选项，根据三角形的边和角的关系判断选项，根据正弦定理和三角函数的三倍角公式解得，进而判断选项． 【详解】解：由题意可得，， 设，则，， ，解得， ，， ， 由余弦定理可得，， 即， ， 选项错误，选项正确； 大角对大边，可知， 选项错误； ， ， 由三角函数的三倍角公式可得，， 由正弦定理可得，， 当时，， ， 解得， ，与矛盾，故选项错误． 2. 已知实数m，n满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例说明A、B、C选项错误，利用不等式的性质，负整数指数幂的意义判断D选项即可. 【详解】解：当，时，，，满足， 此时，，，，， ，， 故A、B、C选项错误， ， ， ， ， ， ． 故D选项正确． 3. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上， ∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n， y2=（m-1）2+n， ∵y1＜y2， ∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n， ∴（m-2）2-（m-1）2＜0， 即-2m+3＜0， ∴m＞， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式． 4. 如图，中，，，，D为的中点，E为上一点，F为的中点，若，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由，根据勾股定理求得，因为D为的中点，E为上一点，F为的中点，所以，，，则，而，则，所以，由，求得，则． 【详解】解：连接， ∵中，，，， ∴， ∵D为的中点，E为上一点，F为的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5. 幻方是我国古代的一种谜题，又称九宫图，要求在的方格表中填入9个整数，使每行、每列、两条对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则x的值为（ ） 15 x 23 47 A. 9 B. 39 C. 55 D. 79 【答案】D 【解析】 【分析】根据幻方性质：每行、每列、对角线的三数和相等求解． 【详解】解：设每行、每列、对角线的三数之和为，从右上到左下的对角线位置上的数依次为,左上第一个位置为， a 15 b x c 23 d 47 则从右上到左下的对角线和为：， 第二行的和为： 第三列的和为：，可得 ， 第一行的和为：， 把代入，得 ，化简后直接得到 ， 从左上到右下的对角线和为：， 把代入得 ，即 ， 再结合第二行的和， 把代入，得，解得． 6. 某科技公司研发了两款机器人甲和乙．已知甲机器人需要A零件5个，B零件4个；乙机器人需要A零件6个，B零件3个．现生产两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则的值可能为（ ） A. 359 B. 360 C. 361 D. 362 【答案】B 【解析】 【分析】设甲、乙机器人数量为正整数x、y，用x、y表示A、B零件总数a、b，推导是9的倍数，从选项中选9的倍数． 【详解】解：设生产甲机器人和乙机器人的数量分别为x，y， 则，， ，一定是9的倍数， 359、361、362不能被9整除，只有360能被9整除， 则的值可能为360． 二、填空题 7. 已知扇形弧长为，半径为，则扇形面积为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：扇形弧长为，半径为， 扇形面积． 8. 如表是40位同学参加公益活动的时长统计．这40位同学时长的中位数与众数是________． 时长 3 4 5 6 人数 9 15 12 4 【答案】4，4 【解析】 【分析】根据众数，中位数的概念求解即可． 【详解】解：中位数是将数据按从小到大排列，第20个和第21个数据的平均数，为， 众数是出现次数最多的数，为4． 9. 若方程组的两组解为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】可把看作一元二次方程的两个根，另外由根的确定性可以得到两组解是方程的两个根互换，进而可以得到答案． 【详解】解：由方程组，可知和是一元二次方程的两个根， ∴两根之和，两根之积， ∵题目中两组解为和， ∴两组解是方程的两个根互换，即，，，， ∴， 代入，得：． 10. 所有数位上的数字之和为的数被称为“整十数”，所有整十数从小到大排列，是第________个整十数． 【答案】 【解析】 【分析】分情况讨论：该数为一位数，两位数，三位数，四位数时，根据“整十数”的定义求解即可． 【详解】解：只需统计不超过且各位数字和为的正整数个数（即的序号）． 按位数分类： （1）一位数，数字最大为，和不可能等于，共个， （2）两位数，设十位为、个位为，则， 可取，，……，，对应，，……，，共个（，，…，）； （3）三位数，设百位为，十位为、个位为， 由题意得，即， 对固定的，， 为的非负整数对， 解数为： 解数 合计个； （4）四位数（不超过） ①千位为（即）后三位和需为， 即，，为且和为， 解数同上为个， ②千位为且不超过， 设数为，需且数值， ，， 由得，，，， 对应，，， ：此时该四位数，不符合要求． 共个：，，； 总计． 11. 已知的中线将分为两段，若，，，则的长度为________． 【答案】10 【解析】 【分析】延长到点E，使，连接，证明，利用全等的性质得到对应边的长度和关系，根据勾股定理的逆定理和勾股定理求解． 【详解】解：延长到点E，使，连接， ， ， ∵是的中线， ， ∵在和中， ， ， ∴，， ， ， ∴， ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴． 12. 如图，矩形中，，将绕点A旋转，使点C落到延长线上的点F处，点B对应点E，连接交于点G，若，则矩形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】设与交于M，设，则，根据矩形性质以及旋转性质证明，利用相似比可表示出，则，得到，于是利用得到，解出a的值，利用勾股定理求出的长，从而求出最后结果． 【详解】解：设与交于M，如图， 设，则， 四边形为矩形， ，，， ， 将绕点A旋转，使点C落到延长线上的点F处， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）， ， 在中，， 矩形的周长． 13. 设实数a、b、c满足，则函数的图象一定经过一个定点，那么这个定点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．抛物线过点，，等．解题的关键是将已知等式整理变形．将已知等式两边平方，整理，可得到，即可解题． 【详解】解：将 两边平方，得 ， 整理得， 又当时，， 抛物线通过定点． 故答案为：． 14. 若，，，四个式子中有三个式子相等，则称数组具有性质P，写出所有具有性质P的数组________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件得到，然后分四种情况讨论即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵四个式子中有三个式子相等， ∴情况一：， 由得：， ∴， 代入得：，则， 解得， 将代入得：， 解得； 情况二：， 由得：， ∴， 代入得：，则， 解得， 将代入得：， 解得：； 情况三：， 由得：，与矛盾，不满足题意； 情况四：， 由得：，与矛盾，不满足题意； 综上所述，所有具有性质P的数组有：． 15. 如图，以为圆心的圆，四边形为平行四边形，点，在圆上，且，点也在圆上，满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作辅助线，延长交于点，过点作于点，连接，通过平行四边形的性质和相关已知条件得到与的等量关系，再利用两者的正弦值换算求得三角形的面积． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作于点，连接， 设， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2），， （3） （4）无实数解 【解析】 【分析】（1）原方程配方得出，然后根据非负数的性质求解即可； （2）原方程展开得到，然后根据因式分解法求解即可； （3）先求出x的取值范围，然后移项后两边同时平方得到，再次两边平方求解即可，注意要验根； （4）设，，换元得出，且满足，，两边立方得：，代入得，根据二次根式有意义的条件得出，则，，计算，可知当a取最大值时，，此时，故不存在满足的非负实数a，b，即可求解. 【小问1详解】 解：对原方程配方可得：，， 由于平方数非负，因此有， 解得，； 【小问2详解】 解：展开并整理原方程：，， ，， 解得方程的根为，，； 【小问3详解】 解：根据题意，得且， 解得． 原方程移项，得， 两边平方，得， 化简，得， 再次两边平方，得， 化简，得， 解得，， 代入验证可知时， 右边，不符合算术根非负的性质，舍去， ∴； 【小问4详解】 解：根据题意，得且， 解得， 设，， 原方程为，且满足，， 对两边立方得：， 代入和，可得， ∵， ∴． ， 又， 可知当a取最大值时，， 此时， 故不存在满足的非负实数a，b， 因此该方程无实数解． 17. 已知，，． （1）P为，的交点，求点P的坐标； （2）若x 满足，求x的取值范围； （3）若正整数m 使得满足，，的x 取值均为整数，求m 的最小值． 【答案】（1） （2） （3）52 【解析】 【分析】（1）P为，的交点，联立，，利用消元法解二元一次方程组； （2）根据题意列一元一次不等式组，解一元一次不等式组即可； （3）根据题意可列出，，，从而得到，，，因为x 取值为整数，所以，，（a、b、c均为整数），给b取整数值代入，使a和c同时也满足为整数值即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 解得：， 所以点P坐标为； 【小问2详解】 由题可知，， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解为：； 【小问3详解】 根据题意，，，， 解得：，，， 所以，，（a、b、c均为整数）， 由得：， 当时，，解得， 此时， 代入得：， 解得：（舍去）； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得， 此时， 代入得：， 解得：（舍去）； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得， 此时， 代入得：， 解得：（舍去）； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得， 此时， 代入得：， 解得： 综上所述：m的最小值为52． 【点睛】熟记不等式的基本性质是解不等式的关键，第三小问通过列举法即可求解． 18. 若实数a，b，c满足：，． （1）若，求m的最小值； （2）若，且a为整数，求； （3）若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）不能，理由如下： 把代入，得， 与奇偶性不同，b与奇偶性不同， 与必定同为偶数， 必定为偶数，即m必定为偶数． 【解析】 【分析】（1）先求得，则，利用配方法和平方数的非负性求解即可； （2）先求得，且b，c是方程的两根，利用一元二次方程的判别式与根的关系得到，进而求得或1即可求解； （3）由已知得到，根据奇数与偶数的积是偶数，偶数与偶数的和为偶数可得结论． 【小问1详解】 解：，， ∴， ． ∴当时，m的最小值为； 【小问2详解】 解：，， ． ∴b，c是方程的两根， ，则， ，则， ， ∵a为整数， 或1， ∴无论哪种情况都有， 或； 【小问3详解】 略 19. 现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． （1）若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； （2）若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【答案】（1）证明：因为，，， 即A、A、B、B、B、B、B、C、C、C， ①擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、B、B、B、C、C、C、C、C， ②再擦去A、B，写上C、C， 即为B、B、B、C、C、C、C、C、C、C， ③再擦去B、C，写上A、A， A、A、B、B、C、C、C、C、C、C， ④再擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、C、C、C、C、C、C、C、C， ⑤再擦去A、B，写上C、C， 即为C、C、C、C、C、C、C、C、C、C， 故可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． （2）证明：因为，， 故x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况， 因此x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同， 假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同， 进一步假设，先连续擦去y次A、B，写上C、C， 得到个A，0个B，个C， 若，则此时全是C，即可证明， 若，因为x，y除以3余数相同，故是3的倍数，假设， 此时把其中3个A，0个B，m个C看作一个小组（m按照A的个数等比例取）， 然后擦去A、C，写上2个B，即为2个A，2个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为1个A，1个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为0个A，0个B，个C， 重复上述操作k次，就把个A全部消除，最后得到2026个C， 所以当时，可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【解析】 【分析】（1）通过分步实际操作即可验证； （2）由，可得x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况，则x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同，假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同，即可验证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $