2026年高二暑假数学复习回顾、查漏补缺专项练习-二项分布、超几何分布与正态分布

**基本信息** 聚焦二项分布、超几何分布与正态分布，以“本质特征-核心公式-应用实践”构建方法体系，逻辑清晰，突出三种分布的识别与计算，培养数学抽象与模型应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二项分布|3题（1/4/7）|独立重复试验特征识别，概率、期望方差公式应用|从n次独立重复试验本质出发，推导公式并应用于计数问题| |超几何分布|3题（2/5/8）|不放回抽样场景判断，概率、期望计算|基于古典概型，明确总体分类与样本抽取的数量关系| |正态分布|3题（3/6/9）|3σ原则及对称性应用，均值与标准差的统计意义|从连续型随机变量特征切入，通过密度曲线理解数据分布规律|

高二暑假复习回顾、查漏补缺-二项分布、超几何分布与正态分布 考点 1 二项分布 本质特征：描述n 次独立重复试验的概率模型，每次试验只有 “成功 / 失败” 两种互斥结果，单次成功概率恒定，随机变量表示成功总次数。 核心公式 概率： 期望：，方差： 考点 2 超几何分布 本质特征：描述不放回抽样的古典概型，总体明确分为两类，随机变量表示抽取样本中某一类的个体数量。 核心公式 总体共件，其中某类件，抽取件： 期望： 考点 3 正态分布 本质特征：连续型随机变量的经典分布，密度曲线关于直线对称；为均值，决定曲线位置；为标准差，越小曲线越瘦高，数据越稳定。 核心结论（3σ 原则） 对称性： 1.某篮球运动员罚球命中率为 0.6，每次罚球相互独立，共罚球 4 次，设命中次数为，下列说法错误的是（　　） A. 服从二项分布 B. C. D. 2.笔袋中有 6 支黑笔、4 支红笔，从中不放回地抽取 3 支，记抽到黑笔的数量为，下列结论正确的是（　　） A. 服从二项分布 B. C. D. 的可能取值为 3(多选)某校高一、高二两个年级的男生身高分别记为，且，，其正态密度曲线如图所示。下列结论正确的有（　　） A. 高一年级男生的平均身高等于高二年级 B. 高一年级男生的平均身高低于高二年级 C. 高一年级男生身高的稳定性高于高二年级 D. 高一年级男生身高的稳定性低于高二年级 4.某奶茶店随机抽查 10 杯饮品，其中 6 杯获得顾客好评。将频率视为概率，现随机抽取 5 杯饮品，记获得好评的杯数为，则_____ 5.文具盒中有 7 支铅笔、3 支钢笔，从中不放回地任取 2 支，则恰好取到 1 支铅笔、1 支钢笔的概率为_____ 6.某工厂生产的零件质量（单位：g）近似服从正态分布，则质量落在区间内的概率约为____；若生产 1000 个该零件，质量在此区间的零件个数约为_____ （参考数据：，） 7.某高校选修课系统开设高数、线代、概统三门课程，每位学生独立选择一门，选高数、线代的概率均为,现从该年级随机选取 4 名学生，记选择概统的人数为。 (1) 求 1 名学生选择概统课程的概率； (2) 求的分布列、数学期望与方差。 8.学校书架上有本科技书和 8 本文学书，从中随机抽取 2 本，全是文学书的概率为。 (1) 求的值； (2) 若从书架中一次性抽取 3 本书，记抽到科技书的数量为，求的分布列和数学期望。 9.某校为了解学生物理竞赛水平，随机抽取 10 名学生的初赛成绩（单位：分）： 62, 68, 74, 80, 80, 80, 80, 86, 92, 98 记这 10 名学生成绩的平均分为，方差为，已知. (1) 求平均分； (2) 规定成绩低于 70 分为不合格，从这 10 名学生中任取 3 人，记不合格人数为，求的分布列； (3) 全市学生竞赛成绩近似服从正态分布，用分别作为的估计值。现从全市随机抽取 200 名学生，记成绩落在区间内的人数为，求。 （参考数据：） 10.某投资公司准备在2024年年初将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二暑假复习回顾、查漏补缺-二项分布、超几何分布与正态分布 解析 考点 1 二项分布 本质特征：描述n 次独立重复试验的概率模型，每次试验只有 “成功 / 失败” 两种互斥结果，单次成功概率恒定，随机变量表示成功总次数。 核心公式 概率： 期望：，方差： 考点 2 超几何分布 本质特征：描述不放回抽样的古典概型，总体明确分为两类，随机变量表示抽取样本中某一类的个体数量。 核心公式 总体共件，其中某类件，抽取件： 期望： 考点 3 正态分布 本质特征：连续型随机变量的经典分布，密度曲线关于直线对称；为均值，决定曲线位置；为标准差，越小曲线越瘦高，数据越稳定。 核心结论（3σ 原则） 对称性： 1.某篮球运动员罚球命中率为 0.6，每次罚球相互独立，共罚球 4 次，设命中次数为，下列说法错误的是（　　） A. 服从二项分布 B. C. D. 答案：D 解析：4 次独立重复试验，每次命中概率 0.6，因此，A 正确； ，B 正确； ，C 正确； ，选项遗漏了未命中的概率项，D 错误. 2.笔袋中有 6 支黑笔、4 支红笔，从中不放回地抽取 3 支，记抽到黑笔的数量为，下列结论正确的是（　　） A. 服从二项分布 B. C. D. 的可能取值为 答案：B 解析：不放回抽样，属于超几何分布，不是二项分布，A 错误； 总体，黑笔，抽取，由期望公式，B 正确； ，C 错误；的可能取值为，D 错误. 3(多选)某校高一、高二两个年级的男生身高分别记为，且，，其正态密度曲线如图所示。下列结论正确的有（　　） A. 高一年级男生的平均身高等于高二年级 B. 高一年级男生的平均身高低于高二年级 C. 高一年级男生身高的稳定性高于高二年级 D. 高一年级男生身高的稳定性低于高二年级 答案：AC 解析：正态曲线的对称轴对应均值，由图可知两条曲线对称轴重合，因此，即平均身高相等，A 正确，B 错误；越小曲线越瘦高，数据越稳定，高一曲线更瘦高，故，高一身高稳定性更高，C 正确，D 错误. 4.某奶茶店随机抽查 10 杯饮品，其中 6 杯获得顾客好评。将频率视为概率，现随机抽取 5 杯饮品，记获得好评的杯数为，则_____ 答案： 解析：单杯获得好评的概率，由题意， 因此. 5.文具盒中有 7 支铅笔、3 支钢笔，从中不放回地任取 2 支，则恰好取到 1 支铅笔、1 支钢笔的概率为_____ 答案： 解析：. 6.某工厂生产的零件质量（单位：g）近似服从正态分布，则质量落在区间内的概率约为____；若生产 1000 个该零件，质量在此区间的零件个数约为_____ （参考数据：，） 答案：； 解析：由题意，， 。 1000 个零件中，对应个数约为. 7.某高校选修课系统开设高数、线代、概统三门课程，每位学生独立选择一门，选高数、线代的概率均为,现从该年级随机选取 4 名学生，记选择概统的人数为。 (1) 求 1 名学生选择概统课程的概率； (2) 求的分布列、数学期望与方差。 解：(1) 1 名学生选择概统课程的概率是； (2) 4 名学生独立选课，符合二项分布特征，因此， 的所有可能取值为。 ，， ，， 。 因此的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望：； 方差： 8.学校书架上有本科技书和 8 本文学书，从中随机抽取 2 本，全是文学书的概率为。 (1) 求的值； (2) 若从书架中一次性抽取 3 本书，记抽到科技书的数量为，求的分布列和数学期望。 解：(1) 书架上书的总数为，抽取 2 本的总方法数为， 全是文学书的方法数为。 由题意得，即， 解得，即， 整理得，解得（负根舍去）； (2) 书架共有本书，其中科技书 4 本，文学书 8 本， 的所有可能取值为， ，， ，。 因此的分布列为： 0 1 2 3 数学期望： 9.某校为了解学生物理竞赛水平，随机抽取 10 名学生的初赛成绩（单位：分）： 62, 68, 74, 80, 80, 80, 80, 86, 92, 98 记这 10 名学生成绩的平均分为，方差为，已知. (1) 求平均分； (2) 规定成绩低于 70 分为不合格，从这 10 名学生中任取 3 人，记不合格人数为，求的分布列； (3) 全市学生竞赛成绩近似服从正态分布，用分别作为的估计值。现从全市随机抽取 200 名学生，记成绩落在区间内的人数为，求。 （参考数据：） 解：(1) 。 (2) 10 名学生中，成绩低于 70 分的有 2 人，因此的可能取值为， ，， ， 因此的分布列为： 0 1 2 (3) 由题意， 因此，，区间即， 因此， 由题意，故. 10.某投资公司准备在2024年年初将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150.则X1的分布列为 X1 300 －150 P ∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元). 若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，－300，0.则X2的分布列为： X2 500 －300 0 P ∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元). D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000， D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000. 所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)， 这说明虽然项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资. 学科网（北京）股份有限公司 $