精品解析：山东 济南市历城区2025-2026学年下学期九年级3月质量检测数学试题

2026年3月九年级质量检测数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在下面四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数比较大小的法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，进行比较大小即可． 本题考查了实数比较大小的法则，解题的关键是熟练掌握实数比较大小的法则． 【详解】解：， ∴这四个数中最小的数是． 故选：A． 2. 已知一粒红豆的质量是千克，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 3. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据主视图是从物体的正面看得到的视图即可，解题的关键是注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 【详解】解：图中空心圆柱体的主视图是： 故选：． 4. 中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱．下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 风车纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案. 【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行， ，. ， ，. . 故选：C. 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质. 7. “泰山”“曲阜三孔”“崂山”和“趵突泉”是山东省四个有代表性的旅游景点．若小辉从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“趵突泉”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法列出所有等可能结果，再找出符合条件的结果，根据概率公式求解即可. 【详解】将四个景点分别记为泰山，曲阜三孔，崂山，趵突泉， ∵从四个景点中随机选择两个，所有等可能的结果为：，，，，，，共种， 其中包含趵突泉的结果有，，，共种， ∴所求概率. 8. 定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 9. 如图，在矩形中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧相交于点，作射线，过点作的垂线分别交于点，垂足为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据作图可知平分，结合可证，从而得出，，接着利用勾股定理求出，得到，然后证明，利用相似比求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据相似比即可求出． 【详解】解：由作图可知，平分，  ， ，  ， 在和中，  ，  ， ，， 在矩形中，，， ， ， 四边形是矩形，  ， ，，  ，  ，  ， 在中，， ，  ，即， ． 10. 关于二次函数的四个结论：①对任意实数，都有与对应的函数值相等；②当时，函数值的取值范围内恰有4个整数，则或；③若抛物线与轴交于不同两点，且，则或；④是抛物线上两点，若，则．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线解析式化为顶点式得出该抛物线的对称轴为直线，计算得出，即与关于对称轴直线对称，即可判断①；抛物线的顶点为，求出当时，，当时，，再分两种情况：当时，二次函数图象开口向上，在上，随着的增大而增大；当时，二次函数图象开口向下，在上，随着的增大而减小，分别计算即可判断②；设，，则，，求得或，再由一元二次方程根与系数的关系得出，，结合题意得出，计算即可判断③，由抛物线的对称轴并结合题意可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，再分两种情况，分别计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴， ∴，即与关于对称轴直线对称， ∴对任意实数m，取及，对应的函数值总相等，故①正确； ∵， ∴抛物线的顶点为， 当时，，当时，； 当时，二次函数图象开口向上，在上，随着的增大而增大，故， ∵对应的y的整数值有4个，即，，，， ∴， 解得； 当时，二次函数图象开口向下，在上，随着的增大而减小，故， ∵对应的y的整数值有4个，即，，，， ∴， 解得：； 综上所述， 若，对应的y的整数值有4个，则或，故②正确； ∵抛物线与轴交于不同两点，且， ∴设，，则， 解得：或， 在中，令，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 综上所述，若抛物线与轴交于不同两点，且，则或；故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 当时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧随着的增大而增大，结合点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离得出； 当时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧随着的增大而减小，结合点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离得出，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键. 根据分式分母不等于列式求解即可得到答案． 【详解】解：要使分式有意义， 则分母满足， 解得． 12. 如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在C区域的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何概率公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵C区域的圆心角为, ∴指针落在C区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 13. 如图，中，，，以为直径的交于点，则弧的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OE，由平行四边形的性质得出∠D=∠B=70°，AD=BC=6，得出OA=OD=3，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE=40°，再由弧长公式即可得出答案． 【详解】连接OE，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6， ∴OA=OD=3， ∵OD=OE， ∴∠OED=∠D=70°， ∴∠DOE=180°-2×70°=40°， ∴的长==π； 故答案为π． 【点睛】本题考查了弧长公式、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠DOE的度数是解决问题的关键． 14. 如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．行驶过程中，两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图，当乙车出发追上甲车时，乙车行驶了________小时． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数图象和一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图像中的数据，得到，两城两城的距离，求得乙车的速度，甲车速度，再根据甲、乙两车行驶的路程相等列方程求解即可． 【详解】解：由图像可得，，两城两城相距千米． 乙车从城出发匀速行驶至城所需的时间为：（小时）， ∴乙车的速度为：（千米/小时）． 甲车从城出发匀速行驶至城所需的时间为小时， ∴甲车的速度为：（千米/小时）， 设乙车出发追上甲车时，乙车行驶了小时， ∴， 解得：， 即乙车出发追上甲车时，乙车行驶了小时， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，可得四边形是正方形，从而得到，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点为圆心，长为半径的半圆上运动，当点三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点，过点作于点，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点，即当最小时，面积最小， ∵是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点为圆心，长为半径的半圆上运动， ∴当点三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点，过点作于点，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴面积的最小值为． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】不等式组的解集为，它的所有正整数解为 【解析】 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴它的所有正整数解为． 18. 如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到，再由线段的和差关系证明，则可利用证明，据此由全等三角形对应边相等可证明． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点在同一水平线上）．（参考数据：） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到）． 【答案】（1）屋顶到横梁的距离约为米 （2）房屋的高约为米 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，，解即可得到结论； （2）过作于，设，分别解和，求出和，再根据米，列式求出，进而可得答案． 【小问1详解】 解：房屋的侧面示意图，是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，，， 在中，，， ， （米）， 答：屋顶到横梁的距离约为米； 【小问2详解】 如图②，过作于，设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 米， ， 解得：（米）， （米）， 答：房屋的高约为米． 20. 如图，内接于⊙，为⊙的直径，平分交⊙于点，交于点，连接，过点作⊙的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质定理可知，根据圆周角定理，可知，据此即可证明结论； （2）过点作的垂线，交于点，容易证得四边形为矩形，进而求得，的长度，结合勾股定理，即可求得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， 因为为⊙的直径． 所以． 因为平分， 所以． 所以． 因为与相切于点， 所以． 所以． 所以． 所以． 【小问2详解】 解：如图所示，过点作的垂线，交于点． 因为， 所以． 因为， 所以． 又因为， 所以四边形为矩形． 因为 所以，． 所以． 所以． 21. 某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生的测试成绩，进行收集、整理、描述和分析（测试满分为分，学生测试成绩均为不小于的整数，分为四个等级：，，，），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：，，，，，，，，，，，． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）所抽取的学生成绩为等级的人数为________，并将频数分布直方图补充完整； （2）成绩为等级的人数对应的扇形圆心角度数是_______度； （3）所抽取的学生成绩的中位数是________分； （4）该校七年级共有名学生参加本次测试，若测试成绩不低于分的为优秀，请估计该校七年级参加本次测试成绩达到优秀的学生人数． 【答案】（1）；统计图见解析 （2） （3） （4）人 【解析】 【分析】（1）用等级的人数除以所占百分比可求出抽查的总人数，即可求出等级的人数，进而补全统计图即可； （2）用乘以等级的人数所占百分比即可得答案； （3）根据中位数的定义，找出从低到高排列的第、位的数据，求出中位数即可； （4）用乘以不低于分的人数所占百分比即可得答案． 【小问1详解】 解：∵等级的人数为人，所占百分比为， ∴抽取的总人数为（人）， ∴等级的人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：∵等级的人数为人，抽取的总人数为人， ∴等级的人数对应的扇形圆心角度数是． 【小问3详解】 解：∵抽取的总人数为人， ∴所抽取的学生成绩的中位数是从低到高排列的第、位的平均数， ∵等级、等级的人数共为人， ∴中位数为等级的第、位的平均数，即（分）． 【小问4详解】 解：∵所抽取的学生成绩为优秀的人数为（人）， ∴名学生中，本次测试成绩达到优秀的学生人数约为（人）． 22. 某市为了科学处理垃圾，新建了A，B两类垃圾处理场共20个，其中A类处理不可回收垃圾，B类处理可回收垃圾，已知每一个A类垃圾处理场日处理量为30吨，每一个B类垃圾处理场日处理量为40吨，该市新建的20个垃圾处理场每天处理城市垃圾总量为720吨． （1）求该市A，B两类垃圾处理场各有多少个？ （2）为了环保要求，不可回收垃圾再次细分为不可回收垃圾和有害垃圾，致使A类垃圾处理场日处理量减少了5吨，市政府拟将个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场，请给出新建的垃圾处理场日处理垃圾最多的改建方案，最多日处理垃圾为多少吨？ 【答案】（1）该市A类垃圾处理场有8个，B类垃圾处理场有12个 （2）将3个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场，垃圾处理场日处理垃圾最多，最多日处理垃圾为635吨 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用及一次函数的实际应用． （1）设该市A类垃圾处理场有x个，则B类垃圾处理场有个，根据该市新建的20个垃圾处理场每天处理城市垃圾总量为720吨．建立方程求解即可； （2）设改建后日处理垃圾为y吨，根据题意得到改建后一个A类垃圾处理场日处理量为25吨，每一个B类垃圾处理场日处理量为40吨，A类垃圾处理场有8个，B类垃圾处理场有个，由日处理垃圾的吨数A类垃圾处理场的个数乘以日处理量B类垃圾处理场个数乘以日处理量，列出关系式，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设该市A类垃圾处理场有x个，则B类垃圾处理场有个， 根据题意得：， 解得：，则（个） 答：该市A类垃圾处理场有8个，B类垃圾处理场有12个； 【小问2详解】 解：设改建后日处理垃圾为y吨， 根据题意得到改建后一个A类垃圾处理场日处理量为25吨，每一个B类垃圾处理场日处理量为40吨，A类垃圾处理场有8个，B类垃圾处理场有个， 则， 即， ， 随a的增大而减小， ， 当时，y有最大值，最大值为：（吨） 答：将3个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场，垃圾处理场日处理垃圾最多，最多日处理垃圾为635吨． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知，顶点在第一象限，在轴的正半轴上（在的右侧），与关于所在的直线对称． （1）当时，求点的坐标； （2）若点和点在同一个反比例函数的图象上，求的长 （3）如图2，将（2）中的四边形向右平移，记平移后的四边形为，过点的反比例函数的图象与的延长线交于点．问：在平移过程中，是否存在这样的，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，求出的长，再求出的长即可； （2）过点作轴于点，设，参考（1）的方法求出点的坐标即可； （3）分两种情况：①，②，求出点，的坐标，代入反比例函数的解析式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于点， 由轴对称的性质可知，， ∴， ∴在中，，， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点， ∵，， ∴， 设，则， 由（1）已得：，， ∴， ∴， ∵点和点在同一个反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴的长为3． 【小问3详解】 解：①如图，当时，以点为顶点的三角形是直角三角形， 连接，，， ∵，， ∴，， 由轴对称的性质可知，，，， 由平移的性质可知，，，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 设，则， 同（2）可得：， ∴，即， ∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴； ②如图，当时，以点为顶点的三角形是直角三角形， 连接，，，其中与交于点， 同理可得：，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴（两直线平行，内错角相等），， ∴， ∴， ∴，在中，， ∴， 设，则， 同（2）可得：， ∴，即， ∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴； 综上，存在这样的，使得以点为顶点的三角形是直角三角形；此时的值为或． 【点睛】难点在于题（3），首先根据三角形的定义进行分类讨论，其次是利用平移和折叠的性质求出相应点的坐标． 24. 【问题情境】如图，在中，，．点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】 （1）如图1，当时，易知； 如图2，当时，则与的数量关系为 ； （2）如图3，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，当，且点B，E，F三点共线时．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，再证得出，利用等腰三角形三线合一的性质得出，在中，利用余弦定义可求，即可得出，然后把代入计算即可； （2）仿照（1）的思路即可解答； （3）方法一：如图，过点D作于点M，过点C作，交延长线于点H，可求，得出，设，则，利用平行线分线段成比例得出，则可求，，，，，在中，利用勾股定理构建方程，求出．证明，利用相似三角形的性质即可求解； 方法二：如图，过点C作交延长线于点G，过点D作于点M，过点E作于点H，利用等腰三角形的性质与判断，平行线的性质可证明，，证明，可得出．设，则，设，则，利用平行线分线段成比例得出，求出，，，．然后在中，利用勾股定理构建方程，求出，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）如图，过点A作于点H， ∵，， ∴， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，H为的中点， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． 又， ∴； （2）解：； 如图，过点A作于点H， ∵，， ∴， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，H为的中点， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． （3）． 方法一： 如图，过点D作于点M，过点C作，交延长线于点H， ∴． ∴． ∵线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴． ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，， ∴． ∴，解得． ∴． ∵， ∴． 方法二： 如图，过点C作交延长线于点G，过点D作于点M，过点E作于点H， ∴． ∴． ∵线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴． ∵， ∴，． ∴． 设，则， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴． 在中，，， ∴． ∴，解得． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判断与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 25. 如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接，，，设的面积为． ①求关于的函数表达式： ②求点到直线的距离的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】（1） （2）存在， （3）①；②点到直线的距离的最大值为， 【解析】 【分析】（1）把代入，解关于、的二元一次方程组求出、的值即可； （2）连接，交对称轴于，根据菱形的性质得出，，根据（1）中解析式得出，对称轴为直线，可得，进而求出，即可得答案； （3）①过点作轴于，交于，先利用待定系数法求出直线解析式为，得出，，，利用三角形面积公式即可得出；②利用勾股定理求出，利用的面积求出，得出时，的最大值为，把代入即可求出点坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，连接，交对称轴于， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，，轴， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①如图，过点作轴于，交于， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴． ②如图，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，即点到直线的距离的最大值为， 当时，， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、菱形的性质及二次函数的性质，合理作出辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年3月九年级质量检测数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在下面四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 3 2. 已知一粒红豆的质量是千克，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱．下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 风车纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ） A. B. C. D. 7. “泰山”“曲阜三孔”“崂山”和“趵突泉”是山东省四个有代表性的旅游景点．若小辉从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“趵突泉”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径相等），两弧相交于点，作射线，过点作的垂线分别交于点，垂足为，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 关于二次函数的四个结论：①对任意实数，都有与对应的函数值相等；②当时，函数值的取值范围内恰有4个整数，则或；③若抛物线与轴交于不同两点，且，则或；④是抛物线上两点，若，则．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是_______． 12. 如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，转盘停止后，指针落在C区域的概率是________． 13. 如图，中，，，以为直径的交于点，则弧的长为________． 14. 如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．行驶过程中，两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图，当乙车出发追上甲车时，乙车行驶了________小时． 15. 如图，在四边形中，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 解不等式组，并写出它的所有正整数解． 18. 如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 19. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点在同一水平线上）．（参考数据：） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到）． 20. 如图，内接于⊙，为⊙的直径，平分交⊙于点，交于点，连接，过点作⊙的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，求的长． 21. 某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生的测试成绩，进行收集、整理、描述和分析（测试满分为分，学生测试成绩均为不小于的整数，分为四个等级：，，，），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：，，，，，，，，，，，． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）所抽取的学生成绩为等级的人数为________，并将频数分布直方图补充完整； （2）成绩为等级的人数对应的扇形圆心角度数是_______度； （3）所抽取的学生成绩的中位数是________分； （4）该校七年级共有名学生参加本次测试，若测试成绩不低于分的为优秀，请估计该校七年级参加本次测试成绩达到优秀的学生人数． 22. 某市为了科学处理垃圾，新建了A，B两类垃圾处理场共20个，其中A类处理不可回收垃圾，B类处理可回收垃圾，已知每一个A类垃圾处理场日处理量为30吨，每一个B类垃圾处理场日处理量为40吨，该市新建的20个垃圾处理场每天处理城市垃圾总量为720吨． （1）求该市A，B两类垃圾处理场各有多少个？ （2）为了环保要求，不可回收垃圾再次细分为不可回收垃圾和有害垃圾，致使A类垃圾处理场日处理量减少了5吨，市政府拟将个B类垃圾处理场改建成A类垃圾处理场，请给出新建的垃圾处理场日处理垃圾最多的改建方案，最多日处理垃圾为多少吨？ 23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知，顶点在第一象限，在轴的正半轴上（在的右侧），与关于所在的直线对称． （1）当时，求点的坐标； （2）若点和点在同一个反比例函数的图象上，求的长 （3）如图2，将（2）中的四边形向右平移，记平移后的四边形为，过点的反比例函数的图象与的延长线交于点．问：在平移过程中，是否存在这样的，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由． 24. 【问题情境】如图，在中，，．点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】 （1）如图1，当时，易知； 如图2，当时，则与的数量关系为 ； （2）如图3，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，当，且点B，E，F三点共线时．若，，请直接写出的长． 25. 如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接，，，设的面积为． ①求关于的函数表达式： ②求点到直线的距离的最大值，并求出此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $