2026年山东省实验初级中学综合评价双高项目招生数学试卷

2026年山东省实验中学综合评价双高项目招生数学试卷 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。 1.(8分)如图，在△ABC中，作角A的平分线交BC于点D,作△ABD、△ACD的外接圆，设直线AD 与这两圆的外公切线交于P、Q两点，已知AB=5,AC=6,BC=10,则PQ= p D G Q H 2.(8分)如图，△ABC的内角平分线BD、CE交于I,过I作DE垂线交于H,延长HI交BC于K,已 知H=1,IK=2,则∠A= D 3.(8分)已知严格递增数列1≤a1<a2<<an≤2n,若从中选出任意连续三项{a,a+1,a+2}(1≤i≤n -2),都满足a+1-a≥2与a+2·a+1≥2中至少有一个成立，则称其为n阶好数列，求11阶好数列有 个 4.(8分)函数y=x+√x2-3x+2的最小值为 5.(8分)已知A点有50棵树，现要在从距A点1000m的B点开始，在AB之间每隔10m种一棵树，车 从A点出发，每次最多能运4棵树，则至少需要走 m,才能将50棵树全部运到并返回A 点 x2+2sinA1x+sinA2=0 6.(8分)关于x的方程 x2+2sinA2x+sinA3=0均有实根，其中A1,42,4为凸42边形A4…4r2 x2+2sinAgx+sinA1=0 的内角，且所有角都是30°的整倍数，则n= 7.(8分)函数S=2x2-xy+y2+2x+3y的最小值为 第1页（共11页） 8.(8分)满足(xyz)2=xmyz的xyz一共有 三个， 二、解答题：本大题共4小题，满分86分。 9.(16分)如图，AB=AC,点M在AC上，点N在BC上，满足CMCB=CN·CA,连接MN、BM,在 ∠NMC的角平分线上取一点D,使得DM=DC,E为BM中点，求∠AED并说明理由， M E D 衣 10.（20分)设x1,2,…,x2026为1,2，…，2026的一个排列，求x1-1+2-2++2026-2026的最 大值. 11.（20分)已知x1,x2,…,x15{1,3,5,7,9},y1,y2,…,y15{1,2,…,10},若对1≤s<≤ 15,(x~x)(以-)<0，则将点(s,1)染成红色，求红点个数的最大值. 12.(30分)求所有的正整数n,使对n的每个正因子d,均有(d+1)n或41为质数. 第2页（共11页） 2026年山东省实验中学综合评价双高项目招生数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。 1.【解答】解：己知AB=5,AC=6,根据角分线分割两三角形外接圆的外公切线结论： PO=VAB-AC 代入数值： PQ=W5×6=√30 故答案为：√30 2.【解答】解：，CE平分∠ACB, ∴，∠EC=∠ICB, ,DE∥BC ∴.∠CEI=∠ICB, ∴∠ECI=∠CEl, ∴.IE=IC, 同理ID=IB, △IED为等腰三角形， BD、CE平分两角， ∠IBc∠8c, ∠1CB=⊥∠ACB, ∠B1C=180°-1（∠ABC+∠4CB)=90°+1∠A, DE∥BC, ∴△IED∽△IBC, 喂☆ 等腰△IED中，IH⊥DE, R△HE中，IHe=号IE, 得∠E1H=60°， ∴.∠EID=120°， 故∠B1C=120°， 第3页（共11页） .120°=90°+1∠4， 解得∠A=60° 故答案为：60° 3.【解答】解：分析n阶好数列与n-1阶好数列、n-2阶好数列的关系： 设n阶好数列的个数为bn 对于n阶好数列{a1,a,…,an} 考虑其与n-1阶好数列和n-2阶好数列的联系， 一方面，n阶好数列可以由n-1阶好数列通过在适当位置插入一个数得到.另一方面，n阶好数列也可 以由n-2阶好数列通过在适当位置插入两个数得到. 由此可得递推关系bm=bm-1+bm-2· 确定初始条件： 当n=1时，1≤a1≤2，a1可以取1或2，所以b1=2: 当n=2时，1≤a1<a2≤4，满足条件的数列有{1,3}，{1,4}，{2,4}，所以b2=3, 根据递推关系计算b11, 已知b1=2,b2=3,根据递推公式bm=bm-1+bm-2 依次计算：b3=b2+b1=3+2=5: b4=b3+b2=5+3=8: b5=b4+b3=8+5=13: b6=b5+b4=13+8=21: b7=b6+b5=21+13=34: b8=b7+b6=34+21=55: b9=b8+b7=55+34=89: b10=b9+b8=89+55=144: b11=b10+bg=144+89=233, 综上，11阶好数列有233个 故答案为：233 4.【解答】解：x2-3x+2≥0 (x-1)(x-2)≥0， 第4页（共11页） x≤1或x≥2， 由y=x+√x2-3x+2 移项得y-x=√x2-3x+2≥0， 所以y≥x, 所以(y-x)2=x2-3x+2, 2-2x+x2=x2-3x+2, y2-2xy=-3x+2, x(2y-3)=y2-2, 当2y-3≠0时，x少22 2y-3 要使原函数取得值y,须该x落在定义域内(x≤1或x≥2)且满足y≥x. 分类讨论求y的取值范围， 情况：x≤1， 所u义22<1+g)2 2y-3 2y-3 0 因(y-1)2≥0，故须2y-3<0(或分子为0，即y=1也满足)， y<号 再结合2即22<y÷y-g-2>0。 2y-3 2y-3 解得：1≤<号或≥2，与y<取交集， 得1号 情况二：x≥2， 所u义22>2+（y-2)2 0, 2y-3 2y-3 因(y-2)2≥0， 故须2y-3>0(或y=2), 得>是合=2》 第5页（共11页） 再结合≥x的上述解集为：1≤3或≥2， 取交集得y≥2， y的可取值为1≤y<3或y≥2， 2 故最小值为1， 故答案为：1. 5.【解答】解：树的总数为50，每次运4棵树， 必有不满载的情况，不满载的情况运输成本更高， 所以每次运输优先种植最远的树， 将不满载的运输安排在最近的种植点. 第n棵树到A点的距离为d,=1000-10(n-1), 前12次满载运输， 最远点到A点的距离为d1=1000,d5=960,…,d45=560, 这是一个12项的等差数列，最后次 不满载的运输，最远点到A点的距离为d49=520, 与前面的数列保持公差不变，所以这些距离之和为 13×(1000+520)=9880, 2 再考虑返程，则至少要走9880×2=19760m, 故答案为：19760， 6.【解答】解：首先，根据一元二次方程有实根的条件（判别式△≥0）， 对题目中的三个方程分别列出： 4sin2A1-4sin42≥0， 4sin242-4sin43≥0， 4sin2A3-4sin41≥0， 所以sin2A1>sinA2>sin2A2>sinA3>sin2A3≥sinA1 这个链条的首尾相连意味着所有项都必须相等， 即sin2A1=sin41. 由于A1是多边形内角， sin41>0, 第6页（共11页） 所以解得sin41=1, 从而得出A1=90°. 同理可得A2=90°，A3=90°. 凸4n+2边形的内角和公式为(4+2-2)×180°=720n°， 已知其中三个内角为90°，它们的和是270°. 剩下的(4+2)-3=4n-1个内角的和为(720n-270)。. 题目指出所有角都是30°的整倍数，且小于180°， 因此剩下每个内角的最大值为150°， 由此得到不等式：720n-270≤(4n-1)×150, 解这个不等式得到n≤1. 因为n代表多边形的某种参数， n=0时边数为2，不构成多边形，故舍去。 将n=1代入检验，此时为六边形，条件完全成立 结论通过以上分析，求得n=1. 故答案为：1. 7,【解答】解由您意得.8=2x2y+y2+2x3y=2(x日y)2骨（y*+2)24-4 .函数S=2x2-+y242r+3y的最小值为-4.故答案为：·4 8.【解答】解：由题意可得一个百位是x的三位数，平方后得到一个万位是x的五位数， 则x=1,且这个三位数不能超过141，否则平方后最高位是2. 因为2=X(mod100)的解只有0,1,25,76. 综上，符合题意的三位数只有100,101,125. 故答案为：3. 二、解答题：本大题共4小题，满分86分。 9.【解答】解：猜测∠AED=90°，使用向量方法证明. 理由：设AB=b,AC=C, 由题意，设b4=c=1. 设=tc(0<t<1) 设>0为实数， ,MD在∠NMC的角平分线上，且b=c=1, 第7页（共11页） ∴.角平分线方向与b+c同向， ∴.向量MD可表示为D=入(b+c), 正=（丽+d)=2+tc), .CM-CB=CNCA, ∴CN=(1-t)CB, AN=AC+(1-1, (B-AC)=(1-1)b+C, N=(1-t)b, MC=(1-t)c, D在∠NMC的角平分线上， ∴.MD=λ(b+c), DM2=1(b+c)P=12(b2+2bc+c2)=2λ2(1+bc), 1Dc12=|Di+C12=|b+(t+入-1)c12, =λ2b2+21(+λ-1)bc+(t+λ-1)2c2, =λ2+(t+λ-1)2+2λ(+λ-1)bc, 由题意，DM2=DCP两式做差得到， 2λ(1-1)(1+bc)+(t-1)2=0, 因为1≠1， ∴.2λ(1+bc)=1-t, 要证明∠AED=90°，只要证：A虚·D=0,也就是E=A正，A E2=号6+c)12 -6242be*2e2 =是(1+2+2be) 正·=号(b+tc)(xb+(t+x)c) =(入(1+t)+t2+(入1t))bc) 第8页（共11页） =1(2X(1+t)+2t2+2(入(1+t)+t)bc) -是(2入(1+t)1+bc)+2242bc) =1(1-t2+2t2+2tbc） 4 =1*t22wc) 即左边=右边，说明A正|2=A远·A成立： .AE⊥ED, 即∠AED=90°. 10.【解答】解：根据题意可得，当x1,x2,…,xn为1,2，…，n的一个排列，求-1+2-2什…+xn- 川的最大值. 此时， 1.当n为偶数时， 设n=2k(k为正整数)，将排列前k位放置n,n-1,,k仲1，后k位放置1,2，，k, 此时：u=2X[(k+1)+(k+2)+…+2k-(1+2+…+k)J =2×(k(3k+1)k(k+1) 2 2 =2k2 2 -n 2 2.当n为奇数时，设n=2k+1(k为非负整数)，中间位置放置k+1,剩余2k位按偶数情况排列， 此时：=2X[(k+2)+(k+3)+…+(2+1)- =2×(k(③k+32k(k+12)】 2 2 =2k(k+1) =n2-1 2,n为偶数 综上，u的最大值为 2-1,n为奇数 2 当1=2026时，1为偶数，M=20262=202333 2 故x灯1-1+2-2+…+x2026-2026的最大值为2052338. 第9页（共11页） 11.【解答】解：根据题意可知，x≠x,≠，且x与y两个序列增减相反.x只有5种取值，将序列按 x的取值分组，有个1，a2个3，a3个5，a4个7，a5个9，那么红点数量不超过 5 5 c-c8,=1052∑(a-a) i=l a 2-1 =105+2a 5 21 2 105+151∑a2 221 由柯西不等式，可得： 5 i=1 等号条件为a1=a2=a3=a4=a5=3.所以红点数量不超过90. 例如： x序列：1,1,1,3,3,3,5,5,5,7,7,7,9,9,9， y序列：5,5,5,4,4,4,3,3,3,2,2,2,1,1,1， 此时刚好取到90. 答：红点个数的最大值是90， 12.【解答】解：若n>1,取d=n,则n+1>n不能整除n, 故t1为质数，即n为偶数. 设n=2a…N(a≥1，N为奇数) 对任意奇数因予d>1,d1都是大于2的偶数，不可能是质数， 故dt1n. 特别地，取d=N,则N+1n, 因为gcd(N+1,W)=1, 故N+12a,即N=2-1,其中1≤s≤a. 如果N=1,即n=2, 则其所有因子d=2m要满足d41=2m+1为质数， 但a≥3时，取m=3,则23+1=9是一个合数，矛盾， 故a=1,2,对应的n=2,4. 如果N>1,此时s≥2，a≥2. 第10页（共11页） 设p为N最小质因子，则+1m, 因为p的最小性，p叶1的奇数因子只能是1， 故p=2c-1为梅森质数， 若c≥3，则c为奇质数， 2p+1=2+1-1能被3整除且大于3， 故3引n,与p≥23-1=7矛盾， 故c=2,p=3. 则3W,即325-1，故S是偶数， 令s=21,则N=224-1=(2-1)(241),显然gcd(22-1,241)=1, 对1进行分类讨论， t=1时，s=2,N=3,n=3.2a(a≥2). 若a≥3，则8n,取d=8,则d41=9是合数，但9不整除n,矛盾， 故a=2,n=12, t≥2时，2+1≥5是N的因子，取d=241,则d+1=2(2-1+1)为合数， 故2(2-1+1)m,2-1+1W, 因为gcd(2-1+1,241)=gcd(2-1+1,1)=1, gcd(2-1+1,2'-1)=gcd(2-+1,3), 则2-1+3,1=2. 则s=4,N=15,n=15·2a(a≥4)，取d=4×5=20得d1=21为合数，但7不是n的因子，矛盾. 最后n=1是一个显然的情况。 故所有满足条件的正整数只有1,2,4,12. 第11页（共11页）