2026年山东省济南市东南片区九年级学业水平模拟测试（二）数学试题

2026年九年级学业水平模拟测试（二）参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A C B C D B A A C 11. 12. 13. 14. 6 15. 16. 原式=1+33+32 ……………………5分 = 2 ……………………7分 17. 解：解不等式①得 x ……………………2分 解不等式②得 x5 ……………………4分 ∴不等式组的解集为x …………………6分 ∴正整数解是1，2 ，3 ……………………7分 18. 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝AD,B=D ,BC＝CD ……………………3分 ∵CE＝CF ∴BC﹣CE＝CD﹣CF 即BE＝DF ……………………5分 在△ABE和△ADF中 ， ∴△ABE≌△ADF（SAS） ……………………6分 ∴∠BAF＝∠DAE ……………………7分 19. 解：（1）m=9， ……………………2分 n=8； ……………………4分 （2）B； ……………………6分 （3）∵A款机器人的综合成绩为87×40%+85×60%＝85.8（分）， B款机器人的综合成绩为85×40%+87×60%＝86.2（分）， ……………………8分 ∵86.2＞85.8， ∴综合成绩最高的是B款机器人． ……………………9分 20. 解：（1）过点B作BF⊥AE，垂足为F， ……………………1分 ∵斜坡AB的坡比为5：12， ∴， ……………………2分 ∴设BF＝5x米，则AF＝12x米， 在Rt△ABF中，AB13x（米）， ∵AB＝13米， ∴13x＝13， 解得：x＝1， ∴BF＝5米，AF＝12米， ……………………3分 （2） 由题意可知，四边形BFED为矩形 ∴BF＝DE＝5米，BD＝EF， ……………………4分 设BD＝EF＝y米， ∵AF＝12米， ∴AE＝AF+EF＝（12+y）米， 在Rt△AEC中，∠CAE＝45°， ∴CE＝AE•tan45°＝（12+y）米， ……………………5分 在Rt△CBD中，∠CBD＝58°， ∴CD＝BD•tan58°≈1.6y（米）， ……………………6分 ∵CD+DE＝CE， ∴1.6y+5＝12+y， 解得：y， ……………………7分 ∴CD＝1.6y≈18.7（米）， 答：（1）坡顶B到地面的距离为5米；（2）城楼CD的高度约为18.7米． ………8分 21. （1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ……………………1分 ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ……………………2分 ∵∠ADE＝∠BCD， ∴∠ADE+∠ODB＝∠BCD+∠B＝90°， ∴∠ODE＝180°﹣（∠ADE+∠ODB）＝90°， ……………………3分 ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． ……………………4分 （2）解：∵⊙O的直径为5， ∴BC＝5， ∵BD＝3， ∴CD4， ……………………5分 ∵AB＝AC， ∴AD＝AB﹣BD＝AC﹣3， ……………………6分 ∵∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴（AC﹣3）2+42＝AC2， ……………………7分 解得AC， ∴AC的长是． ……………………8分 22. 解：（1）设排球的单价为x元，则足球的单价为元． ………………1分 依题意得：， ……………………3分 解得：x＝40， ……………………4分 经检验，x＝40是原方程的根， ……………………5分 ∴， 答：足球的单价是60元，排球的单价是40元． ……………………6分 （2）设计划购买排球a 个，则购买足球的数量为（50﹣a） 个。 ∵足球数量不少于排球数量的， ∴， 解得：a≤30， ……………………7分 依题意得：W＝40a+60（50﹣a）＝﹣20a+3000， ∴W与a的函数关系式为：W＝﹣20a+3000； ……………………8分 对于W＝﹣20a+3000，W随a的增大而减小， ∴当a为最大时，W为最小， 又∵a≤30，且a为正整数， ∴a的最大值为30， ……………………9分 即当a＝30时，W为最小，此时W＝﹣20×30+3000＝2400（元）， 答：购买最少费用为2400元． ……………………10分 23. 解（1）∵A点在一次函数y＝x上 ∴∠AOC=45° 又∵AC⊥AB ∴△ABC为等腰直角三角形 ∵C（4，0） ∴A（2，2） ……………………1分 ∵A点在反比例函数y 图象 ∴k=22=4 ……………………2分 ∴反比例函数为y ∵一次函数y＝x与反比例函数y交于A，B两点，A（2，2） ∴B（-2，-2） 设BC解析式为 y=mx+n (m),代入B（-2，-2），C（4，0） 得 ……………………3分 解得 ∴BC解析式为y= ……………………4分 （2） ∵BC解析式为y= ∴设D（t,） 又∵点D在反比例函数y 上 ∴t ·（）=4 ……………………5分 解得（舍） ∴D（6, ） ……………………6分 过点A作y轴平行线，交BD于点E 则E（2，） ∴= = = ……………………7分 （3） m= ……………………8分 或m= ……………………10分 24.解：（1）BE＝DG； BE⊥DG ； ……………………4分 （2），BE⊥DG，理由如下： ……………………5分 由题意知：四边形ABCD和四边形AEFG为矩形 ， ∴∠BAD＝∠EAG＝90°， 即∠BAE+∠EAD＝∠EAD+∠DAG ， ∴∠BAE＝∠DAG， ∵2， ∴△BAE∽△DAG， ……………………7分 ∴，∠ABE＝∠ADG， ∴，∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°， ∴∠BDG＝90°， ∴BE⊥DG； ……………………8分 （3） 由（2）知∠BDG＝90° ∴△BDG为直角三角形， ∵M是线段BG的中点， ∴， ∴点的轨迹为线段BD 的中垂线， ……………………9分 取BD的中点M’ ，作直线M’ 交BC于点H，过点C作CN⊥M’ ，垂足为N， ∴当点运动到与点N重合时，线段CM长度取得最小值， ∵在矩形ABCD 中 ，AB ， ∴，cos∠CBD= ， ∴ ， 在直角三角形BM’ H中 ∵ ，cos∠CBD= ， ∴ ， ……………………10分 ∴ ， 又∵CN⊥M’ ，BD⊥M’ ， ∴∠M’ N=∠NM’ =90°， ∴CN∥BD， ∴∠CN=∠， ∴cos∠CN= ， ……………………11分 在直角三角形CNH中 ∵cos∠CN ， ， ∴ ， 即线段CM的最小值为。 ……………………12分 25. 解：（1）将（2，﹣1）代入y＝x2﹣bx﹣1得， ﹣1＝4﹣2b﹣1， ……………………1分 解得b＝2， ……………………2分 ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣1； ……………………3分 顶点坐标为（1，2）， ……………………4分 （2）因为QM经过最低点，即经过顶点， 如图∵ON∥QM ∴， 根据顶点纵坐标可得，MN＝2， ∵P（m, ） 则，即， ……………………6分 解得， ∵ ∴， ……………………7分 ∴； ……………………8分 （3）①当PQ经过顶点G时，过点G作GF⊥y轴， PE⊥y轴 由∠PEO＝∠GFO＝90°，∠POE＝∠GOF得，△POE∽△GOF， ∴，， 解得m＝1，或m＝﹣1（舍去）， ……………………9分 ∴当点P向右运动时，满足题意， ∴m≥1； ……………………10分 ②如图所示， ∵， ∴Q，代入抛物线解析式得， 2（m2+2m1）＝（2m）24m1， 解得，或， 此时，当P点向下一直移动，直至到x轴时（注意：P点在第一象限，），都符合题意， 当=0时，有x2+2x1＝0， 解得，x2＝1， ……………………11分 ∴1m， 综上：m≥1或1m ……………………12分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级学业水平模拟测试（二） 数学试题 （2026.5） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列四个数中，最小的数为（ ） A．3 B． C． D． 2．下列几何体中，左视图是三角形的为（ ） A． B． C． D． 3．人工智能模型的参数量越大，理解能力越强：-V3模型参数可达6710亿个，其中数据“6710亿”用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．已知，下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 5．围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 7．若关于的方程有一个根为2，则另一个根为（ ） A．1 B． C．3 D． 8．“舜耕历山”是济南标志性历史文化符号．某学校开展大舜文化主题活动，制作了正面印有“孝、亲、仁、善”四张卡片，卡片除文字外完全相同．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取两张，则这两张卡片恰好是“仁”和“善”的概率是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．定义：在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．则下列结论中，正确的个数是（ ） ①函数的图象上存在点的“级变换点”； ②点是函数的图象上一点，是点的“1级变换点”，则的最小值为； ③点与其“2级变换点”分别在直线，上，在，上分别取点，，若，则； ④关于的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，则的取值范围为且． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11．分解因式：________． 12．正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色区域的概率是__________． 13．如图是正五边形的对角线，过点作直线，则的大小是______度． 14．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，则乙比甲早到___________分钟． 15．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上．连接，将矩形沿翻折，点，，的对应点分别为，，，线段恰好经过点．若，则的长等于________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（7分）计算：． 17．（7分）解不等式组并写出它的所有正整数解． 18．（7分）如图，点，分别在菱形的边，上，且． 求证：． 19．（9分）在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了，，三款智能机器人．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，该团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，，，三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分（满分为10分）．现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 、两款机器人运动能力得分的折线统计图 款机器人运动能力得分的扇形统计图 ，，三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 9和10 85 1.85 8.5 8 87 8 83 2.01 （1）填空：______，______； （2）通过比较方差，判断测试员对______（填“”，“”或“”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （3）若按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你通过计算判断，这两款机器人中综合成绩高的是哪一款？ 20．（8分）“泉城济南，好客山东”成为山东旅游极具影响力的宣传口号，济南某仿古景观城楼成为市民休闲打卡地．某中学数学兴趣小组利用无人机测量该城楼的高度，测量方案如图：在坡底处测得楼顶的仰角为，沿坡比为5∶12的斜坡前行13米到达平台处，在处测得楼顶的仰角为， （参考数据：，，） （1）求坡顶到地面的距离； （2）计算城楼的高度（结果精确到0.1米）． 21．（8分）如图，在中，，以为直径的交边于点，点在上，连接，，． （1）证明：是的切线； （2）若的直径为，，求的长． 22．（10分）依据《济南市深化体教融合促进青少年健康发展实施方案》要求，我市推进校园足球、排球普及工程，某中学计划采购一批足球与排球，已知足球单价是排球单价的1.5倍，用960元购买足球的数量比用360元购买排球的数量多7个． （1）求足球和排球的单价各是多少元？ （2）该校计划购买足球和排球共50个，其中排球个，足球数量不少于排球数量的，设购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用． 23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，过点作直线交轴于点，直线交反比例函数图象于另一点． （1）求值和直线的函数表； （2）连接，求的面积； （3）若点是反比例函数上一点，点的横坐标为，当时，请直接写出的值． 24．（12分）已知矩形，点为直线上的一个动点（点不与点重合），连接，以为一边构造矩形（，，，按逆时针方向排列），连接，若（为常数），请完成下列问题： （1）如图1，当时，线段与线段的数量关系为______；位置关系为______； （2）如图2，当时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，取线段的中点，连接，若，求线段的最小值． 25．（12分）如图，二次函数经过点，点是第一象限内抛物线上一点，其横坐标为，连接并延长至点，使，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标； （3）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $