2026年山东济南市历城区第二中学自主招生数学试卷

2026年山东省济南市历城区第二中学自主招生数学试卷 一、选择题 1. 已知在中，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数m，n满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，为边的中点，为上一点，为的中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 幻方是我国古代的一种谜题，又称九宫图，要求在的方格表中填入9个整数，使每行、每列、两条对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则x的值为（ ） 15 x 23 47 A. 9 B. 39 C. 55 D. 79 6. 某科技公司研发了两款机器人甲和乙．已知甲机器人需要A零件5个，B零件4个；乙机器人需要A零件6个，B零件3个．现生产两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则的值可能为（ ） A. 359 B. 360 C. 361 D. 362 二、填空题 7. 已知扇形弧长为，半径为，则扇形面积为________． 8. 如表是40位同学参加公益活动的时长统计．这40位同学时长的中位数与众数是________． 时长 3 4 5 6 人数 9 15 12 4 9. 若方程组的两组解为，，则________． 10. 所有数位上的数字之和为的数被称为“整十数”，所有整十数从小到大排列，是第________个整十数． 11. 已知的中线将分为两段，若，，，则的长度为________． 12. 如图，矩形中，，将绕点A旋转，使点C落到延长线上的点F处，点B对应点E，连接交于点G，若，则矩形的周长为________． 13. 设实数a、b、c满足，则函数的图象一定经过一个定点，那么这个定点的坐标是__________． 14. 若，，，四个式子中有三个式子相等，则称数组具有性质P，写出所有具有性质P的数组________． 15. 如图，以为圆心的圆，四边形为平行四边形，点，在圆上，且，点也在圆上，满足，则________． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 已知，，． （1）P为，的交点，求点P的坐标； （2）若x 满足，求x的取值范围； （3）若正整数m 使得满足，，的x 取值均为整数，求m 的最小值． 18. 若实数a，b，c满足：，． （1）若，求m的最小值； （2）若，且a为整数，求； （3）若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 19. 现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． （1）若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； （2）若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 2026年山东省济南市历城区第二中学自主招生数学试卷 一、选择题 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 二、填空题 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】4，4 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】10 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 三、解答题 【16题答案】 【答案】（1） （2），， （3） （4） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3）52 【18题答案】 【答案】（1） （2）或 （3）不能，理由如下： 把代入，得， 与奇偶性不同，b与奇偶性不同， 与必定同为偶数， 必定为偶数，即m必定为偶数． 【19题答案】 【答案】（1）证明：因为，，， 即A、A、B、B、B、B、B、C、C、C， ①擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、B、B、B、C、C、C、C、C， ②再擦去A、B，写上C、C， 即为B、B、B、C、C、C、C、C、C、C， ③再擦去B、C，写上A、A， A、A、B、B、C、C、C、C、C、C， ④再擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、C、C、C、C、C、C、C、C， ⑤再擦去A、B，写上C、C， 即为C、C、C、C、C、C、C、C、C、C， 故可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． （2）证明：因为，， 故x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况， 因此x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同， 假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同， 进一步假设，先连续擦去y次A、B，写上C、C， 得到个A，0个B，个C， 若，则此时全是C，即可证明， 若，因为x，y除以3余数相同，故是3的倍数，假设， 此时把其中3个A，0个B，m个C看作一个小组（m按照A的个数等比例取）， 然后擦去A、C，写上2个B，即为2个A，2个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为1个A，1个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为0个A，0个B，个C， 重复上述操作k次，就把个A全部消除，最后得到2026个C， 所以当时，可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $