精品解析：2026年山东济南市历城区第二中学自主招生数学试卷

6学科网命组卷网 2026年山东省济南市历城区第二中学自主招生数学试卷 一、选择题 1.己知在△ABC中，∠A=2∠B=3∠C,则下列选项正确的是() A.b'+c2=a2 B.b+e2<a C.c>2a D.a>2c 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意解得∠A、∠B、∠C的度数，进而根据余弦定理判断A、B选项，根据三角形的边和 1 0<sinC< 角的关系判断C选项，根据正弦定理和三角函数的三倍角公式解得 2,进而判断D选项. 【详解】解：由题意可得，∠A:∠B:∠C=6:3:2, 3 设∠C=x,则2B=x,∠A=3x 3 360° .3x+=x+x=180° X= 2 ，解得”11， ,∠A=3x=1080° 98.18°>90°∠C=x=360° -≈32.73° 11 11 ∴.c0sA<0 由余弦定理可得， cos A= +c2-d<0 2bc 即+2-a2<0 b2+c2<a2 ∴.A选项错误，B选项正确； 第1页/共28页 6学科网列组卷网 大角对大边，可知a>C, ..C 选项错误； .∠A=3∠C .'sin A=sin 3C sin3C=3sin C-4sin3 C 由三角函数的三倍角公式可得， a sind_sin3C=3-4sin'C .由正弦定理可得，c sinc sinC 当a>2c时， a=3-4sin2C>2 .∠C>0° 解得 0<sinc< ∠C<30°∠C≈32.73° D ,与 矛盾，故选项错误 2已知实数加，n满足m'>n ,则下列选项正确的是() A.n>m B.In>m C.n2>m2 D.mn<n'm 【答案】D 【解析】 【分析】举反例说明A、B、C选项错误，利用不等式的性质，负整数指数幂的意义判断D选项即可 【详解】解：当m=2,n=-1时，m1 2,n1=-1,满足m1>n, 此时m>n,m=2.风=1，m2=4,n=1, 第2页/共28页 6学科网6组卷网 i.n<m n<m2, 故A、B、C选项错误， .m>n :11 m n, :”-m>0 mn ∴.(n-m)mn>0 .mn2-m2n>0 ..mn2>m'n 故D选项正确. 3.点A(-1,),B(,)都在二次函数yF(x-1)2+n的图象上.若<2，则的取值范围为( B.m 3 3 A.m>2 2 c.m<1 D2<m<2 【答案】B 【解析】 【分析】根据y1<2列出关于的不等式即可解得答案. 【详解】解：，点A(m-1,),B(,)都在二次函数y=(x-1)+n的图象上， ∴.y1=(l-1-1)2+=(-2)2+n, y2=(-1)2+n, y12, .(-2)2+n<(-1)2+n, (m-2)2(-1)2<0, 即-2+3<0， 第3页/共28页 6学科网 命组卷网 w ∴.>2， 故选：B, 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于的不等式. 4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,D为边AC的中点，E为BD上一点，F为 CE 的中点，若DE LDE,则DF的长为() 4 6 A.1 B.3 c. D.5 【答案】C 【解析】 【分析】连接AE,由勾股定理求出AC=5,根据直角三角形的性质和三角形中位线定理得到 AD=D4C-Dr∥，DF- 2 AE,则∠ABD=∠BAC,由平行线的性质得到 4g=sin∠ABD=sin∠BAC=BC-4 ∠AEB=90°，则AB C-,末E-号48 5,即可得到 【详解】解：连接AE, 第4页/共28页 6学科网6组卷网 D 在Rt△ABC中，∠ABC=90°1B=3BC=4 中， :AC=VAB2+BC2=V32+42=5. :D为边AC的中点，E为BD上一点，F为CE的中点， A4D=D=方4C-多Dr∥ic.r- 2 .∠ABD=∠BAC, DE⊥DF, ∴.∠EDF=∠AED=90°， .∠AEB=90°， E=sin∠ABD=sin∠BAC=BC-4 .AB AC 5, 5 Γ5， 26 5. 5.幻方是我国古代的一种谜题，又称九宫图，要求在3×3的方格表中填入9个整数，使每行、每列、两条 对角线上的数字之和都相等.图中给出了幻方的部分数字，则x的值为() 15 23 第5页/共28页 命学科网命组卷网 47 A.9 B.39 C.55 D.79 【答案】D 【解析】 【分析】根据幻方性质：每行、每列、对角线的三数和相等求解， 【详解】解：设每行、每列、对角线的三数之和为S,从右上到左下的对角线位置上的数依次为 ,c,d ,左 上第一个位置为a, Q 15 c 23 d 47 则从右上到左下的对角线和为：b+c+d=S, 第二行的和为：x+c+23=S 第三列的和为：b+23+47=S,可得b=S-70, 第一行的和为：a+15+b=S, 把b=S-70代入，得a+15+S-70=S,化简后直接得到a=55, 从左上到右下的对角线和为：a+c+47=S, 把a=55代入得55+c+47=S,即S=c+102, 再结合第二行的和x+C+23=S, 第6页/共28页 学科网命组卷网 把S=c+102代入，得x+c+23=c+102,解得x=79 6.某科技公司研发了两款机器人甲和乙.己知甲机器人需要A零件5个，B零件4个；乙机器人需要A零 件6个，B零件3个.现生产两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则a+b的值可能为() A.359 B.360 C.361 D.362 【答案】B 【解析】 【分析】设甲、乙机器人数量为正整数x、y,用x、y表示A、B零件总数a、b,推导a+b是9的倍数， 从选项中选9的倍数. 【详解】解：设生产甲机器人和乙机器人的数量分别为x,y, 则0=5r+6y,b=4x+3y .a+b=9(x+y) ,一定是9的倍数 .359、361、362不能被9整除，只有360能被9整除， 则a+b的值可能为360. 二、填空题 7.已知扇形弧长为3，半径为1，则扇形面积为 3 【答案】2 【解析】 【详解】解：扇形弧长为3，半径为1， 1 3 S=二lr=二x3x1= ∴.扇形面积2 2 2 8.如表是40位同学参加公益活动的时长统计.这40位同学时长的中位数与众数是 第7页/共28页 学科网命组卷网 时长 23 4 6 人数 9 15 12 4 【答案】4,4 【解析】 【分析】根据众数，中位数的概念求解即可. 4+4-4 【详解】解：中位数是将数据按从小到大排列，第20个和第21个数据的平均数，为2 众数是出现次数最多的数，为4. x+y=7 x1=41 x2=42 9.若方程组 y=9 的两组解为by=,y2=b,则a,4,+bb2= 【答案】18 【解析】 【分析】可把不'看作一元二次方程-71+9=0 两个根，另外由根的确定性可以得到两组解是方程 的两个根互换，进而可以得到答案。 x+y=7 【详解】解：由方程组y=9,可知x和y是一元二次方程？-71+9=0的两个根， ·两根之和5+巧=7 两根之积化=9 x1=a1x2=a2 “题目中两组解为y=b和y2=b2' “两组解是方程的两个根互换，即4=4,6=4,4=4.6=4， :aa+6=5+4=245 代入6=9，得：a4+6=2x9=18 第8页/共28页 6学科网命组卷网 10.所有数位上的数字之和为10的数被称为“整十数”，所有整十数从小到大排列，2026是第。 个整十数. 【答案】121 【解析】 【分析】分情况讨论：该数为一位数，两位数，三位数，四位数时，根据“整十数”的定义求解即可， 【详解】解：只需统计不超过2026且各位数字和为10的正整数个数（即2026的序号）， 按位数分类： (1)一位数，数字最大为9，和不可能等于10，共0个， (2)两位数，设十位为a、个位为b,则a+b=10, a 129b=9819.192891、 可取，，…，，对应 ,,…,,共个( (3)三位数，设百位为a,十位为b、个位为C, 由题意得a+b+c=10,即b+c=10-a, 对固定的a,b, c010-a 为 的非负整数对， 解数为(10-a)+1 b+c 解数 1 9 10 2 8 9 3 7 8 4 6 7 5 5 6 第9页/共28页 6学科网命组卷网 6 4 5 7 3 4 8 2 3 9 1 2 合计10+9+8+7+6+5+4+3+2=54个： (4)四位数（不超过2026） ①千位为1（即1ac)后三位和需为9， 即a,b,c为09且和为9， 解数同上为10+9+…+1=55个， ②千位为2且不超过2026， 设数为2ab ,需a+b+c=8且数值≤2026 a=020bc≤2026 由b+c=8得，b=0,1,2, 对应2008,2017,2026 a≥1 ≥2100>2026 ：此时该四位 ,不符合要求 共3个：2008,2017,2026： 总计0+9+54+55+3=121 11.已知△ABC的中线BD将AC分为两段，若AB=6,BC=8,BD=5,则AC的长度为 【答案】10 【解析】 第10页/共28页 学科网命组卷网 【分析】延长BD到点E,使ED=BD,连接CE,证明△CED≌△ABD,利用全等的性质得到对应边的 长度和关系，根据勾股定理的逆定理和勾股定理求解 【详解】解：延长BD到点E,使ED=BD,连接CE, BD=5, .BE=2BD=10, :BD是△ABC的中线， .CD=AD ,在△CED和△ABD中， CD=AD ∠CDE=∠ADB ED=BD ∴.ACED≌AABD(SAS) .∠DCE=∠A,CE=AB=6. ∴.CE∥AB, BC=8. :CE2+BC2=62+82=100 .BE2=102=100 CE2+BC2=BE2 第11页/共28页 学科网组卷网 ∴.△BCE是直角三角形，且∠BCE=90°， .∠ABC=180°-∠BCE=90°， .AC=VAB2+BC2=V6+82=10 12.如图，矩形ABCD中，BC=1,将△ABC绕点A旋转，使点C落到AD延长线上的点F处，点B对 应点E,连接AC交EF于点G,若CG=2DF,则矩形的周长为 【答案】2V5-25+2 【解析】 【分析】设DC与GF交于M,设DF=a,则CG=2a,根据矩形性质以及旋转性质证明 RtAFDMRtAFEA FM=d+a,则1G=GF=a+30,得到 C=a2+5a ,利用相似比可表示 于是利用4C=F得到口+5a=1+a,解出a的值，利用勾股定理求出AB的长，从而求出最后结果， 【详解】解：设DC与GF交于M,如图， D M G B 设DF=a,则CG=2a, ABCD 四边形 为矩形， 第12页/供28页 6学科网6组卷网 .AD=BC=1∠BCD=∠B=∠ADC=90°AD∥BC ∴.AF=AD+DF=1+a .△ABC AD 将 绕点A旋转，使点C落到延长线上的点F处 ∴.AF=ACEF=BC=1∠E=∠B=90°∠F=∠ACB .:AD∥BC ∴.∠ACB=∠CAF ∴.∠CAF=∠F ∴.AG=FG, .∠ACD=90°-∠ACB∠DMF=90°-∠F ∴.∠ACD=∠DMF .∠DMF=∠GMC .∠ACD=∠GMC. ..GM=CG=2a, ·∠DFM=∠EFA, .Rt△FDM∽Rt△FEA, FM FD FM a FAFE,即1+a1, ∴.FM=a2+a .AG=GF=GM+FM=2a+a2+a=a2+3a .AC=AG+CG=a+3a+2a=a+5a AC=AF 第13页/共28页 命学科网命组卷网 ∴.a2+5a=1+a 解得4=V5-2,4=-V5-2(合去)， ..AC=5-1 在Rt△ABC中， 4B=AC2-BC2=(5-1)-1=5-25 老形的度长25-25+-=25-2W5+2 1,1,11,1,1 13.设实数a、6、c满足后+2+。=a+方十。，则函数y=a2+hx+c的图象一定经过一个定点， 那么这个定点的坐标是 【答案】（亿，0） 【解析】 【分析】本意考查了二次函数图象上点的坐标特点.抛物线y=m+r+C过点(L,a+b+c), (-l,a-b+c),(0,c等. 解题的关键是将已知等式整理变形.将已知等式两边平方，整理，可得到 a+b+c=0 ,即可解题. 1.1.11.1,1 【详解】解：将√db2c2abc两边平方，得 ab'bc ac), 整理得a+b+c=0. 又当x=l时，y=ar2+hx+c=a+b+c=0 第14页/供28页 命学科网命组卷网 ÷抛物线y=+r+C通过定点（，0) 故答案为： (1,0) 14.若x+y,x-y,y,y四个式子中有三个式子相等，则称数组(x,y)具有性质P,写出所有具有性 质P的数组 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件得到少≠0， ,然后分四种情况讨论即可求解. 【详解】解：由慰意得，y≠0 :x+x-yy, 四个式子中有三个式子相等， ∴情况一： x+y=x=x y, 由术+ys y得：y(x+y)=x, .x+y2=x 代入y=x+y得：(x+)+广=x,则y+y=0, 解得少=-l(y≠0) 将》=1代入x+y=每，x-1=-x 代入 得： 1 X= 解得2： 第15页/供28页 6学科网命组卷网 情况二： 七-y=y=X y, 由术y y得：y(x-y)=x, -y2=x 代入y=x-y得：(x-月y=x,则y-户=0. 解得y=-1(y≠0) ’=1代入-y=w得：x+1=-x 将 代入 1 =一 解得： 2； 情况三：x+y=x-y=y, 由+y=x-y得：y=0,与y≠0 ，与 矛盾，不满足题意： 情况四：x+y=x-y=飞 y, 由龙+y=-y 得：y=0,与≠0 矛盾，不满足题意： 综上所述，所有具有性质P的数组有： g-- 15.如图，以O为圆心的圆，四边形ABCO为平行四边形，点B,C在圆上，且BC=2,点D也在圆上， 满足OD1OC,则SA40m= 第16页/供28页 命学科网命组卷网 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意作辅助线，延长DO交AB于点M,过点O作ON⊥BC于点N,连接AD,通过平 行四边形的性质和相关已知条件得到∠AOM与∠CON的等量关系，再利用两者的正弦值换算求得三角 形AOD的面积. 【详解】解：如图，延长DO交AB于点M,过点O作ON⊥BC于点N,连接AD, D ○ B 设AB=OC=OD=r, .OB=OC,ON⊥BC :.CN=NB-1BC=1 2 ,四边形AOCB是平行四边形， .OC∥AB∠OAM=∠C .OD⊥OC 第17页/共28页 6学科网6组卷网 .OD⊥AB .∠OAM+∠AOM=90°∠C+∠CON=90° ∴.∠AOM=∠CON. .S40D 0D-4w-20D-0Asn∠40M-xrx2xmc0w-xrx2xl 2 三、解答题 16.解方程： （1)5x2+5y2-8xy-12x+6y+9=0 (2)(x-1)°-2x2+x+1=0 (3)V2x+3+V12x+45=12 (4)5V2+x-5V2-x=2 x=2 【答案】(1)y=1 (2)=0.为=1七3=4 (3)x=3 (4)x=7 【解析】 【分析】（4)原方程配方得出(x-2y+(2x-y-3=0,然后根据非负数的性质求解即可： (2)原方程展开得到r-5r2+4x=0 然后根据因式分解法求解即可； (3)先求出x的取值范围，然后移项后两边同时平方得到12W2x+3=51-5x,再次两边平方求解即可， 注意要验根： 第18页/共28页 命学科网命组卷网 (4)设a=52+x,b=52-x,换元得出a-b=2,且满足d=52+x,6=52-x,可 以推出d+5=102,根据立方和公式可得(a+b(a-b+b)-I0W5,再结合a-b=2,最终可 以得到1+b(4+b)=200,再令ab=y,得出关于y的方程，解出y得到ab的值，然后根据 d2-b=5V2+x-(52-x=2x和d-b=(a-bd+ab+b)即可求出x的值. 【小问1详解】 解：对原方程配方可得：5x2+5y2-8y-12x+6y+9=0,(x-2y)+(2x-y-3}=0. x-2y=0 由于平方数非负，因此有2x-y-3=0, 解得七=2y=1 【小问2详解】 解：展开并整理原方程：(x-1°-2x+x+1=0,x-3x2+3x-1-2x2+x+1=0, x3-5x2+4x=0.x(x-10(x-4)=0 解得方程的根为=0，名=1.x=4 【小问3详解】 解：根据题意，得2x+3≥0且12x+45≥0， 3 解得 2 原方程移项，得V12x+45=12-V2x+3 两边平方，得12x+45=144-24V2x+3+2x+3 第19页/供28页 6学科网命组卷网 化简，得12W2x+3=51-5x 再次两边平方，得144(2x+3)=(51-5x)2 化简，得25r2-798x+2169=0 723 解得出-3，= 25, 723 2= 代入验证可知 25时， 右边51-5x<0,不符合算术平方根非负的性质，舍去， x=3: 【小问4详解】 解：根据题意，得5V2+x之0且5V2-x之0， 解得-5V2≤x≤5V2 设a=5V2+x,b=5W2-x 原方程为a-h=2,且满足=55+x,方=5V2-x :a3+b3=10W2 由0+b=10W2得 (a+b)(a2-ab+b2）=10W2 (a+b)(a-b)'+ab]=102 ∴.(a+b)(4+ab)=10V2 .(a+b)}2(4+ab)2=200 第20页/共28页 6学科网命组卷网 a-b=2 ∴.(a+b)2-4ab=4 ∴.(a+b)}2=4+4ab ∴(4+4ab)(4+ab)2=200 ∴.(1+ab)(4+ab)2=200 令ah=少 则(1+y)(4+y2=200 得y+9y2+24y-34=0 因式分解得(y-1y+10y+34)=0 ∴y-1=0或广+10y+34=0（:F-4ac=100-34×4<0,÷此方程无解) .∴.y=1 ∴.ab=1 a3-b=5V2+x-52-x=2x d-=(a-bd+ab+）=2[(a-b+3ab]-=2(4+3)=14 .2x=14 ∴x=7 :-5v2<7<5v2 .原方程的解为x=7 17已知片=3x+1,h=5x+2为=7x-4 (1)P为片，的交点，求点P的坐标 第21页/共28页 命学科网组卷网 (2)若x满足片>乃>片，求x的取值范围， (3)若正整数m使得满足片=m,乃=m,为=m 的x取值均为整数，求m的最小值. ②)4下s3 5 (3)52 【解析】 【分析】(1)P为片，片的交点，联立片，片，利用消元法解二元一次方程组： (2)根据题意列一元一次不等式组，解一元一次不等式组即可； x=m-1 x=m-2 (3)根据题意可列出m=3x+1,m=5x+2,m=7x-4,从而得到 3， 5, x=m+4 7,因为x取值为整数，所以m=3a+1,m=5b+2,m=7c-4(a、b、c均为正整数)， 给b取整数值代入，使a和c同时也满足为整数值即可. 【小问1详解】 y=3x+1 解：由题意可得： y=5x+2, 1 X= 2 解得： 1, y=- 2 防以P题标（分 【小问2详解】 第22页/共28页 6学科网6组卷网 5x+2>7x-4① 由题可知， 7x-4>3x+1②， 解不等式①得：x<3, 5 解不等式②得：x> 4’ 5 <x<3 所以不等式组的解为：4 【小问3详解】 根据题意，m=3x+1,m=5x+2,m=7x-4, 解得： x-m-1 x-m-2 x-mt4 3, 5,7, 所以设m=3a+1,m=5b+2,m=7c-4(由题意，a、b、c均为正整数)， 由3a+1=5b+2得：3a=5b+1, 当b=1时，3a=5×1+1=6,解得a=2, 此时m=5×1+2=7. 代入m=7c-4得：7=7c-4, 11 C=- 解得： 7(舍去)； 11 当b=2时，3a=5×2+1=11,解得3（舍去）； 16 当6=3时，30=5×3+1=16，解得4=了（舍去）： 第23页/共28页 6学科网列组卷网 当b=4时，3a=5×4+1=21,解得a=7, 此时m=5×4+2=22, 代入m=7c-4得：22=7c-4, 26 C= 解得： 7(舍去)： 26 ,a= 当b=5时，3a=5×5+1=26,解得”3（舍去）： 31 a= 当b=6时，3a=5×6+1=31,解得3（舍去）； 当b=7时，3a=5×7+1=36,解得a=12, 此时m=5×7+2=37, 代入m=7c-4得：37=7c-4, 41 解得： C= 7(舍去)： 41 Q= 当b=8时，3a=5×8+1=41,解得3（舍去）； 46 当b=9时，3a=5x9+1=46.解得a=3c合去)： 当b=10时，3a=5×10+1=51,解得a=17, 此时m=5×10+2=52, 代入m=7c-4得：52=7c-4, 第24页/共28页 6学科网命组卷网 解得：C=8 综上所述：m的最小值为52. 【点睛】熟记不等式的基本性质是解不等式的关键，第三小问通过列举法即可求解. 18若实数a,6,c满足：t-a-bc=m,b+c=5 (1)若b=1,求的最小值： 25 (2)者ms 4,且a为整数，求abc; (3)若a,b,c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由. 17 【答案】(1)4 25 (2)abc=0或4 (3)不能，理由如下： 把c=5-b代入a2-a-bc=m,得m=a-a-b(5-b)=a(a-)+b(b-5) .a,a-1 b-5 与 奇偶性不同，b与 奇偶性不同， a(a-)与b(b-5)必定同为偶数 :a(a-l)+b(b-5)必定为偶数，即m必定为偶数. 【解析】 【分析】(1)先求得C=4 4,则m=a2-a-4 利用配方法和平方数的非负性求解即可： 25 bc=a2-a+ (2)先求得 4,且b,c是方程-51+bC=0的两根，利用一元二次方程的判别式与根 的关系得到△=25-4bc≥0，进而求得a=0或1即可求解； 第25页/共28页 学科网组卷网 (3)由已知得 m=d-a-b5-b)=a(a-)+b(b-5),根据奇数与偶数的积是偶数，偶数与偶数 的和为偶数可得结论. 【小问1详解】 解：：b=1,b+c=5, .c=4, -2 4 1 17 a=- .当“2时，m的最小值为4： 【小问2详解】 25 .m=- 解： 4,b+c=5, 25 ∴.bc=a2-a+ 4. b,c是方程-51+bc=0 的两根， ∴.△=25-4bc≥04bc≤25 ,则 .4a2-4a+25≤25，则4 m4a(a-1≤0 ∴.0≤a≤1 :a为整数， ∴.a=0 或1， ·无论哪种情况都 be=25 4, 第26页/共28页 6学科网可组卷网 25 ∴.abc=0或4： 【小问3详解】 略 19.现在黑板上写有x个字母A,y个字母B,z个字母C,小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出 来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C. (①若x=2,)=5,名=3。试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母： +y+z=2026 (2)若 ，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母. 【答案】(1)证明：因为x=2,y=5.z=3 即A、A、B、B、B、B、B、C、C、C, ①擦去A、B,写上C、C, 即为A、B、B、B、B、C、C、C、C、C, ②再擦去A、B,写上C、C, 即为B、B、B、C、C、C、C、C、C、C, ③再擦去B、C,写上A、A, A、A、B、B、C、C、C、C、C、C, ④再擦去A、B,写上C、C, 即为A、B、C、C、C、C、C、C、C、C, ⑤再擦去A、B,写上C、C, 即为C、C、C、C、C、C、C、C、C、C, 故可通过有限次操作使黑板上只有一种字母. +y+z=20262026÷3=675.1 (2)证明：因为 故x,y,z除以3的余数不可能为0,1,2的某种情况， 因此x,y,2除以3的余数中，必有两个的余数相同， 假设余数相同的两个字母为A、B,即x,y除以3余数相同， x之V 进一步假设 ,先连续擦去y次A、B,写上C、C, 第27页/共28页 学科网命组卷网 得到(x-月个4,0个B,(z+2y)个C, 若尤=y,则此时全是C,即可证明， 若x>y,因为x,y除以3余数相同，故(x-八是3的倍数，假设x-月÷3=k, 此时把其中3个A,0个B,m个C看作一个小组(m按照A的个数等比例取)， 然后擦去A、C,写上2个B,即为2个A,2个B,(m-)个C, 再擦去4、B,写上2个C,即为1个A,1个B,(m+)个C, 再擦去A、B,写上2个C,即为0个A,0个B,(m+3)个C, 重复上述操作k次，就把x-）个A全部消除，最后得到2026个C, x+y+z=2026 所以当 时，可通过有限次操作使黑板上只有一种字母. 【解析】 【分析】(1)通过分步实际操作即可验证： (2)由2026÷3=675…1，可得x,y,z除以3的余数不可能为0,1,2的某种情况，则x,y,z除以 3的余数中，必有两个的余数相同，假设余数相同的两个字母为A、B,即x,y除以3余数相同，即可验证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第28页/共28页 2026年山东省济南市历城区第二中学自主招生数学试卷 一、选择题 1. 已知在中，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数m，n满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，为边的中点，为上一点，为的中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 幻方是我国古代的一种谜题，又称九宫图，要求在的方格表中填入9个整数，使每行、每列、两条对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则x的值为（ ） 15 x 23 47 A. 9 B. 39 C. 55 D. 79 6. 某科技公司研发了两款机器人甲和乙．已知甲机器人需要A零件5个，B零件4个；乙机器人需要A零件6个，B零件3个．现生产两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则的值可能为（ ） A. 359 B. 360 C. 361 D. 362 二、填空题 7. 已知扇形弧长为，半径为，则扇形面积为________． 8. 如表是40位同学参加公益活动的时长统计．这40位同学时长的中位数与众数是________． 时长 3 4 5 6 人数 9 15 12 4 9. 若方程组的两组解为，，则________． 10. 所有数位上的数字之和为的数被称为“整十数”，所有整十数从小到大排列，是第________个整十数． 11. 已知的中线将分为两段，若，，，则的长度为________． 12. 如图，矩形中，，将绕点A旋转，使点C落到延长线上的点F处，点B对应点E，连接交于点G，若，则矩形的周长为________． 13. 设实数a、b、c满足，则函数的图象一定经过一个定点，那么这个定点的坐标是__________． 14. 若，，，四个式子中有三个式子相等，则称数组具有性质P，写出所有具有性质P的数组________． 15. 如图，以为圆心的圆，四边形为平行四边形，点，在圆上，且，点也在圆上，满足，则________． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 已知，，． （1）P为，的交点，求点P的坐标； （2）若x 满足，求x的取值范围； （3）若正整数m 使得满足，，的x 取值均为整数，求m 的最小值． 18. 若实数a，b，c满足：，． （1）若，求m的最小值； （2）若，且a为整数，求； （3）若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 19. 现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． （1）若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； （2）若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $